Aufgaben

In den folgenden Bildern ist je eine Ebene E dargestellt. Stelle die dargestellte Ebene in Parameterform auf.

7011_aU1gObwykU.xml

Ebene in Parameterform aufstellen

Lese die gegebenen Punkte ab:

%%\mathrm A(1;\;0;\;0)%%   ,   %%\mathrm B(0;\;3;\;0)%%

Der Vektor  %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%   ist einer der Richtungsvektoren der Ebene %%\mathrm E%% .

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\3\\0\end{pmatrix}%%

Der zweite Richtungsvektor %%\overrightarrow{\mathrm v}%%  ist parallel zur  %%{\mathrm x}_3-\mathrm{Achse}%%  .

%%\Rightarrow\;\overrightarrow{\mathrm v}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}%%

Wähle den Punkt  %%\mathrm A%%  oder  %%\mathrm B%%  als Aufpunkt und Stelle die Gleichung der Ebene  %%\mathrm E%%  auf.

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-1\\3\\0\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}%%

6967_WxQ0FVbHC3.xml

Ebene in Parameterform aufstellen

Lese die gegebenen Punkte ab:

%%\mathrm A(2;\;0;\;0)%%   ,   %%\mathrm B(0;\;0;\;3)%%

Der Vektor  %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%   ist einer der Richtungsvektoren der Ebene %%\mathrm E%% .

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\0\\3\end{pmatrix}%%

Der zweite Richtungsvektor  %%\overrightarrow{\mathrm v}%%  ist parallel zur  %%{\mathrm x}_2-\mathrm{Achse}%%  .

%%\Rightarrow\;\overrightarrow{\mathrm v}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}%%

Wähle den Punkt  %%\mathrm A%%  oder  %%\mathrm B%%  als Aufpunkt und Stelle die Gleichung der Ebene  %%\mathrm E%%  auf.

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-2\\0\\3\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}%%

6981_XhP7cG2If4.xml

Ebene in Parameterform aufstellen

Lese die gegebenen Punkte ab:

%%\mathrm A(1;\;0;\;0)%%   ,   %%\mathrm B(0;\;3;\;0)%%   ,   %%\mathrm C(0;\;0;\;2)%%

Der Vektor  %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%   und %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  sind die Richtungsvektoren der Ebene %%\mathrm E%% .

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\3\\0\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{AC}=\overrightarrow C-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}%%

Wähle einen der  Punkte  %%\mathrm A%%%%\mathrm B%%  oder %%\mathrm C%%  als Aufpunkt und Stelle die Gleichung der Ebene  %%\mathrm E%%  auf.

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-1\\3\\0\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}%%

6987_AqDp9H1fdZ.xml

Ebene in Parameterform aufstellen

Lese die gegebenen Punkte ab:

%%\mathrm A(0;\;0;\;3)%%

Einer der Richtungsvektoren der Ebene  %%\mathrm E%%  ist parallel zur  %%{\mathrm x}_1-\mathrm{Achse}%% .

%%\Rightarrow\;\overrightarrow{\mathrm v}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}%%

Der andere Richtungsvektor ist parallel zur  %%{\mathrm x}_2-\mathrm{Achse}%% .

%%\Rightarrow\;\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}%%

Wähle den Punkt  %%\mathrm A%%  als Aufpunkt und Stelle die Gleichung Ebene  %%\mathrm E%%  auf.

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}%%

Gegeben sind die parallelen Geraden  %%\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}%%  und  %%\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\3\\-1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}-2\\4\\-2\end{pmatrix}%%  . Bestimme die Gleichung der Ebene  %%\mathrm E%%  in Parameterform, in der die beiden Geraden  %%\mathrm g%%  und  %%\mathrm h%%  liegen.

Ebene in Parameterform aufstellen

Wähle den Vektor zwischen den Aufpunkten  %%{\mathrm A}_\mathrm g%%  und  %%{\mathrm A}_\mathrm h%%  der

beiden Geraden als ersten Richtungsvektor der Ebene.

Berechne  %%\overrightarrow{{\mathrm A}_\mathrm g{\mathrm A}_\mathrm h}%%  .

%%\overrightarrow{{\mathrm A}_\mathrm g{\mathrm A}_\mathrm h}=\overrightarrow{{\mathrm A}_\mathrm h}-\overrightarrow{{\mathrm A}_\mathrm g}=\begin{pmatrix}1\\3\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\4\\-2\end{pmatrix}%%

Wähle einen der Aufpunkte der beiden Geraden, z.b.  %%{\mathrm A}_\mathrm g%%  ,

als Aufpunkt der Ebene.

