Aufgaben

Berechne ohne Taschenrechner

$$\sin\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)+\tan\left(1-\sin\left(\frac{5\pi}{2}\right)\right).$$

%%\sin\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) + \tan\left(1 - \sin\left(\frac{5\pi}{2}\right)\right)%%

Berechne %%\sin \left( \frac{5\pi}{2} \right)%%.

Die Sinusfunktion ist periodisch mit Periode %%2\pi%%.

%%=\sin\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) + \tan\left(1 - \sin\left(\frac{\pi}{2}+2\pi\right)\right)%%

%%=\sin\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) + \tan\left(1 - \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)%%

Berechne %%\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)%% und %%\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)%%. Die Werte von %%\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)%% und %%\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)%% kannst du dir leicht merken. Deswegen brauchst du dafür keinen Taschenrechner. Als Hilfe kannst du dir den Graphen zu den Funktionen anschauen. Sinus Kosinus Werte bei Pi-Halbe Daraus kannst du ablesen:

  • %%\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0%%
  • %%\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1%%

Diese Werte setzt du in den Term ein.

%%=\sin\left(0\right) + \tan\left(1 - 1\right)%%

%%=\sin\left(0\right) + \tan\left(0\right)%%

Benutze die Definition der Tangensfunktion: %%\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}%%.

%%= \sin(0) + \frac{\sin(0)}{\cos(0)}%%

Setze die Funktionswerte ein. Zur Hilfe kannst du wieder den Graphen betrachten.

%%=\sin(0) + \frac{\sin(0)}{\cos(0)} = 0 + \frac{0}{1} = 0%%

Berechne den Winkel %%\alpha%% im Intervall %%[0,\pi]%%. Gib dein Ergebnis im Gradmaß an:

$$1\;+\;3\cdot\sin^2(\alpha)=1+\cos^2\left(\alpha\right)$$

$$1+3\cdot\cos^2(\alpha)=1+\sin^2(\alpha)\quad|-\sin^2(\alpha)$$

Bringe Sinus und Kosinus auf eine Seite.

$$\begin{array}{rl}1+3\cdot\cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha)=1&\end{array}$$

Nach Betrachten des Terms, entdeckst du, dass du den trigonometrischen Pythagoras anwenden kannst.

$$\begin{array}{rl}1-\sin^2(\alpha)+3\cdot\cos^2(\alpha)=1&\end{array}$$

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$$\begin{array}{rl}\cos^2(\alpha)+3\cdot\cos^2(\alpha)=1&\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}4\cdot\cos^2(\alpha)=1&|:4\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}\cos^2(\alpha)=\frac{1}{4}&|\sqrt{}\end{array}$$

Ziehe die Wurzel.

$$\begin{array}{rl}\cos(\alpha)=\sqrt{\frac{1}{4}}&\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}\cos(\alpha)=\pm\frac{1}{2}&\end{array}$$

Verwende den Taschenrechner (%%\cos^{-1}%%-Taste).

$$\alpha_1=60^\circ;\alpha_2=120^\circ$$

Es ist cos(2)0,42\cos(2)\approx-0{,}42. Bestimme 3 weitere Winkel, die den gleichen Kosinuswert haben.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Periode einer Funktion

Gegeben: cos(2)0,42\cos(2) \approx -0,42
Gesucht: Weitere Stellen a,b,ca,b,c mit cos(a)=cos(b)=cos(c)=cos(2)\cos(a)=\cos(b)=\cos(c)=\cos(2)
Zeichne die Kosinusfunktion, um die Periode zu bestimmen.
Betrachtet man den Graphen der Kosinusfunktion, so erkennt man, dass sich der Kosinus alle 2π2\pi wiederholt. Das heißt, Kosinus hat die Periode 2π2\pi.
Kosinus
Da der Kosinus Periode 2π2 \pi hat, gilt allgemein
cos(x)=cos(x+2π)=cos(x+4π)=\displaystyle \cos(x)=\cos(x+2\pi)=\cos(x+4\pi)=…
für jede Stelle xx und damit
cos(2)=cos(2+2π)=cos(2+4π)=\displaystyle \cos(2)=\cos(2+2\pi)=\cos(2+4\pi)=…
Daher findet man weitere Stellen a,b,ca,b,c zum Beispiel mit
a=2+2π,b=2+4π,c=2+6π\displaystyle a=2+2\pi, b=2+4\pi, c=2+6\pi
Sinuswerte
Prüfe, ob folgende Gleichungen für jede Stelle xx gelten:
sin(x)+sin(y)=sin(x+y)\sin(x)+\sin(y)=\sin(x+y)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus- und Kosinusfunktion

