Aufgaben

Berechne %%11\;111\;:\;9000%%  als Dezimalbruch und runde anschließend 

Mexico-City hat, auf ganze Hunderttausender gerundet, 20000000 Einwohner. Wie viele Menschen leben mindestens, wie viele höchstens in dieser Stadt?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Runden natürlicher Zahlen

Bei dieser Aufgabe geht es darum, die kleinste und die größte Zahl zufinden, die auf Hunderttausender gerundet 20 000 000 ergeben.
Dadurch ergeben sich mindestens 19 950 000 und maximal 20 049 999 Einwohner.

Begründung für die minimalen Einwohnerzahl

Die minimale Einwohnerzahl ist die kleinste Zahl die aufgerundet 20 000 000 ergibt.
Da auf Hunderttausender gerundet wird ist die Zehntausender-Stelle entscheidend. Diese soll möglichst klein sein, aber immernoch aufgerundet werden. Daher muss hier eine 5 stehen. Alle kleineren Stellen spielen beim Runden keine Rolle, können also beliebige Zahlen sein. Es ist eine möglichst kleine Zahl gesucht, wähle also Nullen. Da die Zehntausender-Stelle aufgerundet wird, erhöhen sich die höheren Stellen um Eins. Nimm also diese Stellen der gerundeten Zahl und ziehe Eins ab.
Damit ergibt sich 19 950 000 als minimale Einwohnerzahl.

Begründung für die maximale Einwohnerzahl

Die Maximalzahl von Einwohnern ist größte Zahl, die noch auf 20 000 000 abgerundet wird.
Hier ist wieder die Zehntausender-Stelle die Entscheidende. Die größte Ziffer, die noch abgerundet wird ist 4. Die kleineren Stellen haben wieder keinen Einfluss. Wähle also 9, um die Zahl möglichst groß zu machen. Da die Zehntausender-Stelle diesmal abgerundet wird, bleiben die höheren Stellen die Gleichen wie bei 20 000 000.
Also ist 20 049 999 die Maximalzahl.
Runde auf Zehntausender:
1995123

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Runden

Achte hierbei auf den Übertrag, den du machen musst.
199512320000001\,995\,123\approx2\,000\,000

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Runden

Achte darauf, dass du einen Übertrag machen musst.
499519850000004\,995\,198\approx5\,000\,000
4874999

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Runden

Es bietet sich an, die Zahl der Mitglieder auf ihre Hunderter-Stellen zu runden.

Sportart

Anzahl der Mitglieder

Fussball

5200

Handball

800

Leichtathletik

800

Reiten

600

Schwimmen

600

Tennis

2200

Tischtennis

800

Turnen

4200

Trägst du nun die Zahl der Mitglieder in Tausender-Schritten auf der y-Achse ein, so entsteht das folgende Diagramm. Natürlich gibt es mehrere mögliche Lösungswege.
Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/2690_50axh9I8cD.xml
In Deutschland leben, auf halbe Millionen gerundet, achtzig Millionen Menschen. Wie viele Leute leben mindestens und und wie viele höchstens in Deutschland?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Runden natürlicher Zahlen

Die kleinste Zahl, die auf eine halbe Million gerundet 80Millionen ergibt, ist 79\,750\,000. So viele Leute leben also mindestens in Deutschland.
Die größte Zahl, die auf eine halbe Million gerundet 80Millionen ergibt, ist 80\,249\,999. Also leben maximal so viele Leute in Deutschland.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Runden natürlicher Zahlen

Die kleinstmögliche Zahl, die auf Tausender gerundet 60\,000 ergibt, ist 59\,500.
Die größtmögliche Zahl, die auf Tausender gerundet 60\,000 ergibt, ist 60\,499.
Die Lösungsmenge ist also:
L=[59500,  60499]L=\left[59\,500,\;60\,499\right]

Gib jeweils einen Überschlag an!

