Die Regel von de L'Hospital ist ein Hilfsmittel zum Berechnen von Grenzwerten bei Brüchen %%\frac{f}{g}%% von Funktionen %%f%% und %%g%%, wenn Zähler und Nenner entweder beide gegen 0 oder beide gegen (+ oder -) unendlich gehen. Wenn in einem solchen Fall auch der Grenzwert des Bruches der Ableitungen existiert, so hat dieser denselben Wert wie der ursprüngliche Grenzwert:

$$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}.$$

Voraussetzung

  

Die Regel von L'Hospital kann man anwenden, wenn eine dieser Bedingungen erfüllt ist:

  • %%\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) =0%% und %%\displaystyle \lim_{x \to x_0} g(x) =0%%
  • %%\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) =+\infty%% und %%\displaystyle \lim_{x \to x_0} g(x) =+\infty%%
  • %%\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) =-\infty%% und %%\displaystyle \lim_{x \to x_0} g(x) =-\infty%%
  • %%\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) =+\infty%% und %%\displaystyle \lim_{x \to x_0} g(x) =-\infty%%
  • %%\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) =-\infty%% und %%\displaystyle \lim_{x \to x_0} g(x) = +\infty%%

  

Anwendung

Dieses Verfahren ermöglicht oft die Bestimmung von Grenzwerten, bei denen zunächst keine Aussage möglich ist.

Beispiel

$$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^2}{e^x}$$

Der Grenzwert ist ein Bruch der zwei Funktionen %%f(x) =x^2%% und %%g(x) = e^x%%. Berechnung ergibt $$\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty \text{ und } \lim_{x \to \infty} g(x)= \infty.$$

Dadurch ist zunächst keine Aussage möglich ist, jedoch sind die Voraussetzungen der Regel von L'Hospital erfüllt.

$$f'(x) = 2x$$ $$g'(x) = e^x$$

Zur Anwendung der Regel von L'Hospital benötigt man die Ableitungen der beiden Funktionen.

$$\lim_{x \to \infty} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{e^x}$$

Nach der Regel von L'Hospital wird jetzt der Grenzwert des Bruches der Ableitungen betrachtet. Berechnung ergibt

$$\lim_{x \to \infty} 2x = \infty \text{ und } \lim_{x \to \infty} e^x = \infty.$$

Es ist also weiterhin keine Aussage möglich, aber die Voraussetzungen der Regel von L'Hospital erfüllt.

$$f''(x) = 2$$ $$g''(x) = e^x$$

Man leitet die Funktionen also ein weiteres Mal ab …

$$\lim_{x \to \infty} \frac{f''(x)}{g''(x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{e^x} = 0$$

… und betrachtet den Grenzwert des Bruches der zweiten Ableitungen. Berechnung ergibt den Grenzwert 0, da

$$\lim_{x \to \infty} e^x = \infty.$$

Diesmal lässt sich der Grenzwert bestimmen.

$$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^2}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{f''(x)}{g''(x)} = 0$$

Nach der Regel von L'Hospital entspricht der berechnete Grenzwert dem ursprünglichen.

Weitere Beispielaufgaben
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