In diesem Artikel werden mehrere Vorgehensweisen beschrieben, mit deren Hilfe sich quadratische Funktionen  mit gegebenen Eigenschaften (wie z. B. Punkte, die der Graph durchlaufen soll) aufstellen lassen.

   

Es werden 4 Aufgabentypen erklärt:

  • 3 Punkte gegeben
  • Scheitel und ein weiterer Punkt gegeben
  • Punkte und Zusatzinformationen gegeben
  • Parabel als Graph der Funktion gegeben

3 Punkte gegeben

Da eine quadratische Funktion in ihrer Normalform durch %%f(x)=ax^2+bx+c%% eindeutig bestimmt ist, bekommt man nach Einsetzen von drei Punkten ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und den drei gesuchten Werten %%a%%, %%b%% und %%c%%, das man lösen muss.   

Allgemeine Vorgehensweise für 3 gegebene Punkte

1. Schritt:

Gegebene Punktepaare in die Funktionsgleichung

%%f(x)=ax^2+bx+c%%

einsetzen, sodass man drei Gleichungen erhält.

3. Schritt:

Funktionsterm angeben.

Beispielaufgabe

Gesucht ist die quadratische Funktion, die die Punkte %%A(-1|12)%%, %%B(2|15)%% und %%C(5|{-}18)%% durchläuft.

      

1. Schritt: Gegebene Punktepaare in die Funktionsgleichung %%f(x)=ax^2+bx+c%% einsetzen. $$\begin{array}{llrcl} \text{Aus }A(-1|12): &I &12 &= &a\cdot (-1)^2+b\cdot (-1)+c\\ \text{Aus }B(2|15): &II &15 &= &a\cdot 2^2+b\cdot 2+c\\ \text{Aus }C(5|{-}18): &III &-18 &= &a\cdot 5^2+b\cdot 5+c \end{array} $$   

2. Schritt: Gleichungssystem lösen

Wie man ein Gleichungssystem löst, erfährst du im Artikel Additionsverfahren.

Ausführliche Rechnung, hier mit Additionsverfahren

$$\begin{array}{llrcl} \text{Aus }A(-1|12): &I &12 &= &a\cdot (-1)^2+b\cdot (-1)+c\\ \text{Aus }B(2|15): &II &15 &= &a\cdot 2^2+b\cdot 2+c\\ \text{Aus }C(5|{-}18): &III &-18 &= &a\cdot 5^2+b\cdot 5+c \end{array} $$

Zuerst solltest du die Zahlen auf der rechten Seite ausmultiplizieren.

$$\begin{array}{llrcl}&I' &12 &= &a &-b &+c\\ &II' &15 &= &4\cdot a &+2\cdot b &+c\\ &III' &-18 &= &25\cdot a &+5\cdot b &+c \end{array}$$

Du stellst fest, dass alle drei Gleichungen den Term %%+ c%% am Ende haben. Du kannst diesen also loswerden, indem du eine Gleichung von einer anderen subtrahierst. Indem du zum Beispiel %%II'%% von %%I'%% subtrahierst, erhältst du:

$$II' - I': 3 = 3a +3b$$

Diese Gleichung lässt sich ganz leicht nach %%b%% auflösen. Es gilt:

%%3 - 3a = 3b%%, oder einfach $$1-a = b.$$

Auch wenn du die Gleichung %%III'%% von der Gleichung %%II'%% subtrahierst, verschwindet %%c%%. Dann erhältst du:

$$II' - III': 33 = -21a - 3b$$

Setzt du hier die Auflösung %%1 - a = b%% von oben ein, erhälst du:

%%33 = -21a -3\cdot (1-a)%%,

und die Gleichung lässt sich zusammenfassen zu

$$33 = -18a - 3.$$

Addierst du %%3%% auf beiden Seiten, so erhältst du

%%36 = -18a.%%

Durch %%-18%% auf beiden Seiten teilen liefert:

$$-2 = a.$$

Da %%1-a = b%% schon bekannt war, kannst du hier %%a = -2%% einsetzen und so ist

$$b = 1-(-2) = 3.$$

Nun kannst du beide Werte von %%a%% und %%b%% in %%III'%% einsetzen und erhältst:

$$-18 = 25\cdot (-2) + 5\cdot 3 + c.$$

Zuerst ausmultipliziert und dann zusammengefasst lautet diese Gleichung:

%%-18 = -35 +c%%

also mit %%| +35%% auf beiden Seiten

$$17 = c.$$

Als Ergebnis bekommt man also %%a=-2, b=3, c=17%%.