In Indien leben, auf halbe Millionen gerundet, eine Milliarde und zweihundert Millionen Menschen. Wie viele Leute leben mindestens und wie viele höchstens in Indien?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Runden

Finde heraus, welche Stelle relevant ist, wenn du auf Tausender rundest. Dies sind die Hunderter.
Überlege dir die kleinstmögliche Zahl, die nach wenn man nach den Regeln des Rundens auf Tausender rundet, noch auf 70 000 aufgerundet werden kann.
6950070000\displaystyle 69\,500 \approx 70\,000
Überlege dir die größtmögliche Zahl, die nach wenn man nach den Regeln des Rundens auf Tausender rundet, noch auf 70 000 abgerundet werden kann.
7049970000\displaystyle 70\,499 \approx 70\,000
Alle natürlichen Zahlen zwischen 69 500 und 70 499 ergeben gerundet 70000, wenn man sie auf ganze Tausender rundet.
Die Lösungsmenge ist also: L=[69500,70499]L=\left[69500,70499\right]

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Runden natürlicher Zahlen

Die kleinste Zahl, die auf Hunderter gerundet 1300 ergibt, ist 1250.
Die größte Zahl, die auf hunderter gerundet 1300 ergibt, ist 1349.
Alle Zahlen , die dazwischen liegen, nennen wir zz. Daraus ergibt sich die Doppelungleichung:
1250z13491250\leq z\leq1349
Ein Fußballer verdient im Jahr, auf ganze Zehntausend Euro gerundet, zwei Millionen Euro. Wie viel verdient er höchstens, wieviel mindestens?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Runden natürlicher Zahlen

Das Ziel der Aufgabe ist, die kleinste und größte Zahl zu finden, die gerundet 20000002000000 ergibt, wenn du auf Zehntausender rundest.
Wenn du auf Zehntausender rundest, ist nur die Tausender-Stelle wichtig. Ist hier eine 1,2,3 oder 4, rundest du ab. Bei einer 5,6,7,8 oder 9 rundest du auf.

Lösungsweg für die kleinste Zahl

Die 5 ist die kleinste Zahl, bei der aufgerundet wird, also setzt du diese auf die Tausender-Stelle. Da die Hunderter-, Zehner- und Einer-Stelle nicht wichtig beim Runden auf Zehntausender ist, nimmst du an diesen Stellen Nullen, weil die Zahl klein sein soll.
Da die Zehntausender-Stelle aufgerundet wird, erhöhen sich die höheren Stellen um Eins. Nimm also diese Stellen der gerundeten Zahl und ziehe Eins ab.
Deshalb ist 19950001995000 die Lösung für die kleinste Zahl.
Du kannst das Ergebnis leicht prüfen, indem du versuchst die Zahl weiter zu verkleinern. Denn dann ergibt sich beim Runden auf Zehntausender nicht mehr 2000000. 1994999 ist zum Beispiel auf Zehntausender gerundet 1990000.

Lösungsweg für die größte Zahl

Dieses mal setzt du an die Tausender-Stelle eine 4, da sie die größte Zahl ist, bei der abgerundet wird. Wie vorher sind die kleineren Stellen nicht wichtig, wähle also Neunen, da die größte zahl gesucht ist.
Da die Zehntausender-Stelle abgerundet wird, verändern sich die höheren Stellen nicht. Deshalb ist 20049992004999 die Lösung für die größte Zahl.///
Du kannst das Ergebnis leicht prüfen, indem du versuchst die Zahl weiter zu vergrößern. Denn dann ergibt sich beim Runden auf Zehntausender nicht mehr 2000000. 2005000 ist zum Beispiel auf Zehntausender gerundet 2010000.
Bei einem Fußballspiel sind 10823 Zuschauer im Stadion. Ein Reporter überlegt sich auf Einer, Zehner, Hunderter, Tausender oder Zehntausender zu runden.

