Stelle jeweils einen Funktionsterm auf, der die folgenden Bedingungen erfüllt.

Die Funktion ist vom Grad 3, der %%y%%-Achsenabschnitt liegt bei %%y=\frac83%%, sie besitzt eine doppelte Nullstelle bei %%x=1%% und hat eine Wendestelle bei %%x=-2%%.

Steckbriefaufgabe

Gegenstand einer Steckbriefaufgabe ist die exakte Bestimmung eines Funktionsterms anhand von vorgegebenen Informationen.

Im Folgenden sind die Informationen mit den jeweils resultierenden Gleichungen dargestellt:

Funktion vom Grad %%3%%

%%f(x)=ax^3+bx^2+cx+d%%

%%f'(x)=3ax^2+2bx+c%%

%%f''(x)=6ax+2b%%

%%y%%-Achsenabschnitt bei %%y=\frac83%%

%%\Rightarrow f(0)=\frac83%%

%%a\cdot0^3+b\cdot0^2+c\cdot0+d=d=\frac83%%

Doppelte Nullstellen bei %%x=1%%

%%\Rightarrow f(1)=0%%

%%\Rightarrow f'(1)=0%%

%%a\cdot1^3+b\cdot1^2+c\cdot1+d=0%%

%%3a\cdot1^2+2b\cdot1+c=0%%

Wendestelle bei %%x=-2%%

%%\Rightarrow f''(-2)=0%%

%%6a\cdot(-2)+2b=0%%

Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I} &\frac83& = && && && &d&\\ \mathrm{II} &0& = &a& + &b& + &c& + &d&\\ \mathrm{III} &0& = &3a& + &2b& + &c&\\ \mathrm{IV} &0& = &-12a& + &2b&\\ \end{array}%%

%%\;%%

%%\;%%

%%\;%%

Löse das Lineare Gleichungssystem.

Aus der ersten Gleichung folgt direkt: %%d=\frac83%%.

Setze %%d=\frac83%% in Gleichung %%\mathrm{II}%% ein.

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{II'} &0& = &a& + &b& + &c& + &\frac83&\\ \mathrm{III} &0& = &3a& + &2b& + &c&\\ \mathrm{IV} &0& = &-12a& + &2b&\\ \end{array}%%

Welches Verfahren du zum Lösen des Linearen Gleichungssystems anwenden möchtest, bleibt dir überlassen. Hier wird das Einsetzungsverfahren verwendet, indem z.B. nach %%b%% in Gleichung %%\mathrm{IV}%% aufgelöst wird.

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{IV} &0& = &-12a& + &2b&|-2b\\ &-2b& = &-12a& &&|:(-2)\\ &b& = &6a& \\ \end{array}%%

Nun kannst du %%b=6a%% in der Gleichung %%\mathrm{III}%% ersetzen und dann nach %%c%% auflösen:

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{III'} &0& = &3a& + &2\cdot6a& + &c&\\ &0& = &15a& && + &c&|-15a\\ &-15a& = && &&&c&\\ \end{array}%%

Nun kannst du %%c=-15a%% in der Gleichung %%\mathrm{II'}%% ersetzen und dann nach %%a%% auflösen:

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{II''} &0& = &a& + &6a& - &15a& + &\frac83&|-\frac83\\ &-\frac83& = &-8a& && && &&|:(-8)\\ &\frac13& = &a& &&&&\\ \end{array}%%

Aus Gleichung %%\mathrm{IV}%% weißt du, dass %%b=6a%%. Setze %%a=\frac13%% in diese Gleichung ein.

%%b=6\cdot\frac13=2%%

Aus Gleichung %%\mathrm{III'}%% weißt du, dass %%c=-15a%%. Setze %%a=\frac13%% in diese Gleichung ein.

%%c=-15\cdot\frac13=-5%%

Stelle nun mit den herausgefundenen Koeffizienten %%a=\frac13%%, %%b=2%%, %%c=-5%%, und %%d=\frac83%% den Funktionsterm auf.