Wähle einen der Richtungsvektoren der beiden Geraden

z.B.  %%\overrightarrow{{\mathrm v}_\mathrm g}%%  , als zweiten Richtungsvektor der Ebene.

Stelle nun die Ebenengleichung auf.

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-1\\4\\-2\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}%%

Gegeben ist die Gerade  %%\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}%%  und der Punkt  %%\mathrm P(1;\;-3;\;-3)%%  , der nicht auf der Geraden liegt. Bestimme die Gleichung der Ebene  %%\mathrm E%%  in Parameterform, in der der Punkt  %%\mathrm P%%  und die Gerade  %%\mathrm g%%  liegen.

Ebene in Parameterform aufstellen

Wähle den Richtungsvektor der Geraden  %%\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}%%  als ersten

Richtungsvektor und den Vektor zwischen dem Punkt %%\mathrm P%%  und dem

Aufpunkt %%\mathrm A%%  der Geraden als zweiten Richtungsvektor der Ebene %%\mathrm E%% .

Berechne  %%\overrightarrow{\mathrm{PA}}%%  .

%%\overrightarrow{\mathrm{PA}}=\overrightarrow{\mathrm A}-\overrightarrow{\mathrm P}=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\-3\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\4\\0\end{pmatrix}%%

Wähle  %%\mathrm P%%  als Aufpunkt der Ebene %%\mathrm E%%  . 

%%\Rightarrow\;\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\-3\\-3\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\4\\0\end{pmatrix}%%

Gegeben sind die zueinander windschiefen Geraden  %%\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}%%  und  %%\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}14\\4\\3\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}2\\-3\\0\end{pmatrix}%% . Bestimme die Gleichung der Ebene  %%\mathrm E%%  in Parameterform, in der die Gerade  %%\mathrm g%%  liegt und zu der die Gerade  %%\mathrm h%%  parallel ist.

Ebene in Parameterform aufstellen

Wähle den Aufpunkt der Geraden  %%\mathrm g%%  als Aufpunkt und die beiden Richtungsvektoren %%\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm v}=\begin{pmatrix}2\\-3\\0\end{pmatrix}%%  der Geraden als Richtungsvektor  der Ebene  %%\mathrm E%% .

Die Gleichung der Ebene lautet dann :      %%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}2\\-3\\0\end{pmatrix}%%

Stelle aus den folgenden drei Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf.

%%\mathrm A(1 ;\;0 ;\;3)%%   ,   %%\mathrm B(0 ;\;2 ;\;1)%%   ,   %%\mathrm C(2 ;\;2 ;\;4)%%

Ebene aus drei Punkten in Parameterform aufstellen

Artikel zum Thema

Berechne zuerst die Richtungsvektoren  %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  :

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\2\\-2\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}%%

Wähle  %%\overrightarrow{\mathrm{OA}}%%  als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung  %%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\mathrm\lambda\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\mathrm\mu\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  ein.

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\-2\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}%%

%%\mathrm A(0;\; 1;\;2)%%   ,   %%\mathrm B(3 ,\;3 ;\;3)%%   ,   %%\mathrm C(-1;\; 1;\;4)%%

Ebene aus drei Punkten in Parameterform aufstellen

Artikel zum Thema

Berechne zuerst die Richtungsvektoren  %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  :

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-1\\1\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}%%

Wähle  %%\overrightarrow{\mathrm{OA}}%%  als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung %%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\mathrm\lambda\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\mathrm\mu\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  ein.

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}%%

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}%%

%%\mathrm A(0;\; 0;\;0)%%   ,   %%\mathrm B(1;\; 0;\;3)%%   ,   %%\mathrm C(-1;\;2 ;\;0)%%

Ebene aus drei Punkten in Parameterform aufstellen

Artikel zum Thema

Berechne zuerst die Richtungsvektoren  %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  :

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}%%

Wähle  %%\overrightarrow{\mathrm O}%%  als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung  %%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\overrightarrow O+\mathrm\lambda\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\mathrm\mu\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  ein.

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}%%

Den Ortsvektor  %%\overrightarrow{\mathrm O}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}%%  kann man auch weglassen.

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}%%

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}%%

%%\mathrm A(1;\; 1;\;-1)%%   ,   %%\mathrm B(1;\;2;\;1)%%   ,   %%\mathrm C(0;\;3;\;1)%%

Ebene aus drei Punkten in Parameterform aufstellen

Artikel zum Thema

Berechne zuerst die Richtungsvektoren  %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  :

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\3\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}%%

Wähle  %%\overrightarrow{\mathrm{OA}}%%  als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung %%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\mathrm\lambda\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\mathrm\mu\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  ein.

