Nach dem Satz des Thales gilt:
Wenn ein Dreieck aus den Eckpunkten des Durchmessers eines (Thales-)Kreises und einem weiteren Punkt auf dem Kreisbogen gebildet wird, so ist der Winkel bei dem Punkt auf dem Kreisbogen ein rechter Winkel.
Beispiel
Man beginnt mit einer beliebigen Strecke (hier: Strecke %%[AB]%%).
Nun konstruiert man einen Thaleskreis (hier mit Mittelpunkt %%M%%).
Nun kann man einen beliebigen Punkt auf dem Kreisbogen makieren (hier Punkt %%C%%).
Nun verbindet man die Punkte %%A,B%% und %%C%% zu einem Dreieck.
Der Winkel %%\sphericalangle ACB%% ist ein rechter Winkel.
Du kannst den Punkt (hier: Punkt %%C)%% in der graphischen Veranschaulichung (Applet) rechts beliebig verschieben und mit ihm jedes mal genauso verfahren um die Aussage zu überprüfen.
Umkehrung des Satz des Thales
Es gilt auch die Umkehrung des Satzes:
In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Mittelpunkt der Hypotenuse der Mittelpunkt des Umkreises.
Anwendung
Der Thaleskreis ist hilfreich zur Konstruktion rechtwinkliger Dreiecke.
Außerdem kann man mit ihm eine Tangente an einen Kreis konstruieren, die durch einen beliebigen Punkt außerhalb des Kreises verläuft.
Vertiefung: Beweis, Satz des Thales
Man zeichnet zuerst ein Dreieck %%\triangle ABC%% mit Hypotenuse als Durchmesser eines Kreises und den dritten Punkt des Dreiecks auf den Kreisbogen des Kreises (hier: Punkt %%C%%).
Zusätzlich trägt man die Seitenhalbierende %%h%% der Hypotenuse ein. Damit entstehen zwei neue Dreiecke:
$$\triangle AMC\text{ und }\triangle MBC.$$
Nun ist bereits bekannt, dass die Innenwinkelsumme eines Dreiecks %%180°%% beträgt.
Also sowohl in dem Dreieck %%\triangle ABC%% als auch in den Dreiecken %%\triangle AMC%% und %%\triangle MBC%%.
Deshalb gilt:
$$\alpha +\beta+(\gamma_1+\gamma_2)=180°$$
Außerdem gilt:
$$\varepsilon +\delta=180°$$
Die Dreiecke %%\triangle AMC%% und %%\triangle MBC%% sind gleichschenklig, da %%p=q=h= \text{Radius des Thaleskreises}%%.
Deshalb gilt:
$$\gamma_2=\beta$$ $$\alpha=\gamma_1$$
Damit kommt man auf die Rechnung:
$$\alpha +\beta+(\gamma_1+\gamma_2)=180°$$ $$\Rightarrow 2\cdot(\gamma_1+\gamma_2)=180°$$ $$\Rightarrow \gamma_1+\gamma_2=90°$$
Damit ist gezeigt, dass der Winkel %%\gamma=\gamma_1+\gamma_2%% ein rechter Winkel ist, egal wie man den Punkt auf der Kreisbahn wählt.
vielen Dank für deinen Hinweis! Du hast natürlich recht. Ich habe eben das und noch weitere Dinge im Beweis ausgebessert.
Ich finde, das zweite Dreieck sollte Dreieck MBC heißen. Bist du gleicher Meinung?
Außerdem sollte es in der Rechnung unten %%\gamma_1%% und %%gamma_2%% sein und nicht %%\beta_1%% und %%\beta_2%%.
LG,
Nish