Aufgaben

Berechne das Volumen des Parallelotops, das

durch die Punkte  %%\mathrm A\left(0\;\left|\;0\;\left|\;0\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm B\left(5\;\left|\;0\;\left|\;0\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm C\left(0\;\left|\;5\;\left|\;0\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm D\left(0\;\left|\;0\;\left|\;5\right.\right.\right)%%  aufgespannt wird.

Volumen eines Parallelotops berechnen

 

7505_chO1NrwCoX.xml

 

Berechne zuerst die Vektoren   %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  ,  %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm{AD}}%%  .

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}5\\0\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\0\\0\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\5\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\5\\0\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm D}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\0\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\5\end{pmatrix}%%

Setze in die Formel für das Volumen eines Parallelotops ein:  %%{\mathrm V}_\mathrm{Parallelotop}=\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}},\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)%%  .

%%\mathrm V=\left|\det\begin{pmatrix}5&0&0\\0&5&0\\0&0&5\end{pmatrix}\right|%%

   %%=\left|5\cdot5\cdot5\right|=\left|125\right|=125%%

Hinweis:  Das durch die Punkte  %%\mathrm A%%  ,  %%\mathrm B%%  ,  %%\mathrm C%%  und  %%\mathrm D%%  aufgespannte Parallelotop ist ein Quader . Man hätte daher auch das Volumen mit der Formel   %%{\mathrm V}_\mathrm{Quader}=\mathrm{Länge}\cdot\mathrm{Breite}\cdot\mathrm{Höhe}%%   berechnen können.

durch die Punkte %%\mathrm A\left(0\;\left|\;0\;\left|\;0\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm B\left(5\;\left|\;1\;\left|\;1\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm C\left(0\;\left|\;7\;\left|\;2\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm D\left(1\;\left|\;0\;\left|\;6\right.\right.\right)%%  aufgespannt wird.

Volumen eines Parallelotops berechnen

 

Geogebra File: /uploads/legacy/7301_ovaK1XZPzx.xml

 

Berechne zuerst die Vektoren   %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  ,  %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm{AD}}%%  .

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}5\\1\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\1\\1\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\7\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\7\\2\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm D}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}1\\0\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\6\end{pmatrix}%%

Setze in die Formel für das Volumen eines Parallelotops ein:  %%{\mathrm V}_\mathrm{Parallelotop}=\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}},\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)%%  .

%%\mathrm V=\left|\det\begin{pmatrix}5&0&1\\1&7&0\\1&2&6\end{pmatrix}\right|%%

Laplacesche Entwicklung nach 2. Spalte.

   %%=\left|0\cdot\begin{pmatrix}-1&0\\-1&-6\end{pmatrix}+7\cdot\begin{pmatrix}-5&-1\\-1&-6\end{pmatrix}-2\cdot\begin{pmatrix}-5&-1\\-1&0\end{pmatrix}\right|%%

Berechne die  %%2\times2-\mathrm{Matrizen}%%  mit Hilfe der Formel  %%\det\begin{pmatrix}\mathrm a&\mathrm b\\\mathrm c&\mathrm d\end{pmatrix}=\mathrm{ad}-\mathrm{bc}%%  .

   %%=\left|7\cdot\left(30-1\right)-2\cdot\left(-1\right)\right|%%

   %%=\left|203+2\right|=\left|205\right|=205%%

durch die Punkte  %%\mathrm A\left(1\;\left|\;1\;\left|\;1\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm B\left(3\;\left|\;1\;\left|\;1\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm C\left(1\;\left|\;3\;\left|\;1\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm D\left(1\;\left|\;1\;\left|\;3\right.\right.\right)%%  aufgespannt wird.

Volumen eines Parallelotops berechnen

 

Geogebra File: /uploads/legacy/7305_jgy2TpMNB2.xml

 

Berechne zuerst die Vektoren   %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  ,  %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm{AD}}%%  .

