Ein Kreis beschreibt die Menge aller Punkte, die denselben Abstand rr zum Mittelpunkt MM besitzen. In diesem Artikel lernst du die folgenden Formeln kennen:
Bild Kreis

Zusammenfassung

Begriff

Formel

Umfang:

%%U=2\pi r%%

Kreisfläche:

%%A_{\circ}=\pi r^2%%

Kreisbogenlänge:

%%b=U\cdot \dfrac{\alpha}{360^{\circ}}%%

Sektorfläche:

%%A_\mathrm{s} = A_{\circ} \cdot \dfrac{\alpha}{360^{\circ}}%%

Kreisring:

%%A_{\mathrm{Kreisring}} = \pi \cdot ( r_2^2 \; – \; r_1^2)%%

Bestimmung des Umfangs

Den Umfang erhältst du durch Abrollen des Kreises und messen der abgerollten Strecke. Auf diese Weise kannst du die Kreiszahl π\pi definieren.
In der Abbildung rechts siehst du, wie ein Kreis mit Durchmesser d=1d=1 abgerollt wird.
Sein Umfang beträgt π\pi, also etwa 3,143,14.
Für den Umfang findest du so den folgenden Zusammenhang:
U=2rπ=dπU = 2 \cdot r \cdot \pi = d\cdot \pi

Berechnung des Flächeninhalts

Um den Flächeninhalt eines Kreises zu berechnen, stellst du dir einen Kreis vor, der in viele Kreissektoren zerteilt ist. Dieser Kreis ähnelt einem Kuchen mit vielen Kuchenstücken.
achtgeteilter Kreis
achtgeteilter Kuchen abgerollt
Ähnlich wie beim Umfang kannst du nun diese Kuchenstücke umplatzieren und nebeneinander legen. Die Kreissektoren sehen schon fast wie Dreiecke aus. Aber nur fast.
Die Höhe des Dreiecks AD\overline{AD} ist kleiner als der Radius rr, also die Länge AE\overline{AE} rechts im Bild.
Nahaufaufnahme
Vergrößerst du jedoch die Anzahl der Kreissektoren, so kannst du den Flächeninhalt des Kreises immer besser durch den Flächeninhalt von Dreiecken annähern.
Kreis 16teilig
Die Länge der aneinandergelegten Kreissektoren gleicht bei vielen Unterteilungen nun näherungsweise dem Umfang.
Teile des Kreises
Der Flächeninhalt des Dreiecks ABCABC entspricht nun fast dem Flächeninhalt eines Kreissektors und die Höhe des Dreiecks ist in etwa rr, also AE\overline{AE}.
Indem du die Kuchenstücke immer weiter unterteilst, erhöhst du die Anzahl der Kuchenstücke immer weiter. Dadurch erhältst du ganz viele Kreissektoren und kannst so den Flächeninhalt sehr genau bestimmen.
Flächeninhalt eines Kreisteils
Stell dir hierfür eine ganz große natürliche Zahl nn vor. Der Kreis soll in nn Teile zerteilt werden. Ein Kuchenstück hat dann in etwa den Flächeninhalt eines Dreiecks:
AΔ=12BCADA_{\Delta} =\dfrac{1}{2}\cdot \overline{BC} \cdot \overline{AD}
So berechnest du den Flächeninhalt eines der Dreiecke. Bei sehr vielen Kreissektoren ist AD\overline{AD} in etwa so lang wie AE\overline{AE}.
12BCAE\approx \dfrac{1}{2}\cdot \overline{BC} \cdot \overline{AE}
AE\overline{AE} entspricht dem Radius rr des Kreises.
=12BCr= \dfrac{1}{2}\cdot \overline{BC} \cdot r

Nun nähern wir auch den Flächeninhalt des Dreiecks noch weiter an, um die Kreisfläche möglichst genau zu bestimmen. Die Länge BC\overline{BC} ist fast ein nn-tel des Umfangs. Durch addieren aller nn Dreiecksflächen erhältst du näherungsweise die Formel für den Flächeninhalt des Kreises.
AnAΔA_{\circ} \approx n \cdot A_{\Delta}
Du ersetzt AΔA_{\Delta} durch die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks.
An(12BCr)A_{\circ}\approx n \cdot (\dfrac{1}{2} \cdot \overline{BC} \cdot r)
Die Strecke BC\overline{BC} ist fast ein nn-tel des Umfangs. Der Umfang UU ist 2πr2\pi r.
An(12(2πr1n)r)A_{\circ}\approx n \cdot (\dfrac{1}{2} \cdot (2 \pi r \cdot \dfrac{1}{n})\cdot r)
Durch Ausklammern und Kürzen kommst du auf dieses Ergebnis.
A=πr2A_{\circ}= \pi \cdot r^2