%%f(x)=\frac13x^3+2x^2-5x+\frac83%%

Die Funktion ist vom Grad 3, besitzt waagrechte Tangenten bei %%x=0%% und %%x=1%% und hat im Punkt %%P(2|8)%% eine Steigung von %%m=12%%.

Steckbriefaufgabe

Gegenstand einer Steckbriefaufgabe ist die exakte Bestimmung eines Funktionsterms anhand von vorgegebenen Informationen.

Im Folgenden sind die Informationen mit den jeweils resultierenden Gleichungen dargestellt:

Funktion vom Grad %%3%%

%%f(x)=ax^3+bx^2+cx+d%%

%%f'(x)=3ax^2+2bx+c%%

Waagrechte Tangenten bei %%x=0%% und %%x=1%%

%%\Rightarrow f'(0)=0%%

%%\Rightarrow f'(1)=0%%

%%3a\cdot0^2+2b\cdot0+c=c=0%%

%%3a\cdot1^2+2b\cdot1+c=0%%

Im Punkt %%P(2|8)%% eine Steigung von %%m=12%%

%%\Rightarrow f(2)=8%%

%%\Rightarrow f'(2)=12%%

%%a\cdot2^3+b\cdot2^2+c\cdot2+d=8%%

%%3a\cdot2^2+2b\cdot2+c=12%%

Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I} &0& = && && &c& &&\\ \mathrm{II} &0& = &3a& + &2b& + &c& &&\\ \mathrm{III} &8& = &8a& + &4b& + &2c& + &d&\\ \mathrm{IV} &12& = &12a& + &4b& + &c&\\ \end{array}%%

%%\;%%

%%\;%%

%%\;%%

Löse das Lineare Gleichungssystem.

Aus der ersten Gleichung folgt direkt: %%c=0%%.

Setze %%c=0%% in die Gleichungen %%\mathrm{II}%%, %%\mathrm{III}%% und %%\mathrm{IV}%% ein.

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{II'} &0& = &3a& + &2b& + &0& &&\\ && = &3a& + &2b& && &&\\ \mathrm{III'} &8& = &8a& + &4b& + &2\cdot0& + &d&\\ && = &8a& + &4b& && + &d&\\ \mathrm{IV'} &12& = &12a& + &4b& + &0&&&|:4\\ &3& = &3a& + &b& &&\\ \end{array}%%

Welches Verfahren du zum Lösen des Linearen Gleichungssystems anwenden möchtest, bleibt dir überlassen. Hier wird das Einsetzungsverfahren verwendet, indem z.B. nach %%b%% in Gleichung %%\mathrm{II'}%% aufgelöst wird.

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{II'} &0& = &3a& + &2b&|-3a\\ &-3a& = && &2b& |:2\\ &-\frac32a& = && &b&\\ \end{array}%%

Nun kannst du %%b=-\frac32a%% in der Gleichung %%\mathrm{IV}%% ersetzen und dann nach %%c%% auflösen:

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{IV''} &3& = &3a& - &\frac32a& &&\\ && = &\frac32a& &&|:\frac32\\ &2& = &a& \\ \end{array}%%

Aus Gleichung %%\mathrm{II'}%% weißt du, dass %%b=-\frac32a%%. Setze %%a=2%% in diese Gleichung ein.

%%b=-\frac32\cdot2=-3%%

Nun kannst du %%a=2%% und %%b=-3%% in der Gleichung %%\mathrm{III'}%% ersetzen und dann nach %%d%% auflösen:

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{III'} &8& = &8a& + &4b& + &d&\\ &8& = &8\cdot2& + &4\cdot(-3)& + &d&\\ && = &16& - &12& + &d&\\ && = &4& && + &d&|-4\\ &4& = && && &d&\\ \end{array}%%

Stelle nun mit den herausgefundenen Koeffizienten %%a=2%%, %%b=-3%%, %%c=0%%, und %%d=4%% den Funktionsterm auf.

%%f(x)=2x^3-3x^2+4%%