Aufgaben

Es ist folgende Funktion gegeben:

$$\style{font-size:14px}{\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\frac{\left(2\mathrm x^2-2\right)\cdot\ln\left(\left(\mathrm x-1\right)^2\right)}{1+\mathrm x}}$$

In den Teilaufgaben findest du alles, was du für diese Funktion berechnen könntest.

Suche dir das heraus, was du üben möchtest.

Bei späteren Teilaufgaben kann auf frühere Ergebnisse zurückgegriffen werden.

Ist dir nicht sofort klar, woher diese Ergebnisse kommen, dann bearbeite zunächst diese früheren Teilaufgaben zur Wissensauffrischung.

Definitionsbereich und Art der Definitionslücken bestimmen.

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich ist der Zahlenbereich, der für die Funktion zulässig ist. Um ihn zu bestimmen gehst du von den reellen Zahlen %%\mathbb{R}%% aus und überprüfst alle Möglichkeiten für Problemstellen, die dann von %%\mathbb{R}%% ausgeschlossen werden.

Wurzelfunktionen

Wert unter der Wurzel darf nicht negativ sein

nicht vorhanden

Logarithmus-Funktion

Wert im Logarithmus muss positiv sein

Logarithmus vorhanden: %%\ln\left(\left(\mathrm x-1\right)^2\right)%%

%%{\begin{array}{cccc}&\left(\mathrm x-1\right)^2&>&0\\\Leftrightarrow&\mathrm x-1&\neq&0\\\Leftrightarrow&\mathrm x&\neq&1\end{array}}%%

Da Quadratische Funktionen nichtnegativ sind, musst du nur ausschließen, dass der Term 0 wird. Das passiert aber nur für %%x = 1%%.

Brüche

Nenner darf nicht 0 sein

Nenner vorhanden: %%1+\mathrm{x}%%


%%\begin{array}{crcl}&1+\mathrm x&=&0\\\Leftrightarrow&\mathrm x&=&-1\end{array}%%

Zum Überprüfen der kritischen Stelle 0 setzt du den Nenner 0.

Diesen Wert nimmt er nur für %%x = -1%% an.

%%\Rightarrow{\mathrm D}_\mathrm f=\mathbb{R}\setminus\left\{-1;\;1\right\}%%

Art der Definitionslücken

Es gibt zwei Arten von Definitionslücken: Behebbare und nicht behebbare.

Behebbare Definitionslücken liegen dann vor, wenn die Funktion an jenen Stellen stetig fortsetzbar sind. Das ist zum Beispiel bei Brüchen der Fall, wenn die Nennernullstelle zugleich eine Zählernullstelle ist.

Definitionslücke %%-1%% ist behebbar

Um das zu überprüfen setzt du die oben bestimmte Nennernullstelle in den Zähler ein:

%%\begin{align} \left(2\left(-1\right)^2-2\right)&\cdot\ln\left(\left(\left(-1\right)-1\right)^2\right)\\ &=0\cdot\ln\left(4\right)=0\end{align} %%

Die Nennernullstelle %%-1%% ist also eine Zählernullstelle und damit eine behebbare Definitionlücke.

Definitionslücke %%1%% ist behebbar

Als nächstes willst du die Art der Definitionslücke von %%1%% herausfinden. Dabei kannst du nicht analog zu oben argumentieren, da in diesem Fall die Lücke durch die Logarithmusfunktion verursacht wird.

Du musst zeigen, dass die Funktion an der Stelle %%1%% entweder stetig fortsetzbar ist oder nicht.

Durch linksseitige und rechtsseitige Grenzwertbildung an der Stelle %%1%% erhältst du ein hinreichendes Kriterium: Falls die Funktion von rechts und von links an die %%1%% angenähert den selben endlichen Wert annehmen, dann ist die Funktion stetig fortsetzbar und damit eine behebbare Definitionslücke.

Du überprüfst:

$$\underset{ x\rightarrow 1+} \lim f(x) = \underset{ x\rightarrow 1+} \lim \frac{\overset{=0}{\left(2\mathrm x^2-2\right)}\cdot\overset{= - \infty}{\ln\left(\left(\mathrm x-1\right)^2\right)}}{\underset{=2}{1+\mathrm x}} \overset{\text{Polynom stärker}}{\underset{\text{als Logarithmus}}{=}} 0$$

Alternativ kannst du auch mit den Regeln von Regeln von L'Hospital argumentieren.

Analog gilt: $$\underset{ x\rightarrow 1-} \lim f(x) = 0$$

Es folgt insgesamt, dass %%1%% ebenfalls eine behebbare Definitionslücke ist.

Funktionsgleichung vereinfachen

Funktionsgleichung vereinfachen

Manchmal lohnt es sich, nachdem du den Definitionsbereich bestimmt hast, dir die Funktion etwas genauer anzusehen. Möglicherweise kann man Ausdrücke ausmultiplizieren oder ausklammern und kürzen und so die Aufgabe vereinfachen. Du überprüfst den obigen Term…

%%\dfrac{\left(2\mathrm x^2-2\right)\cdot\ln\left(\left(\mathrm x-1\right)^2\right)}{1+\mathrm x}%%

…und erkennst, dass man im Zähler 2 ausklammern kann.

%%=\dfrac{2\left(\mathrm x^2-1\right)\cdot\;\ln\left(\left(\mathrm x-1\right)^2\right)}{1+\mathrm x}%%

Nun erkennst du noch, dass in der oberen linken Klammer eine 3. Binomische Formel steht, die du umformen kannst…

%%=\dfrac{2\left(\left(\mathrm x-1\right)\left(\mathrm x+1\right)\right)\cdot\ln\left(\left(\mathrm x-1\right)^2\right)}{1+\mathrm x}%%

…und mit deren Hilfe du schließlich auch noch mit %%(1 + x)%% kürzen kannst.

%%=2\left(\mathrm x-1\right)\cdot\ln\left(\left(\mathrm x-1\right)^2\right)%%

Stellst du noch etwas um, so erhältst du die gleiche Funktion wie oben in einer schöneren Form ohne Brüche.

Grenzwertbetrachtungen

Grenzwerte von Funktionen werden immer an den Rändern des Definitionsbereichs bestimmt. Dazu zählen Grenzen im Unendlichen, Intervallgrenzen und die Definitionslücken, also jeder Punkt, der nicht in einem Intervall des Definitionsbereichs liegt.

Der Definitionsbereich lautet %%D_f=\mathbb{R}\setminus\left\{-1;1\right\}%%

Die Ränder sind also %%-\infty;-1;1;\infty%%

Grenzwert im Unendlichen

%%\displaystyle\begin{array}{l}\lim_{x\rightarrow -\infty} f\left( x\right) &=\lim_{ x\rightarrow-\infty}2 \underbrace{\left( x-1\right)}_{\rightarrow -\infty} \underbrace{\ln\left(\left(x-1\right)^2\right)}_{\rightarrow\infty}=-\infty \end{array}%%

Ein Faktor geht gegen %%-\infty%% , einer gegen %%+\infty%% . Da minus mal plus minus ergibt und %%\infty \cdot \infty=\infty%% , ist der Grenzwert %%-\infty%% .

%%\displaystyle{\lim_{ x\rightarrow\infty} f\left( x\right)=\lim_{ x\rightarrow\infty}2\underbrace{\left( x-1\right)}_{\rightarrow\infty}\underbrace{\ln\left(\left(x-1\right)^2\right)}_{\rightarrow\infty}=\infty}%%

Der Grenzwert ist eindeutig %%\infty%%

Grenzwert an den Definitionslücken

%%\displaystyle\begin{array}{rcl}\lim_{ x\rightarrow-1^-} f\left( x\right)&=&\lim_{ x\rightarrow-1^-}2\left( x-1\right)\ln\left(\left( x-1\right)^2\right)\\&=&2\cdot\left(-2\right)\cdot\ln\left(4\right)\\&=&-4\cdot\ln\left(4\right)=\lim_{ x\rightarrow-1^+} f\left( x\right)\end{array}%%

Hier musst du nur den Wert einsetzen, da die Definitionslücke behoben wurde und damit die kritsche Stelle einen konkreten Wert liefert. Deshalb ist es auch egal, ob man sich der Stelle von links oder rechts nähert.

%%\displaystyle\begin{array}{rcl}\lim_{\mathrm x\rightarrow1^-}\;\mathrm f\left(\mathrm x\right)&=&\lim_{\mathrm x\rightarrow1^-}\;2\underbrace{\left(\mathrm x-1\right)}_{=0}\underbrace{\ln\left(\left(x-1\right)^2\right)}_{\rightarrow-\infty}\end{array}%%

Hier erhältst du Produkt aus 0 und %%\infty%% . Da du nicht weißt, wie das Ergebnis lautet, wendest du die Regel von L'Hospital an mit dem Logarithmus im Zähler und %%\frac{1}{2(x - 1)}%% im Nenner.

%%\displaystyle =\begin{array}{l}\lim_{ x\rightarrow1^-}\frac{\overbrace{\ln\left(\left(x-1\right)^2\right)}^{\rightarrow-\infty}}{\underbrace{\frac{1}{2\left( x-1\right)}}_{\rightarrow-\infty}}\end{array}%%

Du leitest jetzt Zähler und Nenner separat ab.

$$\lim_{ x\rightarrow1^-}\frac{\frac{2\left( x-1\right)}{\left(\mathrm x-1\right)^2}}{-\frac1{2\left(x-1\right)^2}}=\lim_{ x\rightarrow1^-}\frac{-2\left( x-1\right)^2\cdot2\left(x-1\right)}{\left( x-1\right)^2}$$

%%\displaystyle=\lim_{ x\rightarrow1^-}-4\left(x-1\right)=0%%

%%\displaystyle \underset{ \text{L'Hospital}}\Rightarrow \lim_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)=0=\lim_{ x\rightarrow1^+} f\left( x\right)%%

Die Regel von L'Hospital liefert auch hier mit 0 einen konkreten Wert.

Stetige Fortsetzung:

Setze die Funktion %%f%% - wenn möglich -  stetig zu einer Funktion %%\hat f%% fort.

Funktion stetig fortsetzen

Will man eine Funktion stetig fortsetzen, dann muss man die Funktion an allen Unstetigkeitsstellen - und nur dort - neu definieren.

Deswegen erhält man dann eine abschnittsweise definierte Funktion.

Hier hast du:

%%f\left( x\right)=2\left( x-1\right)\cdot\ln\left(\left( x-1\right)^2\right)%%

Diese Funktion hat Definitionslücken bei -1 und 1 und damit dort auch Unstetigkeitsstellen.

Beide sind keine Polstellen, sondern behebbare Definitionslücken, also ist die Funktion stetig fortsetzbar.

Für die kritischen Punkte gilt

%%\displaystyle\begin{array}{ll} \underset{ x\rightarrow-1}\lim f\left( x\right)&=-4\ln\left(4\right)\\ \lim_{ x\rightarrow1} f\left( x\right)&=0 \end{array}%%

Nun definierst du die Funktion neu und setzt an den kritischen Stellen jeweils den Grenzwert ein:

%%\widehat{f}\left( x\right)=\left\{ \begin{array}{lcl}-4\cdot\ln\left(4\right)&\text{für}& x=-1\\ 0&\text{für}& x=1\\ f\left( x\right)&\text{sonst}& \end{array}\right.%%

Die Funktion %%\widehat{f}%% ist jetzt die stetig fortgesetzte Version von %%f%% ohne Lücken.

Asymptoten bestimmen

Es gibt waagerechte, senkrechte und schiefe Asymptoten .

Waagerechte Asymptoten treten auf, wenn ein Grenzwert im Unendlichen einen konkreten Zahlenwert liefert.

Senkrechte Asymptoten treten auf, wenn der Grenzwert an Definitionslücken keinen konkreten Zahlenwert, sondern %%\pm\infty%% liefert.

Schiefe Asymptoten treten manchmal bei Bruchtermen auf.

Waagerechte Asymptoten

Die Grenzwerte im Unendlichen sind %%\infty%% Deshalb gibt es keine waagerechten Asymptoten.

Senkrechte Asymptoten

Die Grenzwerte an den Definitionslücken sind %%-4 ln(4)%% und %%0%%. Deshalb gibt es keine senkrechten Asymptoten.

Schiefe Asymptoten

Schiefe Asymptoten können nur bei gebrochen-rationalen Funktionen vorkommen (also ohne den Logarithmus). Deshalb gibt es keine schiefen Asymptoten.

Nullstellen bestimmen

Nullstellen sind diejenigen Punkte, an denen der y-Wert den Wert 0 annimmt.

Zur Berechnung musst du die Funktion nur gleich 0 setzen.