Bestimme die jeweiligen Ergebnisse nach dem Runden und begründe, welche sinnvoll sind.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Runden

gerundeter Wert

sinnvoll?

auf 1er

%%10823%%

Ja, falls du ein genaues Ergebnis angeben willst.

auf 10er

%%10823\approx10820%%

Eher nein. Das Ergebnis ist weder besonders genau noch sind 5 Personen mehr oder weniger wirklich interessant.

auf 100er

%%10823\approx10800%%

Ja, bei einer Zahl mit 5 Stellen kann man auf die 100er Stelle runden und bekommt eine gute Größenvorstellung.

auf 1 000er

%%10823\approx11000%%

Ja, bei einer Zahl mit 5 Stellen kann man auf die 1000er Stelle runden und bekommt eine gute Größenvorstellung.

auf 10 000er

%%10823\approx10000%%

Möglich, der Rundungsfehler wird zwar relativ groß, aber das Größenverhältnis der Anzahl der Zuschauer passt.

Bei einem Fußballspiel waren 5278 Besucher im Stadion. Ein Sportreporter möchte in einem Zeitungsbericht die Anzahl der Besucher angeben. Welche Zahl sollte er nennen?
 
Begründe deine Meinung.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Runden

Überlege dir, was für einen Zeitungsartikel eine sinnvolle Größenangabe ist, um die Anzahl der Zuschauer angemessen zu beschreiben.
Möglichkeiten:

%%5278\approx5300%%

auf Hunderter gerundet

%%5278\approx5000%%

auf Tausender gerundet

%%5278\approx5280%%

auf Zehner gerundet

Sinnvoll ist es, wenn du auf Hunderter rundest, da das Runden auf Tausender zu ungenau ist, während auf Zehner zu runden zu genaue Informationen geben würde.

Der Zeitungsreporter sollte daher als Besucheranzahl die Angabe 5300 verwenden.

Schwierige Aufgabe: Auf einem Werbeplakat ist ein 6m großes Gesicht abgebildet.

Wie groß ist in etwa ein Schneidezahn?

Runden und Abschätzen

Gegeben: Das Gesicht auf dem Plakat ist etwa 6m hoch, ein "normales" etwa 25cm. Ein Schneidezahn ist etwa 1,5 cm hoch.

Rechne die m in cm um .

%%6\text{m}=600\text{cm}\\%%

Berechne den Faktor mit dem das Gesicht gestreckt wurde.

%%600:25=24\\%%

Auch der Schneidezahn wurde auf dem Bild mit diesem Faktor gestreckt. Multipliziere also die größe eines "normalen" Schneidezahns mit dem berechneten Faktor.

%%24\cdot1,5\text{cm}=36\text{cm}\\%%

%%\;\;\Rightarrow%% Der Schneidezahn auf dem Plakat ist etwa 36 cm groß.

Gegeben ist folgende Tabelle:

Runde

auf 10er

auf 100er

auf 1 000er

auf 10 000er

8 951

25 499

24 999

4 785 934

Fülle die Tabelle aus!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Runden

Runde

auf 10er

auf 100er

auf 1 000er

auf 10 000er

8 951

8 950

9 000

9 000

10 000

25 499

25 500

25 500

25 000

20 000

24 999

25 000

25 000

25 000

20 000

4 785 934

4 785 930

4 785 900

4 786 000

4 790 000

Welche natürlichen Zahlen ergeben 7000, wenn man sie auf ganze Hunderter rundet?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Runden

Gesucht ist die Menge der natürlichen Zahlen, die auf Hunderter gerundet noch 7000 ergeben.
Das ist die Menge von der kleinsten bis zur größten Zahl, die auf Hunderter gerundet noch 7000 ergeben.
Alle Zahlen in dieser Menge sind größer oder gleich einer Zahl, die auf 7000 aufgerundet wird. Daraus folgt, dass alle diese Zahlen gerundet größer oder gleich 7000 sind. Gleichzeitig sind alle Zahlen der Menge kleiner oder gleich einer Zahl, die auf 7000 abgerundet wird. Daraus folgt, dass alle Zahlen gerundet größer oder gleich 7000 sind.
Zusammengenommen folgt, dass alle Zahlen gerundet gleich 7000 sein müssen, da sie nicht gleichzeitig größer und kleiner sein können.

