Aufgaben
Berechne die Länge bzw. den Betrag des Vektors.
u=(215)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}2\\-1\\5\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors

u=(215)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}2\\-1\\5\end{pmatrix}
Verwende die Formel zur Berechnung der Länge bzw. des Betrags.
u=22+(1)2+52=4+1+25=305,48\left|\overrightarrow{\mathrm u}\right|=\sqrt{2^2+(-1)^2+5^2}=\sqrt{4+1+25}=\sqrt{30}\approx 5,48
u=(1234)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}12\\3\\4\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors

u=(1234)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}12\\3\\4\end{pmatrix}
Verwende die Formel zur Berechnung der Länge bzw. des Betrags.
u=122+32+42=144+9+16=13\left|\overrightarrow{\mathrm u}\right|=\sqrt{12^2+3^2+4^2}=\sqrt{144+9+16}=13
u=(231)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}-2\\3\\1\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors

u=(231)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}-2\\3\\1\end{pmatrix}
Verwende die Formel zur Berechnung der Länge bzw. des Betrags.
u=(2)2+32+12=4+9+1=143,74\left|\overrightarrow{\mathrm u}\right|=\sqrt{(-2)^2+3^2+1^2}=\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14}\approx 3,74
u=(124)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}1\\-2\\-4\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors

u=(124)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}1\\-2\\-4\end{pmatrix}
Verwende die Formel zur Berechnung der Länge bzw. des Betrags.
u=12+(2)2+(4)2=1+4+16=214,58\left|\overrightarrow{\mathrm u}\right|=\sqrt{1^2+(-2)^2+(-4)^2}=\sqrt{1+4+16}=\sqrt{21}\approx 4,58
u=(340)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}3\\-4\\0\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors

u=(340)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}3\\-4\\0\end{pmatrix}
Verwende die Formel zur Berechnung der Länge bzw. des Betrags.
u=32+(4)2+02=9+16=5\left|\overrightarrow{\mathrm u}\right|=\sqrt{3^2+(-4)^2+0^2}=\sqrt{9+16}=5
u=(101)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors

u=(101)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}
Verwende die Formel zur Berechnung der Länge bzw. des Betrags.
u=12+02+(1)2=21,41\left|\overrightarrow{\mathrm u}\right|=\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}=\sqrt2\approx 1,41
u=(519)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}5\\1\\9\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors

u=(519)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}5\\1\\9\end{pmatrix}
Verwende die Formel zur Berechnung der Länge bzw. des Betrags.
u=52+12+92=25+1+81=10710,34\left|\overrightarrow{\mathrm u}\right|=\sqrt{5^2+1^2+9^2}=\sqrt{25+1+81}=\sqrt{107}\approx 10,34
u=(539)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}-5\\3\\9\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors

u=(539)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}-5\\3\\9\end{pmatrix}
Verwende die Formel zur Berechnung der Länge bzw. des Betrags.
u=(5)2+32+92=25+9+81=11510,72\left|\overrightarrow{\mathrm u}\right|=\sqrt{(-5)^2+3^2+9^2}=\sqrt{25+9+81}=\sqrt{115}\approx 10,72
u=(4230.2)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}4\\-\textstyle\frac23\\0.2\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors

u=(4230.2)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}4\\-\textstyle\frac23\\0.2\end{pmatrix}
Verwende die Formel zur Berechnung der Länge bzw. des Betrags.
u=42+(23)2+0.22=16+49+0.044,06\displaystyle\left|\overrightarrow{\mathrm u}\right|=\sqrt{4^2+\left(-{\frac23}\right)^2+0.2^2}=\sqrt{16+{\frac49}+0.04}\approx4,06

Berechne die Länge des Vektors:

%%\vec v = \pmatrix{-5\\5}%%

%%\vec v = \pmatrix{-5\\5}%%

Berechne die Länge mittels Satz des Pythagoras.

%%\begin{align}|\vec v| = \left| \pmatrix{-5\\5} \right| &= \sqrt{(-5)^2+5^2}\\ &= \sqrt {50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5 \sqrt 2\end{align}%%

Die Länge des Vektors ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Koordinaten.