3. Schritt: Funktionsterm angeben: %%f\left(x\right)=-2x^2+3x+17%% .

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/8900_5AyRucWQPg.xml

Was ist, wenn das Gleichungssystem keine eindeutige Lösung hat?

Fall 1: unendlich viele Lösungen:

%%\Rightarrow%% Zwei Punkte sind identisch.

Fall 2: keine Lösung:

%%\Rightarrow%% Die drei Punkte liegen nicht auf einer Parabel.

Weitere Übungsaufgaben

Scheitel und ein weiterer Punkt gegeben

Hat man einen Scheitelpunkt und einen weiteren Punkt gegeben, so empfiehlt es sich, die Scheitelform aufzustellen und anschließend den fehlenden Parameter %%a%% mit Hilfe des gegebenen Punktes auszurechnen. Um die Funktion in der Form %%f(x)=ax^2+bx+c%% zu erhalten, muss man nun noch ausmultiplizieren.

Allgemeine Vorgehensweise für gegebenen Scheitel und gegebenem Punkt

1. Schritt:

Scheitelpunkt verwenden, um die Scheitelform aufzustellen

2. Schritt:

Den noch fehlenden Parameter %%a%% berechnen, indem man den gegebenen Punkt in die Scheitelform einsetzt und nach dem Parameter auflöst.

3. Schritt:

Funktionsterm angeben.

    

Tipp

Der Scheitelpunkt kann auch indirekt gegeben sein, indem man ihn mit Verschiebungen beschreibt. "Die Parabel ist um 3 nach rechts und 2 nach oben verschoben" bedeutet zum Beispiel, dass der Scheitelpunkt bei (3|2) liegt.

   

Beispielaufgabe

Gesucht ist die quadratische Funktion f mit dem Scheitel %%S(-2|-3)%%, die durch den Punkt %%P(2|5)%% verläuft.

    

1. Schritt: Scheitelpunkt S verwenden, um die Scheitelform aufzustellen:  %%f(x)=a\cdot(x+2)²\;-3%%.

 

2. Schritt: Den noch fehlenden Parameter %%a%% berechnen, indem man den gegebenen Punkt P in die Scheitelform einsetzt und nach %%a%% auflöst: $$\begin{align} 5 &= a(2+2)^2-3\\ \Rightarrow 8 &= 16a\\ \Rightarrow a &= \frac 12 \end{align} $$

 

3. Schritt:

Die quadratische Funktion lautet somit %%f(x)=\frac12(x+2)^2-3%% oder ausmultipliziert %%f(x)=\frac12x^2+2x-1%%.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/8918_DhCKCNGL8f.xml

Download original Geogebra file

  

Weitere Übungsaufgaben

 

Punkte und Zusatzinformationen gegeben

Oftmals sind in der Aufgabenstellung noch zusätzliche Informationen gegeben, mit deren Hilfe man dann die Funktionsvorschrift angeben kann. Oft reicht aber eine Zusatzinformation nicht aus, da sie wenig verwertbare Informationen liefert.

Beispiele für Zusatzinformationen

  • "Normalparabel": Der Vorfaktor %%a%% ist gleich 1 (wenn die Parabel nach oben geöffnet ist) oder gleich -1 (Parabel nach unten geöffnet).

  • "nach oben geöffnete Parabel" bzw. "nach unten geöffnete Parabel": Positives bzw. negatives Vorzeichen des Vorfaktors %%a%% (siehe Parabel )

  • "nimmt nur positive / negative Werte an": Parabel verläuft immer über / unter der %%x%%-Achse. %%y%%-Koordinate des Scheitels größer/kleiner 0.

  • "selbe %%y%%-Koordinate bei den Punkten": Der Scheitel liegt bezüglich der x-Koordinate genau zwischen den beiden Punkten (Symmetrie von Parabeln).

  • "doppelte Nullstelle": Hat eine Parabel eine doppelte Nullstelle, dann ist diese der Scheitelpunkt. Er liegt also auf der %%x%%-Achse und besitzt somit die %%y%%-Koordinate 0.

Beispielaufgabe 

Gesucht ist eine Parabel, die eine doppelte Nullstelle hat und durch die Punkte %%A(1|2)%% und %%B(5|2)%% geht.

In diesem Fall lautet die Zusatzinformation "doppelte Nullstelle". Das heißt, der Scheitel liegt auf der x-Achse. Zusätzlich haben die beiden Punkte dieselbe y-Koordinate, d. h., der Scheitel liegt genau dazwischen. Zusammen ergibt sich für den Scheitel  %%S\left(3\vert\;0\right)%% .