Prüfe: sin(x+y)=sin(x)+sin(y)\sin(x+y)=\sin(x)+\sin(y)
Betrachte den Graphen der Sinusfunktion und prüfe die Werte von sin(x+y)\sin(x+y) und sin(x)+sin(y)\sin(x)+\sin(y) an beispielsweise x=y=π2x=y=\dfrac{\pi}{2}. Beachte, dass die Gleichung nicht mehr erfüllt ist, wenn die Gleichung an einem expliziten Punkt nicht gilt.
sin(π2)=1\sin\left(\dfrac{\pi}{2} \right) = 1 und
sin(π2+π2)=sin(π)=0\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2} \right)=\sin(\pi)=0
Damit ist sin(π2+π2)sin(π2)+sin(π2)\sin \left( \frac \pi 2 + \frac \pi 2 \right) \neq \sin \left( \frac \pi 2 \right) + \sin \left( \frac \pi 2 \right)

Und daher im Allgemeinen: sin(x+y)sin(x)+sin(y)\sin(x+y)\neq \sin(x)+\sin(y)
Beachte, dass es durchaus Stellen x,yx,y gibt, welche die Gleichung erfüllen. Zum Beispiel x=y=0x=y=0, denn es ist sin(0)=0\sin(0)=0. Es war jedoch nach der allgemeinen Gültigkeit der Gleichung gefragt.
cos(x)+cos(y)=cos(x+y)\cos(x)+\cos(y)=\cos(x+y)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus- und Kosinusfunktion

Prüfe: cos(x)+cos(y)=cos(x+y)\cos(x)+\cos(y)=\cos(x+y)
Betrachte den Graphen der Sinusfunktion und prüfe die Werte von cos(x+y)\cos(x+y) und cos(x)+cos(y)\cos(x)+\cos(y) an beispielsweise x=y=0x=y=0. Beachte, dass die Gleichung nicht mehr erfüllt ist, wenn die Gleichung an einem expliziten Punkt nicht gilt.
cos(0)+cos(0)=2\cos(0)+\cos(0)=2
cos(0+0)=cos(0)=1\cos(0+0)=\cos(0)=1
Damit ist allgemein cos(x)+cos(y)cos(x+y).\cos(x)+\cos(y) \neq \cos(x+y).
Finde Beispiele für Phänomene in der Realität, die sich durch Sinus- und Kosinusfunktionen beschreiben lassen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinusfunktion und Kosinusfunktion

Im allgemeinen lassen sich Wellen durch Sinus- und Kosinusfunktionen beschreiben. Das können zum Beispiel Wasserwellen, Schallwellen, Elektromagnetische Wellen sein. Das heißt, dass diese Funktionen vorallem in der Physik ihre Anwendung finden.
Prüfe, für welche xx im Intervall zwischen 00 und 2π2\pi die folgenden Gleichungen gelten:
Hinweis: Verwende den trigonometrischen Pythagoras sin2(x)+cos2(x)=1\sin^2(x)+\cos^2(x)=1.
sin2(x)cos2(x)=1\sin^2(x)-\cos^2(x)=1

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinusfunktion und Kosinusfunktion