%%\begin{array}{rrcl}& f\left( x\right)&=&0\\ \Leftrightarrow&2\left( x-1\right)\ln\left(\left( x-1\right)^2\right)&=&0\end{array}%%

Ein Produkt ist 0, wenn einer der Faktoren 0 ist.

%%\begin{array}{ccc}\Leftrightarrow&& x=0\\&\vee& x=1\\&\vee& x=2\end{array}%%

Die ersten beiden Faktoren sind 0 für %%x = 1%%.

Der Logarithmus ist 0, wenn der Ausdruck im Logarithmus 1 ist. Das gilt für %%x = 0%% und %%x = 2%%.

Da aber %%1\notin{\mathbb D}_ f%% , hat die Funktion nur zwei Nullstellen:

%%{\mathrm{Nst}}_1\left(0\vert0\right)%% und %%{\mathrm{Nst}}_2\left(2\vert0\right)%%

Extrempunkte bestimmen

Extremstellen sind die Stellen des Funktionsgraphen, bei denen der Graph nicht steigt oder fällt.

Die Steigung des Funktionsgraphen berechnet man über die Ableitung der Funktion.

Soll die Steigung 0 sein, so musst du die Ableitung gleich 0 setzen. Damit erhälst du die Lage der Extremstellen.

Lage der Extrempunkte

%%f\left( x\right)=2\left( x-1\right)\cdot\ln\left(\left( x-1\right)^2\right)%%

Für die Ableitung dieser Funktion brauchst du die Produktregel und die Kettenregel .

Bei der Kettenregel leitest du die Funktionen von außen nach innen ab, also zuerst den Logarithmus, dann die quadrierte Klammer und zum Schluss das %%x%%, das als Ableitung 1 liefert.

%%\displaystyle f'\left( x\right)=2\cdot\ln\left(\left( x-1\right)^2\right)+2\left( x-1\right)\cdot\frac{2\left( x-1\right)}{\left( x-1\right)^2}%%

Klammerst du beim zweiten Summanden wieder %%x%% aus kürzen sich die %%( x - 1 )%% - Terme komplett weg und du erhältst:

%%=2\cdot\left(\ln\left(\left(\mathrm x-1\right)^2\right)+2\right)%%

Jetzt musst du diesen Ausdruck gleich 0 setzen.

%%\begin{array}{rcll} 2\left(\ln\left(\left( x-1\right)^2\right)+2\right)&=&0&\vert:2\\ \ln\left(\left( x-1\right)^2\right)+2&=&0&\vert-2\\ \ln\left(\left( x-1\right)^2\right)&=&-2&\vert e\\ \left( x-1\right)^2&=& e^{-2}&\vert\sqrt{}\\ x-1&=&\pm\frac1{ e}&\vert+1\\ x&=&1\pm\frac1{ e}&\end{array}%%

Zuerst kannst du den konstanten Faktor eliminieren, denn 0 : 2 = 0.

Dann musst du die Gleichung nach 0 aufgelösen.

Dazu wird die verschachtelte Funktion auf der linken Seite Schritt für Schritt ausgedünnt, bis nur noch %%x%% übrig bleibt.

Beachte, das durch die Wurzel zwei Vorzeichen in die Gleichung kommen und dass %%\sqrt{ e^{-2}}=\sqrt{\frac{1}{ e^2}}=\frac{1}{ e}%% .

Jetzt hast du die Lage (%%x%% - Werte) der Extrempunkte bestimmt. Beide liegen im Definitionsbereich. Für die %%y%%- Werte musst du nun die erhaltenen %%x%% - Werte in die Funktion %%f(x)%% einsetzen.

Koordinaten der Extrempunkte

%%\displaystyle\begin{array}{rcl} f\left(1-\frac1{ e}\right)&=&2\left(1-{\frac1{ e}}-1\right)\cdot\ln\left(\left(1-{\frac1{ e}}-1\right)^2\right)\\&=&-\frac2{ e}\cdot\ln\left(\frac1{ e^2}\right)=-\frac2{ e}\cdot\left(-2\right)\ln\left( e\right)\\&=&\frac4{ e}\end{array}%%

%%\displaystyle\Rightarrow{\mathrm{EP}}_1\left(1-{\frac1{ e}}\left|\frac4{ e}\right)\right.%%

%%\displaystyle\begin{array}{rcl} f\left(1+\frac1{ e}\right)&=&2\left(1+{\frac1{ e}}-1\right)\cdot\ln\left(\left(1+{\frac{1}{e}}-1\right)^2\right)\\ &=&\frac2{ e}\cdot\ln\left(\frac{1}{ e^2}\right)=\frac2{ e}\cdot\left(-2\right)\ln\left( e\right)\\ &=&-\frac{4}{e} \end{array}%%

%%\displaystyle\Rightarrow{\mathrm{EP}}_2\left(1+{\frac1{ e}}\left|-\frac4{ e}\right)\right.%%

Nachdem du die Koordinaten bestimmt hast, fehlt nur noch die Art der Extempunkte.

Diese lässt sich entweder durch das Überprüfen das Monotonieverhaltens im Definitionsbereich oder durch einsetzen der %%x%% - Werte der Extrema in die 2. Ableitung bestimmen.

Für ein Minimum  %%{x}_\min%% gilt:  %%f'\left({x_\min}^-\right) \lt 0\wedge f'\left({x_\min}^+\right)\gt0%% bzw. meistens %%f''\left(x_\min\right) \gt 0%%.

Für ein Maximum  %%{x}_\max%% gilt: %%f'\left({x_\max}^-\right) \gt 0\wedge f'\left({x_\max}^+\right)\lt 0%% bzw. meistens %%f''\left(x_\max\right) \lt 0%%.

Für einen Terrassenpunkt gilt:  %%f'\left({x_\mathrm{TP}}^-\right)\lt0\wedge f'\left({x_\mathrm{TP}}^+\right)\gt0 \vee f'\left({x_\mathrm{TP}}^-\right)\gt 0 \wedge f'\left({x_\mathrm{TP}}^+\right)\lt0%% bzw. meistens %%f''\left(x_\mathrm{TP}\right) = 0 \wedge f'''\left(x_\mathrm{TP}\right) \neq 0%%.

Für eine Erklärung der Zeichen siehe Logikverknüpfungen .

Um unabhängig von einer möglicherweise komplizierten 2. Ableitung zu bleiben überprüfst du hier am Besten das Monotonieverhalten.

Art der Extrempunkte (formal)

%%\begin{array}{l} f'\left({\left(1-\frac{1}{e}\right)}^-\right)\\ = 2\left(\ln\left(\left(1-{\frac{1}{e}}^+ -1\right)^2\right)+2\right)\\ = 2\left(\ln\left({\frac{1}{e^2}}^-\right)+2\right)\\ =2\underbrace{(\underbrace{-2\underbrace{\ln\left( e^-\right)}_{\lt 1}}_{\gt-2}+2)}_{\gt 0} \gt 0 \end{array}%%

Hier ist %%1-\left(\frac{1}{e}\right)^-%% minimal kleiner als %%1-\frac{1}{e}%% .

Diese kleine Abweichung wird die ganze Rechnung mitgezogen.

Beachte, dass die kleine Abweichung je nach Klammersetzung und beim Quadrieren die Richtung ändert!

Diese kleinliche und unanschauliche Vorgehensweise müsste man für jeden Punkt zwei mal durchführen. In der Schule reicht es meistens einfacher:

Da du ausgerechnet hast, dass es nur 2 Extrema gibt, muss der Graph dazwischen entweder die ganze Zeit steigen oder fallen (falls keine Polstelle dazwischen liegt!). Deshalb musst du nicht nicht so nahe an der Extremstelle die Steigung überprüfen - es reicht ein Punkt auf dem Weg zum nächsten Extremum.

Art der Extrempunkte (einfacher)

%%\displaystyle\begin{array}{l} f'\left(0\right)=2\left(\ln\left(\left(-1\right)^2\right)+2\right)=4>0\\ f'\left(1\right)\rightarrow2\left(\ln\left(0^2\right)+2\right)=-\infty \end{array}%%

Da %%0 \lt 1-\frac{1}{e} \lt 1 \lt 1+\frac{1}{e}%% liegen die gewählten Punkte um das erste Extremum herum, aber noch vor dem zweiten Extremum.

Da es keine Polstellen gibt, brauchst du dir um die keine Sorgen zu machen.

%%\displaystyle\Rightarrow\mathrm{HP}\left(1-\frac1{e}\left|\frac4{ e}\right)\right.%%

%%\begin{array}{l} f'\left(1\right)\rightarrow2\left(\ln\left(0^2\right)+2\right)=-\infty \lt 0 \end{array}%%

%%\displaystyle\Rightarrow\mathrm{TP}\left(1+\frac1{ e}\left|-\frac{4}{ e}\right)\right.%%

Monotonieverhalten bestimmen

Eine Funktion kann entweder streng monoton steigen oder fallen.

Das Monotonieverhalten ändert sich an den Minima und Maxima und es kann sich an den Definitionslücken ändern, wenn es Polstellen sind.

In den Intervallen zwischen diesen Punkten ist die Funktion stetig und hat dasselbe Monotonieverhalten.

Man kann alle kritischen Punkte nacheinander abarbeiten.

%%x_\mathrm{Mon}%%

%%-\infty%%

%%-1%%

%%1-\frac{1}{e}%%

%%1%%

%%1+\frac{1}{e}%%

%%\infty%%

%%\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_\mathrm{Mon}}f(x)%%

%%-\infty%%

%%-4\ln(4)%%

%%\frac{4}{e}%%

%%0%%

%%-\frac{4}{e}%%

%%\infty%%

Zwischen diesen Punkten ist die Funktion jeweils streng monoton. Ob die Funktion fällt oder steigt sieht man an den Grenzwerten.

%%x_\mathrm{Mon}%%

%%-\infty%%

%%-1%%

%%1-\frac{1}{e}%%

%%1%%

%%1+\frac{1}{e}%%

%%\infty%%

%%\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_\mathrm{Mon}}f(x)%%

%%-\infty%%

%%-4\ln(4)%%

%%\frac{4}{e}%%

%%0%%

%%-\frac{4}{e}%%

%%\infty%%

%%\nearrow%%

%%\nearrow%%

%%\searrow%%

%%\searrow%%

%%\nearrow%%

steigend

steigend

fallend

fallend

steigend

Diese Beobachtungen kann man noch mit Intervallen angeben.

Die Funktion %%f%% ist…

…monoton steigend für %%\displaystyle x\in \left] -\infty;1-\frac{1}{e}\right[\setminus\left\{-1\right\} \cup\left]1+\frac{1}{e};\infty \right[%%.

monoton fallend für %%\displaystyle x \in \left]1-\frac{1}{e};1+\frac{1}{e}\right[\setminus\left\{1\right\}%%.

Wendepunkte bestimmen

Wendepunkte geben Änderungen der Krümmung des Funktionsgraphen an. Rechtsgekrümmte Graphen verlaufen in einer Rechtskurve, linksgekrümmte Graphen in einer Linkskurve.

Ändert sich dieses Verhalten, dann liegt ein Wendepunkt oder eine Definitionslücke im Kurvenverlauf vor.

Die Krümmung eines Graphen wird durch die 2. Ableitung beschrieben.

Da sich bei einem Wendepunkt die Krümmung ändert ist sie am Punkt selber quasi nicht vorhanden, also 0.

Zur Bestimmung der Lage der Wendepunkte musst du also die 2. Ableitung gleich 0 setzen.

Lage der Wendepunkte

Bisher bekannt sind die Funktion und die 1. Ableitung:

%%\begin{array}{l} f\left( x\right)=2\left( x-1\right)\ln\left(\left( x-1\right)^2\right)\\ f'\left( x\right)=2\left(\ln\left(\left( x-1\right)^2\right)+2\right)\end{array}%%

Für die 2. Ableitung musst du die 1. Ableitung nochmal ableiten.

Diesmal reicht die Anwendung der Kettenregel aus.

%%\displaystyle f''\left( x\right)=2\frac{2\left( x-1\right)}{\left( x-1\right)^2}=\frac{4}{ x-1}%%

Nun musst du noch die 2. Ableitung gleich 0 setzen.

Da der Zähler aber immer von 0 verschieden ist, wird auch die zweite Ableitung nie 0 Deshalb gibt es keine Wendepunkte.

Bemerkung: Das bedeutet nicht, dass sich die Krümmung nicht ändert. Wie du später sehen wirst ändert sich die Krümmung des Graphen nämlich doch einmal. An dieser Stelle ist nur kein Wendepunkt.

Krümmungsverhalten bestimmen

Das Krümmungsverhalten ist eine Eigenschaft der Funktion, die angibt, in welche Richtung sich der Graph bewegt, bzw. welche Kurve er beschreibt.

Das Krümmungsverhalten ändert sich an allen Wendepunkten und es kann sich an allen Definitionslücken ändern.

