Lineares Wachstum bzw. linearer Zerfall liegt dann vor, wenn die Änderung eines Wertes %%N%%, bei gleicher zeitlicher Änderung, konstant ist.

Anders gesagt: Die Ausgangsmenge verändert sich in gleichen Zeitabständen um die immer gleiche Menge. Die lineare Wachstumsfunktion ist eine Geradengleichung:

 

%%N(t)=a\cdot t+N_0\\%%

Dabei ist:

  • %%N\left(t\right)\;%% : die Anzahl bzw. Größe von %%N%% nach der Zeit %%t%%,

  • %%a%%         : die Änderungsrate,

  • %%N_0%%     : die Anzahl bzw. Größe von %%N%% nach der Zeit %%0%%, also der Startwert.

 

Eigenschaften

  • Die Wachstumsgeschwindigkeit bzw. Änderungsrate %%a%% ist bei linearem Wachstum bzw. Zerfall konstant: %%a\in\mathbb{R}%%.

    Sie entspricht der Steigung des Graphen der linearen Wachstumsfunktion.

  • Monotonie: Ist %%a>0%% spricht man von linearem Wachstum. Die Funktion ist dann streng monoton steigend.

    Ist %%a<0%% beschreibt die Funktion linearen Zerfall. Die Funktion ist dann streng monoton fallend.

Der Graph einer linearen Wachstumsfunktion

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6160_1o2nK0XRwB.xml

Wie bei linearen Funktionen wird die Änderungsrate %%a%% mit Hilfe eines Steigungsdreiecks berechnet.

%%\Delta N(t)%% bezeichnet die Differenz der Werte von %%N%% zu zwei Zeitpunkten.

Im Graphen links: $$\Delta N(t)=N(5)-N(0)$$

%%\Delta t%% steht für die Zeitspanne, in der man %%N%% beobachtet. Hier: $$\Delta t=5-0=5$$

 

 

 

Beispiel

Ein Baum wird in den Garten gepflanzt. Zu diesem Zeitpunkt ragt er um 1m aus dem Boden heraus. Nach wievielen Jahren ist der Baum 5m hoch, wenn er durchschnittlich im Jahr um 10 cm wächst?

Lösung:

Als Erstes identifiziert man die gegebenen und gesuchten Werte.

Gesucht ist der Zeitpunkt %%t%%, zu dem der Baum die Größe 5m erreicht hat.

Gegeben ist die Größe des Baumes zu Beginn (= Startwert %%N_0%%), seine Wachstumsgeschwindigkeit (= Änderungsrate %%a%%) und seine nach %%t%% Jahren erreichte Größe (= %%N(t)%%)

Bemerkung: %%t%% wird in Jahren angegeben, %%N%% gibt die Größe des Baumes in Meter an.

Der Baum wächst 10cm pro Jahr, daher ist die Einheit von %%a:\;\frac{cm}{\mathrm Jahr}%%.

%%N_0=1m%%

%%a=10\frac{cm}{\mathrm Jahr}=0,1\frac{m}{\mathrm Jahr}%%

%%N\left(t\right)=5m%%

Nun setzt man die gegebenen Werte in die Funktionsgleichung %%N(t)=a\cdot t+N_0%% ein und löst die Gleichung nach dem gesuchten %%t%% auf.

$$\begin{array}{rcll} 5m&=&0,1\frac{m}{\mathrm Jahr}\cdot t+1m&|-1m\\ 4m&=&0,1\frac{m}{\mathrm Jahr}\cdot t&|:0,1\frac{m}{\mathrm Jahr}\\ \frac{4m}{0,1\frac{m}{\mathrm Jahr}}&=&t\\ 40 \;\mathrm {Jahr(e)}&=&t \end{array}$$

Antwort: Nach 40 Jahren ist der Baum 5m hoch.

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