Gegeben:
sin2(x)cos2(x)=1\sin^2(x)-\cos^2(x)=1
Verwende den trigonometrischen Pythagoras wie im Hinweis.
sin2(x)cos2(x)=sin2(x)+cos2(x)\sin^2(x)-\cos^2(x)=\sin^2(x)+\cos^2(x)
Subtrahiere auf beiden Seiten sin2(x)\sin^2(x) und addiere auf beiden Seiten cos2(x)\cos^2(x).
2cos2(x)=02 \cdot \cos^2(x) = 0
Teile durch 22 und ziehe die Wurzel.
cos(x)=0\cos(x)=0
Lese aus dem Graphen der Kosinusfunktion ab, welche Nullstellen der Kosinus zwischen 00 und 2π2 \pi hat.
x=π2x = \dfrac{\pi}{2} oder x=3π2x=\dfrac{3\pi}{2}

(1cos(x))(1+cos(x))=sin(x)\left(1-\cos(x)\right) \left(1+\cos(x) \right) = \sin(x)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinusfunktion und Kosinusfunktion

(1cos(x))(1+cos(x))=sin(x)\left(1-\cos(x)\right)\left(1+\cos(x) \right) = \sin(x)
Verwende auf der linken Seite der Gleichung die dritte binomische Formel.
1cos2(x)=sin(x)1-\cos^2(x) = \sin(x)
Verwende den trigonometrischen Pythagoras.
sin2(x)=sin(x)\sin^2(x)=\sin(x)
Bringe sin(x)\sin(x) auf die andere Seite und klammere dann sin(x)\sin(x) aus.
sin(x)(sin(x)1)=0\sin(x) \left( \sin(x) - 1 \right) = 0
Diese Gleichung ist erfüllt, falls sin(x)=0\sin(x)=0 oder sin(x)1=0\sin(x)-1=0.
  • sin(x)=0\sin(x)=0, falls x=0x=0 oder x=πx=\pi oder x=2πx=2\pi
  • sin(x)=1\sin(x)=1, falls x=π2x=\dfrac{\pi}{2}
Gebe die Lösungen in einer Lösungsmenge an.
L={0,π2,π,2π}L=\left\{0, \dfrac{\pi}{2}, \pi, 2\pi \right\}

(1+sin(x))(1sin(x))=cos2(x)(1+\sin(x))(1-\sin(x))=\cos^2(x)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinusfunktion und Kosinusfunktion

(1sin(x))(1+sin(x))=cos2(x)(1-\sin(x))(1+\sin(x))=\cos^2(x)
Verwende die dritte binomische Formel auf der linken Seite der Gleichung.
1sin2(x)=cos2(x)1-\sin^2(x) = \cos^2(x)
Addiere auf beiden Seiten der Gleichungen sin2(x)\sin^2(x).
1=sin2(x)+cos2(x)1=\sin^2(x)+\cos^2(x)
Bemerke, dass dies genau der trigonometrische Pythagoras ist, welche für jede Stelle xx erfüllt ist.
x[0,2π]x \in [0,2\pi]

cos2(x)+sin2(x)=2\cos^2(x)+\sin^2(x)=2

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinusfunktion und Kosinusfunktion

Gegeben:
cos2(x)+sin2(x)=2\cos^2(x)+\sin^2(x)=2
Verwende den trigonometrischen Pythagoras: sin2(x)+cos2(x)=2\sin^2(x)+\cos^2(x)=2
Vergleichst du diese Formel mit der Augangsgleichung, erhälst du den Ausdruck "1=21=2", welcher jedoch nie erfüllt ist.
Lösungsmenge L={}L=\{ \}
Sprechweise: "Die Lösungsmenge ist leer." bzw. "Es existiert keine Lösung."
Entscheide, ob die folgenden Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen richtig oder falsch sind.
cos(90°α)=sin(α)\cos(90°-\alpha)=\sin(\alpha)
Richtig
Falsch
sin(α+180°)=sin(α)\sin(\alpha+180°) = -\sin(\alpha)
Richtig
Falsch
Vereinfache den folgenden Term, bis nur noch tan(x)\tan(x) darin vorkommt:
(11cos(x))(1+1cos(x))\displaystyle \left(1-\frac{1}{\cos(x)}\right)\left(1+\frac{1}{\cos(x)}\right)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangensfunktion

Forme (11cos(x))(1+1cos(x))\left(1-\dfrac{1}{\cos(x)}\right)\left(1+\dfrac{1}{\cos(x)}\right) um.
=11cos2(x)= 1-\dfrac{1}{\cos^2(x)}
Bilde den Hauptnenner und führe die Brüche zusammen.
=cos2(x)1cos2(x)=\dfrac{\cos^2(x)-1}{\cos^2(x)}
=sin2(x)cos2(x)=\dfrac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}
Verwende die Definition des Tangens.
=(tan(x))2=(\tan(x))^2

Löse für %%x \in \left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[%% die folgende Gleichung nach %%x%% auf: %%\tan(x)+\sin(x)=0%%

%%\tan(x)+\sin(x)=0%%

Verwende die Definition des Tangens.

%%\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} + \sin(x)=0%%

Klammere %%\sin(x)%% aus.

%%\sin(x) \left( \dfrac{1}{\cos(x)} + 1 \right) = 0%%

Das Produkt ist %%0%%, falls einer der beiden Faktoren %%0%% ist.

%%\sin(x)=0%% oder %%\dfrac{1}{\cos(x)}+1=0%%

Forme die zweite Gleichung um, indem du beiden Seiten mit %%-1%% subtrahierst und mit %%\cos(x)%% multiplizierst.

%%\sin(x)=0%% und %%1=-\cos(x)%%

Multipliziere auf beiden Seiten der zweiten Gleichung mit %%(-1)%%.

%%\sin(x)=0%% oder %%\cos(x)=-1%%

Betrachte die Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion zur Bestimmung der %%x%%-Werte in dem vorgeschriebenen Intervall.

%%x=0%%

Löse für x]π2,3π2[x \in \left]\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right[ die folgende Gleichung nach xx auf:
(tan(x))3+2tan(x)=sin(x)cos3(x)(\tan(x))^3+2\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos^3(x)}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangensfunktion

(tan(x))3+2tan(x)=sin(x)cos3(x)(\tan(x))^3+2\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos^3(x)}
Verwende, dass sin(x)cos3(x)=tan(x)cos2(x)\dfrac{\sin(x)}{\cos^3(x)}=\dfrac{\tan(x)}{\cos^2(x)} und subtrahiere auf beiden Seiten mit diesem Term.
(tan(x))3+2tan(x)tan(x)cos2(x)=0(\tan(x))^3+2\tan(x)-\dfrac{\tan(x)}{\cos^2(x)}=0
Klammere tan(x)\tan(x) aus.
tan(x)(tan(x)2+21cos2(x))=0\tan(x) \left( \tan(x)^2+2-\dfrac{1}{\cos^2(x)} \right)=0
Verwende, dass tan(x)2=sin2(x)cos2(x)\tan(x)^2=\dfrac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}.
tan(x)(sin2(x)cos2(x)+21cos2(x))=0\tan(x) \left( \dfrac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}+2-\dfrac{1}{\cos^2(x)} \right)=0
Bringe den Term in der Klammer auf einen Hauptnenner.
tan(x)(sin2(x)+2cos2(x)1cos2(x))=0\tan(x) \left( \dfrac{\sin^2(x)+2\cos^2(x)-1}{\cos^2(x)} \right)=0
Verwende den trigonometrischen Pythagoras und schreibe die 11 um.
tan(x)(sin2(x)+2cos2(x)sin2xcos2xcos2(x))=0\tan(x) \left( \dfrac{\sin^2(x)+2\cos^2(x)-\sin^2{x}-\cos^2{x}}{\cos^2(x)} \right)=0
Fasse den Zähler zusammen.
tan(x)(cos2(x)cos2(x))=0\tan(x) \left(\dfrac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)} \right)=0
Kürze.
tan(x)1=0\tan(x)\cdot 1=0
Betrachte die Skizze des Tangens, um zu bestimmen, wann der Tangens in dem gegebenen Intervall 00 ist.
x=πx=\pi

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