Nach dem Satz des Thales gilt:

Wenn ein Dreieck aus den Eckpunkten des Durchmessers eines (Thales-)Kreises und einem weiteren Punkt auf dem Kreisbogen gebildet wird, so ist der Winkel bei dem Punkt auf dem Kreisbogen ein rechter Winkel.

Thalessatz

Beispiel

Man beginnt mit einer beliebigen Strecke (hier: Strecke %%[AB]%%).

Thales1

Nun konstruiert man einen Thaleskreis (hier mit Mittelpunkt %%M%%).

Thales2

Nun kann man einen beliebigen Punkt auf dem Kreisbogen makieren (hier Punkt %%C%%).

Thales3

Nun verbindet man die Punkte %%A,B%% und %%C%% zu einem Dreieck.

Thales4

Der Winkel %%\sphericalangle ACB%% ist ein rechter Winkel.

Thales5

Du kannst den Punkt (hier: Punkt %%C)%% in der graphischen Veranschaulichung (Applet) rechts beliebig verschieben und mit ihm jedes mal genauso verfahren um die Aussage zu überprüfen.

Das gleiche am Applet

Umkehrung des Satz des Thales

Es gilt auch die Umkehrung des Satzes:

In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Mittelpunkt der Hypotenuse der Mittelpunkt des Umkreises.

Anwendung

Der Thaleskreis ist hilfreich zur Konstruktion rechtwinkliger Dreiecke.

Außerdem kann man mit ihm eine Tangente an einen Kreis konstruieren, die durch einen beliebigen Punkt außerhalb des Kreises verläuft.

Vertiefung: Beweis, Satz des Thales

Man zeichnet zuerst ein Dreieck %%\triangle ABC%% mit Hypotenuse als Durchmesser eines Kreises und den dritten Punkt des Dreiecks auf den Kreisbogen des Kreises (hier: Punkt %%C%%).

Dreieck im Thaleskreis

Zusätzlich trägt man die Seitenhalbierende %%h%% der Hypotenuse ein. Damit entstehen zwei neue Dreiecke:

$$\triangle AMC\text{ und }\triangle MBC.$$

Höhe im Thaleskreis

Nun ist bereits bekannt, dass die Innenwinkelsumme eines Dreiecks %%180°%% beträgt.

Also sowohl in dem Dreieck %%\triangle ABC%% als auch in den Dreiecken %%\triangle AMC%% und %%\triangle MBC%%.

Deshalb gilt:

$$\alpha +\beta+(\gamma_1+\gamma_2)=180°$$

Außerdem gilt:

$$\varepsilon +\delta=180°$$

Winkel im Dreieck

Die Dreiecke %%\triangle AMC%% und %%\triangle MBC%% sind gleichschenklig, da %%p=q=h= \text{Radius des Thaleskreises}%%.

Deshalb gilt:

$$\gamma_2=\beta$$ $$\alpha=\gamma_1$$

Winkel im Dreieck

Damit kommt man auf die Rechnung:

$$\alpha +\beta+(\gamma_1+\gamma_2)=180°$$ $$\Rightarrow 2\cdot(\gamma_1+\gamma_2)=180°$$ $$\Rightarrow \gamma_1+\gamma_2=90°$$

Beweis zum Satz des Thales

Damit ist gezeigt, dass der Winkel %%\gamma=\gamma_1+\gamma_2%% ein rechter Winkel ist, egal wie man den Punkt auf der Kreisbahn wählt.

Kommentieren Kommentare

Zu article Satz des Thales:
ananroni 2017-11-19 17:05:22
Ich glaube, das Dreieck AMB in dem Beweis des Thaleskreises müsste AMC heißen. Denn Dreieck AMB ist ja einfach nur die Hypothenuse und kein Dreieck.
Nish 2017-11-19 18:49:01
Hi,
vielen Dank für deinen Hinweis! Du hast natürlich recht. Ich habe eben das und noch weitere Dinge im Beweis ausgebessert.
Ich finde, das zweite Dreieck sollte Dreieck MBC heißen. Bist du gleicher Meinung?
Außerdem sollte es in der Rechnung unten %%\gamma_1%% und %%gamma_2%% sein und nicht %%\beta_1%% und %%\beta_2%%.

