Das Skalarprodukt ist eine Multiplikation von zwei Vektoren. Sein Ergebnis ist ein Skalar (= eine reelle Zahl), im Gegensatz zum Kreuzprodukt, dessen Ergebnis ein Vektor ist.
Für das Skalarprodukt der Vektoren a\vec{a} und b\vec{b} schreibt man ab\vec{a}\odot\vec{b},  ab\ \vec{a}\circ\vec{b} oder auch häufig a,b\langle \vec a, \vec b\rangle.
Wichtig: Man kann das Skalarprodukt von zwei Vektoren nur bilden, wenn sie beide gleich viele Komponenten haben!

Definition

Das Skalarprodukt von zwei Vektoren a\vec{a} und b\vec{b} ist definiert als
  • ihre komponentenweise Multiplikation und die
  • anschließende Addition.
Dies bedeutet:

In der Ebene

a=(a1a2),b=(b1b2)\vec{a} = \begin{pmatrix} \color{#ff6600}{a_1}\\ \color{#660099}{a_2}\end{pmatrix}, \vec{b} = \begin{pmatrix} \color{#ff6600}{b_1}\\ \color{#660099}{b_2}\end{pmatrix}
ab  =  a1b1+a2b2\displaystyle \Rightarrow \vec{a}\odot\vec{b}\;=\;\color{#ff6600}{a_1b_1}+\color{#660099}{a_2b_2}

Im Raum

a=(a1a2a3),b=(b1b2b3)\vec{a} = \begin{pmatrix} \color{#ff6600}{a_1}\\ \color{#660099}{a_2}\\ \color{#006400}{a_3}\end{pmatrix}, \vec{b} = \begin{pmatrix} \color{#ff6600}{b_1}\\ \color{#660099}{b_2}\\ \color{#006400}{b_3}\end{pmatrix}
ab  =  a1b1+a2b2+a3b3\displaystyle \Rightarrow \vec{a}\odot\vec{b}\;=\;\color{#ff6600}{a_1b_1}+\color{#660099}{a_2b_2} + \color{#006400}{a_3b_3}
In beiden Fällen wird
  • die  erste Komponente\color{#ff6600}{\text{ erste Komponente}} von a\vec{a} mit der ersten Komponente von b\vec{b},
  • die  zweite Komponente \color{#660099}{\text{ zweite Komponente }} von a\vec{a} mit der zweiten Komponente von b\vec{b}
und im Raum auch
  • die  dritte Komponente \color{#006400}{\text{ dritte Komponente }} von a\vec{a} mit der dritten Komponente von b\vec{b}
multipliziert. Diese Produkte werden dann addiert.
Für Skalarprodukte von Vektoren gelten ähnliche Rechenregeln wie für die Multiplikation von Zahlen:
  • Kommutativgesetz für Vektoren: ab=ba\vec{a}\odot\vec{b} = \vec{b}\odot\vec{a}
  • Distributivgesetz für Vektoren: (a+b)c=ac+bc(\vec{a}+\vec{b})\odot \vec{c} = \vec{a}\odot \vec{c} + \vec{b}\odot \vec{c}
  • gemischtes Assoziativgesetz: (λa)b=λ(ab)(\lambda \cdot\vec{a})\odot\vec{b} =\lambda \cdot(\vec{a}\odot\vec{b})\hspace{0.5cm} für alle λR\lambda \in \mathbb{R}
Das Assoziativgesetz heißt "gemischt", da sowohl Vektoren als auch Skalare vorkommen.

Beispiel

Zeige, dass die folgende Gleichheit gilt:
c(λa+λb)=λ(ac)+λ(bc)\vec c \odot (\lambda \cdot \vec a +\lambda \cdot \vec b )= \lambda \cdot (\vec a \odot \vec c) + \lambda \cdot (\vec b \odot \vec c)
Du kannst die allgemeinen Rechenregeln anwenden, um die Gleichheit nachzuprüfen:
c(λa+λb)=(λa+λb)c=(λa)c+(λb)c=λ(ac)+λ(bc)\vec c \odot (\lambda \cdot \vec a +\lambda \vec b )=(\lambda \cdot \vec a +\lambda \vec b ) \odot \vec c= (\lambda \cdot \vec a )\odot \vec c + (\lambda \cdot \vec b) \odot \vec c=\lambda \cdot (\vec a \odot \vec c) + \lambda \cdot (\vec b \odot \vec c)
Diese Rechnung zeigt die Gleichheit.

Beispiel

Berechne das Skalarprodukt zwischen den beiden Vektoren a\vec{a} und b\vec b!
a=(32)        b=(711)\vec a=\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}\;\;\;\; \vec b=\begin{pmatrix}7\\11\end{pmatrix}
Wende die Definition an und du erhältst:
ab=(32)(711)=37+211=21+22=1\vec a\odot\vec b=\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix}7\\11\end{pmatrix}=-3\cdot7 +2\cdot11 = -21 + 22 = 1
Das Skalarprodukt von a\vec{a} und b\vec{b} beträgt somit 11.
Berechne das Skalarprodukt der folgenden Vektoren
Weitere Übungsaufgaben: Aufgaben zum Skalarprodukt

Verwendung des Skalarproduktes

Ermitteln der Länge eines Vektors

Die Länge eines Vektors (der Betrag) ist gleich der Wurzel aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst:

In der Ebene

a=aa=a12+a22\left|\vec a\right|=\sqrt{\vec a\odot\vec a}=\sqrt{ a_1^2+ a_2^2}

Im Raum

a=aa=a12+a22+a32\left|\vec a\right|=\sqrt{\vec a\odot\vec a}=\sqrt{a_1^2+a_2^2+ a_3^2}
Beachte, dass lediglich der Nullvektor die Länge 00 hat.

