Eine Nullstelle einer Funktion %%f%% ist der x-Wert eines Schnittpunktes vom Graphen von %%f%% mit der x-Achse.

Das sind also gerade die %%x%% -Werte, an denen %%f(x)=0%% ist.

Nullstellen verschiedener Funktionen

Hier sind die Nullstelle(n) der linearen Funktion f mit f(x)=x+4 und der quadratischen Funktion g mit g(x)=−(x−2)^2+4 eingezeichnet.

Veranschaulichung an einem Applet

Übungsaufgaben

Lies die Nullstelle(n) folgender Funktionen ab.

Weitere Übungsaufgaben: Aufgaben zur Nullstelle

Nullstellen berechnen

Wie du Nullstellen berechnen kannst, wird dir im Artikel Nullstellen berechnen erklärt.

Vielfachheit einer Nullstelle

Bei Polynomen unterscheidet man Nullstellen nach ihren Vielfachheiten. Sie gibt an, wie oft eine bestimmte Nullstelle bei einer Funktion vorkommt und wird durch die Exponenten in der Linearfaktorzerlegung des Polynoms bestimmt.

Die Funktion %%f%% mit %%f(x)=x^2-4%% hat die Nullstellen %%x=+2%% und %%x=-2%%. Die Linearfaktorzerlegung lautet also %%f(x)=(x-2)^\color{red}{1}\cdot (x+2)^\color{red}{1}%%. Bei beiden Nullstellen ist der jeweilige Exponent des Linearfaktors gleich %%1%%. Die Nullstellen kommen also jeweils genau einmal vor. Man nennt diese Art von Nullstellen also einfache Nullstellen.

Man sagt: Die Nullstelle hat Vielfachheit 1.

Mehrfache Nullstellen

Es gibt aber auch Funktionen mit sogenannten mehrfachen Nullstellen.

Die Funktion %%f%% mit %%f(x)=(x-2)^\color{red}{2}=(x-2)\cdot (x-2)%% besitzt eine zweifache Nullstelle (doppelte Nullstelle) bei %%x=+2%%.

Man sagt: Die Nullstelle hat Vielfachheit 2.

Die Funktion %%f%% mit %%f(x)=(x-2)^\color{red}3=(x-2)\cdot (x-2)\cdot (x-2)%% besitzt eine dreifache Nullstelle bei %%x=+2%%.

Man sagt: Die Nullstelle hat Vielfachheit 3.

Entsprechend gibt es Funktionen mit vierfachen, fünffachen, sechsfachen,… Nullstellen.

Graphische Bedeutung der Vielfachheit

In einer Nullstelle schneidet oder berührt der Graph einer Funktion f die x-Achse. Ob ein Schnittpunkt oder ein Berührpunkt vorliegt, kann man an der Vielfachheit der Nullstelle feststellen:

Bei Nullstellen mit ungerader Vielfachheit handelt es sich um Schnittpunkte mit der x-Achse. Bei Nullstellen mit gerader Vielfachheit handelt es sich um Berührpunkte mit der x-Achse.

Graphische Darstellung: Nullstellen aufsteigender Vielfachheit (1-6)

Verschiedene Nullstellen

Video zur doppelten und dreifachen Nullstellen

Beispiele

Funktion

in Linearfaktoren zerlegt

Vielfachheit der Nullstellen

%%f(x)=x^6%%

%%f(x) = (x-0)\cdot … \cdot (x-0) =(x-0)^6%%

sechsfache Nullstelle bei %%x=0%%

%%f(x)=x^2-4%%

%%f(x)=(x+2)^1\cdot(x-2)%%

jeweils einfache Nullstelle bei %%x=-2%% und %%x=2%%

%%f(x)=x^3-x^2-x+1%%

%%f(x)=(x+1)^1\cdot(x-1)^2%%

einfache Nullstelle bei %%x=-1%% und doppelte Nullstelle bei %%x=1%%

Vielfachheit einer Nullstelle und Kurvendiskussion

An Nullstellen mit ungerader Vielfachheit tritt ein Vorzeichenwechsel auf.

Ist die Vielfachheit größer als 1, liegt dort ein Terassen- und ein Wendepunkt vor.

An Nullstellen mit gerader Vielfachheit tritt kein Vorzeichenwechsel auf.

Es liegt dort immer ein Extremum vor.

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