Aufgaben

Berechne.

Eine Kugel hat die Oberfläche %%O=100 \text{ cm}^2%%. Berechne den Radius %%r%%.

gegeben: %%O = 100 \pi \text{ cm}^2%%

gesucht: %%r%%

Um den Radius zu berechnen, wenn die Oberfläche gegeben ist, benutzt du die passende Formel und forme nach %%r%% um.

%%O=4\pi r^2%%

%%\mid : 4\pi%%

%%\dfrac{O}{4\pi}=r^2%%

%%\mid \sqrt{}%%

%%\pm \sqrt{\dfrac{O}{4\pi}}= r%%

Der Radius kann nur positiv sein. Du kannst also das negative Ergebnis ignorieren.

%%\sqrt{\dfrac{O}{4\pi}}= r%%

Setze den Wert für %%O%% ein.

%%r=\sqrt{\dfrac{100 \text{ cm}^2}{4\pi}}%%

Rechne mit dem Taschenrechner und runde das Ergebnis.

%%r \approx 2,821\text{ cm}%%

Ein Würfel hat das Volumen %%V=125\ \mathrm{cm^3}%%. Berechne die Oberfläche %%O%%.

Gegeben: %%V_\text{Würfel}=125\ \mathrm{cm^3}%%
Gesucht: %%O_\text{Würfel}%%

Gesucht ist die Oberfläche eines Würfels. Stelle daher zunächst die Formel auf.

%%O_\text{Würfel} = 6 \cdot a^2%%

Du musst also die Seitenlänge %%a%% berechnen. Diese erhältst du aus der Volumenformel:

$$V_\text{Würfel} = a^3 = 125\mathrm{cm^3}$$

Daraus kannst du nun %%a%% bestimmen, indem du die 3. Wurzel %%\sqrt[3]{}%% ziehst. (Das bedeutet: Welche Zahl a ergibt hoch 3 genommen 125)

%%\Rightarrow a = 5\ \mathrm{cm}%%, denn %%5\ \mathrm{cm}\cdot 5\ \mathrm{cm} \cdot 5\ \mathrm{cm} = 125\ \mathrm{cm^3}%%

Mit %%a%% kannst du nun die Oberfläche berechnen.

%%O = 6 \cdot a^2 =6 \cdot (5\ \mathrm{cm})^2 = 6 \cdot 25\ \mathrm{cm^2} = 150\ \mathrm{cm^2}%%

Lösung: Die Oberfläche des Würfels ist %%O = 150\ \mathrm{cm^2}%%

Berechne die Oberfläche eines %%20\ \mathrm{cm}%% hohen Zylinders mit dem Durchmesser %%10 \mathrm{cm}%%.

gesucht: %%O = \ ?%%

Stelle die Formel für die Zylinderoberfläche auf. Diese setzt sich zusammen aus der Mantelfläche %%M%% und zwei Kreisflächen %%A_\text{Kreis}%%

%%O = M + 2\cdot A_\text{Kreis}%%

Berechne diese beiden Teile

Mantelfläche

%%M =\ ?%%

Stelle die Formel für die Mantelfläche auf.

%%M = U \cdot h = 2\pi r \cdot h%%

Die Höhe ist gegeben als %%20\ \mathrm{cm}%%. Den Radius kannst du aus dem Durchmesser berechnen.

gegeben:

  • %%h = 20\ \mathrm{cm}%%
  • %%r = 10\ \mathrm{cm} : 2 = 5\ \mathrm{cm}%%

Setze diese Werte nun in die Formel ein und berechne die Mantelfläche

%%M = 2\pi \cdot 5\ \mathrm{cm} \cdot 20\ \mathrm{cm} = \pi \cdot 200\ \mathrm{cm^2} \approx 628,32\ \mathrm{cm^2}%%

Kreisflächen

%%A =\ ?%%

Stelle die Formel für die Kreisfläche auf.

%%A = r^2 \cdot \pi%%

Setze den Radius %%r = 5\ \mathrm{cm}%% ein und berechne die Kreisfläche.

