Aufgaben

Berechne ohne Taschenrechner

$$\sin\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)+\tan\left(1-\sin\left(\frac{5\pi}{2}\right)\right).$$

%%\sin\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) + \tan\left(1 - \sin\left(\frac{5\pi}{2}\right)\right)%%

Berechne %%\sin \left( \frac{5\pi}{2} \right)%%.

Die Sinusfunktion ist periodisch mit Periode %%2\pi%%.

%%=\sin\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) + \tan\left(1 - \sin\left(\frac{\pi}{2}+2\pi\right)\right)%%

%%=\sin\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) + \tan\left(1 - \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)%%

Berechne %%\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)%% und %%\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)%%. Die Werte von %%\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)%% und %%\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)%% kannst du dir leicht merken. Deswegen brauchst du dafür keinen Taschenrechner. Als Hilfe kannst du dir den Graphen zu den Funktionen anschauen. Sinus Kosinus Werte bei Pi-Halbe Daraus kannst du ablesen:

  • %%\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0%%
  • %%\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1%%

Diese Werte setzt du in den Term ein.

%%=\sin\left(0\right) + \tan\left(1 - 1\right)%%

%%=\sin\left(0\right) + \tan\left(0\right)%%

Benutze die Definition der Tangensfunktion: %%\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}%%.

%%= \sin(0) + \frac{\sin(0)}{\cos(0)}%%

Setze die Funktionswerte ein. Zur Hilfe kannst du wieder den Graphen betrachten.

%%=\sin(0) + \frac{\sin(0)}{\cos(0)} = 0 + \frac{0}{1} = 0%%

Berechne den Winkel %%\alpha%% im Intervall %%[0,\pi]%%. Gib dein Ergebnis im Gradmaß an:

$$1\;+\;3\cdot\sin^2(\alpha)=1+\cos^2\left(\alpha\right)$$

$$1+3\cdot\cos^2(\alpha)=1+\sin^2(\alpha)\quad|-\sin^2(\alpha)$$

Bringe Sinus und Kosinus auf eine Seite.

$$\begin{array}{rl}1+3\cdot\cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha)=1&\end{array}$$

Nach Betrachten des Terms, entdeckst du, dass du den trigonometrischen Pythagoras anwenden kannst.

$$\begin{array}{rl}1-\sin^2(\alpha)+3\cdot\cos^2(\alpha)=1&\end{array}$$

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$$\begin{array}{rl}\cos^2(\alpha)+3\cdot\cos^2(\alpha)=1&\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}4\cdot\cos^2(\alpha)=1&|:4\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}\cos^2(\alpha)=\frac{1}{4}&|\sqrt{}\end{array}$$

Ziehe die Wurzel.

$$\begin{array}{rl}\cos(\alpha)=\sqrt{\frac{1}{4}}&\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}\cos(\alpha)=\pm\frac{1}{2}&\end{array}$$

Verwende den Taschenrechner (%%\cos^{-1}%%-Taste).

$$\alpha_1=60^\circ;\alpha_2=120^\circ$$

Es ist %%\cos(2)\approx-0,42%%. Bestimme 3 weitere Winkel, die den gleichen Kosinuswert haben.

Gegeben: %%\cos(2) \approx -0,42%%

Gesucht: Weitere Stellen %%a,b,c%% mit %%\cos(a)=\cos(b)=\cos(c)=\cos(2)%%

Zeichne die Kosinusfunktion, um die Periode zu bestimmen.

Betrachtet man den Graphen der Kosinusfunktion, so erkennt man, dass sich der Kosinus alle %%2\pi%% wiederholt. Das heißt, Kosinus hat die Periode %%2\pi%%.

Kosinus

Da der Kosinus Periode %%2 \pi%% hat, gilt allgemein

%%\cos(x)=\cos(x+2\pi)=\cos(x+4\pi)=…%%

für jede Stelle %%x%% und damit %%\cos(2)=\cos(2+2\pi)=\cos(2+4\pi)=…%%

Daher findet man weitere Stellen %%a,b,c%% zum Beispiel mit %%a=2+2\pi, b=2+4\pi, c=2+6\pi%%.

Sinuswerte

Prüfe, ob folgende Gleichungen für jede Stelle %%x%% gelten:

%%\sin(x)+\sin(y)=\sin(x+y)%%

Prüfe: %%\sin(x+y)=\sin(x)+\sin(y)%%

Betrachte den Graphen der Sinusfunktion und prüfe die Werte von %%\sin(x+y)%% und %%\sin(x)+\sin(y)%% an beispielsweise %%x=y=\dfrac{\pi}{2}%%. Beachte, dass die Gleichung nicht mehr erfüllt ist, wenn die Gleichung an einem expliziten Punkt nicht gilt.