Die kleinste gesuchte Zahl

Da auf Hunderter gerundet wird ist die Zehnerstelle entscheidend. Diese soll möglichst klein sein, aber immernoch aufgerundet werden. Daher muss hier eine 5 stehen. Die Einerstelle spielt beim Runden keine Rolle, kann also eine beliebige Zahl sein. Es ist eine möglichst kleine Zahl gesucht, wähle also Null. Da die Zehnerstelle aufgerundet wird, erhöhen sich die höheren Stellen um Eins. Nimm also diese Stellen der gerundeten Zahl und ziehe Eins ab (701=6970-1=69).
Damit ergibt sich 6950 als kleinste Zahl.

Die größte gesuchte Zahl

Hier ist wieder die Zehnerstelle die Entscheidende. Die größte Ziffer, die noch abgerundet wird ist 4. Die Einerstellen hat wieder keinen Einfluss. Wähle also 9, um die Zahl möglichst groß zu machen. Da die Zehnerstelle diesmal abgerundet wird, bleiben die höheren Stellen die Gleichen wie bei 7000.
Also ist 7049 die Maximalzahl.
Damit ergibt sich die gesuchten Zahlenmenge:
L={6950,6951,,7048,7049}L=\{6950,6951,…,7048,7049\}.
Runde auf Tausender
123499

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Runden

Es wird auf Tausender gerundet, deshalb musst du die Hunderter-Stelle beachten. Diese ist eine 4, also wird abgerundet.
123499123000123499\approx123000
563499

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Runden

Es wird auf Tausender gerundet, deshalb musst du die Hunderter-Stelle beachten. Diese ist eine 4, also wird abgerundet.
563499563000563499\approx563000
769513

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Runden

Es wird auf Tausender gerundet, deshalb musst du die Hunderter-Stelle beachten. Diese ist eine 5, also wird aufgerundet. Beachte, dass es hier einen Übertrag gibt.
769513770000769513\approx770000

Runde auf die in Klammern stehende Einheit:

Runde auf die in Klammern stehende Anzahl geltender Ziffern:
759410 (3)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Runden



759410\mathbf{759}\, 410
Anzahl geltender Ziffern: 3
Runde auf die geforderte Anzahl der Zahlen. Da 4 kleiner ist als 5, runde ab.
759410759000759\,410 \approx 759 \,000

759510 (3)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Runden



759510\mathbf{759}\, 510
Anzahl geltender Ziffern: 3
Runde auf die geforderte Anzahl der Zahlen.Da ab 5 aufgerundet wird, runde auf. Beim Aufrunden beachte den Zehnerübertrag von 59 auf 60.
759510760000759\,510 \approx 760 \,000

Runde die Zahl 5734 auf 10er, 100er, 1000er und 10000er und gib jeweils den Rundungsfehler an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Runden

Runde auf die gesuchte Stelle. Den Rundungsfehler kannst du berechnen, indem du dir die Zahl und deren gerundeten Wert anschaust und dann die kleinere der beiden Zahlen von der größeren abziehst.

gerundeter Wert

Rundungsfehler

auf 10er

%%5734 \approx 5730%%

%%5734-5730=4%%

auf 100er

%%5734 \approx 5700%%

%%5734-5700=34%%

auf 1000er

%%5734 \approx 6000%%

%%6000-5734=266%%

auf 10000er

%%5734 \approx 10\;000%%

%%10\;000-5734=4266%%

In folgender Tabelle sind die Abstände der Planeten unseres Sonnensystems zur Sonne und deren Durchmesser zusammengestellt:

