Die %%h%%-Methode ist eine andere Interpretation des Differentialquotienten. Anstatt %%x%% gegen %%x_0%% laufen zu lassen, lässt man diesmal die Differenz %%h = x - x_0%% gegen %%0%% laufen:

%%f'\left(x_0\right)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.%%

Damit lässt sich die Ableitung an der Stelle %%x_0%% berechnen.

Beispiel

Gegeben ist %%f(x)=x^2%%.

%%f'\left(x_0\right)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h%%

Zunächst setzt man %%f%% in die Formel ein …

%%=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{\left(x_0+h\right)^2-x_0^2}h%%

… und löst die entstehende binomische Formel auf.

%%=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{x_0^2+2{x_0h}+h^2-x_0^2}h%%

%%=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{2{x_0h}+h^2}h%%

Dann klammert man %%h%% im Zähler aus …

%%=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{h\left(2x_0+h\right)}h%%

… und kürzt %%h%% anschließend.

%%=\lim_{h\to 0}(2x_0+\overbrace{h}^{\to 0})= 2x_0%%

Lässt man jetzt %%h%% gegen 0 laufen, so ergibt sich der Grenzwert.

Also ist die Ableitung von %%f(x)=x^2%% im Punkt %%x_0\in \mathbb R%%: %%f'(x_0)=2x_0%%

Video zur h-Methode

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Zu article h-Methode:
metzgaria 2017-10-24 10:48:28+0200
Hallo!
Hier würde ich mir wünschen, dass im Beispiel noch mehr Verlinkungen eingeführt werden und eventuell noch ein oder zwei weitere Beispielaufgaben eingebunden werden, die die typischen Tricks (leicht verändert) anwenden.
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Zu article h-Methode:
Digamma 2016-11-27 18:23:19+0100
Frage: Wäre es nicht besser, die betrachtete Stelle mit %%x_0%% statt mit %%x%% zu bezeichnen? Dadurch würde der Zusammenhang zur Version mit %%x_0%% und %%x%% klarer. Immerhin wird auch hier im ersten Absatz von %%x_0%% gesprochen.
Hannes 2016-11-27 19:05:28+0100
Hi Digamma,
da hast du Recht! Vielen Dank für deinen Hinweis.
Hast du Lust das zu ändern? Falls nicht, mach ich es morgen. Ich werde auch noch ein Geogebra-Applet zur Veranschaulichung rein packen.
Beste Grüße
Hannes
Digamma 2016-11-27 20:46:34+0100
Habe es geändert. Gruß, Digamma
Hannes 2016-11-29 07:37:52+0100
Vielen Dank!
Hab jetzt noch ein Applet hinzugefügt. Wie findest du es?
Digamma 2016-11-29 19:19:44+0100
Sehr gut. Nur eine Bemerkung: h kann auch negativ sein. Und das ist nicht unwichtig. Man sollte das Applet entsprechend ändern.
Digamma 2016-11-29 19:58:14+0100
PS: Ich habe auch den Text des Artikels entsprechend geändert: Differenz statt Abstand.
Hannes 2016-11-30 07:06:41+0100
ah guter Punkt. Hab ich geändert! Grüße
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