Den Differentialquotient an einer Stelle %%x_0%% erhält man durch Grenzwertbildung des Differenzenquotienten:

$$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x - x_0}.$$

Man betrachtet also jeweils die Steigung der Sekanten zwischen den Punkten %%Q\left(x,f(x)\right)%% und %%P\left(x_0,f(x_0)\right)%%, und lässt %%x%% immer näher an %%x_0%% laufen. Im Grenzwert, falls dieser existiert, beschreibt dies die Steigung der Tangente an der Stelle %%x_0%%. Dieser Wert wird als Ableitung an der Stelle %%x_0%% bezeichnet.

Die Ableitung (oder die Steigung der Tangente) wird auch als momentane Änderungsrate an der Stelle %%x_0%% bezeichnet.

Veranschaulichung durch ein Applet

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Zu article Differentialquotient:
solveig 2018-04-14 15:46:06
Gibt es eine Möglichkeit das Applet zu kopieren um es offline zur Verfügung zu haben?
Nish 2018-04-14 19:37:00
Hallo solveig,

ja, gibt es :) Du findest die meisten, unserer Applets unter https://www.geogebra.org/materials/. Dort gibst du in die Suche am Besten Suchbegriff und Serlo ein und findest so alle vorhandenen Applets des Accounts "Serlo Education". Klickst du dann auf den entsprechenden Applet, kannst du es herunterladen.

Wenn du Probleme haben solltest, es herunterzuladen, scheue dich nicht hier nochmal nachzufragen.
Dieses Applet findest du unter https://www.geogebra.org/m/TJDwcFjn.

LG,
Nish
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Zu article Differentialquotient:
Eva 2017-11-29 21:56:40
Der Grenzwert des Differenzenquotienten an einer Stelle x_0 muss streng genommen immer von rechts und links betrachtet werden. Und wenn die beiden Werte nich gleich sind, dann ist die Funktion an dieser Stelle nicht differenzierbar. Also ist es m.E. sinnvoller, die momentane Änderungsrate für einen Punkt in der Mitte des Intervalls P,Q zu bestimmen. Man kommt ja von beiden Seiten immer näher ran. Dann klappt's auch mit der Darstellung der Nicht-Differenzierbarkeit in einem Punkt im gleichen Applet.
Digamma 2017-12-21 15:25:19
Man muss im Prinzip bei Grenzwerten nicht zwischen "von links" und "von rechts" unterscheiden. Diese Unterscheidung ist nur hilfreich, wenn die einseitigen Grenzwerte existieren, aber unterschiedlich sind und deswegen der Grenzwert an sich nicht existiert. Bei Beispielen, wo die einseitigen Grenzwerte auch nicht existieren, bringt diese Unterscheidung aber in der Regeln nicht viel.
Zur App: Man kann Q auch auf die Seite links von P schieben. P ist der Punkt, an dem die Ableitung gesucht wird, Q ist immer der zweite Punkt für die Sekante, egal ob er links oder rechts von P liegt.
Eva 2018-01-08 18:04:22
Ja: Wenn der Grenzwert existiert, dann heißt das immer, dass er von beiden Seiten gleich ist. Das wird bei Serlo auch im Artikel "Grenzwertbetrachtung" dargelegt. Um jedoch zu überprüfen, ob ein Grenzwert existiert, muss man ja den Grenzwert für beide Seiten bilden. Das Applet und auch die anderen Applets unter "h-Methode" und "Ableitung : Definition : Was bedeutet diese Definition anschaulich?" wählen als Stelle x_0 immer einen Randpunkt des Intervalls und ich meine, dass dies Schüler verleiten könnte, sich bei der Untersuchung auf Differenzierbarkeit auf eine Seite zu beschränken. (Es sei denn, sie haben den Artikel "Differenzierbarkeit : Abschnitt Differenzierbarkeit überprüfen" gelesen. )
Wie wäre es, wenn man im Text ergänzt " lässt x ...von beiden Seiten.... immer näher an x0 laufen".
Bezogen auf die Applets meine ich, dass der Differentialquotient als Grenzwert des Differenzenquotienten an einer Stelle x_0, anschaulicher wird, wenn man eine Stelle im Inneren des Intervalls nimmt und sich dann von beiden Seiten gleichzeitig sich annähern kann.
Digamma 2018-01-09 20:51:43
Was meinst du mit "wählen als Stelle x_0 immer einen Randpunkt des Intervalls "? Welches Intervall? Es liegt in der Defintion des Differentialquotients, dass die eine Ecke des Steigungsdreiecks fest gewählt ist, nämlich als die Stelle, an der die Ableitung bestimmt werden soll. Nur eine Ecke wandert.
Wenn ich dich richtig verstehe, möchtest du beide Endpunkte des Steigungsdreiecks wandern lassen, den einen von links, den andern von rechts gegen die betrachtete Stelle. Verstehe ich dich da richtig? Das wäre aber etwas anderes, als in der Definition des Differentialquotients steht.
Eva 2018-01-11 06:49:55
Ja, da habe ich mich nicht richtig ausgedrückt. Ich meine, dass im Applet 2 Steigungsdreiecke eingezeichnet sein sollten. Die auf Differenzierbarkeit zu untersuchende Stelle liegt dann im Innern des Intervalls und die äußeren Punkte wandern dann auf x_0 zu.
Digamma 2018-01-12 18:19:59
Hallo Eva, das was du vorschlägst, entspricht aber nicht der Definition des Differentialquotienten
$$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x - x_0},$$
sondern wäre
$$\lim_{x1 \to x_0, x_2 \to x_0} \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2 - x_1}.$$
Das ist zumindest von der Definition her etwas anderes.
Eva 2018-01-14 17:53:52
Es tut mir leid, das verstehe ich gar nicht. Diese Definition ist mir nicht geläufig und ich verstehe auch wohl die Zielsetzung des Applets nicht so wirklich.
Vielleicht ist es besser, diese Diskussion in die Erstellung für Applets für das Kapitel "Differenzierbarkeit", Abschnitt "Differenzierbarkeit überprüfen" zu verlegen.
So wie es jetzt ist, ist es ja nicht falsch.
Digamma 2018-01-16 07:22:06
Dann habe ich dich vielleicht missverstanden. Wie ich dich verstanden habe, möchtest du bei der Sekantensteigung beide Kurvenpunkte, den einen von links, den andern von rechts gegen einen Punkt dazwischen laufen lassen. Das würde auf den von mir genannten Grenzwert hinauslaufen, der nicht die Definition der Ableitung ist. Bei der Definition der Ableitung ist ein Punkt (im Applet P) fest, der andere (im Applet Q), kommt beliebig nahe an P heran. Dabei kann Q links oder rechts von P liegen. Beide Fälle sind zulässig und müssen betrachtet werden. Dafür ist das Applet auch geeignet, weil beim Applet der Punkt Q sowohl links als auch rechts von P liegen kann.
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Zu article Differentialquotient:
Rebi 2017-06-08 19:24:05
Der Begriff "momentane Änderungsrate" wird so weit ich gesucht habe nirgends erklärt. Habe ich etwas übersehen oder darf ich bei diesem Artikel einen erklärenden Satz einfügen?
LG Rebi
metzgaria 2017-06-12 07:59:11
Hallo Rebi,
habe jetzt auch nichts gefunden und finde, das sollte durchaus hier rein. Der Begriff wird auch in Aufgaben verwendet, also wäre es schön, wenn der irgendwo zu finden ist. Wäre super, wenn du da einen Satz dazu schreibst.
LG, mellie
Rebi 2017-06-16 10:45:11
Hab ich erledigt. LG Rebi
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