Das Skalarprodukt ist eine Multiplikation von zwei Vektoren. Sein Ergebnis ist ein Skalar (= eine reelle Zahl), im Gegensatz zum Kreuzprodukt, dessen Ergebnis ein Vektor ist.

Für das Skalarprodukt der Vektoren %%\vec{a}%% und %%\vec{b}%% schreibt man %%\vec{a}\odot\vec{b}%%, %%\ \vec{a}\circ\vec{b}%% oder auch häufig %%\langle \vec a, \vec b\rangle%%.

Wichtig: Man kann das Skalarprodukt von zwei Vektoren nur bilden, wenn sie beide gleich viele Komponenten haben!

Definition

Das Skalarprodukt von zwei Vektoren %%\vec{a}%% und %%\vec{b}%% ist definiert als

  • ihre komponentenweise Multiplikation und die
  • anschließende Addition.

Dies bedeutet:

In der Ebene

%%\vec{a} = \begin{pmatrix} \color{#ff6600}{a_1}\\ \color{#660099}{a_2}\end{pmatrix}, \vec{b} = \begin{pmatrix} \color{#ff6600}{b_1}\\ \color{#660099}{b_2}\end{pmatrix}%%

$$\Rightarrow \vec{a}\odot\vec{b}\;=\;\color{#ff6600}{a_1b_1}+\color{#660099}{a_2b_2}$$

Im Raum

%%\vec{a} = \begin{pmatrix} \color{#ff6600}{a_1}\\ \color{#660099}{a_2}\\ \color{#006400}{a_3}\end{pmatrix}, \vec{b} = \begin{pmatrix} \color{#ff6600}{b_1}\\ \color{#660099}{b_2}\\ \color{#006400}{b_3}\end{pmatrix}%%

$$\Rightarrow \vec{a}\odot\vec{b}\;=\;\color{#ff6600}{a_1b_1}+\color{#660099}{a_2b_2} + \color{#006400}{a_3b_3}$$

In beiden Fällen wird

  • die %%\color{#ff6600}{\text{ erste Komponente}}%% von %%\vec{a}%% mit der ersten Komponente von %%\vec{b}%%,
  • die %%\color{#660099}{\text{ zweite Komponente }}%% von %%\vec{a}%% mit der zweiten Komponente von %%\vec{b}%%

und im Raum auch

  • die %%\color{#006400}{\text{ dritte Komponente }}%% von %%\vec{a}%% mit der dritten Komponente von %%\vec{b}%%

multipliziert. Diese Produkte werden dann addiert.

Vertiefung: allgemeine Rechenregeln

Für Skalarprodukte von Vektoren gelten ähnliche Rechenregeln wie für die Multiplikation von Zahlen:

  • Kommutativgesetz für Vektoren: %%\vec{a}\odot\vec{b} = \vec{b}\odot\vec{a}%%

  • Distributivgesetz für Vektoren: %%(\vec{a}+\vec{b})\odot \vec{c} = \vec{a}\odot \vec{c} + \vec{b}\odot \vec{c}%%

  • gemischtes Assoziativgesetz: %%(\lambda \cdot\vec{a})\odot\vec{b} =\lambda \cdot(\vec{a}\odot\vec{b})\hspace{0.5cm}%% für alle %%\lambda \in \mathbb{R}%%

Das Assoziativgesetz heißt "gemischt", da sowohl Vektoren als auch Skalare vorkommen.

Beispiel

Zeige, dass die folgende Gleichheit gilt:

%%\vec c \odot (\lambda \cdot \vec a +\lambda \cdot \vec b )= \lambda \cdot (\vec a \odot \vec c) + \lambda \cdot (\vec b \odot \vec c)%%

Du kannst die allgemeinen Rechenregeln anwenden, um die Gleichheit nachzuprüfen:

%%\vec c \odot (\lambda \cdot \vec a +\lambda \vec b )=(\lambda \cdot \vec a +\lambda \vec b ) \odot \vec c= (\lambda \cdot \vec a )\odot \vec c + (\lambda \cdot \vec b) \odot \vec c=\lambda \cdot (\vec a \odot \vec c) + \lambda \cdot (\vec b \odot \vec c)%%

Diese Rechnung zeigt die Gleichheit.

Beispiel

Berechne das Skalarprodukt zwischen den beiden Vektoren %%\vec{a}%% und %%\vec b%%!

%%\vec a=\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}\;\;\;\; \vec b=\begin{pmatrix}7\\11\end{pmatrix}%%

Wende die Definition an und du erhältst:

%%\vec a\odot\vec b=\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix}7\\11\end{pmatrix}=-3\cdot7 +2\cdot11 = -21 + 22 = 1%%

Das Skalarprodukt von %%\vec{a}%% und %%\vec{b}%% beträgt somit %%1%%.

Übungsaufgaben

Berechne das Skalarprodukt der folgenden Vektoren

Weitere Übungsaufgaben: Aufgaben zum Skalarprodukt

Verwendung des Skalarproduktes

Ermitteln der Länge eines Vektors

Die Länge eines Vektors (der Betrag) ist gleich der Wurzel aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst:

 

 

In der Ebene

%%\left|\vec a\right|=\sqrt{\vec a\odot\vec a}=\sqrt{ a_1^2+ a_2^2}%%

Im Raum

%%\left|\vec a\right|=\sqrt{\vec a\odot\vec a}=\sqrt{a_1^2+a_2^2+ a_3^2}%%

Beachte, dass lediglich der Nullvektor die Länge %%0%% hat.

Beispiel

Berechne die Länge des Vektors %%\vec{a}%% !

