Die partielle Integration ist eine Methode zur Integration bestimmter Produkte zweier Funktionen. Man wendet sie oft an, wenn in einem Integral das Produkt zweier Funktionen steht, von denen die eine einfach zu integrieren und die andere leicht abzuleiten ist. Sie ergibt sich aus der Produktregel der Ableitung (siehe Abschnitt: Herleitung).

 

%%\int u'\left(x\right)v\left(x\right)\mathrm{d}x%%

%%=u\left(x\right)v\left(x\right)-\int u\left(x\right)v'\left(x\right)\mathrm{d}x%%

ursprüngliches Integral

Umformung für eine leichtere Berechnung

(Erfolg verspricht eine Umformung dann, wenn das Integral auf der rechten Seite nicht schwieriger als das ursprüngliche Integral ist.)

Beispiel  

%%\int_0^{2\pi}x\;\cos\left(x\right)\mathrm{d}x%% soll berechnet werden.

%%x\;%%und%%\;\cos\left(x\right)%% sind beides Funktionen mit bekannter Ableitung/Stammfunktion. Man probiert aus, welche Zuordnung von %%u\left(x\right)%% und %%v\left(x\right)%% die Rechnung vereinfacht:

  • Wählt man %%x%% als %%u'\left(x\right)%%, steht nach der Umformung auf der rechten Seite: %%\left[\frac12x^2\cos\left(x\right)\right]_0^{2\pi}-\int_0^{2\pi}\frac12x^2\left(-\sin\left(x\right)\right)\mathrm{d}x\\%%

  • Wählt man hingegen %%x%% als %%v\left(x\right)%% und %%\cos\left(x\right)%% als %%u'\left(x\right)%%, lautet die Umformung: %%\left[x\cdot\sin\left(x\right)\right]_0^{2\pi}-\int_0^{2\pi}\sin\left(x\right)\cdot1\;\mathrm{d}x\\%% .

Man sieht, dass die letztere Zuordnung die Rechnung einfacher macht, denn die Stammfunktion der Sinusfunktion %%f(x)=\sin(x)%% ist bekanntlich %%-\cos(x)%%: %%\int\sin\left(x\right)\mathrm{dx}=-\cos\left(x\right).\\%%

 

Man kann ausrechnen:

%%\int_0^{2\pi}x\;\cos\left(x\right)\mathrm{d}x=\left[x\cdot\sin\left(x\right)\right]_0^{2\pi}-\int_0^{2\pi}\sin\left(x\right)\mathrm{d}x%%

%%=\left(2\pi\cdot\sin\left(2\pi\right)-0\right)-\left[-\cos\left(x\right)\right]_0^{2\pi}%% %%=0+\left(\cos\left(2\pi\right)-\cos\left(0\right)\right)=0%%

 

Man kann sich auch zunutze machen, dass nach einigen Wiederholungen das usprüngliche Integral wieder auftritt.

Beispiel

Man will %%\int_0^{2\pi}e^x\; \cos\left(x\right)\mathrm{d}x%% berechnen.

%%e^x\;%%und%%\;\cos\left(x\right)%% sind beides Funktionen mit bekannter Ableitung/Stammfunktion.

  • Wählt man %%e^x%% als %%u'\left(x\right)%% und %%\cos(x)%% als %%v(x)%%, steht nach der Umformung auf der rechten Seite:

%%\left[e^x\cos\left(x\right)\right]_0^{2\pi}-\int_0^{2\pi}e^x\left(-\sin\left(x\right)\right)\mathrm{d}x%%

%%=e^{2\pi}\cdot1-e^0\cdot1 +\int_0^{2\pi}e^x\sin\left(x\right)\mathrm{d}x%%

%%=\left(e^{2\pi}-1\right)+\int_0^{2\pi}e^x\sin\left(x\right)\mathrm{d}x\\%% 

  • Nun führt man eine erneute partielle Integration des rechten Termes durch und wählt dabei %%u'(x)=e^x%%, sowie %%v(x)=\sin(x)%%. Es ergibt sich:

%%\int_0^{2\pi}e^x\sin\left(x\right)\mathrm{d}x=\left[e^x\sin\left(x\right)\right]_0^{2\pi}-\int_0^{2\pi}e^x\cos\left(x\right)\mathrm{d}x%%

%%=-\int_0^{2\pi}e^x\cos\left(x\right)\mathrm{d}x%%

  • Insgesamt folgt also folgende Gleichung:

%%\int_0^{2\pi}e^x\;\cos\left(x\right)\mathrm{d}x = \left(e^{2\pi}-1\right)- \int_0^{2\pi}e^x\cos\left(x\right)\mathrm{d}x%% %%\Rightarrow 2\int_0^{2\pi}e^x\cos\left(x\right)\mathrm{d}x=\left(e^{2\pi} -1\right)%% %%\Rightarrow\int_0^{2\pi}e^x\cos\left(x\right)\mathrm{d}x=\frac{\left(e^{2\pi} -1\right)}{2}%%

Faktor-1-Trick

Steht in einem Integral kein Produkt, aber eine Funktion, die leicht abzuleiten ist, kann man einen Trick anwenden:

Multiplikation der Funktion im Integral mit 1: %%\;\int f\left(x\right)\mathrm{d}x=\int1\cdot f\left(x\right)\mathrm{d}x%%

Das schafft die Voraussetzungen um partielle Integration anwenden zu können.

  %%\\%%

Beispiel

Man sucht %%\;\int\ln\left(x\right)\mathrm{d}x%%.

Die Ableitung von %%\ln\left(x\right)%% ist %%\frac1x%%.  Indem man  %%\ln\left(x\right)%% mit 1 multipliziert, erhält man also ein Produkt aus einer leicht zu integrierenden und einer leicht abzuleitenden Funktion: %%\int\ln\left(x\right)\mathrm{d}x=\int1\cdot\ln\left(x\right)\mathrm{d}x%%   (1 entspricht %%u'\left(x\right)%%, %%\ln\left(x\right)%% entspricht %%v\left(x\right)%% )

 

%%\int1\cdot\ln\left(x\right)\mathrm{d}x\;=\;x\ln\left(x\right)-\int x\cdot\frac1x\mathrm{d}x\;=\;\mathrm{xln}\left(x\right)-x%% +C

 

Herleitung

Bei der partiellen Integration macht man sich die Produktregel der Ableitung zunutze: %%\left(u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)\right)'=u'\left(x\right)v\left(x\right)+u\left(x\right)v'\left(x\right)\\%%

Wenn man beide Seiten integriert, ergibt sich:  %%u\left(x\right)v\left(x\right)=\int u'\left(x\right)v\left(x\right)\mathrm{d}x+\int u\left(x\right)v'\left(x\right)\mathrm{d}x\\%%

Man erhält also durch Subtraktion die Formel:

%%\int u'\left(x\right)v\left(x\right)\mathrm{d}x\;=\;u\left(x\right)v\left(x\right)-\int u\left(x\right)v'\left(x\right)\mathrm{d}x%%

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Zu article Partielle Integration: Layout
Nessa 2015-11-26 12:24:28
Das Layout ist unübersichtlich. Insbesondere das Beispiel sollte überarbeitet werden. Außerdem ist die Integrationskonstante mit dem Artikel "Integral" verlinkt, was ich wenig sinnvoll finde.
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Zu article Partielle Integration: Flag/ Fehler im Beispiel
Tinsaye 2015-04-07 11:24:06
Liebes Mathe-Theam,
dieser Artikel wurde geflagt : https://de.serlo.org/flag/detail/16
VG
Tinsaye
Tobias 2015-04-09 14:52:44
Vielen Dank Tinsaye.
Ich habe im ersten Beispiel einen Fehler gefunden und korrigiert.

Viele Grüße,
Tobias