Das Vektorprodukt ist die Verknüpfung zweier Vektoren, dessen Ergebnis wieder ein Vektor ist, der senkrecht auf den beiden Vektoren steht.

Häufig wird das Vektorprodukt auch mit "Kreuzprodukt" bezeichnet.

Mathematisch ist das Kreuzprodukt zweier Vektoren %%\vec a=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}%% und %%\vec b=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}%% definiert als

%%\vec a\times\vec b=\begin{pmatrix}a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1\end{pmatrix}%%.

Kreuzprodukt

Der dadurch erhaltene Vektor %%\vec c%% steht auf %%\vec a%% und %%\vec b%% senkrecht (%%\vec c\perp \vec a%% und %%\vec c\perp \vec b%%).

Er hat die Länge %%\left|\vec c\right|=|\vec a\times\vec b| = |\vec a|\cdot|\vec b|\cdot\sin(\varphi)%%, wobei %%\varphi%% der Winkel ist, den %%\vec a%% und %%\vec b%% aufspannen. Dies entspricht dem Flächeninhalt des von %%\vec a%% und %%\vec b%% aufgespannten Parallelogramms.

Beispiel

Für %%\vec a=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}%% und %%\vec b=\begin{pmatrix}2\\4\\1\end{pmatrix}%% ist das Kreuzprodukt %%\vec c=\vec a\times\vec b=\begin{pmatrix}2\cdot1-1\cdot4\\1\cdot2-1\cdot1\\1\cdot4-2\cdot2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix}%%

Schema zum Berechnen

Um nicht die ganze Formel auswendig lernen zu müssen, gibt es folgenden Trick:

%%\underset{\begin{array}{c}1\\2\end{array}}{\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}}\times\underset{\begin{array}{c}2\\4\end{array}}{\begin{pmatrix}2\\4\\1\end{pmatrix}}\;\;\;\;\;\;%%

Man schreibt die oberen zwei Zeilen noch einmal unter die Vektoren.

Kreuzprodukt Schritt 1

Anschließend fängt man bei der 2. Zeile an und verrechnet zwei Zeilen immer folgendermaßen:

 

(links oben %%\cdot%% rechts unten) %%-%% (links unten %%\cdot%% rechts oben).

 

Dies ist dann die erste Zeile des neuen Vektors.

 Kreuzprodukt Schritt 2 und 3

Nun rechnet man nach dem gleichen Schema die zweite und die dritte Zeile des neuen Vektors aus, indem man mit der 3. bzw. 4. Zeile anfängt.

Eigenschaften

Das Kreuzprodukt ist weder assoziativ noch kommutativ !

Jedoch gelten folgende Gesetze:

  • %%\vec a\times(\vec b+\vec{c})=\vec a\times\vec b+\vec a\times\vec c%%
    %%(\vec a+\vec b)\times\vec c=\vec a\times\vec c+\vec b\times\vec c%%   (Distributivgesetze)

  • %%\vec a\times\vec b=-(\vec b\times\vec a)%%

  • %%( r\cdot\vec{a})\times\vec{ b}\;= r\cdot(\vec{ a}\times\vec{ b})=\vec{ a}\times( r\cdot\vec{ b})%%

Kommentieren Kommentare

Barnabas 2019-07-01 17:45:20
Wieso gilt für den Betrag des Normalenvektors "|c⃗ |=|a⃗ ×b⃗ |=|a⃗ |⋅|b⃗ |⋅sin(φ)"? Eine kurze Herleitung oder Erklärung wäre sehr nett!
Viele Grüße
Barnabas
Nish 2019-07-02 21:21:44
Hallo Barnabas,
Danke erstmal für deine Nachfrage! Es gibt leider noch keine Herleitung bzw. Erklärung für die Formel. Diese würde auch bei uns eher in unserem Lernformat Kurs sein.

Ich versuche mal kurz die Herleitung hier, sodass du selber weiterkommst:

Wie im Artikel erklärt, ist das Kreuzprodukt a x b gerade der Flächeninhalt des aufgespannten Parallelogramm. Der Flächeninhalt eines Parallelogramms kann wiederum berechnet werden durch A = Grundseite * Höhe.
Die Grundseite hier ist Betrag vom Vektor a und die Höhe ist wegen dem rechtwinkligen Dreieck Betrag vom Vektor b mal der Sinus von dem Winkel (hier: Phi).

So hätte ich das kurz erklärt. Vllt. kann es noch jdn. ausführlicher machen.

LG,
Nish
Nish 2019-07-02 21:26:56
PS: Wenn etwas unklar ist oder du noch Rückfragen hast, gerne einfach nochmal hier schreiben! Wir helfen dir gerne weiter!
Barnabas 2019-07-03 06:05:50
Hallo Nish,
vielen Dank für die schnelle Antwort, hat mir weitergeholfen!
LG,
Barnabas
Nish 2019-07-05 12:32:28
Freut mich, Barnabas! Danke für deine Rückmeldung!
LG,
Nish
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hp 2018-05-31 15:44:01
Ich finde, dass unter der großen Überschrift Vektorpordukt das hier vorgestellte Verfahren auch Vektorprodukt heißen sollte und dann auch noch darauf hingewiesen werden sollte, dass man Kreuzprodukt synonym verwendet, was meint ihr ?
Renate 2018-05-31 16:37:26
Hallo hp,

dein Einwand bzgl. der Verschiedenheit der Bezeichnungen ist berechtigt - zumal im Artikel hier nicht mal der Begriff "Vektorprodukt" erwähnt ist!