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm D}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}%%

Setze in die Formel für das Volumen eines Parallelotops ein:  %%{\mathrm V}_\mathrm{Parallelotop}=\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}},\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)%%  .

%%\mathrm V=\left|\det\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}\right|%%

   %%=\left|2\cdot2\cdot2\right|=\left|8\right|=8%%

 

Hinweis:  Das durch die Punkte  %%\mathrm A%%  ,  %%\mathrm B%%  ,  %%\mathrm C%%  und  %%\mathrm D%%  aufgespannte Parallelotop ist ein Würfel . Man hätte daher auch das Volumen mit der Formel   %%{\mathrm V}_\mathrm{Würfel}=\mathrm a^3%%   berechnen können, wobei  %%\mathrm a%%  die Seitenlänge des Würfels ist.

durch die Punkte  %%\mathrm A\left(2\;\left|\;2\;\left|\;1\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm B\left(4\;\left|\;0\;\left|\;0\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm C\left(0\;\left|\;4\;\left|\;0\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm D\left(0\;\left|\;0\;\left|\;5\right.\right.\right)%%  aufgespannt wird.

Volumen eines Parallelotops berechnen

 

Geogebra File: /uploads/legacy/7313_KvGrIr4aaW.xml

 

Berechne zuerst die Vektoren   %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  ,  %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm{AD}}%%  .

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-2\\-1\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\2\\-1\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm D}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\0\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-2\\4\end{pmatrix}%%

Setze in die Formel für das Volumen eines Parallelotops ein:  %%{\mathrm V}_\mathrm{Parallelotop}=\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}},\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)%%  .

%%\mathrm V=\left|\det\begin{pmatrix}2&-2&-2\\-2&2&-2\\-1&-1&4\end{pmatrix}\right|%%

Wende die Regel von Sarrus an.

   %%=\left|16-4-4-4-4-16\right|%%

   %%Syntax error from line 1 column 93 to line 1 column 147. Unexpected 'lspace'.%%

durch die Punkte  %%\mathrm A\left(-2\;\left|\;-3\;\left|\;-1\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm B\left(-5\;\left|\;3\;\left|\;0\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm C\left(1\;\left|\;4\;\left|\;2\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm D\left(-2\;\left|\;3\;\left|\;3\right.\right.\right)%%  aufgespannt wird.

Volumen eines Parallelotops berechnen

Eine Skizze zu zeichnen ist hier vergleichsweise schwierig, das Volumen des Parallelotops lässt sich jedoch einfach berechnen.

Berechne zuerst die Vektoren   %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  ,  %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm{AD}}%%  .

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-5\\3\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\-3\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\0\\1\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\-3\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\7\\3\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm D}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-2\\3\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\-3\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}%%

Setze in die Formel für das Volumen eines Parallelotops ein:  %%{\mathrm V}_\mathrm{Parallelotop}=\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}},\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)%%  .

%%\mathrm V=\left|\det\begin{pmatrix}-3&3&0\\0&7&0\\1&3&4\end{pmatrix}\right|%%

Laplacesche Entwicklung nach 3. Spalte.

   %%=\left|0\cdot\begin{pmatrix}0&7\\1&3\end{pmatrix}-0\cdot\begin{pmatrix}-3&3\\1&3\end{pmatrix}+4\cdot\begin{pmatrix}-3&3\\0&7\end{pmatrix}\right|%%

Berechne die  %%2\times2-\mathrm{Matrix}%%  mit Hilfe der Formel  %%\det\begin{pmatrix}\mathrm a&\mathrm b\\\mathrm c&\mathrm d\end{pmatrix}=\mathrm{ad}-\mathrm{bc}%%

   %%=\left|4\cdot\left(-21\right)\right|=\left|-84\right|=84%%

Berechne das Volumen des Tetraeders, das

durch die Eckpunkte  %%\mathrm A\left(0\;\left|\;0\;\left|\;0\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm B\left(6\;\left|\;0\;\left|\;0\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm C\left(0\;\left|\;6\;\left|\;0\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm D\left(0\;\left|\;0\;\left|\;6\right.\right.\right)%%  gegeben ist.