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}%%

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}%%

%%\mathrm A(3;\;1;\;2)%%   ,   %%\mathrm B(2;\;3;\;1)%%   ,   %%\mathrm C(4;\;3;\;3)%%

Ebene aus drei Punkten in Parameterform aufstellen

Artikel zum Thema

Berechne zuerst die Richtungsvektoren  %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  :

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}4\\3\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}%%

Wähle  %%\overrightarrow{\mathrm{OA}}%%  als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung %%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\mathrm\lambda\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\mathrm\mu\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  ein.

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}%%

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}%%

%%\mathrm A(2;\;2;\;2)%%   ,   %%\mathrm B(5;\;2;\;1)%%   ,   %%\mathrm C(3;\;2;\;4)%%

Ebene aus drei Punkten in Parameterform aufstellen

Artikel zum Thema

Berechne zuerst die Richtungsvektoren  %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  :

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}5\\2\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\0\\-1\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}3\\2\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}%%

Wähle  %%\overrightarrow{\mathrm{OA}}%%  als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung %%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\mathrm\lambda\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\mathrm\mu\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  ein.

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}3\\0\\-1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}%%

%%\mathrm A(40;\;80;\;0)%%   ,   %%\mathrm B(20;\;60;\;10)%%   ,   %%\mathrm C(55;\;90;\;20)%%

Ebene aus drei Punkten in Parameterform

aufstellen

Berechne zuerst die Richtungsvektoren  %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  :

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}20\\60\\10\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}40\\80\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-20\\-20\\10\end{pmatrix}%%

Da sich die Richtung eines Vektors durch Multiplikation mit einer reellen Zahl nicht ändert, kann man  %%10%%  ausklammern, um einen möglichst einfachen Vektor zu erhalten.

%%\Rightarrow\;\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}55\\90\\20\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}40\\80\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}15\\10\\20\end{pmatrix}%%

Auch hier kann man  %%5%%  ausklammern, um einen möglichst einfachen Vektor zu erhalten.

%%\Rightarrow\;\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\begin{pmatrix}3\\2\\4\end{pmatrix}%%

Wähle  %%\overrightarrow{\mathrm{OA}}%%  als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung %%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\mathrm\lambda\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\mathrm\mu\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  ein.

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}40\\80\\0\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}3\\2\\4\end{pmatrix}%%

Stelle aus zwei Punkten und einem Richtungsvektor eine Ebenengleichung in Parameterform auf.

%%\mathrm A(1;\;3;\;-2)%%   ,   %%\mathrm B(3;\;7;\;5)%%   ,    %%\overrightarrow{\mathrm v}=\begin{pmatrix}-2\\10\\-7\end{pmatrix}%%

Ebene in Parameterform aufstellen

Wähle  %%\overrightarrow{\mathrm v}%%  als ersten Richtungsvektor und  %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  als zweiten Richtungsvektor der Ebene.

Berechne %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%% .

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}3\\7\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\4\\7\end{pmatrix}%%

Wähle  %%\overrightarrow{\mathrm{OA}}%%  als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung  %%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\mathrm\lambda\cdot\overrightarrow{\mathrm v}+\mathrm\mu\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  ein.

%%\mathrm A(2;\;1;\;-3)%%   ,   %%\mathrm B(1;\;-3;\;-3)%%   ,    %%\overrightarrow{\mathrm v}=\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}%%

Ebene in Parameterform aufstellen

Wähle  %%\overrightarrow{\mathrm v}%%  als ersten Richtungsvektor und  %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  als zweiten Richtungsvektor der Ebene.

Berechne %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%% .

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}1\\-3\\-3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-4\\0\end{pmatrix}%%

Um einen einfacheren Vektor zu erhalten, kann man gegebenenfalls noch  %%-1%%  ausklammern.

%%\Rightarrow\;\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\begin{pmatrix}1\\4\\0\end{pmatrix}%%

Wähle  %%\overrightarrow{\mathrm{OA}}%%  als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung %%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\mathrm\lambda\cdot\overrightarrow{\mathrm v}+\mathrm\mu\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  ein.