Lässt sich der Vektor %%\vec{w}%% durch eine Streckung des Vektors %%\vec{v}%% erzeugen? Wenn ja, bestimme den Faktor %%k%%, um den %%\vec{v}%% gestreckt wurde.

%%\vec v = \begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}%% und %%\vec w = \begin{pmatrix}-6\\-15\end{pmatrix}%%

Vektoren strecken

Prüfe, ob die Formel %%w⃗ =k⋅ v⃗%% für ein k erfüllt werden kann.

%%\begin{pmatrix}-6\\-15\end{pmatrix} = k \cdot \ \begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix} \\%%

%%\,%%

Prüfe nun für die einzelnen Komponenten, ob diese Geichung für ein k erfüllt werden kann.

Für die x-Kompenente soll gelten:

%%-6 = k \cdot 2 \\ k=-6: 2 =-3%%

Für die y-Komponente soll gelten:

%%-15 = k \cdot 5 \\ k=-15:5=-3%%

Löse die beiden Gleichungen nach %%k%% auf.

%%\Rightarrow\,k = -3%%

Für beide Gleichungen kommt dasselbe Ergebnis heraus.

Das heißt, dass der Vektor %%\vec w%% aus %%\vec v%% durch Streckung um %%-3%% entsteht.

%%\vec v = \begin{pmatrix}-5\\31\end{pmatrix}%% und %%\vec w = \begin{pmatrix}1\\-7\end{pmatrix}%%

Vektoren strecken

Prüfe, ob die Formel %%\,\vec w = k \cdot \vec v \ \\%% für ein %%k%% erfüllt werden kann.

%%\begin{pmatrix}1\\-7\end{pmatrix} = k \cdot \ \begin{pmatrix}-5\\31\end{pmatrix} \\%%

Prüfe für jede Komponente des Vektors, ob diese Gleichung erfüllt werden kann:

Für die x-Komponente soll gelten:

%%1 = k \cdot (-5) \\k=-\frac15%%

Für die y-Komponente soll gelten:

%%-7 = k \cdot 31\\ k=-\frac{7}{31}%%

Löse die Gleichungen jeweils nach %%k%% auf.

%%\Rightarrow-\frac1 5 ≠ -\frac{7}{31}%%

Du erhältst für %%k%% zwei verschiedene Werte.

Der Vektor %%\vec{w}%% kann also nicht durch eine Streckung der Vektors %%\vec v%% um eine reelle Zahl %%k%% erzeugt werden.

Die Vektoren %%\vec{v}%% und %%\vec{w}%% zeigen somit weder in die gleiche noch in die entgegengesetzte Richtung.

%%\vec v = \begin{pmatrix}0\\6,75\end{pmatrix}%% und %%\vec w = \begin{pmatrix}0\\-576\end{pmatrix}%%

Vektoren strecken

Prüfe, ob die Formel %%\,\vec w = k \cdot \vec v \,\,%% für ein k erfüllt werden kann.

%%\begin{pmatrix}0\\-576\end{pmatrix} = k \cdot \ \begin{pmatrix}0\\6,75\end{pmatrix} \\%%

Prüfe für die einzelnen Komponenten, ob diese Geichung für ein k erfüllt werden kann.

Für die x-Kompenente soll gelten:

%%0 = k \cdot 0%%

%%\,%%

Diese Gleichung ist für alle reellen Zahlen erfüllt.

Für die y-Komponente soll gelten:

%%-576 = k \cdot 6,75%%

%%\,%%

Löse die Gleichung nach k auf.

$$k = -\frac{256}{3}$$

Da die erste Gleichung für beliebige reelle Zahlen erfüllt ist, gilt sie insbesondere auch für %%k= -\frac{256}{3}%%. Dies ist also der gesuchte Streckungsfaktor.

%%\Rightarrow%% Das heißt, dass der Vektor %%\vec w%% aus %%\vec v%% durch Streckung um %%k = -\frac{256}{3}%% entsteht.

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