Gegeben sind die Funktionsgleichungen folgender Parabeln:

1.Bestimme die Scheitelform und den Scheitelpunkt.

2.Berechne die Achsenschnittpunkte.

3.Beschreibe schrittweise, wie f(x) aus der Normalparabel entsteht und wie sie geöffnet ist.

4.Zeichne den Graphen von f(x) in ein geeignetes Koordinatensystem.

%%f\left(x\right)=x^2-4x+2%%

1.Scheitelpunkt berechnen

%%f\left(x\right)=x^2-4x+2%%

In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.

%%=x^2-4x+\left(\frac42\right)^2-\left(\frac42\right)^2+2=%%

Umformen in eine Binomische Formel .

%%=\left(x-\frac42\right)^2-\left(\frac42\right)^2+2=%%

%%=\left(x-2\right)^2-2^2+2=%%

%%=\left(x-2\right)^2-4+2=%%

%%=\left(x-2\right)^2-2%%

%%\;\rightarrow\;%% %%\mathrm S\left(2\;\vert-2\right)%%

 

2.Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

%%f\left(x\right)=x^2-4x+2%%

Nullstelle berechnen. Die Gleichung gleich 0 setzen.

%%x^2-4x+2=0%%

Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.

%%\mathrm D=16-4\cdot1\cdot2%%

%%\mathrm D=16-8=8%%

%%\;\rightarrow\;%% 2 Lösungen

%%x_1=\frac{4+\sqrt8}2=2+\sqrt2%%

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(2+\sqrt2\vert0\right)%%

%%x_2=\frac{4-\sqrt8}2=2-\sqrt2\approx0,586%%

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(2-\sqrt2\vert0\right)%%

 

Schnittpunkt mit der y-Achse

%%f\left(x\right)=x^2-4x+2%%

Für x gleich 0 setzen.

%%f\left(0\right)=0-0+2%%

%%f\left(0\right)=2%%

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_\mathrm y\left(0\vert2\right)%%

 

3.Verschiebung

Normalparabel: %%f\left(x\right)=x^2%%

Die verschiedenen Verschiebungen lassen sich an der Scheitelform ablesen.

%%f\left(x\right)=\left(x-2\right)^2-2%%

%%\;\rightarrow\;%% Verschiebung um 2 LE nach rechts.

%%\;\rightarrow\;%% Verschiebung um 2 LE nach unten.

4.Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6003_ThS3ww7qch.xml

%%f\left(x\right)=x^2+4x+2%%

1.Scheitelpunkt berechnen

%%f\left(x\right)=x^2+4x+2%%

In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.

%%=x^2+4x+\left(\frac42\right)^2-\left(\frac42\right)^2+2=%%

Umformen in eine Binomische Formel.

%%=\left(x+\frac42\right)^2-\left(\frac42\right)^2+2=%%

%%=\left(x+2\right)^2-2^2+2=%%

%%=\left(x+2\right)^2-4+2=%%

%%=\left(x+2\right)^2-2%%

%%\;\rightarrow\;%% %%\mathrm S\left(-2\;\vert-2\right)%%

 

2.Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

%%f\left(x\right)=x^2+4x+2%%

Nullstelle berechnen . Die Gleichung gleich 0 setzen.

%%x^2+4x+2=0%%

Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.

%%\mathrm D=16-4\cdot1\cdot2%%

%%\mathrm D=16-8=8%%

%%\;\rightarrow\;%% 2 Lösungen

%%x_1=\frac{-4+\sqrt8}2=-2+\sqrt2\approx-0,586%%

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(-2+\sqrt2\vert0\right)%%

%%x_2=\frac{-4-\sqrt8}2=-2-\sqrt2\approx-3,414%%

%%{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(-2-\sqrt2\vert0\right)%%

 

Schnittpunkt mit der y-Achse

%%f\left(x\right)=x^2+4x+2%%

Für x gleich 0 setzen.

