Bestimme die Nullstellen:

%%f(x)=x^4-3x^2+2%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%f(x)=x^4-3x^2+2%%

%%f(x)%% gleich %%0%% setzen, um die Nullstellen zu bestimmen.

%%x^4-3x^2+2=0%%

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. %%x^2%%) durch einen neuen Term (z.B. %%u%%) ersetzt.

%%u=x^2%%

$$f(u)=u^2-3u+2=0$$

$$u_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{\left(-3\right)^2-4\cdot1\cdot2}}{2\cdot1}$$

$$=\frac{3\pm\sqrt{9-8}}2$$

$$=\frac{3\pm1}2$$

%%u_1=\frac42=2%%

1) Fall: %%+%%

%%u_2=\frac22=1%%

2) Fall: %%-%%

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

%%x_{1,2}^2=2%%

%%x_{1,2}=\pm\sqrt2%%

%%x_{3,4}^2=1%%

%%x_{3,4}=\pm1%%

Die Nullstellen der Funktion lauten %%x_1=\sqrt2,\;x_2=-\sqrt2,\;x_3=1,\;x_4=-1%%

%%f(x)=x^4-\frac{17}4x^2+1%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%f(x)=x^4-\frac{17}4x^2+1%%

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. %%x^2%%) durch einen neuen Term (z.B. %%u%%) ersetzt.

%%u=x^2%%

%%f(u)=u^2-\frac{17}4u+1%%

$$u_{1/2}=\frac{\frac{17}4\pm\sqrt{(-\frac{17}4)^2-4\cdot1\cdot1}}2$$

$$=\frac{\frac{17}4\pm\sqrt{14,0625}}{2}$$

$$=\frac{\frac{17}4\pm\frac{15}4}{2}$$

%%u_1=4%%

1) Fall: %%+%%

%%u_2=\frac14%%

2) Fall: %%-%%

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

%%x_{1,2}^2=4%%

%%x_{1,2}=\pm2%%

%%x_{3,4}^2=\frac14%%

%%x_{3,4}=\pm\frac12%%

Die Nullstellen der Funktion liegen bei %%x_1=2,\;x_2=-2,\;x_3=\frac12,\;x_4=-\frac12%%.

%%f(x)=(x^2-\frac32)^2%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%f(x)=(x^2-\frac32)^2%%

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. %%x^2%%) durch einen neuen Term (z.B. %%u%%) ersetzt.

%%u=x^2%%

%%f(u)=(u-\frac32)^2=(u-\frac32)(u-\frac32)%%

Die Nullstellen können abgelesen werden.

%%u=\frac32%%

Doppelte Nullstelle.

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

%%x_{1,2}^2=\frac32%%

%%x_{1}=\sqrt{\frac32}%%

%%x_{2}=-\sqrt{\frac32}%%

Zwei doppelte Nullstellen.

Die Funktion hat zwei doppelte Nullstellen und zwar bei %%x_1=\sqrt{\frac32}%% und %%x_2=-\sqrt{\frac32}%%.

%%f(x)=\frac12x^6-2x^3-2%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%f(x)=\frac12x^6-2x^3-2%%

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. %%x^2%%) durch einen neuen Term (z.B. %%u%%) ersetzt.

%%u=x^3%%

%%f(u)=\frac12u^2-2u-2%%

$$u_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot\frac12\cdot(-2)}}{2\cdot\frac12}$$

$$=\frac{2\pm\sqrt8}{1}=2\pm\sqrt8$$

%%u_1=2+\sqrt8\approx4,83%%

1) Fall: %%+%%

%%u_2=2-\sqrt8\approx-0,83%%

2) Fall: %%-%%

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

%%x_1^3\approx4,83%%

%%x_1\approx\sqrt[3]{4,83}\approx 1,69%%

%%x_2^3\approx-0,83%%

%%x_2\approx\sqrt[3]{-0,83}\approx -0,94%%

Die Funktion hat 2 Nullstellen bei %%x_1\approx\sqrt[3]{4,83}\approx 1,69%% und bei %%x_2\approx\sqrt[3]{-0,83}\approx -0,94%%.