Stelle jeweils einen Funktionsterm auf, der die folgenden Bedingungen erfüllt.
Die Funktion ist vom Grad 3, der y-Achsenabschnitt liegt bei y=38, sie besitzt eine doppelte Nullstelle bei x=1 und hat eine Wendestelle bei x=−2.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steckbriefaufgabe
Gegenstand einer Steckbriefaufgabe ist die exakte Bestimmung eines Funktionsterms anhand von vorgegebenen Informationen.
Im Folgenden sind die Informationen mit den jeweils resultierenden Gleichungen dargestellt:
Funktion vom Grad 3
f(x)=ax3+bx2+cx+d
f′(x)=3ax2+2bx+c
f′′(x)=6ax+2b
y-Achsenabschnitt bei y=38
⇒f(0)=38
a⋅03+b⋅02+c⋅0+d=d=38
Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem
IIIIIIIV38000====a3a−12a+++b2b2b++cc+dd
Löse das Lineare Gleichungssystem.
Aus der ersten Gleichung folgt direkt: d=38.
Setze d=38 in Gleichung II ein.
II′IIIIV000===a3a−12a+++b2b2b++cc+38
Welches Verfahren du zum Lösen des Linearen Gleichungssystems anwenden möchtest, bleibt dir überlassen. Hier wird das Einsetzungsverfahren verwendet, indem z.B. nach b in Gleichung IV aufgelöst wird.
IV0−2bb===−12a−12a6a+2b∣−2b∣:(−2)
Nun kannst du b=6a in der Gleichung III ersetzen und dann nach c auflösen:
III′00−15a===3a15a+2⋅6a++ccc∣−15a
Nun kannst du c=−15a in der Gleichung II′ ersetzen und dann nach a auflösen:
II′′0−3831===a−8aa+6a−15a+38∣−38∣:(−8)
Aus Gleichung IV weißt du, dass b=6a. Setze a=31 in diese Gleichung ein.
b=6⋅31=2
Aus Gleichung III′ weißt du, dass c=−15a. Setze a=31 in diese Gleichung ein.
c=−15⋅31=−5
Stelle nun mit den herausgefundenen Koeffizienten a=31, b=2, c=−5, und d=38 den Funktionsterm auf.
f(x)=31x3+2x2−5x+38
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Die Funktion ist vom Grad 3, besitzt waagrechte Tangenten bei x=0 und x=1 und hat im Punkt P(2∣8) eine Steigung von m=12.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: steckbirefaufgabe
Gegenstand einer Steckbriefaufgabe ist die exakte Bestimmung eines Funktionsterms anhand von vorgegebenen Informationen.
Im Folgenden sind die Informationen mit den jeweils resultierenden Gleichungen dargestellt:
Funktion vom Grad 3
f(x)=ax3+bx2+cx+d
f′(x)=3ax2+2bx+c
Waagrechte Tangenten bei x=0 und x=1
⇒f′(0)=0
⇒f′(1)=0
3a⋅02+2b⋅0+c=c=0
3a⋅12+2b⋅1+c=0
Im Punkt P(2∣8) eine Steigung von m=12
⇒f(2)=8
⇒f′(2)=12
a⋅23+b⋅22+c⋅2+d=8
3a⋅22+2b⋅2+c=12
Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
IIIIIIIV00812====3a8a12a+++2b4b4b+++cc2cc+d
Löse das Lineare Gleichungssystem.
Aus der ersten Gleichung folgt direkt: c=0.
Setze c=0 in die Gleichungen II, III und IV ein.
II′III′IV′08123======3a3a8a8a12a3a++++++2b2b4b4b4bb+++02⋅00++dd∣:4
Welches Verfahren du zum Lösen des Linearen Gleichungssystems anwenden möchtest, bleibt dir überlassen. Hier wird das Einsetzungsverfahren verwendet, indem z.B. nach b in Gleichung II′ aufgelöst wird.
II′0−3a−23a===3a+2b2bb∣−3a∣:2
Nun kannst du b=−23a in der Gleichung IV ersetzen und dann nach c auflösen:
IV′′32===3a23aa−23a∣:23
Aus Gleichung II′ weißt du, dass b=−23a. Setze a=2 in diese Gleichung ein.
b=−23⋅2=−3
Nun kannst du a=2 und b=−3 in der Gleichung III′ ersetzen und dann nach d auflösen:
III′884=====8a8⋅2164++−4b4⋅(−3)12++++ddddd∣−4
Stelle nun mit den herausgefundenen Koeffizienten a=2, b=−3, c=0, und d=4 den Funktionsterm auf.
f(x)=2x3−3x2+4
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