%%f\left(0\right)=0+0+2%%

%%f\left(0\right)=2%%

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_\mathrm y\left(0\vert2\right)%%

 

3.Verschiebung des Funktionsgraphen

Normalparabel: %%f\left(x\right)=x^2%%

Die verschiedenen Verschiebungen lassen sich an der Scheitelform ablesen.

%%f\left(x\right)=\left(x+2\right)^2-2%%

%%\;\rightarrow\;%% Verschiebung um 2 LE nach links.

%%\;\rightarrow\;%% Verschiebung um 2 LE nach unten.

4.Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6007_6MLWielxmo.xml

%%{\mathrm P}_\mathrm y\left(0\vert2\right)%%

%%f\left(x\right)=-x^2-4x+3%%

1.Scheitelpunkt berechnen

%%f\left(x\right)=-x^2-4x+3%%

Minus ausklammern. %%\;\rightarrow\;%% Distributivgesetz.

%%=-\left(x^2+4x-3\right)=%%

In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.

%%=-\left(x^2+4x+\left(\frac42\right)^2-\left(\frac42\right)^2-3\right)=%%

Umformen in eine Binomische Formel.

%%=-\left(\left(x+\frac42\right)^2-\left(\frac42\right)^2-3\right)=%%

%%=-\left(\left(x+2\right)^2-2^2-3\right)=%%

%%=-\left(\left(x+2\right)^2-4-3\right)=%%

%%=-\left(\left(x+2\right)^2-7\right)=%%

%%=-\left(x+2\right)^2+7%%

%%\;\rightarrow\;%% %%\mathrm S\left(-2\;\vert\;7\right)%%

 

2.Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

%%f\left(x\right)=-x^2-4x+3%%

Nullstelle berechnen. Die Gleichung gleich 0 setzen.

%%-x^2-4x+3=0%%

Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.

%%\mathrm D=16-4\cdot\left(-1\right)\cdot3%%

%%\mathrm D=16+12=28%%

%%\;\rightarrow\;%% 2 Lösungen

%%x_1=\frac{4+\sqrt{28}}{2\cdot\left(-1\right)}=-2-\sqrt7\approx-4,64%%

Mit Taschenrechner den genauen Wert berechnen.

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(-2-\sqrt7\vert0\right)%%

%%x_2=\frac{-4-\sqrt{28}}{2\cdot\left(-1\right)}=-2+\sqrt7\approx0,65%%

Mit Taschenrechner den genauen Wert berechnen.

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(-2+\sqrt7\vert0\right)%%

 

Schnittpunkt mit der y-Achse

%%f\left(x\right)=-x^2-4x+3%%

Für x gleich 0 setzen.

%%f\left(0\right)=0-0+3%%

%%f\left(0\right)=3%%

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_\mathrm y\left(0\vert3\right)%%

 

3.Verschiebung des Funktionsgraphen

Normalparabel: %%f\left(x\right)=x^2%%

Die verschiedenen Verschiebunge n lassen sich an der Scheitelform ablesen.

%%f\left(x\right)=-\left(x+2\right)^2+7%%

%%\;\rightarrow\;%% Nach unten geöffnet.

%%\;\rightarrow\;%% Verschiebung um 2 LE nach links.

%%\;\rightarrow\;%% Verschiebung um 7 LE nach oben.

4.Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6168_C6ZWhyHZpj.xml

%%f\left(x\right)=-x^2+8x-9%%

1.Scheitelpunkt berechnen

%%f\left(x\right)=-x^2+8x-9%%

Minus ausklammern. %%\;\rightarrow\;%% Distributivgesetz.

%%=-\left(x^2-8x+9\right)=%%

In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.

%%=-\left(x^2-8x+\left(\frac82\right)^2-\left(\frac82\right)^2+9\right)=%%

Umformen in eine Binomische Formel .