LG,
Nish
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Zu article Satz des Thales: Warum kein Applet
Hannes 2016-04-06 14:02:39
Hey hey,
hat es einen speziellen Grund warum das Beispiel nicht als Applet gemacht wurde?
Persönlich finde ich Applets ziemlich hübsch und es würde auch den Artikel längenmäßig verkürzen.
LG
Hannes
Renate 2016-04-06 18:59:21
Hallo Hannes,
ich bin zwar nicht an der Verfassung dieser Darstellung hier beteiligt, aber ich finde sie im Prinzip eigentlich ganz gut: Insbesondere gefällt mir, dass für jeden Schritt eine eigene Graphik angelegt ist - auch wenn das dann den Artikel in cm (und nicht in Inhaltsfülle oder sprachlicher Weitschweifigkeit) länger macht.

Auch wenn manches für Applets spricht - für eine solche Darstellung wie hier spricht z.B.
- dass sie weniger anfällig für technische Probleme ist als Applets
- dass sie der Barrierefreiheit näher kommt als ein Applet es kann
- dass man die verschiedenen Schritte gleichzeitig (oder fast gleichzeitig) vor sich sehen kann.

Ich fände es gut, wenn Konstruktionen auf Serlo grundsätzlich nicht nur durch Applets erklärt sind, sondern auch durch mit Graphiken ergänzte Textfassungen.

Was hältst du davon?
Gruß
Renate
dominiklechner 2016-04-14 15:10:13
Hallo,

hättet ihr eine Idee wie man das kombinieren könnte. Zum Beispiel ein Applet und die Beschreibungen dazu außerhalb des Applets?

LG Dominik
Hannes 2016-04-19 11:54:50
Hey ihr beiden,
ich kann das voll nachvollziehen.
Vielleicht könnte man ein Applet einfach darunter in einen Spoiler packen.

Aber noch was anderes:
ich fände oben beim ersten Satz ein kleines Bildchen ähnlich wie das Applet ganz gut. Einfach um die visuelle Ebene sofort anzusprechen.

Wenn ihr d'accord seid würde ich das machen ;)
Renate 2016-04-21 08:45:46
Das Applet in einen Spoiler zu packen finde ich sehr gut. :) :) !!!

Denn ich habe manchmal das Problem, dass sich auf "schwächeren" Computern manche Serlo-Seiten nicht vernünftig aufrufen lassen, und ich vermute, dass das mit dort plazierten Applets zusammenhängt.
Wenn nun das Applet im Spoiler ist, braucht es vielleicht nicht geladen zu werden, solange ich den Spoiler nicht öffne - oder liege ich da technisch gesehen falsch?

Oben ein Bild hinzusetzen, das gleich klar macht, worum es geht, finde ich ebenfalls gut ; und wenn du, Hannes, das übernehmen könntest, wäre mir das sehr recht - vielen Dank dafür!

Gruß
Renate
Hannes 2016-04-22 15:44:12
ok.
mach ich
Hannes 2016-04-29 09:34:02
habs mal bearbeitet. was denkt ihr?
dominiklechner 2016-05-16 19:14:11
Ich dachte im ersten Absatz soll noch kein Bild sein, da das in der Googlesuche erscheint? Vielleicht könnte man das Bild nicht neben, sondern unter den ersten Text packen. Dann könnte man es auch bisschen größer machen. Im Moment ist das Bild ein bisschen klein und die Proportionen von dem rechten Winkel-Zeichen zu den Buchstaben sind finde ich etwas unpassend. Ansonsten finde ich das auch gut gleich Oben ein Bild zu haben was den Sachverhalt gut darstellt
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Zu article Satz des Thales: Applet
arekkas 2014-06-09 19:49:03
Das Applet verhält sich komisch. Ich kann es erst richtig benutzen, wenn ich links den grauen Balken zur Seite gezogen habe. Vielleicht kann man das nochmal neu hochladen oder so?