Diese Punkte musst du nacheinander betrachten. Dabei kannst du ausnutzen, dass das Krümmungsverhalten sich wie das Monotonieverhalten der Ableitung verhält:

%%x_\mathrm{Krümm}%%

%%-\infty%%

%%-1%%

%%1%%

%%\infty%%

%%\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_\mathrm{Krümm}} f'(x)%%

%%\infty%%

%%2\ln(4)+4%%

%%-\infty%%

%%\infty%%

Steigung von %%f'%%

%%\searrow%%

%%\searrow%%

%%\nearrow%%

Krümmung von %%f%%

rechtsgekrümmt

rechtsgekrümmt

linksgekrümmt

Du kannst auch mit der 2. Ableitung arbeiten. Dabei setzt du immer einen beliebigen Punkt zwischen den Intervallgrenzen in die 2. Ableitung ein. Ist das Ergebnis positiv, dann ist der Graph der Funktion in dem Intevall, aus dem der Punkt ist linksgekrümmt.

Ist es negativ, dann ist der Graph der Funktion dort rechtsgekrümmt.

Auch hier kann man wieder die Intervalle angeben.

Die Funktion %%f%% ist

rechtsgekrümmt für %%x \in \left]-\infty;1\right[\setminus \left\{-1\right\}%%.

linksgekrümmt für %%x \in \left]1;\infty\right[%%.

Wertebereich bestimmen

Der Wertebereich oder die Wertemenge einer Funktion ist die Menge aller Zahlenwerte, die die Funktion mindestens einmal annimmt.

Ist die Funktion in einem Intervall stetig, dann ist dort auch der Wertebereich ein Intervall.

Grenzen des Wertebereichs

Die Grenzen des Wertebereichs sind der minimale Wert und der maximale Wert, den die Funktion annimmt.

Diese Werte erhälst du entweder aus den Grenzwerten oder den Extremwerten.

%%\displaystyle\mathrm{HP}\left(1-\frac{1}{ e}\left|\frac4{ e}\right)\right.\Rightarrow{y}_\max=\frac{4}{e}%%

%%\displaystyle\mathrm{TP}\left(1+\frac{1}{e}\left|-\frac{4}{e}\right)\right.\Rightarrow{y}_\min=-\frac{4}{e}%%

Das wären die %%y%%-Werte des Minimums und des Maximums. Das sind aber nicht die kleinst- und größtmöglichen Werte, denn…

%%\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty \Rightarrow y_\mathrm{min}=-\infty%%

%%\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=\infty \Rightarrow y_\mathrm{max}=\infty%%

…der Grenzwert im Unendlichen erlaubt Werte im Unendlichen.

Lücken im Wertebereich

Genauso wie es Definitionslücken gibt, können an diesen Unstetigkeitsstellen auch Lücken im Wertebereich auftreten. Die musst du noch überprüfen, um den Wertebereich angeben zu können.

Bei der Grenzwertbetrachtung wurde berechnet:

%%\displaystyle\lim_{x\rightarrow-1} f\left( x\right)=-4\cdot\ln\left(4\right)%%

Dieser Wert ist vom Wertebereich ausgenommen, wenn er nicht an einer anderen Stelle doch noch angenommen wird. Das musst du noch prüfen.

Da die Funktion von %%-\infty%% kommt und das Maximum bei %%x=1-\frac{1}{e}%% liegt, steigt die Funktion im Bereich um -1.

Im weiteren Funktionsverlauf fällt die Funktion dann nur noch einmal nämlich auf das Minimum %%y=-\frac{4}{e}%% das höher liegt als %%-4\ln(4)%% Also wird dieser Wert nicht mehr angenommen und ist eine Lücke im Wertebereich.

%%\displaystyle\lim_{ x\rightarrow1} f\left( x\right)=0%%

Der Wert 0 wird von der Funktion aber schon noch zweimal angenommen (die beiden Nullstellen) und ist daher keine Lücke im Wertebereich.

%%\Rightarrow \mathbb{W}_\mathrm f=\mathbb{R}\setminus\left\{-4\cdot\ln\left(4\right)\right\}%%

Graph zeichnen

Wenn du den Funktionsgraphen zeichnen sollst, musst du alle Größen einzeichnen, die du zuvor ausgerechnet hast.

Wenn alles richtig ausgerechnet wurde, dann kannst du auch den Graphen sinnvoll zeichnen.

In dieser Zeichnung sind eingetragen:

Definitionslücken

%%A\;\left(-1\left|-4\cdot\ln\left(4\right)\right)\right.,B\;\left(1\left|0\right)\right.%%

Nullstellen

%%{\mathrm{Nst}}_1\left(0\left|0\right)\right., \mathrm{Nst}_2\left(2\left|0\right)\right.%%

Extrema

%%\mathrm{HP}\;\left(1-\frac1{ e}\left|\frac4{ e}\right)\right., \mathrm{TP}\left(1+\frac1{ e}\left|-\frac4{ e}\right)\right.%%

Bemerkungen:

  1. Der nicht vorhandene Wendepunkt würde sich im Punkt %%B%% befinden (Der Graph macht davor eine Rechtskurve und danach eine Linkskurve). Der Punkt %%B%% ist aber eine Definitionslücke.

  2. Am Punkt %%B%% gehört die x-Achse des Koordinatensystems natürlich eigentlich durchgezeichnet. Der weiße Fleck dient zur Verdeutlichung der Definitionslücke.

  3. Auch die Grenzwerte sind hier abzulesen: Richtung %%+\infty%% geht auch der Graph nach %%+\infty%% und Richtung %%-\infty%% gegen %%-\infty%% .

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/9449_jydmEgtGC9.xml

Symmetrieverhalten überprüfen

Es gibt zwei Arten von Symmetrie: Achsensymmetrie und Punktsymmetrie

Für einen zu einer Achse %%x = c%% achsensymmetrischen Graphen gilt  %%f\left( c+ x\right)= f\left( c- x\right)%%

Gewöhnlich überprüft man nur Achsensymmetrie zur y-Achse mit %%x = 0%%, also %%f\left(x\right)= f\left(- x\right)%%

Für einen zum Punkt %%(c | d)%% punktsymmetrischen Graphen gilt  %%d- f\left( c- x\right)= -d+ f\left( c+ x\right)%%

Gewöhnlich überprüft man nur Punktsymmetrie zum Ursprung %%(0 | 0)%%, also %%- f\left( x\right)= f\left(- x\right)%%

Da man nicht alle Punkte und Achsen überprüft werden können, prüft man nur Ursprung und y-Achse.

Dabei beginnt man mit %%f ( - x )%% und vergleicht das Aussehen dieser Funktion mit %%f ( x )%% und  %%- f ( x )%%.

Symmetrie zum Ursprung / zur y-Achse

%%\begin{array}{rcl} f\left(- x\right)&=&2\left(- x-1\right)\cdot\ln\left(\left(- x-1\right)^2\right)\\&=&-2\left(x+1\right)\cdot\ln\left(\left( x+1\right)^2\right)\end{array}%%

aber

%%\begin{array}{rcl} -f\left(x\right)&=&-2\left(x-1\right)\cdot\ln\left(\left( x-1\right)^2\right) \neq f(-x)\\ f(x)&=&2\left(x-1\right)\cdot\ln\left(\left( x-1\right)^2\right)\neq f(-x) \end{array}%%

Deshalb keine Symmetrie zu Ursprung oder y-Achse

Symmetrie zum vermuteten Symmetriezentrum

Soll man aber die Symmetrie zu einem gegebenen Punkt überprüfen oder mit dem Funktionsgraphen das Symmetriezentrum bestimmen, dann kann man auch die allgemeine Formel anwenden müssen.

Mit dem groben Bild des Funktionsgraphen aus der vorigen Aufgabe im Hinterkopf, vermutest du, dass der Graph punktsymmetrisch zum Punkt %%( 1 | 0 )%% sein könnte. Das überprüfst du jetzt.

%%-f\left(1- x\right)=-2\left(1- x-1\right)\cdot\ln\left(\left(1- x-1\right)^2\right)=2 x\cdot\ln\left( x^2\right)%%

und

%%f\left(1+ x\right)=2\left(1+ x-1\right)\cdot\ln\left(\left(1+ x-1\right)^2\right)=2 x\cdot\ln\left( x^2\right)%%

Die beiden Ausdrücke sind identisch, was auf Punktsymmetrie zum Punkt %%( 1 | 0 )%% schließen lässt.

Jetzt sind wir aber noch nicht fertig.

Sehen wir uns den Graphen nochmal an, dann erkennen wir, dass die linke Seite bei x = -1 eine Lücke im Graphen hat, die die rechte Seite nicht hat. Der Graph deckt sich also bei einer Spiegelung nicht immer auf sich selbst. Deshalb keine Symmetrie!

Tangente bestimmen:

Bestimme die Tangente zur Funktion f am allgemeinen Punkt %%(p|f(p))%%.

Die Tangente zum Punkt %%(p|f(p))%% ist eine Gerade, die den Graph %%G_f%% von %%f%% bei %%(p|f(p))%% berührt.

Sie hat also das Aussehen einer Geradengleichung %%y=mx+t%%.

Da die Tangente den Graphen von %%f%% berührt, läuft sie an genau dem einen Berührpunkt quasi parallel zu %%G_f%%, hat also die gleiche Steigung. Damit kannst du etwas anfangen:

%%y=mx+ t%%

Das ist die allgemeine Geradengleichung. Für die Tangentengleichung musst du nun %%m%% und %%t%% bestimmen.

Da, wie oben beschrieben, die Steigung der Tangente am Berührpunkt gleich der Steigung des Funktionsgraphen ist, kannst du die beiden Terme gleichsetzen.

%%m= f'\left( p\right)=2\cdot\left(\ln\left(\left( p-1\right)^2\right)+2\right)%%

Für das fehlende %%t%% benötigst du den Berührpunkt %%(p|f(p))%%.

Für diesen ist die Gleichung nämlich auch erfüllt. Deshalb kannst du den Punkt für %%x%% unf %%y%% einsetzen und kannst die letzte Unbekannte %%t%% bestimmen

%%\begin{array}{cccc} & f\left( p\right)&=& f'\left( p\right) p+ t\\ \Leftrightarrow&2\left( p-1\right)\ln\left(\left( p-1\right)^2\right)&=&2\left(\ln\left(\left( p-1\right)^2\right)+2\right) p+ t\\ \Leftrightarrow&2\left( p-1\right)\ln\left(\left( p-1\right)^2\right)-2\left(\ln\left(\left( p-1\right)^2\right)+2\right) p&=& t\\ \Leftrightarrow&2\cdot\ln\left(\left( p-1\right)^2\right)\cdot\left(\left( p-1\right)- p\right)-4 p&=& t\\ \Leftrightarrow&-2\cdot\ln\left(\left( p-1\right)^2\right)-4 p&=& t \end{array}%%

Als allgemeine Tangentengleichung erhältst du also:

%%y=2\left(\ln\left(\left( p-1\right)^2\right)+2\right)\cdot x-2\cdot\ln\left(\left( p-1\right)^2\right)-4 p%%

Bemerkungen:

  1. Auch wenn diese Gleichung unschön aussieht: Für ein konkretes %%p%% wird die Gleichung kürzer und viel schöner und da du sie allgemein ausgerechnet hast, kann man jeden Punkt %%(p|f(p))%% ohne Bedenken einsetzen.

  2. Auch die Tangenten sind natürlich nur dann definiert, wenn auch die Funktion f definiert ist. Allerdings sehen die Tangenten zur Funktion %%\widehat{f}%% genau gleich aus!

Schnittpunkte zweier Funktiongraphen:
Bestimme die Schnittpunkte des Funktionsrgaphen %%G_f%% von %%f%% mit dem Funktionsgraphen %%Gg%% von der Funktion

%%g:x\mapsto2\left( x-1\right)\cdot\ln\left( x\right), \mathbb{D}_g=\mathbb{R}^+%%.

Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen

Wenn sich zwei Graphen schneiden, dann liefern beide Funktionen an den Schnittpunkten das gleiche Ergebnis. Die Funktionswerte sind an diesen Punkten identisch.

x- Werte bestimmen

Zur Bestimmung der Schnittpunkte reicht es also, die Funktionen gleich zu setzen und nach %%x%% aufzulösen, da man dann die %%x%%-Werte erhält, für die die Funktionen dasselbe Ergebnis liefern.

Du setzt an:

%%\begin{array}{rcl} f\left( x\right)&=& g\left( x\right)\\ 2\left( x-1\right)\ln\left(\left( x-1\right)^2\right)&=&2\left( x-1\right)\ln\left( x\right) \end{array}%%

Auf beide Seiten stehen Produkte mit dem gleichen Faktor %%2(x-1)%%. Falls dieser Faktor nicht 0 ist, darfst du durch ihn dividieren.