 

7507_sXTnT6TSEA.xml

 

Berechne die Vektoren   %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  ,  %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  ,  %%\overrightarrow{\mathrm{AD}}%%  . 

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\6\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\6\\0\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm D}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\0\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\6\end{pmatrix}%%

Setze in die Formel für das Volumen eines Tetraeders ein:  %%{\mathrm V}_\mathrm{Tetraeder}=\frac16\cdot\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}},\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)%%

%%\mathrm V=\frac16\cdot\begin{vmatrix}6&0&0\\0&6&0\\0&0&6\end{vmatrix}%%

   %%=\frac16\cdot\left|6\cdot6\cdot6\right|=\frac16\cdot\left|216\right|=36%%

durch die Eckpunkte  %%\mathrm A\left(-2\;\left|\;-2\;\left|\;0\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm B\left(-2\;\left|\;2\;\left|\;0\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm C\left(-1\;\left|\;5\;\left|\;0\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm D\left(0\;\left|\;-3\;\left|\;3\right.\right.\right)%%  gegeben ist.

Volumen eines Tetraeders berechnen

 

7513_abD4nGejSu.xml

 

Berechne die Vektoren   %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  ,  %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  ,  %%\overrightarrow{\mathrm{AD}}%%  . 

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-2\\2\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\-2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-1\\5\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\-2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\7\\0\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm D}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\-3\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\-2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}%%

Setze in die Formel für das Volumen eines Tetraeders ein:  %%{\mathrm V}_\mathrm{Tetraeder}=\frac16\cdot\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}},\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)%%

%%\mathrm V=\frac16\cdot\begin{vmatrix}0&1&2\\4&7&-1\\0&0&3\end{vmatrix}%%

Laplacesche Entwicklung nach 1. Spalte.

   %%=\frac16\cdot\left|0\cdot\begin{pmatrix}7&-1\\0&3\end{pmatrix}-4\cdot\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}+0\cdot\begin{pmatrix}1&2\\7&-1\end{pmatrix}\right|%%

   %%=\frac16\cdot\left|-4\cdot\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}\right|%%

   %%=\frac16\cdot\left|-4\cdot3\right|%%

   %%=\frac16\cdot\left|-12\right|=\frac{12}6=2%%

durch die Eckpunkte  %%\mathrm A\left(-3\;\left|\;-4\;\left|\;-1\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm B\left(-4\;\left|\;-1\;\left|\;-3\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm C\left(-1\;\left|\;-3\;\left|\;-4\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm D\left(-2\;\left|\;-1\;\left|\;0\right.\right.\right)%%  gegeben ist.

Volumen eines Tetraeders berechnen

 

7511_l7V3UQlDLo.xml

 

Berechne die Vektoren   %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  ,  %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  ,  %%\overrightarrow{\mathrm{AD}}%%  .

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-4\\-1\\-3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-3\\-4\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\3\\-2\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-1\\-3\\-4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-3\\-4\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm D}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-2\\-1\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-3\\-4\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}%%

Setze in die Formel für das Volumen eines Tetraeders ein:  %%{\mathrm V}_\mathrm{Tetraeder}=\frac16\cdot\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}},\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)%%

%%\mathrm V=\frac16\cdot\begin{vmatrix}-1&2&1\\3&1&3\\-2&-3&1\end{vmatrix}%%

Wende die  Regel von Sarrus  an.

   %%=\frac16\cdot\left|-1-12-9+2-9-6\right|%%

   %%=\frac16\cdot\left|-35\right|=\frac{35}6%%

durch die Eckpunkte  %%\mathrm A\left(4\;\left|\;1\;\left|\;0\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm B\left(4\;\left|\;6\;\left|\;-1\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm C\left(0\;\left|\;4\;\left|\;-1\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm D\left(5\;\left|\;5\;\left|\;-2,5\right.\right.\right)%%  gegeben ist.