%%=-\left(\left(x-\frac82\right)^2-\left(\frac82\right)^2+9\right)=%%

%%=-\left(\left(x-\textstyle4\right)^2-4^2+9\right)=%%

%%=-\left(\left(x-\textstyle4\right)^2-16+9\right)=%%

%%=-\left(\left(x-\textstyle4\right)^2-7\right)=%%

%%=-\left(x-\textstyle4\right)^2+7%%

%%\;\rightarrow\;%% %%\mathrm S\left(4\;\vert\;7\right)%%

 

2.Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

%%f\left(x\right)=-x^2+8x-9%%

Nullstelle berechnen. Die Gleichung gleich 0 setzen.

%%-x^2+8x-9=0%%

Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.

%%\mathrm D=64-4\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-9\right)%%

%%\mathrm D=64-36=28%%

%%\;\rightarrow\;%% 2 Lösungen

%%x_1=\frac{-8+\sqrt{28}}{2\cdot\left(-1\right)}=4-\sqrt7\approx1,35%%

Mit Taschenrechner den genauen Wert berechnen.

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(4-\sqrt7\vert0\right)%%

%%x_2=\frac{-8-\sqrt{28}}{2\cdot\left(-1\right)}=4+\sqrt7\approx6,65%%

Mit Taschenrechner den genauen Wert berechnen.

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(4+\sqrt7\vert0\right)%%

 

Schnittpunkt mit der y-Achse

%%f\left(x\right)=-x^2+8x-9%%

Für x gleich 0 setzen.

%%f\left(0\right)=0+0-9%%

%%f\left(0\right)=-9%%

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_\mathrm y\left(0\vert-9\right)%%

 

3.Verschiebung des Funktionsgraphen

Normalparabel: %%f\left(x\right)=x^2%%

Die verschiedenen Verschiebungen lassen sich an der Scheitelform ablesen.

%%f\left(x\right)=-\left(x-\textstyle4\right)^2+7%%

%%\;\rightarrow\;%% Nach unten geöffnet.

%%\;\rightarrow\;%% Verschiebung um 4 LE nach rechts.

%%\;\rightarrow\;%% Verschiebung um 7 LE nach oben.

4.Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6174_H2EV6KOQmh.xml

%%f\left(x\right)=\frac12x^2-4x+5%%

1.Scheitelpunkt berechnen

%%f\left(x\right)=\frac12x^2-4x+5%%

%%\frac12%% ausklammern. %%\;\rightarrow\;%% Distributivgesetz .

%%=\frac12\left(x^2-8x+10\right)=%%

In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.

%%=\frac12\left(x^2-8x+\left(\frac82\right)^2-\left(\frac82\right)^2+10\right)=%%

Umformen in eine Binomische Formel .

%%=\frac12\left(\left(x-\frac82\right)^2-\left(\frac82\right)^2+10\right)=%%

%%=\frac12\left(\left(x-\textstyle4\right)^2-4^2+10\right)=%%

%%=\frac12\left(\left(x-\textstyle4\right)^2-16+10\right)=%%

%%=\frac12\left(\left(x-\textstyle4\right)^2-6\right)=%%

%%=\frac12\left(x-\textstyle4\right)^2-6\cdot\frac12=%%

%%=\frac12\left(x-\textstyle4\right)^2-\frac62=%%

%%=\frac12\left(x-\textstyle4\right)^2-3%%

%%\;\rightarrow\;%% %%\mathrm S\left(4\;\vert\;-3\right)%%

 

2.Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

%%f\left(x\right)=\frac12x^2-4x+5%%

Nullstelle berechnen. Die Gleichung gleich 0 setzen.

%%\frac12x^2-4x+5=0%%

Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.

%%\mathrm D=16-4\cdot\frac12\cdot5%%

%%\mathrm D=16-10=6%%

%%\;\rightarrow\;%% 2 Lösungen

%%x_1=\frac{4+\sqrt6}{2\cdot\displaystyle\frac12}=4+\sqrt6\approx6,45%%

Mit Taschenrechner den genauen Wert berechnen.

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(4+\sqrt6\vert0\right)%%

%%x_2=\frac{4-\sqrt6}{2\cdot\displaystyle\frac12}=4-\sqrt6\approx1,55%%

Mit Taschenrechner den genauen Wert berechnen.