Du machst eine Fallunterscheidung:

Fall 1:

%%2\left(\mathrm x-1\right)\neq0:%%

%%\begin{array}{rcll} \ln\left(\left( x-1\right)^2\right)&=&\ln\left( x\right)&\vert e\\ \left( x-1\right)^2&=& x&\\ x^2-2x+1&=& x&\vert- x\\ x^2-3 x+1&=&0&\end{array}%%

Im ersten Fall erhältst du eine quadratische Gleichung, die du nun mit der Mitternachtsformel lösen kannst.

%%\begin{array}{ccc}{ x}_{1;2}&=&\dfrac{- b\pm\sqrt{ b^2-4{ac}}}{2 a}\\ &=&\dfrac{3\pm\sqrt{9-4}}2\end{array}\\ \Rightarrow{ x}_1=\frac12\left(3+\sqrt5\right)\\ \wedge x_2=\frac12\left(3-\sqrt5\right) %%

Mit der Mitternachtsformel erhältst du die %%x%%-Werte von zwei Schnittpunkten.

Nun muss aber noch der 2. Fall betrachtet werden!

Fall 2:

%%2\left(\mathrm x-1\right)=0%%

%%\begin{array}{rrcl}&2\left(\mathrm x-1\right)&=&0&\\\Leftrightarrow&\mathrm x&=&1&\notin\mathbb{D}_ f\end{array}%%

Fall 2 tritt nur ein, wenn %%x=1%% gilt. Da 1 nicht im Definitionsbereich liegt, kann auch dieser Fall nicht eintreten und du bist fertig.

y-Werte bestimmen

Um die Schnittpunkte angeben zu können, muss man sowohl %%x%%- als auch %%y%%- Werte kennen.

Du setzt deshalb die gefundenen %%x%%-Werte noch in eine Funktion ein und erhältst die gesuchten %%y%%-Werte.

Da du Schnittpunkte berechnest, sind die Funktionswerte bei beiden Funktionen gleich - du wählst also am besten die einfachere.

%%\begin{array}{rcl} g\left(\frac{1}{2}\left(3+\sqrt{5}\right)\right)&=&2\left(\frac{1}{2}\left(3+\sqrt{5}\right)-1\right)\ln\left(\frac{1}{2}\left(3+\sqrt5\right)\right)\\ &=&\left(1+\sqrt{5}\right)\ln\left(\frac{1}{2}\left(3+\sqrt{5}\right)\right)\end{array}%%

%%\begin{array}{rcl} g\left(\frac{1}{2}\left(3-\sqrt{5}\right)\right)&=&2\left(\frac{1}{2}\left(3-\sqrt5\right)-1\right)\ln\left(\frac{1}{2}\left(3-\sqrt{5}\right)\right)\\ &=&\left(1-\sqrt{5}\right)\ln\left(\frac{1}{2}\left(3-\sqrt{5}\right)\right)\end{array}%%

Die Ergebnisse sind nicht schön, aber genau und richtig. Du hast also die Schnittpunkte %%S_1%% und %%S_2%% bestimmt:

%%\displaystyle S_1 \left(\frac{1}{2}\left(3+\sqrt{5}\right) \left| \left(1+ \sqrt{5} \right) \ln \left(\frac{1}{2}\left(3+\sqrt{5}\right)\right)\right)\right. \wedge S_2 \left(\frac{1}{2}\left(3-\sqrt{5}\right) \left| \left(1- \sqrt{5} \right) \ln \left(\frac{1}{2}\left(3-\sqrt{5}\right)\right)\right)\right.%%

Stammfunktion finden

Um eine Stammfunktion für %%f%% zu finden muss man die Funktion %%f%% integrieren . Bei komplizierteren Funktionen kann das schwierig werden, aber bei der Integration gibt es Techniken, die es auch erlauben, solche Funktionen zu integrieren, z.B. Substitution und Partielle Integration

%%F\left( x\right)=\int f\left( t\right)\mathrm{d}t%%

Zuerst stellst du die Gleichung für das Integral auf.

%%F(x)%% ist dabei die gesuchte Stammfunktion zu %%f%%.

Dann setzt man die Funktion %%f%% ein.

Es gibt zwei Wege, um das Integral zu lösen.

Version 1: Partielle Integration

%%F\left( x\right)=\int2\left( t-1\right)\cdot\ln\left(\left( t-1\right)^2\right){d}t%%

Hier habst du ein Produkt, das sich nicht ohne Weiteres integrieren lässt. Versuch es mit partieller Integration, wobei

%%u'(x)=2(x-1) \wedge v(x)=\ln\left((x-1)\right)%% .

%%\begin{array}{rcl} F\left( t\right)&=&\int u'\left( t\right) v\left( t\right)\mathrm{d}t\\&=& u\left( x\right) v\left( x\right)-\int u\left( t\right) v'\left( t\right)\mathrm{d}t\\ &=&\left( x-1\right)^2\ln\left(\left( x-1\right)^2\right)-\int\left( t-1\right)^2\frac{2\left( t-1\right)}{\left( t-1\right)^2}{d}t\\&=&… \end{array}%%

Dass  %%(x-1)^2%% eine mögliche Stammfunktion von %%2(x-1)%% ist, kann man durch Ableiten der Stammfunktion überprüfen.

Eigentlich wäre %%\int 2(t-1)\mathrm{d}t=x^2-2x%%, da man aber bei Stammfunktionen Konstanten beliebig addieren kann kommt man auch auf das schönere %%x^2-2x+1=(x-1)^2%% .

Im neuen Integral kürzt sich dann einiges weg…

%%\begin{array}{cl}=\left( x-1\right)^2\ln\left(\left( x-1\right)^2\right)-\int 2\left( t-1\right){d}t\\ =\left( x-1\right)^2\ln\left(\left( x-1\right)^2\right)-\left( x-1\right)^2+ C\\ =\left( x-1\right)^2\cdot\left(\ln\left(\left( x-1\right)^2\right)-1\right)+ C \end{array} %%

mit einer Konstanten %%C%%

…bis auf das bereits bekannte Integral von %%2(x-1)%%.

Nachdem das letzte Integral bestimmt ist, dürfen wir nicht vergessen, eine Konstante C zu addieren, die möglicherweise vorhanden, aber nicht auffällt, weil sie beim Ableiten sofort wegfällt.

%%\Rightarrow F\left( x\right)=\left( x-1\right)^2\cdot\left(\ln\left(\left( x-1\right)^2\right)-1\right)+ C%%

Wird nur verlangt, dass man eine Stammfunktion angeben soll, dann kann man auch %%C=0%% setzen und die Konstante weglassen.

Version 2: Substitution

%%F\left( x\right)=\int2\left( t-1\right)\cdot\ln\left(\left( t-1\right)^2\right)\mathrm{d}t%%

Für eine Substitution benötigst du ein Integral der Form

%%\displaystyle \int g'(t)f(g(t))\mathrm{d}t%% .

Genau das liegt aber vor. Wir wählen

%%f(x)=\ln x%% und %%g(x)=(x-1)^2=z%% .

%%\begin{array}{ccc} F\left( x\right)&=&\int2\left( t-1\right)\cdot\ln\left(\left( t-1\right)^2\right)\mathrm{d}t\\ F\left( z\right)&=&\int\ln\left( z\right)\mathrm{d}z\\ &=& z\left(\ln\left( z\right)-1\right)+ D \end{array}%%

Da du ein unbestimmtes Integral hast, kannst du die Integrationsgrenzen natürlich nicht anpassen.

Die Stammfunktion des Logarithmus solltest du aus der Schule kennen, kurz irgendwo nachschlagen oder aber nochmal mit partieller Integration nachrechnen.

Nun musst du nur noch resubstituieren.

%%z=(x-1)^2%%

%%\Rightarrow F\left( x\right)=\left( x-1\right)^2\left(\ln\left(\left( x-1\right)^2\right)-1\right)+ C%%

Schon bist du fertig. Das zeigt wieder: Wenn du bestimmte Eigenarten von Funktionen siehst, kannst du dir einiges an Arbeit sparen.

Beachte: Die Stammfunktion ist nur auf stetigen Abschnitten der Ausgangsfunktion %%f%% definiert, also nicht auf den Definitionslücken -1 und 1 !

Flächenberechnung:

Bestimme die Größe der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion %%f%%, der x-Achse und den Geraden %%x=-0,5%% und %%x=0,5%%.

Fläche unter dem Graphen berechnen

Zur Berechnung der Fläche unter dem Graphen zwischen zwei bestimmten Stellen muss man die Funktion von der linken Grenze bis zur rechten Grenze integrieren. Dabei darf die Funktion zwischen den Grenzen die x-Achse nicht schneiden, da sich sonst die Flächen unter und über der x-Achse wieder gegenseitig wegheben können.

Wenn die Funktion eine Nullstelle im Integrationsintervall hat muss man zuerst bis zur Nullstelle integrieren und dann von der Nullstelle aus weiter, da man nur positive Flächen betrachtet.

%%\begin{array}{rcl} A&=&\left|\int_{-0,5}^{0,5}\left| f\left( x\right)\right|\operatorname{d} x\right|\\&=&\left|\int_{-0,5}^0 f\left( x\right)\operatorname{d} x+\int_0^{0,5} f\left( x\right)\operatorname{d} x\right|\\ &=&\vert F\left(0\right)- F\left(-0,5\right)+ F\left(0,5\right)- F\left(0\right)\vert\\ &=&\vert-1-0,25\cdot\left(\ln\left(2,25\right)-1\right)+0,25\cdot\left(\ln\left(0,25\right)-1\right)+1\vert\\ &=&\left|0,25\left(\ln\left(0,25\right)-\ln\left(2,25\right)\right)\right|\\ &=&\left|0,25\cdot\ln\left(\frac{0,25}{2,25}\right)\right|\\&=&\left|0,25\cdot\ln\left(\frac19\right)\right|\\ &\approx&0,55\end{array}%%

Die Fläche berechnet sich also als der Betrag des Integrals der positiven Funktion von -0,5 bis 0,5.

Spaltet man das Integral an der Nullstelle 0 auf und verwendet die Stammfunktion, dann braucht man nur die Grenzen einzusetzen und zu vereinfachen.

Je nachdem, wie es verlangt wird, kann man das Ergebnis auch als genauen Wert stehen lassen und muss den Logarithmus nicht mehr ausrechnen.

Flächenberechnung II:

Bestimme die Größe der Fläche die der Graph der stetigen Funktion %%\widehat{f}%% mit dem Graphen der Tangente von %%\widehat{f}%% am Punkt %%\displaystyle \left(1-\frac{1}{e}\left|\frac{4}{e}\right)\right.%% einschliesst.

Hinweis: Runde die Integrationsgrenzen und das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen

Fläche zwischen zwei Graphen

Will man die Fläche zwischen zwei Graphen berechnen, so berechnet man zuerst die Fläche unter den "höheren" Graphen und zieht dann die Fläche unter dem "tieferen" Graphen ab.

Da sich die Lage zueinander bei jedem Schnittpunkt ändert muss man zuerst die Schnittpunkte der beiden Graphen kennen:

Schnittpunkte der Graphen

Du kannst hier entweder die Tangentengleichung am Punkt %%\displaystyle\left(1-\frac{1}{e}\left|\frac{4}{e}\right)\right.%% aufstellen und damit arbeiten oder du erinnerst dich, dass %%\displaystyle\left(1-\frac{1}{e}\left|\frac{4}{e}\right)\right.%% der Hochpunkt von %%f%% war.

Deshalb hat die Tangente %%t_\mathrm{HP}%% an diesem Punkt die Steigung 0 und lautet:

%%t_\mathrm{HP}: y=\frac{4}{e}%%

Mit diesem Wissen hast du auch schon den ersten Schnittpunkt gefunden Es ist der Hochpunkt

%%\mathrm{HP}\left(1-\frac{1}{e}\left|\frac{4}{e}\right)\right.%%

Für die anderen Schnittpunkte musst du nun beide Funktionen gleichsetzen:

%%\widehat{ f}\left( x\right)=\frac{4}{e}\\ \text{Sei} x\neq-1;1\\ 2\left(x-1\right)\ln\left(\left( x-1\right)^2\right)=\frac{4}{e}%%

Da diese Gleichung nicht exakt lösbar ist, hilft das Newton'sche Näherungsverfahren bei der Funktion

%%\widetilde{f}\left(x\right)=2\left(x-1\right)\ln\left(\left(x-1\right)^2\right)-\frac{4}{e}%%

Überprüfst du den Funktionsgraphen, dann stellst du fest, dass es nur einen zweiten Schnittpunkt gibt. Dieser liegt zwischen den Werten 2 und 3. Wir wählen %%x_0=3%% .