Volumen eines Tetraeders berechnen

 

7533_zWM4ID388p.xml

 

Berechne die Vektoren   %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  ,  %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  ,  %%\overrightarrow{\mathrm{AD}}%%  . 

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}4\\6\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\5\\-2\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\4\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\3\\1\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm D}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}5\\5\\-2,5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\4\\-2,5\end{pmatrix}%%

Setze in die Formel für das Volumen eines Tetraeders ein:  %%{\mathrm V}_\mathrm{Tetraeder}=\frac16\cdot\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}},\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)%%

%%\mathrm V=\frac16\cdot\begin{vmatrix}0&-4&1\\5&3&4\\-2&1&-2,5\end{vmatrix}%%

Laplacesche Entwicklung nach 1. Spalte.

   %%=\frac16\cdot\left|0\cdot\begin{pmatrix}3&4\\1&-2,5\end{pmatrix}-5\cdot\begin{pmatrix}-4&1\\1&-2,5\end{pmatrix}+\left(-2\right)\cdot\begin{pmatrix}-4&1\\3&4\end{pmatrix}\right|%%

Berechne die  %%2\times2-\mathrm{Matrizen}%%  mit Hilfe der Formel %%\det\begin{pmatrix}\mathrm a&\mathrm b\\\mathrm c&\mathrm d\end{pmatrix}=\mathrm{ad}-\mathrm{bc}%%  .

   %%=\frac16\cdot\left|-5\cdot\left(10-1\right)+\left(-2\right)\cdot\left(-16-3\right)\right|%%

   %%=\frac16\cdot\left|-45+38\right|%%

   %%=\frac16\cdot\left|-7\right|=\frac76%%

Berechne das Volumen der Pyramide, die

durch die Eckpunkte  %%\mathrm A\left(0\;\left|\;0\;\left|\;0\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm B\left(6\;\left|\;0\;\left|\;0\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm C\left(0\;\left|\;6\;\left|\;0\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm D\left(6\;\left|\;6\;\left|\;0\right.\right.\right)%%  und die Spitze  %%\mathrm S\left(3\;\left|\;3\;\left|\;6\right.\right.\right)%%  gegeben ist.

Volumen einer Pyramide berechnen

 

7545_QeF6lGa2vC.xml

 

Berechne zuerst die Vektoren   %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  ,  %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%  und  %%\overrightarrow{\mathrm{AS}}%%  .

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\6\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\6\\0\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AS}}=\overrightarrow{\mathrm S}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}3\\3\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\3\\6\end{pmatrix}%%

Setze in die Formel für das Volumen einer Pyramide ein:  %%{\mathrm V}_\mathrm{Pyramide}=\frac13\cdot\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}},\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)%%  .

%%\mathrm V=\frac13\cdot\left|\det\begin{pmatrix}6&0&3\\0&6&3\\0&0&6\end{pmatrix}\right|%%

   %%=\frac13\cdot\left|6\cdot6\cdot6\right|=\frac13\cdot\left|216\right|=72%%

durch die Eckpunkte  %%\mathrm A\left(0\;\left|\;0\;\left|\;1\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm B\left(-4\;\left|\;-1\;\left|\;-1\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm C\left(-2\;\left|\;6\;\left|\;1\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm D\left(-6\;\left|\;5\;\left|\;-1\right.\right.\right)%%  und die Spitze  %%\mathrm S\left(-3\;\left|\;-1\;\left|\;-4\right.\right.\right)%%  gegeben ist.

Volumen einer Pyramide berechnen

 

Geogebra File: /uploads/legacy/9447_BfwG8fJyjA.xml

 

Für das Volumen einer Pyramide mit einem Parallelogramm als Grundfläche gibt es diese Formel:  %%{\mathrm V}_\mathrm{Pyramide}=\frac13\cdot\left|\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}},\overrightarrow{\mathrm{AS}}\right)\right|%% .