Wenn ich allerdings darüber nachdenke, WELCHEN der beiden Begriffe ich verwenden würde, würde ich persönlich mich in diesem Fall ungern für einen der beiden Begriffe als "vorrangig" entscheiden.
Ich weiß einfach zu wenig, wie verbreitet welche der beiden Bezeichnungen wo ist, und ob jemand, der die eine Bezeichnung kennt, auch die anderen zumindest gehört hat und einordnen kann.


An @hp und alle anderen:

Was haltet ihr von folgendem Vorschlag:

- Wir benennen den überordneten Ordner um in "Vektorprodukt oder Kreuzprodukt",

- bezeichnen den Artikel hier mit "Vektorprodukt" (dieser Begriff ist nämlich meinem subjektivem Eindruck nach inzwischen zumindest in Bayern der verbreitetere)

- und schreiben im Artikel hier, dass es beide Bezeichnungen gibt?

Viele Grüße
Renate

PS: Danke, @hp, für deinen Kommentar, und dass du auf das Problem hingewiesen hast! :)
hp 2018-06-01 06:24:54
Liebe Renate,
danke für die ausführliche Antwort und den Vorschlag!
Dazu nochmal folgender Gedanke zu Produkten. Es gibt eins
- zwischen Vektoren und Skalaren, das man S-Multiplikation nennt, S wie Skalar (R x V -> V)
- zwischen Vektoren und Vektoren, bei dem ein Skalar rauskommt und daher Skalarprodukt (V x V -> R)
- zwischen Vektoren und Vektoren, bei dem ein Vektor rauskommt (V x V -> V) und das konsequenterweise Vektorprodukt heißen müsste! Das Kreuz ist doch ein Hinweis auf das Verknüpfungssymbol.
Analog red ich (etwas salopp) oft vom Kringelprodukt, wenn ich eigentlich das Skalarprodukt meine.
(sorry für diesen Oberlehrer-Exkurs, ;-)

Also mein Votum: Das Ding heißt Vektorprodukt und es sollte darauf hingewiesen werden, dass es auch Kreuzprodukt genannt wird.

Vorletztes Argument: Aus meiner Studienzeit liegen noch 2 Bibeln rum: Die eine heißt "Bronstein", die andere "Taschenbuch der Physik", beide nennen das Ding Vektorprodukt. Mit Rücksicht auf meinen Persönlichkeitsrechte traue ich mich hier allerdings nicht zu schreiben, aus welchem Jahr die beiden Bücher sind ;-) Unglücklicherweise gibt v. a. das deutsche Wikipedia dem Kreuzprodukt den Vorrang.

Letztes Argument dafür aus dem "Heimatministerium": In Bayern wär ja noch auf die Merkhilfe zu schauen und da heißt es ... Vektorprodukt!

Mir gehts nicht ums Rechthaben, sondern um die Leser, denen in einem mathematischen Satz schnell mal 4 Wörter begegnen, wovon sie sich bei 3 unsicher sind und die dann auf den Vektorprodukt-Link klicken und auf einer Seite landen, wo das Wort nicht mehr vorkommt.....

Uiuiui, das ist jetzt länger geworden, als es sollte...
Viele Grüße
hp
Renate 2018-06-04 10:54:53
Hallo hp,
danke für die Antwort! -

Ich habe jetzt ein paar Änderungen vorgenommen - nicht ganz genau die, die ich vorgeschlagen hatte, aber so ungefähr.


Im Einzelnen:

- Titel des Artikels umbenannt
von "Kreuzprodukt" in "Vektor- oder Kreuzprodukt".

- Im Artikel im Anfangsteil entsprechende Änderungen vorgenommen, insbesondere Hinweis auf andere Bezeichnungsweise hineingeschrieben.

- Ordnernamen geändert
von "Vektorprodukt" in "Vektorprodukt, Kreuzprodukt"


Das muss jetzt nicht unbedingt so bleiben, aber es ist jetzt erstmal ein Versuch, das Problem zu beheben.

Gibt es Einwände, Kritik, Verbesserungsvorschläge?
@hp? @Redaktion und @Community?

Viele Grüße
Renate
hp 2018-06-05 13:03:53
Danke, ich denke, jetzt gibts keine Verständnishürden mehr!
Viele Grüße
hp
Digamma 2018-08-07 18:47:21
Ich finde die Umbenennung gut. Dass der Wikipedia-Artikel "Kreuzprodukt" heißt, sollte kein Argument sein. Der Name wurde dort nie wirklich diskutiert.
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