%%\displaystyle\begin{array}{ccl}{x}_1&=&{x}_0-\frac{\widetilde{f}\left({x}_0\right)}{\widetilde{f'}\left({x}_0\right)}\\ &=&3-\frac{4\ln\left(4\right)-\frac4{e}}{2\left(\ln\left(4\right)+2\right)}\approx2,40 \end{array}%%

Der erste Newtonschritt liefert als neuen Ausgangswert ungefähr 2,40.

Der Wert liegt links von 3 auf der Seite der Nullstelle von %%\widetilde{f}%%, die ja der Schnittpunkt ist.

Weitere Newtonschritte liefern

%%\displaystyle\begin{array}{l}{x}_2={x}_1-\frac{\widetilde{f}\left({x}_1\right)}{\widetilde{f'}\left({x}_1\right)}=2,32\\ {x}_3={x}_2-\frac{\widetilde{f}\left({x}_2\right)}{\widetilde{f'}\left({x}_2\right)}=2,32 \end{array}%%

Das Newtonverfahren konvergiert also sehr schnell gegen einen Wert.

Überprüfst du diesen Wert durch Einsetzen in %%f%%, erhälst du %%f(2,32)\approx1,47\approx\dfrac{4}{e}%%. Das Ergebnis stimmt also im Rahmen der Rechenungenauigkeit.

Das Integral zur Flächenbestimmung geht also von %%1-\dfrac{1}{e}%% bis %%2,32%% .

Flächenberechnung

Die Fläche zwischen zwei Graphen berechnet sich über die Differenz der Flächen unter den einzelnen Integralen.

%%\displaystyle\begin{array}{ccc} A&=&\int_{1-\frac1{ e}}^{2,32}{t}_{HP}\left(x\right)\mathrm{d}x-\int_{1-\frac1{e}}^{2,32}\widehat{f}\left(x\right)\operatorname{d}x\\ &=&\int_{1-\frac1{e}}^{2,32}\frac{4}{e}\mathrm{d}x-\int_{1-\frac1{ e}}^{2,32}2\left(\mathrm x-1\right)\ln\left(\left(\mathrm x-1\right)^2\right)\operatorname{d}x\\ &=&\left[\frac4{e}x\right]_{1-\frac1{e}}^{2,32}-F\left(2,32\right)+F\left(1-\textstyle\frac1{e}\right)\\ &\approx&3,41-0,93+0,77-0,41\\ &\approx&2,8\end{array}%%

Man kann hier auf die Stammfunktion von %%f%% zurückgreifen, die dieselbe ist, wie die von %%\widehat{f}%%, aber überall definiert ist.

Integriert man die Konstante und setzt man die Grenzen ein, so erhält man einen ungefähren Wert für die gesuchte Fläche.

Geometrie am Funktionsgraphen:

Berechne den Umfang und den Flächeninhalt des Vierecks %%\mathrm{Nst}_1\mathrm{TP}\mathrm{Nst}_2\mathrm{HP}%%

Runde Zwischenergebnisse notfalls auf zwei Nachkommastellen.

Das ist keine typische Analysisaufgabe, sondern eher ein kurzer Abstecher in die Geometrie. Willst du nur Analysis üben, dann kannst du diese Aufgabe gerne ignorieren.

Geometrie am Funktionsgraphen

Was wir wissen

Die vier gegebenen Punkte sind die Nullstellen und die Extrema. Ihre Koordinaten lauten

%%{\mathrm{Nst}}_1\;\left(0\left|0\right)\right.,\mathrm{TP}\left(1+\frac{1}{ e}\left|-\frac{4}{e}\right)\right.,\mathrm{Nst}_2\left(2\left|;0\right)\right.,\mathrm{HP}\left(1-\frac{1}{e}\left|\frac{4}{e}\right)\right.%%.

Zusätzlich sind die Achsen des Koordinatensystems zueinander senkrecht, was die Bestimmung der Seitenlängen des Vierecks mittels Pythagoras ermöglicht.

Umfang

Bestimme die Längen der Seiten über Pythagoras:

%%\overline{{\mathrm{Nst}}_1\mathrm{TP}}=\sqrt{\left(1+\frac1{e}\right)^2+\left(-\frac4{e}\right)^2}\approx2%%

%%\overline{{\mathrm{TPNst}}_2}=\sqrt{\left(2-\left(1+\frac1{\mathrm e}\right)\right)^2+\left(-\frac4{\mathrm e}\right)^2}\approx1,6%%

%%\overline{{\mathrm{Nst}}_2\mathrm{HP}}=\sqrt{\left(2-\left(1-\frac1{\mathrm e}\right)\right)^2+\left(\frac4{\mathrm e}\right)^2}\approx2%%

%%\overline{{\mathrm{HPNst}}_1}=\sqrt{\left(1-\frac1{\mathrm e}\right)^2+\left(\frac4{\mathrm e}\right)^2}\approx1,6%%

Du stellst fest, dass jeweils zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang sind. Das Vierecks ist also schlimmstenfalls ein Parallelogramm.

Der Umfang lässt sich aber jetzt schon berechnen:

%%U_\mathrm{Viereck}\approx2+1,6+2+1,6=7,2%%

Flächeninhalt

Um den Flächeninhalt eines Parallelogramms zu berechnen brauchen wir noch eine Größe, z.B. die Höhe.

Die Höhe zu bestimmen ist aber viel zu umständlich. Für die Flächenberechnung gibt es einfachere Wege:

Methode 1: Analytische Geometrie in der Ebene

Versuche einen Weg über die analytische Geometrie. Für die Fläche eines Paralellogramms gilt im %%\mathbb{R}^2%%:

%%A_▱=\left|\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}};\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)\right|%%

mit den aufspannenden Vektoren %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%% und %%\overrightarrow{\mathrm{AD}}%% .

In unserem Fall haben wir die Vektoren

%%\displaystyle\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{{\mathrm{Nst}}_1\mathrm{TP}}= \begin{pmatrix} 1+\frac{1}{e}\\ -\frac{4}{e}\end{pmatrix},\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{{\mathrm{Nst}}_1\mathrm{HP}}=\begin{pmatrix}1-\frac{1}{e}\\ \frac{4}{e} \end{pmatrix}%%

%%\displaystyle\begin{array}{ccl} A_\mathrm{Viereck}&=&\left|\det\left(\vec{\mathrm{AB}};\vec{\mathrm{AD}}\right)\right|\\ &=&\left|\det\begin{pmatrix}1+\frac1{\mathrm e} &1-\frac4{e}\\ -\frac4{\mathrm e}&\frac4{\mathrm e}\end{pmatrix}\right|\\ &=&\left|\begin{pmatrix}\left(1+\frac1{\mathrm e}\right)\left(\frac4{\mathrm e}\right)-\left(1-\frac1{\mathrm e}\right)\left(-\frac4{\mathrm e}\right)\end{pmatrix}\right|\\&=&\begin{vmatrix}\frac8{\mathrm e}\end{vmatrix}\\ &=&\frac8{\mathrm e}\end{array}%%

Somit hast du die Fläche des Vierecks berechnet.

Methode 2: Aufspalten in Dreiecke

Siehst du dir den Funktionsgraphen an, kannst du erkennen, dass das gesuchte Viereck durch die x-Achse in zwei Dreiecke aufgeteilt wird. Für die Dreiecksflächen brauchst du nur Grundseite und Höhe. Beides ist durch die Koordinaten gegeben.

Dreieck %%\mathrm{Nst}_1\mathrm{Nst}_2\mathrm{HP}%%:

Grundseite: Subtrahiere die x-Koordinaten der Nullstellen:

%%{g}_1=2-0=2%%

Höhe: Der Betrag der y-Koordinate des Hochpunktes:

%%{h}_1=\dfrac{4}{e}%%

Dreieck %%\mathrm{Nst}_1\mathrm{TP}\mathrm{Nst}_2%%:

Grundseite: Subtrahiere die x-Koordinaten der Nullstellen:

%%g_2=2-0=2%%

Höhe: Der Betrag der y-Koordinate des Tiefpunktes:

%%h_2=\frac{4}{e}%%

Fläche des Vierecks %%\mathrm{Nst}_1\mathrm{TPNst}_2\mathrm{HP}%%:

%%\displaystyle A_▱=\frac{1}{2}g _1 h_1+\frac{1}{2}g_2 h_2=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot\frac{4}{e}+\frac{1}{2}\cdot2\cdot\frac{4}{e}=\frac{8}{e}%%

Auch hier ergibt sich - sogar sehr schnell - die Vierecksfläche.

Es ist folgende Funktionenschar gegeben:

%%f_k\left(x\right)= e^{-\sqrt{kx}}, k\in\mathbb{R}%%

In den Teilaufgaben findest du vieles, das du für diese Funktion berechnen kannst.

Suche dir heraus, was du üben möchtest.

Die Teilaufgaben sind in einer logischen Reihenfolge angeordnet, daher wird in späteren Aufgaben auf Ergebnisse von früher zurückgegriffen.

Wenn dir nicht klar ist, woher diese Ergebnisse kommen, dann rechne am besten die zugehörige Teilaufgabe davor nach.

Definitionsbereich bestimmen

Hier darf der Wert unter Wurzel nicht negativ werden:

%%\sqrt{kx}\text{ist nicht definiert}\\ \begin{array}{ccccc} \Leftrightarrow & kx&\lt&0\\ \Leftrightarrow & x&\lt&0 &\mathrm{und} &k \gt 0\\ \mathrm{oder}& x&\gt&0&\mathrm{und}& k \lt 0& \end{array}%%

Hier musst du für den Definitionsbereich eine Fallunterscheidung machen:

Fall 1: %%k \lt 0 \Rightarrow \mathbb{D}_f=\left]-\infty;0\right]%%

Die positiven Werte von x sind ausgeschlossen.

Fall 2: %%k>0\Rightarrow \mathbb {D}_f=\left[0;\infty\right[%%

Die negativen Werte sind ausgeschlossen.

Fall 1: %%k=0\Rightarrow \mathbb{D}_f=\mathbb{R}%%

Die Wurzel ist für alle x gleich 0.

Grenzwertbetrachtungen:
Bestimme die Grenzwerte an allen Grenzen des Definitionsbereichs.

Da es einen Parameter gibt, ist eine Fallunterscheidung nötig.

Fall 1: %%k < 0%%

%%\mathbb{D}_ f=\left]-\infty;0\right]%%

%%\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} e^{-\overbrace{\sqrt{kx}}^{\rightarrow0}}=1%%

%%\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}\underbrace{e^{\overbrace{-\overbrace{\sqrt{kx}}^\infty}^{-\infty}}}_0=0%%

Fall 2: %%k > 0%%

%%\mathbb{D}_f=\left[0;\infty\right[%%

%%\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}e^{-\overbrace{\sqrt{kx}}^0}=1%%

%%\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}\underbrace{e^\overset{-\infty}{\overbrace{-\overbrace{\sqrt{kx}}^\infty}}}_0=0%%

Fall 3: %%k = 0%%

%%\mathbb{D}_f=\left(-\infty;\infty\right)%%

%%\displaystyle \lim_{\mathrm x\rightarrow-\infty}\mathrm e^{-\sqrt{\mathrm{kx}}}=\lim_{\mathrm x\rightarrow-\infty}\mathrm e^{-0}=1%%

%%\displaystyle \lim_{\mathrm x\rightarrow\infty}\mathrm e^{-\sqrt{\mathrm{kx}}}=1%%

Asymptoten bestimmen

Waagerechte Asymptoten

Fall 1: %%k < 0%%

%%\displaystyle\lim_{ x\rightarrow-\infty}{ f}_ k\left( x\right)=0%%

Eine waagerechte Asymptote bei 0.

Fall 1: %%k > 0%%

%%\displaystyle\lim_{ x\rightarrow\infty}{ f}_ k\left( x\right)=0%%

Eine waagerechte Asymptote bei 0.

Fall 1: %%k = 0%%

%%\displaystyle\begin{array}{l}\lim_{ x\rightarrow-\infty}{ f}_0\left( x\right)=1\\\lim_{ x\rightarrow\infty}{ f}_0\left( x\right)=1\end{array}%%

Eine waagerechte Asymptote bei 1.

Senkrechte Asymptoten

Senkrechte Asymptoten gibt es an den Stellen der Definitionslücken. Solche gibt es hier nicht.

Symmetrieverhalten überprüfen

Fälle 1 und 2: %%k \neq 0%%

Die Funktion ist hier nur auf der Hälfte der x-Achse definiert. Deshalb keine Symmetrie zur y-Achse oder zum Urpsrung.

Fall 3: %%k = 0%%

%%f_0\left( x\right)= e^{-0}=1={ f}_0\left(- x\right)%%

Achsensymmetrie zur y-Achse.