Beispiel

Berechne die Länge des Vektors a\vec{a}!
a=(34)\displaystyle \vec{a}=\begin{pmatrix}-3\\4\end{pmatrix}
Bestimme zunächst das Skalarprodukt von a\vec a mit sich selbst:
aa=a1a1+a2a2=(3)(3)+44=9+16=25\displaystyle \begin{array}{rcl} \vec{a} \odot \vec{a} &=& a_1 \cdot a_1 + a_2 \cdot a_2 \\ &=& (-3)\cdot (-3)+ 4\cdot 4\\ &=& 9+ 16\\ &=& 25 \end{array}
Ziehst du nun die Wurzel aus diesem Skalarprodukt, so erhältst du die Länge des Vektors a\vec a.
a=aa=25=5 LE\displaystyle \begin{array}{rcl} |\vec a| &=& \sqrt{\vec{a} \odot \vec{a}}\\ &=& \sqrt {25}\\ &=& 5~LE \end{array}
Der Vektor a\vec a besitzt also die Länge 55.

Ermitteln eines Winkels

Mit dem Skalarprodukt lässt sich der Winkel ermitteln, den zwei Vektoren miteinander einschließen (vorausgesetzt, keiner von ihnen ist der Nullvektor). Für den Winkel φ\varphi zwischen zwei Vektoren a\vec{a} und b\vec{b} gilt:
ab=abcosφ\vec{a}\odot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos\varphi
Durch umformen erhältst du: cos(φ)=abab\displaystyle \cos(\varphi)=\frac{\vec a\odot\vec b}{\left|\vec a\right|\cdot|\vec b|}         φ=cos1(abab)\displaystyle \Rightarrow\;\;\;\;\varphi=\cos^{-1}\left(\frac{\vec a\odot\vec b}{\left|\vec a\right|\cdot|\vec b|}\right)
Wichtig: In dieser Formel sind die Längen von a\vec{a} und b\vec{b} im Nenner. Daher muss man darauf achten, dass weder a\vec{a} noch b\vec{b} gleich dem Nullvektor sind.

Beispiel

Berechne den Winkel, der zwischen den beiden Vektoren a=(10)\displaystyle \vec{a}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} und b=(11)\displaystyle \vec{b}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} eingeschlossen wird!
Berechne zuerst das Skalarprodukt:
ab=11+10=1\vec{a}\odot\vec{b}=1\cdot1+1\cdot0=1 .
Als nächstes berechnest du jeweils die Länge der beiden Vektoren:
a=12+02=1|\vec{a}|=\sqrt{1^2+0^2}=1
b=12+12=2|\vec{b}|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2
Einsetzen des Skalarprodukts und der Länge der Vektoren in die Formel für den Winkel liefert:
φ=cos1(abab)=cos1(112)=45\displaystyle \varphi=\cos^{-1}\left(\frac{\vec a\odot\vec b}{\left|\vec a\right|\cdot|\vec b|}\right)=\cos^{-1}\left(\frac{1}{1\cdot\sqrt{2}}\right)=45^\circ
Der Winkel φ\varphi zwischen den beiden Vektoren a\vec{a} und b\vec{b} ist also 4545^\circ.
Berechne jeweils den Winkel, der zwischen den beiden Vektoren eingeschlossen ist!
Weitere Übungsaufgaben: Aufgaben zum Skalraprodukt

Senkrechte Vektoren

Zwei Vektoren stehen senkrecht bzw. orthogonal zueinander, falls ihr Skalarprodukt 00 ergibt. Du hast also

abab=0\vec a \perp \vec b \Leftrightarrow \vec a\odot\vec b=0

Zwei Vektoren stehen senkrecht zueinander, wenn der Winkel φ\varphi zwischen ihnen 9090^\circ beträgt. Außerdem gilt cos(90)=0\cos(90^\circ)=0, wie du nachrechnen kannst.
Setzt du also 9090^\circ in die Formel zur Winkelberechnung ein, dann erhältst du
0=cos(90)=cos(φ)=abab0 = \cos(90^\circ)=\displaystyle \cos(\varphi)=\frac{\vec a\odot\vec b}{\left|\vec a\right|\cdot|\vec b|}
Nun ist der Bruch auf der rechten Seite genau dann 00, wenn der Zähler des Bruchs 00 ist. Da der Zähler aber gerade das Skalarprodukt zwischen a\vec{a} und b\vec{b} muss dieses gleich 00 sein.
Mit diesem Wissen siehst du für den Winkel φ\varphi zwischen den Vektoren a\vec{a} und b\vec{b}:
φ=90cos(φ)=0abab=0ab=0\varphi=90^\circ \Leftrightarrow \cos(\varphi)=0\Leftrightarrow \dfrac{\vec a\odot\vec b}{\left|\vec a\right|\cdot|\vec b|}=0 \Leftrightarrow \vec{a}\odot \vec{b} =0

Beispiel

Überprüfe, ob die Vektoren a\vec{a} und b\vec{b} senkrecht aufeinander stehen!
a=(26),      b=(31)\displaystyle \vec {a}=\begin{pmatrix}2 \\ 6 \end{pmatrix},\;\;\;\vec {b}=\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}
Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren:
(26)(31)=23+6(1)=0\displaystyle \begin{pmatrix}2\\6\end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}=2\cdot3+6\cdot(-1)=0
Da das Skalarprodukt 00 ist, stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander.
Prüfe, ob die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen.
Finde xx, sodass die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen!
Bestimme einen Vektor so, dass er orthogonal zu dem gegebenen Vektor ist.
Weitere Übungsaufgaben: Aufgaben zum Skalarprodukt
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