Stelle %%f(x)%% integralfrei dar.

%%f(x)=\int_0^x\sqrt t\ \mathrm{d}t%%

Integriere

%%f(x)=\int_0^x\sqrt t\ \mathrm{d}t%%

Wurzel als Potenz schreiben.

%%=\int_0^xt^\frac12\ \mathrm{d}t%%

%%=\left[\frac23t^\frac32\right]_0^x%%

In die Klammer wird für %%t%% der obere Wert %%(x)%% eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.

%%=\left(\frac23x^\frac32\right)-\left(\frac230^\frac32\right)%%

%%=\left(\frac23x^\frac32\right)%%

%%f(x)=x\cdot\ln x+\int_2^x\ln t\;\ \mathrm{d}t%%

Integriere

%%f(x)=x\cdot\ln x+\int_2^x\ln t\ \mathrm{d}t%%

%%=x\cdot\ln x+\left[t\cdot\ln t-t\right]_2^x%%

In die Klammer wird für %%t%% der obere Wert %%(x)%% eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (2) gerechnet.

%%=x\cdot\ln x+\left(x\cdot\ln x-x\right)-\left(2\cdot\ln 2-2\right)%%

Klammern auflösen.

%%=x\cdot\ln x+x\cdot\ln x-x-2\cdot\ln2+2%%

 

%%=2x\cdot\ln x-x-2\cdot\ln2+2%%

 

%%f(x)=\ln x-\int_1^x\frac1t\ \mathrm{d}t%%

Integriere

%%f(x)=\ln x-\int_1^x\frac1t\ \mathrm{d}t%%

%%=\ln x-\left[\ln t\right]_1^x%%

In die Klammer wird für %%t%% der obere Wert %%(x)%% eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.

%%=\ln x-(\ln x-\ln1)%%

%%\ln1=0%%

%%=\ln x-\ln x%%

%%=0%%

%%f(x)=\int_1^xt\;\ln t\ \mathrm{d}t+\int_x^3t\;\ln t\ \mathrm{d}t%%

Integriere

%%f(x)=\int_1^xt\;\ln t\ \mathrm{d}t+\int_x^3t\;\ln t\ \mathrm{d}t%%

Da die linke Grenze des ersten Integrals und die rechte des zweiten das gleiche sind und es sich beide male um dieselbe Funktion handelt, kann man die beiden Integrale zusammenfassen.

%%=\int_1^3t\;\mathrm{lnt}\ \mathrm{d}t%%

Es muss partiell Integriert werden. %%t%% wird als %%u'%% gewählt, da es sich einfacher integrieren lässt.

%%u=\frac12t^2%%

%%u'=t%%

%%v=\ln t%%

%%v'=\frac1t%%

%%f\left(x\right)=\left[\frac12t^2\cdot\ln t\right]_1^3-\int_1^3\left(\frac12t^2\cdot\frac1t\right)\ \mathrm{d}t%%

Im Integral kürzt sich ein %%t%%.

%%=\left[\frac12t^2\cdot\ln t\right]_1^3-\int_1^3\left(\frac12t\right)\ \mathrm{d}t%%

%%=\left[\frac12t^2\cdot\ln t\right]_1^3-\left[\frac14t^2\right]_1^3%%

In die Klammer wird für %%t%% der obere Wert (3) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.

%%=\frac12\cdot3^2\cdot\ln3-\frac12\cdot1^2\cdot\ln1-\frac14\cdot3^2+\frac14\cdot1^2%%

Ausmultiplizieren.

%%=\frac92\cdot\ln3-\frac12\cdot\ln1-\frac94+\frac14%%

%%=\frac92\cdot\ln3-\frac12\cdot\ln1-2%%

%%\approx2,944%%