Als Halbwerts- bzw. Verdoppelungszeit bezeichnet man die Zeitspanne, in der sich die Größe eines Wertes halbiert bzw. verdoppelt.

Man betrachtet Halbwerts- und Verdoppelungszeit häufig bei exponentiellem Zerfall bzw. Wachstum, denn nur bei exponentiellem Änderungsverhalten ist die Halbwerts- bzw. Verdoppelungszeit eine Konstante.

Im Bild links steht die %%x%%-Achse für die Zeit %%t%% und die %%y%%-Achse für einen Wert %%N(t)%%.

Es sind der Startpunkt (%%t=0, N_0=1%%) und der Punkt, an dem sich der Startwert halbiert hat (%%t=T_{1/2}%%, %%N(T_{1/2})=0,5%%), markiert.

Halbwertszeit

%%N(t)=N_0\cdot a^t%% ist als Funktionsgleichung gegeben.

Nach der Halbwertszeit %%T_{1/2}%% ist der Anfangswert %%N_0%% auf die Hälfte geschrumpft. Es gilt:

$$T_{1/2}=\frac{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{\ln(a)}=-\frac{\ln(2)}{\ln(a)}$$

Begründung

Man notiert den Ansatz, dass sich der Anfangswert nach der Zeit %%T_{1/2}%% halbiert hat in Formelschreibweise:

%%N(T_{1/2})=\frac12\cdot N_0%%

Für %%N(T_{1/2})%% setzt man dann den Funktionsterm ein und löst nach %%T_{1/2}%% auf:

%%N_0\cdot a^{T_{1/2}}=\frac12\cdot N_0%%

Man kann nun auf beiden Seiten durch den Anfangswert %%N_0%% teilen.

%%a^{T_{1/2}}=\frac12%%

Man wendet auf beiden Seiten den Logarithmus an. Es ist egal zu welcher Basis der Logarithmus gewählt wird. Man verwendet jedoch meist den natürlichen Logarithmus .

%%\ln\left(a^{T_{1/2}}\right)=\ln\left(\frac12\right)%%

Mit Hilfe der Logarithmusregeln lässt sich %%T_{1/2}%% "nach vorne ziehen".

%%T_{1/2}\cdot\ln(a)=\ln\left(\frac12\right)%%

Nach %%T_{1/2}%% aufgelöst ergibt sich:

$$T_{1/2}=\frac{\ln\left(\frac12\right)}{\ln(a)}=-\frac{\ln(2)}{\ln(a)}$$

Verdoppelungszeit

Nach der Verdoppelungszeit %%T_2%% ist der Anfangswert %%N_0%% auf das Doppelte gestiegen. Es gilt:

$$T=\frac{\ln(2)}{\ln(a)}$$

Begründung

Die Begründung erfolgt analog zu der der Halbwertszeit mit dem Ansatz %%N(T_2)=2\cdot N_0%%.

Verdoppelungszeit und Halbwertszeit bei %%e%%-Funktion

Da in der Praxis häufig Wachstumsprozesse mit der %%e%%-Funktion modelliert werden, werden auch Halbwerts- und Verdoppelungszeit nicht wie oben berechnet, sondern abgestimmt auf die Funktionsgleichungen

%%N(t)=N_0\cdot e^{\lambda\cdot t}%% bei exponentiellem Wachstum und

%%N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda\cdot t}%%bei exponentiellem Zerfall.

Dabei gilt sowohl für die Verdoppelungs- als auch für die Halbwertszeit:

$$T=\frac{\ln(2)}{\lambda}$$

Begründung

Die Begründung erfolgt analog zu denen der Exponentialfunktion mit beliebiger Basis.

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Zu article Halbwerts- und Verdoppelungszeit: .... HÄUFIG bei exponentiellem Zerfall bzw. Wachstum
Renate 2015-12-08 23:25:35
Frage zu dem Satz: "Man betrachtet Halbwerts- und Verdoppelungszeit häufig bei exponentiellem Zerfall bzw. Wachstum. "

Wieso "häufig"? Betrachtet man Halbwerts- bzw. Verdoppelungszeiten nicht NUR bei exponentiellen Prozessen? Zumindest beim linearen Wachstum macht der Begriff doch keinen rechten Sinn.

Gibt es auch nicht-exponentielle Wachstumsvorgänge, die eine (konstante) Verdoppelungszeit haben?
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