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\4\\0\end{pmatrix}%%

%%\mathrm A(8;\;13;\;9)%%   ,   %%\mathrm B(4;\;-3;\;-1)%%   ,    %%\overrightarrow{\mathrm v}=\begin{pmatrix}-6\\1\\1\end{pmatrix}%%

Ebene in Parameterform aufstellen

Wähle  %%\overrightarrow{\mathrm v}%%  als ersten Richtungsvektor und  %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  als

zweiten Richtungsvektor der Ebene.

Berechne  %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  .

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}4\\-3\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}8\\13\\9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\-16\\-10\end{pmatrix}%%

Um einen einfacheren Vektor zu erhalten, kann man gegebenenfalls noch %%-2%%  ausklammern.

%%\Rightarrow\;\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\begin{pmatrix}2\\8\\5\end{pmatrix}%%

Wähle  %%\overrightarrow{\mathrm{OA}}%%  als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung %%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\mathrm\lambda\cdot\overrightarrow{\mathrm v}+\mathrm\mu\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  ein.

%%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}8\\13\\9\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-6\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}2\\8\\5\end{pmatrix}%%

Stelle aus einem Punkt und zwei Richtungsvektoren eine Ebenengleichung in Parameterform auf.

%%\mathrm A(1;\;3;\;-2)%%   ,   %%\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}-2\\10\\-7\end{pmatrix}%%   ,    %%\overrightarrow{\mathrm v}=\begin{pmatrix}1\\-2\\6\end{pmatrix}%%

Ebene in Parameterform aufstellen

Wähle  %%\overrightarrow{\mathrm{OA}}%%  als Aufpunkt und %%\overrightarrow{\mathrm u}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm v}%%  als Richtungsvektoren der Ebene und setze sie in die Ebenengleichung  %%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\mathrm\lambda\cdot\overrightarrow{\mathrm u}+\mathrm\mu\cdot\overrightarrow{\mathrm v}%%  ein:

%%\mathrm E:\;\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-2\\10\\-7\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\6\end{pmatrix}%%

%%\mathrm E:\;\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-2\\10\\-7\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\6\end{pmatrix}%%

%%\mathrm A(1;\;1;\;1)%%   ,   %%\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}%%   ,    %%\overrightarrow{\mathrm v}=\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}%%

Ebene in Parameterform aufstellen

Wähle  %%\overrightarrow{\mathrm{OA}}%%  als Aufpunkt und  %%\overrightarrow{\mathrm u}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm v}%%  als Richtungsvektoren der Ebene und setze sie in die Ebenengleichung  %%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\mathrm\lambda\cdot\overrightarrow{\mathrm u}+\mathrm\mu\cdot\overrightarrow{\mathrm v}%%  ein:

%%\mathrm E:\;\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}%%

%%\mathrm E:\;\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}%%

%%\mathrm A(5;\;5;\;-23)%%   ,   %%\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}6\\1\\-17\end{pmatrix}%%   ,    %%\overrightarrow{\mathrm v}=\begin{pmatrix}1,5\\-2\\8\end{pmatrix}%%

Ebene in Parameterform aufstellen

Wähle  %%\overrightarrow{\mathrm{OA}}%%  als Aufpunkt und  %%\overrightarrow{\mathrm u}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm v}%%  als Richtungsvektoren der Ebene und setze sie in die Ebenengleichung  %%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\mathrm\lambda\cdot\overrightarrow{\mathrm u}+\mathrm\mu\cdot\overrightarrow{\mathrm v}%%  ein:

%%\mathrm E:\;\begin{pmatrix}5\\5\\-23\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}6\\1\\-17\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1,5\\-2\\8\end{pmatrix}%%

%%\mathrm E:\;\begin{pmatrix}5\\5\\-23\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}6\\1\\-17\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1,5\\-2\\8\end{pmatrix}%%

Gegeben sind die Geraden  %%\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\2\\-3\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}%%  und  %%\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}3\\0\\-1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}%%  , die sich im Punkt  %%\mathrm S(2;\;2;\;-3)%%  schneiden. Bestimme die Ebene  %%\mathrm E%%  in Parameterform, in der beide Geraden liegen.

Ebene in Parameterform aufstellen

Wähle den gemeinsamen Schnittpunkt  %%\mathrm S%%  der Geraden als Aufpunkt und die beiden Richtungsvektoren  %%\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm v}=\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}%%  der Geraden als Richtungsvektoren der Ebene %%\mathrm E%% .

Die Gleichung der Ebene  %%\mathrm E%%  lautet dann:     %%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\2\\-3\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}%%

Die Gleichung der Ebene  %%\mathrm E%%  lautet dann:     %%\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\2\\-3\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}%%

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