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(4-\sqrt6\vert0\right)%%

 

Schnittpunkt mit der y-Achse

%%f\left(x\right)=\frac12x^2-4x+5%%

Für x gleich 0 setzen.

%%f\left(0\right)=0-0+5%%

%%f\left(0\right)=5%%

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_\mathrm y\left(0\vert5\right)%%

 

3.Verschiebung des Funktionsgraphen

Normalparabel: %%f\left(x\right)=x^2%%

Die verschiedenen Verschiebungen lassen sich an der Scheitelform ablesen.

%%f\left(x\right)=\frac12\left(x-\textstyle4\right)^2-3%%

%%\;\rightarrow\;%% Gestaucht mit %%\frac12%% .

%%\;\rightarrow\;%% Verschiebung um 4 LE nach rechts.

%%\;\rightarrow\;%% Verschiebung um 3 LE nach unten.

4.Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6196_kEw79OrGZY.xml

%%f\left(x\right)=-\frac12x^2-2x+6%%

1.Scheitelpunkt berechnen

%%f\left(x\right)=-\frac12x^2-2x+6%%

%%-\frac12%% ausklammern. %%\;\rightarrow\;%% Distributivgesetz .

%%=-\frac12\left(x^2{\textstyle+}{\textstyle4}x-12\right)=%%

In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.

%%=-\frac12\left(x^2{\textstyle+}{\textstyle4}x+\left(\frac42\right)^2-\left(\frac42\right)^2-12\right)=%%

Umformen in eine Binomische Formel .

%%=-\frac12\left(\left(x+\frac42\right)^2-\left(\frac42\right)^2-12\right)=%%

%%=-\frac12\left(\left(x+\textstyle2\right)^2-2^2-12\right)=%%

%%=-\frac12\left(\left(x+\textstyle2\right)^2-4-12\right)=%%

%%=-\frac12\left(\left(x+\textstyle2\right)^2-16\right)=%%

%%=-\frac12\left(x+\textstyle2\right)^2-16\cdot\left(-\frac12\right)=%%

%%=-\frac12\left(x+\textstyle2\right)^2+\frac{16}2=%%

%%=-\frac12\left(x+\textstyle2\right)^2+\textstyle8%%

%%\;\rightarrow\;%% %%\mathrm S\left(-2\;\vert\;8\right)%%

 

2.Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

%%f\left(x\right)=-\frac12x^2-2x+6%%

Nullstelle berechnen. Die Gleichung gleich 0 setzen.

%%f\left(x\right)=-\frac12x^2-2x+6=0%%

%%-\frac12%% ausklammern. %%\;\rightarrow\;%% Distributivgesetz .

%%=-\frac12\left(x^2{\textstyle+}{\textstyle4}x-12\right)=%%

Satz von Vieta anwenden.

%%=-\frac12\left(x+6\right)\left(x-2\right)%%

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(-6\vert0\right)%% ; %%{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(2\vert\;0\right)%%

 

Schnittpunkt mit der y-Achse

%%f\left(x\right)=-\frac12x^2-2x+6%%

Für x gleich 0 setzen.

%%f\left(0\right)=0-0+6%%

%%f\left(0\right)=6%%

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_\mathrm y\left(0\vert6\right)%%

 

3.Verschiebung des Funktionsgraphen

Normalparabel: %%f\left(x\right)=x^2%%

Die verschiedenen Verschiebungen lassen sich an der Scheitelform ablesen.

%%=-\frac12\left(x+\textstyle2\right)^2+\textstyle8%%

%%\;\rightarrow\;%% Nach unten geöffnet.

%%\;\rightarrow\;%% Gestaucht mit %%\frac12%% .

%%\;\rightarrow\;%% Verschiebung um 2 LE nach links.

%%\;\rightarrow\;%% Verschiebung um 8 LE nach oben.