%%\vec{a}=\begin{pmatrix} -3\\ 4 \end{pmatrix}%%

Bestimme zunächst das Skalarprodukt von %%a%% mit sich selbst:

%%\begin{align} \vec{a} \odot \vec{a} &= a_1 \cdot a_1 + a_2 \cdot a_2 \\ &= (-3)\cdot (-3)+ 4\cdot 4\\ &= 9+ 16\\ &= 25 \end{align}%%

Ziehst du nun die Wurzel aus diesem Skalarprodukt, so erhältst du die Länge des Vektors %%a%%.

%%\begin{align} |\vec{a} | &= \sqrt{\vec{a} \odot \vec{a}}\\ &= \sqrt {25}\\ &= 5 \end{align}%%

Der Vektor %%a%% hat also die Länge %%5%%.

Übungsaufgaben

Berechne jeweils die Länge des Vektors

Weitere Übungsaufgaben: Aufgaben zum Skalarprodukt

Ermitteln eines Winkels

Mit dem Skalarprodukt lässt sich der Winkel ermitteln, den zwei Vektoren miteinander einschließen (vorausgesetzt, keiner von ihnen ist der Nullvektor). Für den Winkel %%\varphi%% zwischen zwei Vektoren %%\vec{a}%% und %%\vec{b}%% gilt:

%%\vec{a}\odot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos\varphi%%

Durch umformen erhältst du:
%%\displaystyle \cos(\varphi)=\frac{\vec a\odot\vec b}{\left|\vec a\right|\cdot|\vec b|}%%
%%\displaystyle \Rightarrow\;\;\;\;\varphi=\cos^{-1}\left(\frac{\vec a\odot\vec b}{\left|\vec a\right|\cdot|\vec b|}\right)%%

Wichtig: In dieser Formel sind die Längen von %%\vec{a}%% und %%\vec{b}%% im Nenner. Daher muss man darauf achten, dass weder %%\vec{a}%% noch %%\vec{b}%% gleich dem Nullvektor sind.

Beispiel

Berechne den Winkel, der zwischen den beiden Vektoren %%\displaystyle \vec{a}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}%% und %%\displaystyle \vec{b}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}%% eingeschlossen wird!

Berechne zuerst das Skalarprodukt:

%%\vec{a}\odot\vec{b}=1\cdot1+1\cdot0=1%% .

Als nächstes berechnest du jeweils die Länge der beiden Vektoren:

%%|\vec{a}|=\sqrt{1^2+0^2}=1%%

%%|\vec{b}|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2%%

Einsetzen des Skalarprodukts und der Länge der Vektoren in die Formel für den Winkel liefert:

%%\displaystyle \varphi=\cos^{-1}\left(\frac{\vec a\odot\vec b}{\left|\vec a\right|\cdot|\vec b|}\right)=\cos^{-1}\left(\frac{1}{1\cdot\sqrt{2}}\right)=45^\circ%%

Der Winkel %%\varphi%% zwischen den beiden Vektoren %%\vec{a}%% und %%\vec{b}%% ist also %%45^\circ%%.

Übungsaufgaben

Berechne jeweils den Winkel, der zwischen den beiden Vektoren eingeschlossen ist!

Weitere Übungsaufgaben: Aufgaben zum Skalraprodukt

Senkrechte Vektoren

Zwei Vektoren stehen senkrecht bzw. orthogonal zueinander, falls ihr Skalarprodukt %%0%% ergibt. Du hast also

%%\vec a \perp \vec b \Leftrightarrow \vec a\odot\vec b=0%%

Vertiefung: Herleitung

Zwei Vektoren stehen senkrecht zueinander, wenn der Winkel %%\varphi%% zwischen ihnen %%90^\circ%% beträgt. Außerdem gilt %%\cos(90^\circ)=0%%, wie du nachrechnen kannst.

Setzt du also %%90^\circ%% in die Formel zur Winkelberechnung ein, dann erhältst du

%%0 = \cos(90^\circ)=\displaystyle \cos(\varphi)=\frac{\vec a\odot\vec b}{\left|\vec a\right|\cdot|\vec b|}%%

Nun ist der Bruch auf der rechten Seite genau dann %%0%%, wenn der Zähler des Bruchs %%0%% ist. Da der Zähler aber gerade das Skalarprodukt zwischen %%\vec{a}%% und %%\vec{b}%% muss dieses gleich %%0%% sein.

Mit diesem Wissen siehst du für den Winkel %%\varphi%% zwischen den Vektoren %%\vec{a}%% und %%\vec{b}%%:

%%\varphi=90^\circ \Leftrightarrow \cos(\varphi)=0\Leftrightarrow \dfrac{\vec a\odot\vec b}{\left|\vec a\right|\cdot|\vec b|}=0 \Leftrightarrow \vec{a}\odot \vec{b} =0%%

Beispiel

Überprüfe, ob die Vektoren %%\vec{a}%% und %%\vec{b}%% senkrecht aufeinander stehen!

$$\vec {a}=\begin{pmatrix}2 \\ 6 \end{pmatrix},\;\;\;\vec {b}=\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}$$

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren:

$$\begin{pmatrix}2\\6\end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}=2\cdot3+6\cdot(-1)=0$$

Da das Skalarprodukt %%0%% ist, stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander.

Übungsaufgaben

Prüfe, ob die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen.

Finde %%x%%, sodass die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen!

Bestimme einen Vektor so, dass er orthogonal zu dem gegebenen Vektor ist.

Weitere Übungsaufgaben: Aufgaben zum Skalarprodukt

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