Um sie anwenden zu können musst du aber erst zeigen, dass die Grundfläche ein Parallelogramm ist.

Berechne dazu die Vektoren   %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%  ,  %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}%%%%\overrightarrow{\mathrm{BD}}%% , %%\overrightarrow{\mathrm{CD}}%% und  %%\overrightarrow{\mathrm{AS}}%%  .

%%\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-4\\-1\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\-1\\-2\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-2\\6\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\6\\0\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{BD}}=\overrightarrow{\mathrm D}-\overrightarrow{\mathrm B}=\begin{pmatrix}-6\\5\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-4\\-1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\6\\0\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\overrightarrow{\mathrm D}-\overrightarrow{\mathrm C}=\begin{pmatrix}-6\\5\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\6\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\-1\\-2\end{pmatrix}%%

Du siehst, dass mit %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%% und %%\overrightarrow{\mathrm{CD}}%% , sowie %%\overrightarrow{\mathrm{AC}}%% und %%\overrightarrow{\mathrm{BD}}%% jeweils Vektoren gegenüberliegender Seiten gleich sind. Deshalb sind diese Seiten parallel und die Grundfläche ist ein Parallelogramm.

%%\overrightarrow{\mathrm{AS}}=\overrightarrow{\mathrm S}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-3\\-1\\-4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\-1\\-5\end{pmatrix}%%

Setze in die Formel für das Volumen einer Pyramide ein:  %%{\mathrm V}_\mathrm{Pyramide}=\frac13\cdot\left|\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}},\overrightarrow{\mathrm{AS}}\right)\right|%%  .

%%\mathrm V=\frac13\cdot\left|\det\begin{pmatrix}-4&-2&-3\\-1&6&-1\\-2&0&-5\end{pmatrix}\right|%%

Laplacesche Entwicklung nach 2. Spalte.

   %%=\frac13\cdot\left|-\left(-2\right)\cdot\begin{pmatrix}-1&-1\\-2&-5\end{pmatrix}+6\cdot\begin{pmatrix}-4&-3\\-2&-5\end{pmatrix}-0\cdot\begin{pmatrix}-4&-3\\-1&-1\end{pmatrix}\right|%%

Berechne die  %%2\times2-\mathrm{Matrizen}%%  mit Hilfe der Formel  %%\det\begin{pmatrix}\mathrm a&\mathrm b\\\mathrm c&\mathrm d\end{pmatrix}=\mathrm{ad}-\mathrm{bc}%%  .

   %%=\frac13\cdot\left|2\cdot\left(5-2\right)+6\cdot\left(20-6\right)\right|%%

    %%=\frac13\cdot\left|6+84\right|=\frac{90}3=30%%

Ein Tetraeder hat eine Grundfläche, die durch die Eckpunkte %%\mathrm A\left(0\;\left|\;0\;\left|\;0\right.\right.\right)%%  ,  %%\mathrm B\left(6\;\left|\;0\;\left|\;0\right.\right.\right)%%  und  %%\mathrm C\left(0\;\left|\;6\;\left|\;2\right.\right.\right)%%   festgelegt ist. Die Spitze S liegt mittig über %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%%.

Bestimme mögliche Koordinaten von S so, dass das Volumen des Tetraeders ABCS %%102\; VE%% beträgt.

Gegeben:

%%A(0|0|0)%%, %%B(6|0|0)%%, %%C(0|6|0)%%

%%V=102 VE%%

Überlege dir die Volumenformel.

%%V=\frac{1}{3}\cdot G \cdot h%%

elementargeometrisch

%%V=\frac{1}{6}\ \left |\overrightarrow{AS} \circ \left [ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \right ] \right |%%

vektoriell

Da du bisher nicht viele Informationen über den Punkt S hast, verwendest du am bestsen die elementargeometrische Formel.

Berechne zunächst die Grundfläche:

%%G= A_{Dreieck}= \frac{1}{2} \ \left | \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \right |%%

Bestimme zunächst die Vektoren %%\overrightarrow{AB}%% und %%\overrightarrow{AC}%%.