%%\sin\left(\dfrac{\pi}{2} \right) = 1%% und

%%\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2} \right)=\sin(\pi)=0%%

Damit ist $$\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2} \right) \neq \sin\left(\dfrac{\pi}{2} \right)+\sin\left(\dfrac{\pi}{2} \right).$$ Und daher im Allgemeinen %%\sin(x+y)\neq \sin(x)+\sin(y)%%

Beachte, dass es durchaus Stellen %%x,y%% gibt, welche die Gleichung erfüllen. Zum Beispiel %%x=y=0%%, denn es ist %%\sin(0)=0%%. Es war jedoch nach der allgemeinen Gültigkeit der Gleichung gefragt.

%%\cos(x)+\cos(y)=\cos(x+y)%%

Prüfe: %%\cos(x)+\cos(y)=\cos(x+y)%%

Betrachte den Graphen der Sinusfunktion und prüfe die Werte von %%\cos(x+y)%% und %%\cos(x)+\cos(y)%% an beispielsweise %%x=y=0%%. Beachte, dass die Gleichung nicht mehr erfüllt ist, wenn die Gleichung an einem expliziten Punkt nicht gilt.

%%\cos(0)+\cos(0)=2%%

%%\cos(0+0)=\cos(0)=1%%

Damit ist allgemein %%\cos(x)+\cos(y) \neq \cos(x+y).%%

Finde Beispiele für Phänomene in der Realität, die sich durch Sinus- und Kosinusfunktionen beschreiben lassen.

Im allgemeinen lassen sich Wellen durch Sinus- und Kosinusfunktionen beschreiben. Das können zum Beispiel Wasserwellen, Schallwellen, Elektromagnetische Wellen sein. Das heißt, dass diese Funktionen vorallem in der Physik ihre Anwendung finden.

Prüfe, für welche %%x%% im Intervall zwischen %%0%% und %%2\pi%% die folgenden Gleichungen gelten:

Hinweis: Verwende den trigonometrischen Pythagoras %%\sin^2(x)+\cos^2(x)=1%%.

%%\sin^2(x)-\cos^2(x)=1%%

%%\sin^2(x)-\cos^2(x)=1%%

Verwende den trigonometrischen Pythagoras wie im Hinweis.

%%\sin^2(x)-\cos^2(x)=\sin^2(x)+\cos^2(x)%%

Subtrahiere auf beiden Seiten %%\sin^2(x)%% und addiere auf beiden Seiten %%\cos^2(x)%%.

%%2 \cdot \cos^2(x) = 0%%

Teile durch %%2%% und ziehe die Wurzel.

%%\cos(x)=0%%

Lese aus dem Graphen der Kosinusfunktion ab, welche Nullstellen der Kosinus zwischen %%0%% und %%2 \pi%% hat.

%%x = \dfrac{\pi}{2}%% oder %%x=\dfrac{3\pi}{2}%%

%%\left(1-\cos(x)\right) \left(1+\cos(x) \right) = \sin(x)%%

%%\left(1-\cos(x)\right)\left(1+\cos(x) \right) = \sin(x)%%

Verwende auf der linken Seite der Gleichung die dritte binomische Formel.

%%1-\cos^2(x) = \sin(x)%%

Verwende den trigonometrischen Pythagoras.

%%\sin^2(x)=\sin(x)%%

Bringe %%\sin(x)%% auf die andere Seite und klammere dann %%\sin(x)%% aus.

%%\sin(x) \left( \sin(x) - 1 \right) = 0%%

Diese Gleichung ist erfüllt, falls %%\sin(x)=0%% oder %%\sin(x)-1=0%%.

  • %%\sin(x)=0%%, falls %%x=0%% oder %%x=\pi%% oder %%x=2\pi%%
  • %%\sin(x)=1%%, falls %%x=\dfrac{\pi}{2}%%

Gebe die Lösungen in einer Lösungsmenge an.

%%L=\left\{0, \dfrac{\pi}{2}, \pi, 2\pi \right\}%%

%%(1+\sin(x))(1-\sin(x))=\cos^2(x)%%

%%(1-\sin(x))(1+\sin(x))=\cos^2(x)%%

Verwende die dritte binomische Formel auf der linken Seite der Gleichung.