Bemerkung: Für %%k = 0%% gilt auch Punktsymmetrie zum Punkt %%( 0 | 1 )%%, aber das nur zur Information

Monotonieverhalten bestimmen

1. Ableitung

%%\displaystyle\begin{array}{ll} {f_ k}'\left( x\right)= e^{-\sqrt{kx}}\cdot\frac{-1}{2\sqrt{kx}}\cdot k &\forall k\neq0\end{array}%%

-- Nötig ist die Kettenregel .

Für %%k = 0%% gilt:

%%f_0\left( x\right)=1\Rightarrow{ f_0}'\left( x\right)=0%%

%%f%% ist konstant, also ist %%f'%% gleich null.

Monotonieverhalten

Fall 1: %%k < 0%%

%%\displaystyle {f_k}'\left( x\right)=\underbrace{e^{-\sqrt{kx}}}_{>0}\cdot\underbrace{\frac{-1}{2\underbrace{\sqrt{kx}}_{>0}}}_{<0}\cdot \underbrace{k}_{<0}>0%%

-- Für %%k < 0%% ist %%f_k%% streng monoton wachsend.

Fall 2: %%k > 0%%

%%\displaystyle{f_ k}'\left( x\right)=-\frac{1}{2}\underbrace{ e^{-\sqrt{kx}}}_{>0}\cdot\underbrace{\frac{k}{\sqrt{kx}}}_{>0}<0%%

-- Für %%k > 0%% ist %%f_k%% streng monoton fallend.

Fall 3: %%k = 0%%

%%{f_0}'\left(x\right)=0%%

Für %%k = 0%% ist %%f_k%% sowohl monoton fallend, als auch wachsend.

Krümmungsverhalten bestimmen

2. Ableitung

%%\displaystyle {f_ k}'\left( x\right)=\left\{ \begin{array}{lcc}-\frac{1}{2} e^{-\sqrt{kx}}\cdot\frac{k}{\sqrt{kx}}&\text{für}& k\neq0\\ 0&\text{für}& k=0 \end{array}\right. %%

Hier ist für die 2. Ableitung die Quotientenregel und die Kettenregel nötig.

Für %%k \neq 0%% gilt:

%%\displaystyle \begin{align} {f_k}''(x)&=-\frac{k}{2} \cdot \frac{\sqrt{kx} \cdot e^{-\sqrt{kx}} \cdot \dfrac{-k}{2\sqrt{kx}} - e^{-\sqrt{kx}} \cdot \dfrac{k}{2\sqrt{kx}}}{kx}\\ &=-\frac{k}{2} \cdot \frac{e^{-\sqrt{kx}} \cdot \left( \dfrac{-k}{2} - \dfrac{k}{2\sqrt{kx}} \right)}{kx}\\ &=\frac{k \cdot e^{-\sqrt{kx}} \cdot \left(1+\dfrac{1}{\sqrt{kx}} \right) }{4x} \end{align} %%

Krümmungsverhalten

Fall 1: %%k < 0%%

%%\displaystyle {f_k}''\left( x\right)=\frac{\overbrace{k}^{<0} \cdot \overbrace{e^{-\sqrt{kx}} \cdot \left(1+\dfrac{1}{\sqrt{kx}}\right)}^{>0}}{\underbrace{4x}_{<0}}>0 %%

Für %%k < 0%% ist %%f_k%% linksgekrümmt.

Fall 2: %%k > 0%%

%%\displaystyle {f_k}''\left( x\right)=\frac{\overbrace{k}^{>0} \cdot \overbrace{e^{-\sqrt{kx}} \cdot \left(1+\dfrac{1}{\sqrt{kx}}\right)}^{>0}}{\underbrace{4x}_{>0}}>0 %%

Für %%k > 0%% ist %%f_k%%linksgekrümmt.

Fall 3: %%k = 0%%

%%{f_0}'\left( x\right)=0\Rightarrow{f_0}''\left( x\right)=0%%

Für %%k = 0%% ist %%f_k%% nicht gekrümmt.

Extremwerte bestimmen

Nullstellen der ersten Ableitung

%%\begin{array}{ll} {f_k}'\left( x\right)=0&\text{ für } k=0 \end{array}%%

Die erste Ableitung ist für alle %%k \neq 0%% ungleich 0.

Für %%k=0%% aber ist die Ableitung konstant.

Deshalb gibt es keine lokalen Extrema.

Funktionswerte an den Grenzen des Definitionsbereichs

%%\displaystyle {f_k}\left(0\right)= e^{-\sqrt{0}}=1=\max\left\{{f}_k\left( x\right)\right\}%%

An eingeschlossenen Definitionsgrenzen kann eine Funktion auch ein lokales Maximum oder Minimum annehmen. Das ist hier der Fall. Deshalb gibt es einen Hochpunkt, obwohl der Funktionsgraph streng monoton steigt/fällt.

%%\Rightarrow%% HP %%(0|1)%% für %%k\neq 0%%

kein Extremum für %%k=0%%

Wertebereich bestimmen

Was du weißt:

%%\max\{f_k(x)\}=1%% %%\displaystyle \begin{array}{ll} \lim_{x \rightarrow \infty} f_k(x)=0 & \text {für } k >0\\ \lim_{x \rightarrow -\infty} f_k(x)=0 & \text {für } k <0 \end{array}%% %%f_0 (x)=1%%

keine Nullstellen

Aus den Informationen kannst du ablesen, das sich die Funktion zwischen 0 und 1 bewegt. Die 1 wird angenommen, die 0 nicht.

%%\begin{array}{lll}\Rightarrow &\mathbb{W}_ f=\left\{ \begin{array}{lc}\left(0;1\right]&\text{für} &k\neq0\\ \left\{1\right\}&\text{für} &k=0 \end{array}\right. \end{array}%%

Bemerkung: Die Menge %%\{1\}%% enthält als einzigen Punkt die 1; sie ist kein Intervall. Aber konstante Funktionen nehmen eben nur einen %%y%%-Wert an.

Tangente bestimmen:

Bestimme die Tangente an den Funktionsgraphen von %%f_k(x)%%, die  für %%k < 0%% auch durch den Punkt %%P_1(-1|0)%% geht und für %%k > 0%% durch den Punkt %%P_2(1|0)%%.

1. Tangente: %%k < 0%%

%%{T}_1: x\mapsto{ m}_1 x+{ t}_1%%

Den gegebenen Punkt %%P_1%% kannst du einsetzen.

%%0=-m_1+t_1%%

Außerdem gilt für den Berührpunkt %%\left(x_0|f_k(x_0)\right)%% an der Funktion:

%%{f}_ k\left({x}_0\right)={f_k}'\left({x}_0\right){x}_0+{t}_1%%

Löse dann nach dem Einsetzen nach %%x_0%% auf, um den Berührpunkt zu erhalten.

%%\displaystyle \begin{array}{rcll} e^{-\sqrt{kx_0}} &= &\frac{-k \cdot e^{-\sqrt{kx_0}}}{2\sqrt{kx_0}} \cdot x_0+t_1\\ e^{-\sqrt{kx_0}} &= &\frac{-k \cdot e^{-\sqrt{kx_0}}}{2\sqrt{kx_0}} \cdot x_0+\frac{-k \cdot e^{-\sqrt{kx_0}}}{2\sqrt{kx_0}} &\left|:\left(\frac{-k \cdot e^{-\sqrt{kx_0}}}{2\sqrt{kx_0}}\right)\right.\\ \frac{2\sqrt{kx_0}}{-k} &= &x_0+1 &|^2 \\ \frac{4kx_0}{k^2} &= &x_0^2+2x_0+1 &| \cdot k^2\\ &&&|-4kx_0\\ 0 &= &k^2x_0^2+\left(2k^2-4k\right)x_0+k^2 & \end{array}%%

%%\displaystyle \begin{array}{rcl} x_{0_{1;2}}&=&\frac{-\left(2 k^2-4 k\right)\pm\sqrt{\left(2 k^2-4 k\right)^2-4 k^4}}{2 k^2}\\ &=&\frac{4\mathrm k-2\mathrm k^2\pm\sqrt{4 k^4-16 k^3+16 k^2-4 k^4}}{2 k^2}\\ &=&\frac{4 k-2 k^2\pm4 k\sqrt{-\mathrm k+1}}{2 k^2}\\ &=&\frac1{ k}\left(2- k\pm2\sqrt{1- k}\right) \end{array}%%

Betrachte jetzt die Klammer.

Die Funktion ist streng monoton wachsend: Es kann nur einen Berührpunkt geben.

Der liegt auch näher an der 0 als die Nullstelle der Tangente, weil auch die Tangente streng monoton wächst.

Du nimmst also das Minuszeichen, um weiterzurechnen.

%%x_0=\frac{1}{k}\left(2- k-2\sqrt{1- k}\right)%%

Für dieses %%x_0%% erhältst du nun die Steigung und mit der obigen Gleichung den y-Achsenabschnitt.

%%\displaystyle {f_ k}'\left({x}_0\right)=\frac{- k\cdot e^{-\sqrt{2- k-2\sqrt{1- k}}}}{2\sqrt{2- k-2\sqrt{1- k}}}=m_1={ t}_1%%

Du erhältst als Tangentengleichung

%%\displaystyle \Rightarrow y=\frac{- k\cdot e^{-\sqrt{2- k-2\sqrt{1- k}}}}{2\sqrt{2- k-2\sqrt{1- k}}} x-\frac{ k\cdot e^{-\sqrt{2- k-2\sqrt{1- k}}}}{2\sqrt{2- k-2\sqrt{1- k}}}%%

2. Tangente: k > 0

Hier kannst du die Tangente auch wieder normal ausrechnen.

Es fällt jetzt aber leichter, da du nur dieselben Schritte erneut ausführen musst und sich dabei nur Vorzeichen umdrehen, da jetzt mit %%P_2%% eingesetzt %%t_2=-m_2%% gilt.

Du erhältst schließlich %%T_2:%%

%%\displaystyle \Rightarrow y=\frac{- k\cdot e^{-\sqrt{2+ k-2\sqrt{1+ k}}}}{2\sqrt{2+ k-2\sqrt{1+ k}}} x+\frac{ k\cdot e^{-\sqrt{2+ k-2\sqrt{1+ k}}}}{2\sqrt{2+ k-2\sqrt{1+ k}}}%%

Stammfunktion I:

Zeige, dass

%%\displaystyle {F}_ k\left( x\right)=-\frac{2\cdot e^{-\sqrt{kx}}\left(\sqrt{kx}+1\right)}{\mathrm k}%%

eine Stammfunktion von %%f_k(x)%% für %%k\neq 0%% ist.

Um eine Stammfunktion zu finden, musst du eigentlich integrieren.

Hast du aber eine Funktion gegeben von der du nur zeigen musst, dass sie eine Stammfunktion ist, dann reicht es diese Funktion abzuleiten. Siehe dazu den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung .

%%\displaystyle \begin{array}{ccc} {F}_ k\left( x\right)&=&-\frac{2\cdot\mathrm e^{-\sqrt{kx}}\left(\sqrt{\mathrm{kx}}+1\right)}{ k}\\ {F_k}'\left( x\right)&=&-\frac2{ k}\cdot\left[ e^{-\sqrt{kx}}\left(\sqrt{kx}+1\right)\cdot{\frac{k}{-2\sqrt{kx}}}+ e^{-\sqrt{kx}}\left({\frac{ k}{2\sqrt{kx}}}\right)\right] \end{array}%%

%%\begin{array}{ccl} {F_k}'\left(x\right)&=&-\frac2{ k}\cdot e^{-\sqrt{kx}}\left(\frac{ k\left(\sqrt{kx}+1\right)}{-2\sqrt{kx}}+\frac{ k}{2\sqrt{kx}}\right)\\ &=& e^{-\sqrt{kx}}\left(\frac{\left(\sqrt{kx}+1\right)}{\sqrt{kx}}-\frac1{\sqrt{kx}}\right)\\ &=& e^{-\sqrt{kx}}\left(\frac{\sqrt{kx}}{\sqrt{kx}}\right)\\ &=& e^{-\sqrt{kx}}\end{array}%%

Mit Hilfe der Produktregel und ein bisschen umformen erhältst du die Lösung:

Die Ableitung ist die Funktion %%f%% und damit ist %%F%% auch eine Stammfunktion.

Stammfunktion II:

Bestimme durch Rechnung die Stammfunktion von %%f_k%% .

 

Achtung, diese Integration ist etwas schwieriger und erfordert mehr Überlegungen und Rechenschritte, als in der Schule normalerweise verlangt werden. Wer allerdings ein paar Tricks beim Integrieren ausprobieren/lernen will kann die Aufgabe gerne bearbeiten oder sich die Lösung anschauen.

Für alle Anderen reicht es, die Aufgabe "Stammfunktion I" zu bearbeiten, die normalem Schulniveau entspricht.