Jetzt kann man mit den drei Punkten ein lineares Gleichungssystem lösen oder mit dem Scheitel die Scheitelform aufstellen und einen anderen Punkt einsetzen. Man erhält also zuerst  %%f(x)=a\cdot\left(x-3\right)^2+0%%  und setzt z. B. den Punkt %%B%% ein, um  %%a=\frac12%%  zu erhalten. Insgesamt ergibt sich %%f\left(x\right)=\frac12\left(x-3\right)^2=\frac12x^2-3x+\frac92%%

legacy geogebra formula

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Weitere Übungsaufgaben

  

Parabel als Funktionsgraph gegeben

Falls die Parabel als Funktionsgraph im Koordinatensystem gegeben ist, kann man die Funktionsgleichung auf zwei Arten ablesen:

   

Drei Punkte ablesen

Man kann günstig gelegene Punkte aus dem Koordinatensystem ablesen, um die bekannte Lösungsansätze anzuwenden. Praktische Punkte sind dabei der  Scheitelpunkt und die  Nullstellen

    

Direkt ablesen

Man kann die Gleichung auch direkt ablesen. Dazu benutzt man den Scheitelform  %%y= a\left( x- d\right)^2+ e%% .

  • Die Koeffizienten %%d%% und %%e%% sind die Koordinaten des Scheitelpunkts   %%\mathrm S\left( d\left| e\right.\right)%%

  • Der Koeffizient %%a%% lässt sich ablesen, indem man vom Scheitelpunkt aus eine Einheit nach rechts oder links geht und abliest, wie weit man nach oben (falls %%a%% positiv ist) oder nach unten (falls %%a%% negativ ist) gehen muss.

Beispiel

legacy geogebra formula

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/8916_D43rSpvtgp.xml

Der Scheitelpunkt liegt bei (2|1), also bekommt man 

%%\boldsymbol y\boldsymbol=\boldsymbol a\left(\boldsymbol x\boldsymbol-\mathbf2\right)^\mathbf2\boldsymbol+\mathbf1%%

Geht man vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach rechts, so muss man drei Schritte nach oben gehen, bis man wieder auf dem Graphen ist. Also ist der Funktionsterm  

%%\boldsymbol y\boldsymbol=\mathbf3\left(\boldsymbol x\boldsymbol-\mathbf2\right)^\mathbf2\boldsymbol+\mathbf1%%

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Zu article Funktionsterm aufstellen für quadratische Funktionen: Falsche LGS Lösungen
Felix7539 2016-06-14 20:12:33
Das LGS wurde falsch gelöst, bzw.. es kommen falsche Werte am Ende raus. Auch Vorzeichen und Koordinatenpunkte stimmen teilweise nicht.
Nish 2016-06-15 22:55:40
Hallo Felix7539,
vielen Dank für deinen Hinweis! Du hast natürlich Recht! Ich bessere es morgen/übermorgen aus.

LG,
Nish
Nish 2016-06-16 15:06:44
Ich habe jetzt die Fehler verbessert. Das Ergebnis (a=-2, b=3 und c=17) stimmt aber. Leider ist die ausführliche Rechnung im Spoiler ("Kasten") nur ein Bild, das nicht mehr geht. Ich habe leider momentan keine Zeit, die ausführliche Rechnung noch zu ergänzen.
Am Besten rechnest du es nochmal und falls du nicht auf das Ergebnis kommst, kannst du gerne nachfragen und wir ergänzen die Rechnung.

LG,
Nish
Sterni 2016-11-22 19:43:41
Können Sie mir bitte unbedingt unbung
Sterni 2016-11-22 19:44:28
Ich brauche den lösungsweg
Nish 2016-11-24 18:25:11
Hallo Sterni,
erstmal sorry für die späte Rückmeldung! Ich hatte keine Zeit dir eher zu antworten. Ich habe einen Kollegen gefragt, ob er den Lösungsweg hinzufügen bzw. zumindest anfangen kann. Er hat nämlich auch viel zu tun. Wir bitten dich um Nachsicht. Bis morgen und evtl. auch schon bis heute Abend versuchen wir den Lösungsweg aber hinzuzufügen.

Hier ist eine Aufgabe (Teilaufgabe a) ) mit ausführlicher Lösung und ähnlichen Aufgabenstellung: www.serlo.org/13837.
Vielleicht hilft dir das erstmal weiter.

LG,
Nish
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