%%1-\sin^2(x) = \cos^2(x)%%

Addiere auf beiden Seiten der Gleichungen %%\sin^2(x)%%.

%%1=\sin^2(x)+\cos^2(x)%%

Bemerke, dass dies genau der trigonometrische Pythagoras ist, welche für jede Stelle %%x%% erfüllt ist.

%%x \in [0,2\pi]%%

%%\cos^2(x)+\sin^2(x)=2%%

%%\cos^2(x)+\sin^2(x)=2%%

Verwende den trigonometrischen Pythagoras: %%\sin^2(x)+\cos^2(x)=2%%

Vergleichst du diese Formel mit der Augangsgleichung, erhälst du den Ausdruck "%%1=2%%", welcher jedoch nie erfüllt ist.

Lösungsmenge %%L=\{ \}%%

Sprechweise: "Die Lösungsmenge ist leer." bzw. "Es existiert keine Lösung."

Entscheide, ob die folgenden Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen richtig oder falsch sind.

Vereinfache den folgenden Term, bis nur noch %%\tan(x)%% darin vorkommt:

$$\left(1-\frac{1}{\cos(x)}\right)\left(1+\frac{1}{\cos(x)}\right)$$

Forme %%\left(1-\dfrac{1}{\cos(x)}\right)\left(1+\dfrac{1}{\cos(x)}\right)%% um.

%%= 1-\dfrac{1}{\cos^2(x)}%%

Bilde den Hauptnenner und führe die Brüche zusammen.

%%=\dfrac{\cos^2(x)-1}{\cos^2(x)}%%

%%=\dfrac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}%%

Verwende die Definition des Tangens.

%%=(\tan(x))^2%%

Löse für %%x \in \left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[%% die folgende Gleichung nach %%x%% auf: %%\tan(x)+\sin(x)=0%%

%%\tan(x)+\sin(x)=0%%

Verwende die Definition des Tangens.

%%\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} + \sin(x)=0%%

Klammere %%\sin(x)%% aus.

%%\sin(x) \left( \dfrac{1}{\cos(x)} + 1 \right) = 0%%

Das Produkt ist %%0%%, falls einer der beiden Faktoren %%0%% ist.

%%\sin(x)=0%% oder %%\dfrac{1}{\cos(x)}+1=0%%

Forme die zweite Gleichung um, indem du beiden Seiten mit %%-1%% subtrahierst und mit %%\cos(x)%% multiplizierst.

%%\sin(x)=0%% und %%1=-\cos(x)%%

Multipliziere auf beiden Seiten der zweiten Gleichung mit %%(-1)%%.

%%\sin(x)=0%% oder %%\cos(x)=-1%%

Betrachte die Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion zur Bestimmung der %%x%%-Werte in dem vorgeschriebenen Intervall.

%%x=0%%

Löse für %%x \in \left]\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right[%% die folgende Gleichung nach %%x%% auf: $$(\tan(x))^3+2\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos^3(x)}$$

%%(\tan(x))^3+2\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos^3(x)}%%

Verwende, dass %%\dfrac{\sin(x)}{\cos^3(x)}=\dfrac{\tan(x)}{\cos^2(x)}%% und subtrahiere auf beiden Seiten mit diesem Term.

%%(\tan(x))^3+2\tan(x)-\dfrac{\tan(x)}{\cos^2(x)}=0%%

Klammere %%\tan(x)%% aus.

%%\tan(x) \left( \tan(x)^2+2-\dfrac{1}{\cos^2(x)} \right)=0%%

Verwende, dass %%\tan(x)^2=\dfrac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}%%

%%\tan(x) \left( \dfrac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}+2-\dfrac{1}{\cos^2(x)} \right)=0%%

Bringe den Term in der Klammer auf einen Hauptnenner.

%%\tan(x) \left( \dfrac{\sin^2(x)+2\cos^2(x)-1}{\cos^2(x)} \right)=0%%

Verwende den trigonometrischen Pythagoras und schreibe die %%1%% um.

%%\tan(x) \left( \dfrac{\sin^2(x)+2\cos^2(x)-\sin^2{x}-\cos^2{x}}{\cos^2(x)} \right)=0%%

Fasse den Zähler zusammen.

%%\tan(x) \left(\dfrac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)} \right)=0%%

Kürzen.

%%\tan(x)\cdot 1=0%%

Betrachte die Skizze des Tangens, um zu bestimmen, wann der Tangens in dem gegebenen Intervall %%0%% ist.

%%x=\pi%%

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