Es gilt, das Integral %%\int e^{-\sqrt{kx}}\mathrm{d}x%% zu bestimmen. Dafür sind einige Schritte nötig.

Du substituierst:

%%\begin{array}{ll} u=-\sqrt{kx}\\ \Rightarrow\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{- k}{2\sqrt{\mathrm{kx}}}=\frac{k}{2u}\\\Rightarrow\mathrm{d}x=\frac{2u}{k}\mathrm{d}u&\text{ für }k\neq0\\ \end{array}%%

Du nutzt hier aus, dass sich die Wurzel beim Ableiten reproduziert, also als Funktion wieder auftaucht.

Der Ausdruck %%\frac{du}{dx}%% beschreibt die Ableitung von %%u%% nach %%x%%.

Ersetze die Ausdrücke im Integral.

%%\displaystyle {F}_ k\left( u\right)=\int e^ u\frac2{ k} u\;\mathrm{d}u%%

Das sieht schon schöner aus. Jetzt kannst du integrieren.

Du integrierst partiell mit:    %%\begin{array}{l} v\left( u\right)= e^u, v'\left( u\right)= e^ u\\ w\left( u\right)= u, w'\left( u\right)=1 \end{array}%%

%%\displaystyle \begin{array}{l} \int e^ u\frac2{ k} u\mathrm{d}u=\frac2{ k}\int e^ u u\mathrm{d}u=\\ =\frac{2}{ k}\left( e^ u u-\int e^ u\mathrm{d}u\right)=\frac{2}{k}\left( e^ u u- e^ u\right)\\ =\frac{2 e^ u\left( u-1\right)}{ k} \end{array}%%

Jetzt ist das Integralzeichen weg. Du bist fast am Ziel.

Nun musst du nur noch resubstituieren…

%%\displaystyle \frac{2 e^ u\left( u-1\right)}{ k}=\frac{2 e^{-\sqrt{kx}}\left(-\sqrt{kx}-1\right)}{ k}=-\frac{2 e^{-\sqrt{kx}}\left(\sqrt{kx}+1\right)}{ k}%%

…und bist fertig.

%%\displaystyle \Rightarrow{F}_k\left( x\right)=-\frac{2 e^{-\sqrt{kx}}\left(\sqrt{kx}+1\right)}{k}+ C%%

Flächenberechnung I:

Berechne die Fläche, die der Funktionsgraph mit den Koordinatenachsen einschließt.

Erster Fall: %%k<0%%

Die Funktion ist auf %%\left(-\infty; 0 \right]%% definiert und positiv.

%%\displaystyle \begin{array}{ll} \int_{-\infty}^0 &f\left( x\right)\operatorname{d}x =\int_{-\infty}^0 e^{-\sqrt{kx}}\operatorname{d} x\\ &= F\left(0\right)-\lim_{ x\rightarrow-\infty} F\left( x\right)\\ &=-\frac{2 e^0\left(0+1\right)}{k}-\lim_{ x\rightarrow-\infty}-\frac{2\overbrace{ e^{-\sqrt{kx}}}^0\overbrace{\left(\sqrt{kx}+1\right)}^\infty}{ k}\\ &=-\frac{2}{ k}-0\\ &=-\frac{2}{ k} \end{array}%%

Der Grenzwert ist 0, da die %%e%%-Funktion schneller steigt und fällt, als jedes Polynom.

Zweiter Fall: %%k>0%%

%%\displaystyle \begin{array}{ll} \int_0^\infty &f\left( x\right)\operatorname{d} x=\int_0^\infty e^{-\sqrt{kx}}\operatorname{d} x\\ &=\lim_{ x\rightarrow\infty} F\left( x\right)- F\left(0\right)\\ &=\lim_{ x\rightarrow\infty}-\frac{2\overbrace{ e^{-\sqrt{kx}}}^0\overbrace{\left(\sqrt{kx}+1\right)}^\infty}{ k}+\frac{2 e^0\left(0+1\right)}{k}\\ &=0+\frac2{ k}\\ &=\frac{2}{ k} \end{array}%%

Der Grenzwert ist 0, da die %%e%%-Funktion schneller steigt und fällt, als jedes Polynom.

Dritter Fall: %%k=0%%

Für %%k=0%% ist die Funktion konstant 1.

%%\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f\left( x\right)\operatorname{d} x=\int_{-\infty}^\infty1\operatorname{d} x=\infty%%

Flächenberechnung II:

Berechne die Fläche die von der x-Achse, den Geraden %%x=-1, x=1%% und dem Graphen von %%f_1(|x|)%% eingeschlossen wird.

Die Funktion %%f_1(|x|)%% ist achsensymmetrisch zur y-Achse und zusammengesetzt für %%x < 0%% aus %%f_{-1}(x)%% und für %%x > 0%% aus %%f_1(x)%%.

Überlege dir das am besten anhand einer Skizze

%%\displaystyle \begin{array}{ll}\int_{-1}^1 &f_1\left(\left| x\right|\right)\operatorname{d} x=\int_{-1}^0{ f}_{-1}\left( x\right)\operatorname{d} x+\int_0^1{ f}_1\left( x\right)\operatorname{d} x\\ &={ F}_{-1}\left(0\right)-{ F}_{-1}\left(-1\right)+{ F}_1\left(1\right)-{F}_1\left(0\right)\\ &=2 e^{-\sqrt{-0}}\left(\sqrt{-0}+1\right)-2 e^{-\sqrt1}\left(\sqrt1+1\right)-2 e^{-\sqrt1}\left(\sqrt1+1\right)+2 e^{-\sqrt0}\left(\sqrt0+1\right)\\ &=2-\frac4{ e}-\frac{4}{ e}+2\\ &=4\left(1-\frac{2}{ e}\right) \end{array}%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/9251_32w2fgjZfK.xml

Graphen zeichnen:

Zeichne folgende Graphen für %%k= \pm 3%% in ein oder mehrere Koordinatensysteme:

%%{\mathrm G}_ f%% mit seinen Asymptoten %%\mathrm G_{f'}, G_F%% und %%G_T%%

Graphen zeichnen

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/8350_YGT6MeC6XE.xml

Bemerkungen:

Die Funktionsgraphen sind mit durchgezogenen Linien eingezeichnet,

die Ableitungen mit lang gestrichelten Linien,

die Stammfunktionen mit kurz gestrichelten Linien,

die Tangenten mit abwechselnd Punkten und Strichen,

und die Asymptote ist lila gepunktet.

Es ist folgende Funktion gegeben:

$$f(x)=\frac{x+1}{x^2-4}$$

In den folgenden Teilaufgaben werden verschiedene Teile einer Kurvendiskussion abgefragt.

Suche dir das heraus, was du üben möchtest.

Bei späteren Teilaufgaben kann auf frühere Ergebnisse zurückgegriffen werden.

Ist dir nicht sofort klar, woher diese Ergebnisse kommen, dann bearbeite zunächst diese früheren Teilaufgaben zur Wissensauffrischung.

Bestimme den maximalen Definitionsbereich der Funktion.

Bestimme die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.

Schnittpunkt mit der y-Achse:

$$f(x)=\frac{x+1}{x^2-4}$$

Setze 0 in die Funktion ein.

$$f(0)=\frac{0+1}{0^2-4}=-{\frac{1}{4}}$$

Der Schnittpunkt mit der y-Achse befindet sich bei $$(0|-{\frac{1}{4}})$$

Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle):

$$f(x)=\frac{x+1}{x^2-4}$$

Berechne die Nullstelle des Zählers.

$$x+1=0$$ $$x=-1$$

Der Schnittpunkt mit der x-Achse befindet sich bei $$(-1|0)$$

Gib die Asymptoten der Funktion an.

Senkrechte Asymptoten:

$$f(x)=\frac{x+1}{x^2-4}$$

Die Definitionslücken sind senkrechte Asymptoten.

Es gibt zwei senkrechte Asymptoten bei $$x=-2$$ und $$x=2$$

Waagrechte oder schräge Asymptote:

$$f(x)=\frac{x+1}{x^2-4}$$

Vergleiche Zähler- und Nennergrad.

Hier ist der Nennergrad größer als der Zählergrad, deswegen gibt es eine waagrechte Asymptote bei $$y=0$$

Überprüfe die Funktion auf Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse und Punktsymmetrie zum Ursprung.

Achsensymmetrie zur y-Achse:

$$f(x)=\frac{x+1}{x^2-4}$$

Bei Achsensymmetrie muss die Formel $$f(x)=f(-x)$$ gelten. Berechne $$f(-x)$$

$$f(-x)=\frac{-x+1}{(-x)^2-4}=\frac{-x+1}{x^2-4}$$

Die Formel gilt hier also nicht, das heißt die Funktion ist nicht achsensymmetrisch zur y-Achse.

Punktsymmetrie zum Ursprung:

$$f(x)=\frac{x+1}{x^2-4}$$

Bei Punktsymmetrie zum Ursprung muss folgende Formel gelten $$f(-x)=-f(x)$$ Berechne $$-f(x)$$

$$-f(x)=-\frac{x+1}{x^2-4}$$

Die Formel gilt also nicht, das heißt die Funktion ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.

Die Funktion ist weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.

Bestimme die Tangente an die Funktion an der Stelle $$x=0$$

$$f(x)=\frac{x+1}{x^2-4}$$

Für die Tangente benötigt man eine Steigung. Dafür berechnet man die Ableitung.

$$f'(x)=\frac{1\cdot(x^2-4)-2x(x+1)}{(x^2-4)^2}=\frac{-x^2-2x-4}{(x^2-4)^2}$$

Für die Tangente an der Stelle $$x=0$$ benötigt man die Ableitung an der Stelle. Setze 0 in die Ableitung ein.

$$f'(0)=\frac{-0^2-2\cdot0-4}{(0^2-4)^2}=\frac{-4}{16}=-\frac{1}{4}$$

Nachdem man die Steigung weiß, benötigt man noch die vollständigen Koordinaten des Punktes. Dafür setzt man den x-Wert in die Funktion ein.

$$f(0)=\frac{0+1}{0^2-4}=-\frac{1}{4}$$

Nun kann man Steigung und Punkt in die Tangentengleichung einsetzen.

$$y=mx+t$$ $$-\frac{1}{4}=-{\frac{1}{4}}\cdot0+t$$

Löse nach t auf.

$$t=-\frac{1}{4}$$

Die Tangentengleichung lautet $$y=-\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}$$

Hat die Funktion Extremstellen? Bestimme sie gegebenenfalls.

$$f(x)=\frac{x+1}{x^2-4}$$

Für die Extremstellen sind die Nullstellen der Ableitung gesucht. Setze die Ableitung %%0%%.

$$f'(x)=\frac{-x^2-2x-4}{(x^2-4)^2}=0$$

Löse nach %%x%% auf.

$$-x^2-2x-4=0$$ $$x^2+2x+4=0$$ $$x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot4\cdot1}}{2\cdot1}=\frac{-2\pm\sqrt{-12}}2$$

Die Wurzel aus einer negativen Zahl gibt es im Reellen nicht, also gibt es keine Lösung für %%x%%. Die Funktion hat keine Extremstellen.

Im Labor wird eine Maispflanze beobachtet, um den Wachstumsverlauf zu erforschen. Dazu beginnen die Forscher ihre Aufzeichnungen mit einem Setzling zum Zeitpunkt t=0 und messen die Höhe der Pflanze kontinuierlich über die nächsten sieben Monate.

Die folgende Funktion %%h(t)%% konnten die Forscher dabei aufzeichnen:

Skizze der Funktion h

Die Funktion kann modellhaft durch die Funktion %%h(t) = \dfrac{1,5e^t}{e^t+15}%% beschrieben werden.

Dabei ist %%t%% die Zeit in Monaten, die seit Beobachtungsbeginn vergangen ist.

%%h(t)%% ist die Höhe zur Zeit %%t%% in Metern, die die Maispflanze groß ist.

Berechne die Größe in Zentimeter des Setzlings zu Beginn der Beobachtung!

Berechnung der Anfangshöhe des Setzlings

Um die Höhe des Setzlings zum Anfangszeitpunkt herauszufinden musst du den Funktionswert der Funktion %%h(t)%% zum Zeitpunkt %%t=0%% berechnen.

Setze dazu %%t=0%% in %%h(t)%% ein.

$$h(t=0) = \dfrac{1,5 e^0}{e^0+15}$$ Berechne diesen Wert anschließend. $$h(t=0)=\dfrac{1,5 \cdot 1}{1+15}=\dfrac{1,5}{16}=0,09375\approx 0,094\;[m]$$

Rechne diesen Wert anschließend in Zentimeter um.

$$0,094\;m = 9,4\;cm$$

Der Setzling ist zu Anfang der Aufzeichnung %%9,4\;cm%% hoch.

Berechne, wie viele Zentimeter die Maispflanze in den ersten sechs Wochen nach Aufzeichnungsbeginn gewachsen ist!