%%\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}0\\6\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\6\\0\end{pmatrix}%%

Setze in die Formel ein.

%%A_{Dreieck}=\frac{1}{2}\cdot \left | \begin{pmatrix} 6\\0\\0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0\\6\\0 \end{pmatrix}\right |%%

Berechne zuerst das Kreuzprodukt.

%%=\frac{1}{2}\cdot \left | \begin{pmatrix} 0\\0\\36 \end{pmatrix} \right |%%

Berechne dann den Betrag des Vektors.

%%=\frac{1}{2}\cdot \left | \sqrt{0^2+0^2+36^2} \right |%%

%%=36%%

Jetzt hast du die Grundfläche der Pyramide!

Setze das gegebene Volumen und die Grundfläche ein.

Berechnung der Höhe durch Umformen der Volumenformel

%%V=\frac{1}{3}\cdot G \cdot h%%

Forme nach h um.

%%V=\frac{1}{3}\cdot G \cdot h \qquad \left |\ :\frac{1}{3}G \right .%%

%%h= \frac{3V}{G}%%

Setze das gegebene Volumen und die berechnete Grundfläche ein.

%%h= (3\cdot 102):36%%

%%h=8,5%%

Bestimmen der Koordinaten von S

Bestimme den Höhenfußpunkt M

Du weißt aus der Angabe, das die Spitze mittig über %%\overrightarrow{AB}%% liegt.

%%A(0|0|0)%%, %%B(6|0|0)%%,

Berechne den Mittelpunkt %%\overrightarrow{M}%% der Strecke %%\overline{AB}%%.

%%\overrightarrow{M}=\frac{1}{2}\left ( \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} \right )%%

Punkte %%A%% und %%B%% einsetzen.

%%\overrightarrow{M} = \frac{1}{2} \left [ \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6\\0\\0 \end{pmatrix} \right ]= \begin{pmatrix} 3\\0\\0 \end{pmatrix}%%

Bringe den Höhenvektor auf die richtige Länge

Das Vektorprodukt liefert dir nicht nur eine Fläche, sondern auch einen Vektor, der auf beide Vektoren der Grundfläche senkrecht steht. Diese Eigenschaft muss die Höhe haben!

Allerdings hat der Vektor %%\overrightarrow{h}=\begin{pmatrix} 0\\0\\36\end{pmatrix}%% noch nicht die richtige Länge!

Im Moment hat er die Länge %%36\; LE%%, wir wollen nur %%8,5\; LE%%.

Bringe auf die richtige Länge.

Teile dafür durch die aktuelle Länge und multipliziere mit der gewünschten Länge.

%%\overrightarrow{h}=\frac{8,5}{36}\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\36 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\8,5\end{pmatrix}%%

Setze den Vektor %%\overrightarrow h%% an den Punkt %%M%%

%%\overrightarrow{S}= \overrightarrow{M} + \overrightarrow{h}%%

%%\overrightarrow{S} = \begin{pmatrix} 3\\0\\0\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 0\\0\\8,5\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{S}= \begin{pmatrix} 3\\0\\8,5\end{pmatrix}%%

Welcher weitere Punkt %%S%% erfüllt die Vorgabe, dass der Tetraeder ein Volumen von %%102 \; VE%% hat und %%M%% als Höhenfußpunkt besitzt?

Versuche dir die Situation erst vorzustellen:

Die Spitze des fertigen Tetraeders liegt über der Grundfläche %%ABC%%.

Man bekommt das gleiche Volumen, wenn man vom Punkt %%M%% aus nach unten statt nach oben geht.

%%\overrightarrow{S_2}= \overrightarrow{M} - \overrightarrow{h}%%

%%\overrightarrow{S_2}= \begin{pmatrix} 3 \\ 0\\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0\\0\\8,5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\\0\\-8,5\end{pmatrix}%%

Tetraeder

Kommentieren Kommentare