4.Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6200_F8aMieCOLH.xml

%%f\left(x\right)=\frac13x^2-\frac23x-2%%

1.Scheitelpunkt berechnen

%%f\left(x\right)=\frac13x^2-\frac23x-2%%

%%\frac12%% ausklammern. %%\;\rightarrow\;%% Distributivgesetz.

%%=\frac13\left(x^2-2x-\textstyle6\right)=%%

In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.

%%=\frac13\left(x^2-2x+\left(\frac22\right)^2-\left(\frac22\right)^2-\textstyle6\right)=%%

Umformen in eine Binomische Formel.

%%=\frac13\left(\left(x-\frac22\right)^2-\left(\frac22\right)^2-\textstyle6\right)=%%

%%=\frac13\left(\left(x-\textstyle1\right)^2-1^2-\textstyle6\right)=%%

%%=\frac13\left(\left(x-\textstyle1\right)^2-1-\textstyle6\right)=%%

%%=\frac13\left(\left(x-\textstyle1\right)^2-\textstyle7\right)=%%

%%=\frac13\left(x-\textstyle1\right)^2-{\textstyle7}{\textstyle\cdot}\frac13=%%

%%=\frac13\left(x-\textstyle1\right)^2-\frac73%%

%%\;\rightarrow\;%% %%\mathrm S\left(1\;\vert\;-\frac73\right)%%

 

2.Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

%%f\left(x\right)=\frac13x^2-\frac23x-2%%

Nullstelle berechnen . Die Gleichung gleich 0 setzen.

%%\frac13x^2-\frac23x-2=0%%

Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.

%%\mathrm D=\left(-\frac23\right)^2-4\cdot\frac13\cdot\left(-2\right)%%

%%\left(-\frac23\right)^2=\frac49%%

%%\mathrm D=\frac49-4\cdot\frac13\cdot\left(-2\right)%%

%%\mathrm D=\frac49+\frac83%%

%%\mathrm D=\frac49+\frac{24}9=\frac{28}9%%

%%\;\rightarrow\;%% 2 Lösungen

%%x_1=\frac{{\displaystyle\frac23}+\sqrt{\displaystyle\frac{28}9}}{2\cdot\displaystyle\frac13}=1+\sqrt7\approx3,65%%

Mit Taschenrechner den genauen Wert berechnen.

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(1+\sqrt7\vert0\right)%%

%%x_2=\frac{{\displaystyle\frac23}-\sqrt{\displaystyle\frac{28}9}}{2\cdot\displaystyle\frac13}=1-\sqrt7\approx-1,65%%

Mit Taschenrechner den genauen Wert berechnen.

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(1-\sqrt7\vert0\right)%%

 

Schnittpunkt mit der y-Achse

%%f\left(x\right)=\frac13x^2-\frac23x-2%%

Für x gleich 0 setzen.

%%f\left(0\right)=0-0-2%%

%%f\left(0\right)=-2%%

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_\mathrm y\left(0\vert-2\right)%%

 

3.Verschiebung des Funktionsgraphen

Normalparabel: %%f\left(x\right)=x^2%%

Die verschiedenen Verschiebungen lassen sich an der Scheitelform ablesen.

%%=\frac13\left(x-\textstyle1\right)^2-\frac73%%

%%\;\rightarrow\;%% Gestaucht mit %%\frac13%% .

%%\;\rightarrow\;%% Verschiebung um 1 LE nach rechts.

%%\;\rightarrow\;%% Verschiebung um  %%\frac73%% LE nach unten.

4.Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6202_qRo8RL1xPz.xml

%%f\left(x\right)=-\frac23x^2+\frac34x+6%%

1.Scheitelpunkt berechnen

%%f\left(x\right)=-\frac23x^2+\frac34x+6%%

%%-\frac23%% ausklammern. %%\;\rightarrow\;%% Distributivgesetz.

%%=-\frac23\left(x^2-\frac98x-\frac{18}2\right)=%%

Kürzen mit 2.

%%=-\frac23\left(x^2-\frac98x-\textstyle9\right)=%%

In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.