Wachstum der Pflanze in sechs Wochen

Um das Wachstum der Pflanze in den ersten sechs Wochen (=1,5 Monate) herauszufinden musst du die Differenz der Höhe nach sechs Wochen und der Anfangshöhe bilden.

%%h_{\Delta6\text{Wochen}}=h(1,5)-h(0)%%

Den Funktionswert der Anfangshöhe hast du bereits in der Aufgabe %%a%% berechnet.

%%h(0) = 9,4cm%%

Du benötigst nun noch den Funktionswert der Höhe nach sechs Wochen.

%%h(6 \text{ Wochen}) = h(1,5) = \dfrac{1,5 e^{1,5}}{e^{1,5}+15} \approx 0,345[m]%%

Rechne diese Höhe in Zentimeter um!

%%h(1,5) = 0,35\;m = 34,5\;cm%%

Anschließend kannst du das Wachstum der Pflanze in den ersten sechs Wochen berechnen:

%%h_{\Delta6\text{Wochen}}=h(1,5)-h(0) = 34,5 \;cm - 9,4\;cm =25,1\;cm%%

Die Pflanze ist %%25,1\;cm%% innerhalb der ersten sechs Wochen nach Beobachtungsbeginn gewachsen.

Zu welchem Zeitpunkt %%t%% ist das Wachstum der Pflanze maximal?

Bestimme die Wachstumsrate zu diesem Zeitpunkt in Zentimeter pro Tag!

Maximale Wachstumsrate

Die Wachstumsrate der Pflanze wird durch die Steigung der Funktion beschrieben. Das bedeutet, du musst die maximale Steigung der Funktion finden.

Die Steigung der Funktion %%h(t)%% findest du, indem du nach %%t%% ableitest.
Nutze dazu die Quotientenregel.

$$h'(t) = \left( \dfrac{1,5e^t}{e^t+15} \right)' = \dfrac{1,5e^t \cdot (e^t+15)-1,5e^t\cdot e^t}{(e^t+15)^2}$$

Vereinfache diese Ableitung, indem du %%1,5e^t%% im Zähler ausklammerst.

$$h'(t)=\dfrac{1,5e^t \cdot (e^t+15- e^t)}{(e^t+15)^2} = \dfrac{1,5e^t \cdot 15}{(e^t+15)^2} = \dfrac{22,5e^t}{(e^t+15)^2}$$

Jetzt hast du eine Funktion, die die Steigung der Funktion beschreibt. Du willst nun das Maximum dieser Steigung herausfinden. Nutze dazu den Ansatz zur Extremwertbestimmung von Funktionen.
Berechne dafür die zweite Ableitung mithilfe der Quotientenregel und der Kettenregel:

$$h''(t) = \left( \dfrac{22,5e^t}{(e^t+15)^2} \right)' = \dfrac{22,5e^t \cdot (e^t+15)^2 - 22,5e^t\cdot 2(e^t+15)\cdot e^t }{(e^t+15)^4}$$

Diese Ableitung kannst du wiederum vereinfachen indem du zuerst %%22,5e^t%% ausklammerst und die Klammern im Zähler ausrechnest.

$$h''(t) = \dfrac{22,5e^t \cdot \left((e^t+15)^2 - 2(e^t+15)\cdot e^t\right) }{(e^t+15)^4}$$

$$h''(t) = \dfrac{22,5e^t \cdot \left(e^{2t}+225+30e^t - 2e^{2t}-30e^t\right) }{(e^t+15)^4}$$

$$h''(t) = \dfrac{22,5e^t \cdot \left(-e^{2t}+225\right)}{(e^t+15)^4}$$

Einen Extremwert der Steigung erhältst du, indem du die zweite Ableitung gleich Null setzt.

$$h''(t) = 0$$

In diesem Fall reicht es, den Zähler des Bruchs zu betrachten.

$$22,5e^t \cdot \left(-e^{2t}+225\right) = 0$$

Da %%e^t%% niemals Null wird, reicht es wiederum nur die Klammer zu betrachten.

$$\begin{array} \\-e^{2t} +&225 &= 0 &|+e^{2t} \\ &225 &= e^{2t} &| ln(…) \\ &ln(225) &= 2t &|:2 \\ &\dfrac{ln(225)}{2} &= t \\ & t & \approx 2,71 \end{array}$$

Da dies die einzige Extremstelle ist kannst du dir sicher sein, dass es der gefragte Maximalwert ist.
Du erhältst also eine maximale Steigung zum Zeitpunkt %%t=2,71%%.

Das bedeutet: %%2,71%% Monate nach Beobachtungsbeginn wächst die Maispflanze am stärksten.

Maximale Wachstumsrate

Um die maximale Wachstumsrate in %%\frac{cm}{\text{Tag}}%% erhältst du indem du die maximale Steigung %%h'(t=2,71)%% berechnest und anschließend in die gewünschte Einheit umrechnest.

$$h'(2,71) = \dfrac{22,5e^{2,71}}{(e^{2,71} +15)^2} \approx 0,375 \left[ \frac{m}{Monate} \right]$$

Die Einheit %%\frac{m}{Monate}%% erhältst du durch die Ableitung der Zeit.
Aus %%h(t)%% in %%m%% wird also nach Ableitung durch %%t%% in %%Monaten%%:

%%h'(t)%% in %%\frac{m}{Monate}%%

Diese Einheit muss jetzt in %%\frac{cm}{Tage}%% umgerechnet werden. Schreibe dazu die alte Einheit %%\frac{m}{Monate}%% in %%cm%% und %%Tage%% um.

Nutze dazu die Umrechnung %%30 \; Tage = 1 \;Monat%%

$$\frac{m}{Monate} = \frac{100\;cm}{30 \; Tage} = \frac{10 \; cm}{3 \; Tage} = \frac{10}{3} \cdot \frac{cm}{Tag}$$

Du erhältst also als maximale Wachstumsrate:

$$h'(2,71) = 0,375 \frac{m}{Monate} = 0,375 \cdot \frac{10}{3} \frac{cm}{Tag} = 1,25 \frac{cm}{Tag}$$

Die Pflanze wächst mit maximal %%1,25 \frac{cm}{Tag}%%.

Bestimme die maximal zu erreichende Höhe dieser Maissorte, indem du den Grenzwert von h(x) gegen Unendlich betrachtest.

Maximale Höhe der Maispflanze

Wenn man die Funktion nicht bei %%7%% Monaten abbrechen würde, sondern weiterzeichnen, sieht man, dass die Funktion eine Art Plateau erreicht.

Saturiendes Verhalten der Funktion h

Der Wert dieses Plateaus scheint die maximale Höhe der Pflanze zu sein.

Aus diesem Grund kannst du den Grenzwert der Funktion bestimmen und diesen als maximale Höhe festlegen.

Bestimme dazu den Limes von %%h(t)%% gegen unendlich.

$$\lim\limits_{t \rightarrow \infty}{h(t)}= \lim\limits_{t \rightarrow \infty}{\dfrac{1,5e^t}{e^t+15}}$$

Den Bruch kannst du aufteilen und die Grenzwerte für den Zähler und Nenner getrennt betrachten:

$$\dfrac{\lim\limits_{t \rightarrow \infty}{1,5e^t}}{\lim\limits_{t \rightarrow \infty}{e^t+15}}$$

Im Nenner spielen die %%+15%% keine Rolle mehr. Es bleibt übrig:

$$\dfrac{1,5e^\infty}{e^\infty} = 1,5 \; [m]$$

Du erhältst nach kürzen einen Grenzwert von %%1,5 \; m%%.
Das bedeutet, die maximale Höhe der Pflanze beträgt %%1,5\;m%%.

Wie müsste die passende Funktionsgleichung %%h_2(t)%% aussehen, wenn die Pflanze zu Anfang dieselbe Höhe hätte, also %%h(0) = h_2(0)%%, aber jede weitere Höhe von %%h(t)%% exakt in der Hälfte der Zeit von %%h_2(t)%% erreicht wird ?

Leider nein. Probier's nochmal!

Leider nein. Probier's nochmal!

Richtig!

Betrachte Teilaufgabe %%e)%%.
Begründe, warum die anderen beiden Antworten nicht richtig sein können!

Begründung der Lösung

Die Lösungen

%%I \; \; \;\; \; h_2(t) = \dfrac{1,5e^{t+k}}{e^{t+k}+15}%%

und

%%II \; \; \;\; \;h_2(t)=\dfrac{1,5e^t}{e^t+15}\cdot k%%

aus Aufgabe %%e)%% sind falsch.

Du sollst begründen, warum diese Lösungen nicht den geschilderten Sachkontext erfüllen können.

Betrachte dazu nochmal die Aussage, dass der Anfangswert der ursprünglichen Funktion %%h(t)%% auch der Anfangswert der Funktion %%h_2(t)%% ist.
Wichtig ist noch, dass dieser Anfangswert %%h(0) = h_2(0) \ne 0%%. Das weißt du aus Aufgabe %%a)%% oder kannst es aus der Zeichnung auslesen.

Betrachte zunächst %%I%% und setze %%t=0%% ein.

$$h_2(0) = \dfrac{1,5e^{0+k}}{e^{0+k}+15} = \dfrac{1,5e^k}{e^k +15}$$

Das sollte nun gleich %%h(0)%% sein.

%%h(0) = \dfrac{1,5e^0}{e^0+15}=\dfrac{1,5}{16}%%

Auf dieses Ergebnis kommt man mit %%h_2%% aber nur, wenn %%k=0%%.

%%h_2(t) = \dfrac{1,5e^{t+0}}{e^{t+0}+15} = \dfrac{1,5e^t}{e^t+15}%%

Somit kann %%I%% keine Lösung des Problems sein, da es mit %%k=0%% dieselbe Funktion wie %%h(t)%% ist.

Betrachte nun %%II%% und setze %%t=0%% ein.

%%h_2(0)=\dfrac{1,5e^0}{e^0+15}\cdot k = h(0) \cdot k%%

Für den ersten Teil dieses Terms kann man %%h(0)%% einsetzen, da dies genau diesen Bruch ergibt.
Da jetzt aber %%h_2(0) = h(0)%% sein soll, müsste %%k%% genau %%1%% sein.

Wenn das so ist, erhältst du wie bei %%I%% wiederum genau %%h_2(t) = h(t)%%, was das Problem nicht löst.

Aus diesem Grund muss die dritte Möglichkeit die Lösung des Problems sein.

%%h_2(t) = \dfrac{1,5e^{kt}}{e^{kt}+15}%%

Berechne damit nun die Aufgabe %%g)%%!

Betrachte Teilaufgabe %%e)%%.
Gebe den entsprechenden Wert von %%k%% an!

Bestimmung des Koeffizienten

Berechne nun den Koeffizienten %%k%% in %%h_2(t)%%, so dass das in %%e)%% beschriebene Problem gelöst wird.

Du weißt bereits, dass die Höhe %%h(0) = h_2(0)%% ist. Außerdem kennst du den Funktionswert %%h(1,5)=34,5\;cm%% aus der Aufgabe %%b)%%.

Betrachte nun den Wert %%h(1,5)%% und überlege, wann %%h_2(t)%% diese Höhe erreicht hat.

In der Problemstellung steht, dass %%h_2%% diesen Wert in der Hälfte der Zeit erreicht. Die Zeit ist in diesem Fall %%1,5%% Monate.
Die Hälfte ist also somit %%0,75%% Monate.

Jetzt kannst du den Funktionsterm aufstellen, da du weißt: %%h_2 (0,75) = h(1,5)=0,345 \; m%%.

$$h_2(0,75) = 0,345 = \dfrac{1,5e^{0,75 \cdot k}}{e^{0,75 \cdot k} + 15}$$

Diese Gleichung musst du nun nur noch nach dem Koeffizienten %%k%% auflösen.

$$\begin{array} \\ &0,345 &= &\dfrac{1,5e^{0,75 \cdot k}}{e^{0,75 \cdot k} + 15} &| \cdot (e^{0,75 \cdot k} + 15) \\ &0,345 \cdot (e^{0,75k} + 15) &= &1,5 e^{0,75k} \\ &0,345 e^{0,75k} + 5,175 &= &1,5 e^{0,75k} &|-0,345e^{0,75k}\\ &5,175 &=&1,155e^{0,75k} &|ln(…)\\ &ln(5,175) &= &1,155 \cdot 0,75k &|:(1,155 \cdot 0,75)\\ &\dfrac{ln(5,175)}{0,86625} &= &k \end{array}$$

Nach Berechnen mit dem Taschenrechner erhältst du:

$$k \approx 1,90$$

Damit kannst du nun eine vollständige Funktionsgleichung aufstellen:

$$h_2(t) = \dfrac{1,5e^{1,9t }}{e^{1,9t} + 15}$$

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