Der Hauptunterschied zwischen einem bestimmten und einem unbestimmen Integral ist das Vorhandensein (bestimmtes Integral) bzw. Fehlen (unbestimmtes Integral) der Integrationsgrenzen.
Ein bestimmtes Integral beschreibt einen orientierten Flächeinhalt, ist also ein einfacher Zahlenwert.
Ein unbestimmtes Integral ist die Menge aller sogenannten Stammfunktionen.

Bestimmte Integrale

Wenn Integralgrenzen angegeben werden, handelt es sich um ein bestimmtes Integral:
 
abf(x)  dx  =  w,  wR\int_a^bf\left(x\right)\;\mathrm{d}x\;=\;w,\;w\in \mathbb{R} 
Man berechnet den Wert des Integrals mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

abf(x)dx=[F(x)]ab=F(b)F(a)\int_a^bf\left(x\right)\mathrm{d}x=\left[F\left(x\right)\right]_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)_{ },

wobei FF eine Stammfunktion von ff ist.
Das Ergebnis ist ein konkreter Zahlenwert. Das Ergebnis ist damit eindeutig.
abf(x)  dx  =  w,  wR\int_a^bf\left(x\right)\;\mathrm{d}x\;=\;w,\;w\in \mathbb{R}


Unbestimmte Integrale

Unbestimmte Integrale haben keine Integralgrenzen.
Sie zu berechnen bedeutet, eine Stammfunktion der Funktion im Integral (dem sogenannten Integranden) zu finden. Diese ist jedoch nur bis auf eine Konstante eindeutig: Da eine Stammfunktion abgeleitet wieder die Funktion ergeben muss, kann eine beliebige konstante Zahl zu einer Stammfunktion addiert werden und die neue Funktion ist immer noch eine Stammfunktion, da Konstanten beim Ableiten verschwinden.
Eine Funktion hat also immer unendlich viele Stammfunktionen. Man verdeutlicht dies, indem man hinter eine allgemeine Stammfunktion den Term +C+C ergänzt, wobei die sogenannte Integrationskonstante C für eine beliebige Zahl aus R\mathbb{R} steht:

f(x)  dx=F(x)+C\int f\left(x\right)\;\mathrm{d}x=F\left(x\right)+C für eine allgemeine Stammfunktion FF mit F(x)=f(x)F'(x)=f(x).

Vom unbestimmten zum bestimmten Integral

Wenn ein bestimmtes Integral gesucht ist, können wir zunächst das unbestimmte Integral bestimmen und durch die Wahl eines konkreten CC das bestimmte Integral ermitteln.

Beispiel

Man berechne 24(x3+5)dx\int_2^4(x^3+5)\mathrm{d}x.
Das unbestimmte Integral ist gegeben durch (x3+5)dx=14x4+5x+C\int_{}^{}(x^3+5)dx={\textstyle\frac14}x^4+5x+C.

24(x3+5)dx=[14x4+5x+C]24=(64+20+C)(4+10+C)=70+CC=70\int_2^4(x^3+5)dx=\left[\frac14x^4+5x+C\right]_2^4=(64+20+C)-(4+10+C)=70+C-C=70.
Hier sieht man, dass die konkrete Wahl der additiven Konstanten CC keinen Einfluss auf den Wert des bestimmten Integrals hat.
Kommentieren Kommentare

Zu article Bestimmtes und unbestimmtes Integral: Bestimmtes und unbestimmtes Integral - Inhaltlich-didaktische Diskussion
Renate 2014-03-20 17:45:09+0100
Den Abschnitt "Vom bestimmten zum unbestimmten Integral" finde ich überflüssig; denn schon oben ist unter "Bestimmtes Integral" die Berechnung mit Hilfe der Stammfunktion erwähnt.
Zu bedenken außerdem: Es gibt auch einen Artikel "Bestimmtes Integral berechnen". Wenn man überhaupt die Begründung bringen will, warum die Konstante nicht berücksichtigt werden muss, sollte man überlegen, ob sie nicht eher in diesen Artikel gehört (und auch dort wohl nur im Spoiler).
Antwort abschicken