Durch Annähern der Kreissektoren an Dreiecke und näherungsweiser Berechnung des Flächeninhalt dieser Dreiecke erhältst du in diesem Fall glücklicherweise sogar exakt die Kreisfläche.
Durch Unterteilung in unendlich viele Kreissektoren bestätigt sich, dass deine Näherung exakt ist:
A=πr2A_{\circ} = \pi r^2

Berechnung der Kreisbogenlänge

Die Kreisbogenlänge bb kannst du über den vom Kreissektor eingeschlossenen Winkel α\alpha und den Radius rr bestimmen.
Der Kreis hat einen Innenwinkel von 360.360^{\circ}. Das Verhältnis des Winkel α\alpha zu 360360^{\circ}, gibt dir den Anteil der Kreisbogenlänge bb vom Umfang UU an.
Du erhältst so die Formel:
b=α360U=α3602πrb = \dfrac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot U = \dfrac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot 2\pi r
Bogenlänge

Berechnung der Sektorfläche

Die Sektorfläche bestimmst du auch über das Verhältnis des Winkels α\alpha zu 360360^{\circ}. Dieses Verhältnis gibt dir an, welchen Anteil der Flächeninhalt vom Kreissektor zum Flächeninhalt des ganzen Kreises hat.
Die Formel zur Berechnung der Sektorfläche lautet also:
As=α360A=α360πr2A_\mathrm{s} = \dfrac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot A_{\circ} = \dfrac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot \pi r^2
Sektorfläche

Berechnung des Kreisrings

Ein Kreisring ist die Fläche zwischen zwei Kreisen mit demselben Mittelpunkt.
Hier siehst du zwei Kreise mit dem Mittelpunkt M. Der kleine Kreis hat den Radius r1r_1, der große Kreis hat den Radius r2r_2.
zwei Kreise mit gleichem Mittelpunkt und verschiedenen Radien
Den Flächeninhalt des Kreisrings berechnest du dadurch, dass du die beiden Kreisflächen voneinander subtrahierst:
AKreisring=AKreis groß    AKreis klein=πr22    πr12=π(r22    r12)\displaystyle \begin{aligned}A_\text{Kreisring} &= A_\text{Kreis groß} \;–\; A_\text{Kreis klein} \\&= \pi \cdot r_2^2 \; – \; \pi \cdot r_1^2 \\&= \pi \cdot ( r_2^2 \; – \; r_1^2) \end{aligned}
Kreisring mit Radius r1 und r2 und Mittelpunkt M

Video zur Flächenberechnung

Kommentieren Kommentare

Zu article Berechnungen am Kreis: Gut erklärt.
jobheld 2014-11-07 10:56:57
Aber es wäre hilfreicher, wenn man den Kreisumfang online berechnen könnte. Hier habe ich z.B. einen schönen Rechner gefunden: http://kreisumfang-berechnen.plakos.de/
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Zu article Berechnungen am Kreis:
LisaSchwa 2017-05-30 13:10:43
SchülerInnen der 7. Klasse haben gesucht, wie man den Umfang eines Kreises berechnet. Über die Suche "Umfang" und über die Schulform-/Klassenformnavigation sind sie nicht zu dieser Seite gekommen. Das wäre hilfreich gewesen :-)
Nish 2017-05-31 13:08:54
Danke für den Hinweis. Schulform war wsl. Realschule, oder?
Wir müssen bald mal wieder einen Lehrplan-Sprint veranstalten ;)

LG,
Nish
LisaSchwa 2017-06-01 07:03:28
Hi Nish,
Danke für die schnelle Antwort. Richtig, die Schulform war Realschule. Sorry - habe ich vergessen, dazu zu schreiben.
Lieben Gruß!
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Zu article Berechnungen am Kreis:
Renate 2016-12-20 11:13:04
GRAPHIK IN "BERECHNUNGEN AM KREIS" SEHR VOLL
Die Graphik, in der die einzelnen Kreisteile dargestellt sind, erscheint mir etwas überladen; außerdem ist der Umfang strenggenommen falsch markiert, da die grüne Linie nicht ganz herum geht.

VORSCHLAG:
Wir sollten mehrere separate Graphiken (und separate Abschnitte) erstellen, zum Beispiel eine für die Berechnungen am (ganzen) Kreis und eine für die Berechnungen am Kreissektor,
(und zudem (langfristig) für jedes der Objekte einen eigenen, ausführlicheren Artikel auf Serlo haben, zu dem dann von hier aus verlinkt wird).

Als "Vorbild" für die Struktur könnten vielleicht die von Knorrke meiner Meinung sehr gut gestalteten Artikel "Volumenformeln" (https://de.serlo.org/59099) oder "Oberflächenformeln" (https://de.serlo.org/64697) - dienen, die ja auch, ähnlich wie dieser Artikel hier, ihrem Charakter nach Überblicksartikel oder Formelsammlungen darstellen.
Was haltet ihr davon?

Gruß
Renate
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