%%=-\frac23\left(\left(x-\frac98\cdot\frac12\right)^2-\left(\frac98\cdot\frac12\right)^2-\textstyle9\right)=%%

%%=-\frac23\left(\left(x-\frac9{16}\right)^2-\left(\frac9{16}\right)^2-\textstyle9\right)=%%

%%\left(\frac9{16}\right)^2=\frac{81}{256}%%

%%=-\frac23\left(\left(x-\frac9{16}\right)^2-\frac{81}{256}-\textstyle9\right)=%%

Gemeinsamen Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern .

%%=-\frac23\left(\left(x-\frac9{16}\right)^2-\frac{81}{256}-\frac{2304}{256}\right)=%%

%%=-\frac23\left(\left(x-\frac9{16}\right)^2-\frac{2385}{256}\right)=%%

%%=-\frac23\left(x-\frac9{16}\right)^2-\frac{2385}{256}\cdot\left(-\frac23\right)=%%

Kürzen der Faktoren mit 2.

%%=-\frac23\left(x-\frac9{16}\right)^2-\frac{2385}{128}\cdot\left(-\frac13\right)=%%

Kürzen der Faktoren mit 3.

%%=-\frac23\left(x-\frac9{16}\right)^2-\frac{795}{128}\cdot\left(-\frac11\right)=%%

%%=-\frac23\left(x-\frac9{16}\right)^2+\frac{795}{128}%%

%%\;\rightarrow\;%% %%\mathrm S\left(\frac9{16}\;\vert\;\frac{795}{128}\right)%%

 

2.Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

%%f\left(x\right)=-\frac23x^2+\frac34x+6%%

Nullstelle berechnen . Die Gleichung gleich 0 setzen.

%%\mathrm D=\left(\frac34\right)^2-4\cdot{\textstyle\left(-\displaystyle\frac23\right)}\cdot6=%%

Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.

%%=\left(\frac34\right)^2-4\cdot{\textstyle\left(-\displaystyle\frac{12}3\right)}=%%

%%=\left(\frac34\right)^2-4\cdot{\textstyle\left(-4\right)}=%%

%%=\left(\frac34\right)^2+16=%%

%%\left(\frac34\right)^2=\frac9{16}%%

%%=\frac9{16}+16=%%

Gemeinsamen Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern .

%%=\frac9{16}+\frac{256}{16}=%%

%%=\frac{265}{16}%%

%%\;\rightarrow\;%% 2 Lösungen

%%x_1=\frac{-{\displaystyle\frac34}+\sqrt{\displaystyle\frac{265}{16}}}{2\cdot\left(-\displaystyle\frac23\right)}\approx-2,49%%

Mit Taschenrechner den genauen Wert berechnen.

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(-2,49\vert0\right)%%

%%x_1=\frac{-{\displaystyle\frac34}-\sqrt{\displaystyle\frac{265}{16}}}{2\cdot\left(-\displaystyle\frac23\right)}\approx3,61%%

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(3,61\vert0\right)%%

 

Schnittpunkt mit der y-Achse

%%f\left(x\right)=-\frac23x^2+\frac34x+6%%

x gleich 0 setzen.

%%f\left(0\right)=0+0+6%%

%%f\left(0\right)=6%%

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_\mathrm y\left(0\vert6\right)%%

 

3.Verschiebung des Funktionsgraphen

Normalparabel: %%f\left(x\right)=x^2%%

Die verschiedenen Verschiebungen lassen sich an der Scheitelform ablesen.

%%=-\frac23\left(x-\frac9{16}\right)^2+\frac{795}{128}%%

%%\;\rightarrow\;%% Nach unten geöffnet.

%%\;\rightarrow\;%% Gestaucht mit %%\frac23%% .

%%\;\rightarrow\;%% Verschiebung um  %%\frac9{16}%% LE nach rechts.

%%\;\rightarrow\;%% Verschiebung um %%\frac{795}{128}%% LE nach oben.

4.Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6204_lAkLh1rsyi.xml