Planet

Abstand zur Sonne

Durchmesser

Merkur

57895200 km

4878 km

Venus

108160800 km

12099 km

Erde

149600000 km

12736 km

Mars

227392000 km

6763 km

Jupiter

777920000 km

142643 km

Saturn

1428680000 km

119973 km

Uranus

2872320000 km

51199 km

Neptun

4502960000 km

49670 km

  1. Für die Planeten unseres Sonnensystems verwendet man oft den Merkspruch ”Mein Vater erklärt mir jeden Sonntag unsere Nachthimmel“. Erkläre diesen Merkspruch.
  2. Runde die Abstände der Planeten zur Sonne auf drei gültige Ziffern und den Durchmesser jedes Planeten auf zwei gültige Ziffern.
  3. Stelle die Abstände zur Sonne von den Planeten Merkur, Venus und Erde an einem geeigneten Zahlenstrahl dar.
  4. Stelle die Abstände zur Sonne von den Planeten Merkur, Venus, Erde, Mars, Jupiter, und Saturn an einem geeigneten Zahlenstrahl dar.
  5. Stelle die Abstände zur Sonne von allen Planeten unseres Sonnensystems an einem geeigneten Zahlenstrahl dar.
  6. Stelle die Durchmesser der Planeten an einem Zahlenstrahl dar und ordne die Planeten nach ihrem Durchmesser.
  7. Die oben angegebenen Abstände der Planeten zur Sonne bezeichnet man häufig als mittlere Abstände zur Sonne. Finde heraus, was dies bedeutet.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Runden

Teilaufgabe 1

Mein Vater erklärt mir jeden Sonntag unsere Nachthimmel.
Merkur Venus Erde Mars Jupiter Saturn Uranus Neptun
Der Anfangsbuchstabe jedes Wortes stimmt mit dem des jeweiligen Planeten überein.

Teilaufgabe 2

Trage in eine Tabelle die gerundeten Abstände und Durchmesser ein.

Planet

Abstand zur Sonne

Durchmesser

Merkur

%%5,79\cdot10^7\;\mathrm{km}%%

%%4,9\cdot10^3\;\mathrm{km}%%

Venus

%%1,08\cdot10^8\;\mathrm{km}%%

%%1,2\cdot10^4\;\mathrm{km}%%

Erde

%%1,50\cdot10^8\;\mathrm{km}%%

%%1,3\cdot10^4\;\mathrm{km}%%

Mars

%%2,27\cdot10^8\;\mathrm{km}%%

%%6,8\cdot10^3\;\mathrm{km}%%

Jupiter

%%7,78\cdot10^8\;\mathrm{km}%%

%%1,4\cdot10^5\;\mathrm{km}%%

Saturn

%%1,43\cdot10^9\;\mathrm{km}%%

%%1,2\cdot10^5\;\mathrm{km}%%

Uranus

%%2,87\cdot10^9\;\mathrm{km}%%

%%5,1\cdot10^4\;\mathrm{km}%%

Neptun

%%4,50\cdot10^9\;\mathrm{km}%%

%%5,0\cdot10^4\;\mathrm{km}%%

Teilaufgabe 3:

Trage auf einem Zahlenstrahl die Abstände der Planeten Merkur, Venus und Erde ein.
Zahlenstrahl zu Aufgabe 7

Teilaufgabe 4

Trage auf einem Zahlenstrahl die Abstände der Planten Merkur, Venus, Erde, Mars, Jupiter und Saturn ein.
Zahlenstrahl zu Aufgabe 7

Teilaufgabe 5

Trage auf einem Zahlenstrahl die Abstände aller Planten unseres Sonnensystems ein.
Zahlenstrahl zu Aufgabe 7
(Anmerkung: Der Zwerplanet Pluto wurde hier zusätzlich eingetragen. Das wäre nicht nötig gewesen)

Teilaufgabe 6

Trage den Durchmesser der Planeten an einem geeigneten Zahlenstrahl ein.
Zahlenstrahl zu Aufgabe 7

Teilaufgabe 7

Die Planeten bewegen sich auf Ellipsenbahnen um die Sonne, d. h. ihre Abstände schwanken zwischen einem größten und kleinsten Wert. Der mittlere Abstand ist der Mittelwert des größten und kleinsten Abstands.
Kommentieren Kommentare