%%A = (5\ \mathrm{cm})^2 \cdot \pi = \pi \cdot 25\ \mathrm{cm^2} \approx 78,54\ \mathrm{cm^2}%%

Gesamte Oberfläche

%%O = M + 2 \cdot A_\text{Kreis}%%

Setze die eben berechneten Werte für die Mantelfläche und Kreisfläche ein und berechne die Oberfläche

%%O \approx 628,32\ \mathrm{cm^2} + 2 \cdot 78,54\ \mathrm{cm^2} = 785,4\ \mathrm{cm^2}%%

Lösung: Die Oberfläche des Zylinders ist %%785,4\ \mathrm{cm^2}%%

Die großen Flächen eines Zauberwürfels bestehen aus 99 kleinen bunten Flächen. Insgesamt hat der Würfel einen Oberflächeninhalt von 900cm2900\,\mathrm{cm}^2.
Wie groß sind die Flächen der einzelnen Farbquadrate?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Quadrats

Um die Fläche eines einzelnen Farbquadrates zu bestimmen, kannst du zuerst den gegebenen Gesamtflächeninhalt des Zauberwürfels von 900cm2900\,\mathrm{cm}^2 durch sechs teilen, damit du den Flächeninhalt von einer der sechs großen Flächen des Zauberwürfels erhältst.
Agroße Fla¨cheA_\text{große Fläche}
=Agesamt:6=A_\mathrm{gesamt}:6
=900cm2:6=900\,\mathrm{cm}^2:6
=150cm2=150\,\mathrm{cm}^2

Berechnung des Flächeninhaltes von einem einzelnen Farbquadrat

Da sich eine große Fläche aus neun einzelnen Farbquadraten zusammensetzt, kannst du den gerade eben ausgerechneten Flächeninhalt der großen Fläche durch neun teilen, um den Flächeninhalt eines einzelnen Farbquadrates zu bestimmen.
Aeinzelnes FarbquadratA_\text{einzelnes Farbquadrat}
=Agroße Fla¨che:9=A_\text{große Fläche}:9
=150cm2:9=150\,\mathrm{cm}^2:9
=16,6cm2=16{,}\overline{6}\,\mathrm{cm}^2
16,7cm2\approx16{,}7\,\mathrm{cm}^2

Antwort:

Die Fläche eines einzelnen Farbquadrates Aeinzelnes FarbquadratA_\text{einzelnes Farbquadrat} ist ca. 16,7cm216{,}7\,\mathrm{cm}^2 groß.
Litfaßsäule
Diese Litfaßsäule ist 3m3\,\mathrm m hoch und hat einen Durchmesser von 1m1\, \mathrm m.Wie groß ist die Fläche, die bei der Litfaßsäule beklebt werden kann?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder

gesucht: M= ?M = \ ?
Die Plakatsäule hat die Form eines Zylinders. Also brauchst du die Formel für die Mantelfläche eines Zylinders.
M=Uh=2πrhM=U\cdot h=2\pi r\cdot h
Die Höhe 3m3\, \mathrm m steht in der Angabe, den Radius berechnest du aus dem Durchmesser.
gegeben:
  • h=3mh = 3\, \mathrm{m}
  • r=1m:2=0,5mr = 1\, \mathrm m : 2 = 0,5 \mathrm m
Setze diese Werte nun in die Formel ein und berechne die Mantelfläche.
M=2π0,5m3m=π3m29,42m2\begin{array}{c} M &=& 2\pi\cdot 0,5 \mathrm m \cdot 3 \, \mathrm m \\ &=& \pi \cdot 3\, \mathrm{m^2} \approx 9,42 \, \mathrm m^2 \end{array}
Lösung: Es können 9,42m29,42\, \mathrm{m^2} beklebt werden.

Berechne die Oberfläche der Figuren

Pyramide

$$O=G+M$$

Die Grundfläche G ist ein Quadrat, die Mantelfläche sind 4 Dreiecke.

Berechne zuerst die Grundfläche

Grundfläche: Quadrat

Quadrat

Stelle die Formel für ein Quadrat auf.

$$A_\text{Quadrat} = a^2$$

Die Seitenlänge ist %%4 \ \mathrm{cm}%%. Setze diesen Wert in die Formel ein.

$$A_\text{Quadrat} = ( 4 \ \mathrm{cm})^2 = 16\ \mathrm{cm^2}$$

Mantelfläche: Vier Dreiecke

Höhe der Seitenflächen

Seitenlänge in der Pyramide

Die Dreiecke sind alle gleich, da die Grundfläche ein Quadrat ist.

Um die Seitenflächen zu berechnen benötigst du zuerst die Höhe der Dreiecke. Diese kannst du mit dem Satz des Pythagoras berechnen.

$$c^2 = a^2 + b^2$$

a ist die Halbe Seitenlänge des Quadrats, b ist die Höhe der Pyramide.

$$a = 4 \,\mathrm{cm} :2 =2\,\mathrm{cm}$$ $$b = 5 \ \mathrm{cm}$$

Setze die Werte ein.

$$c^2 = (2\ \mathrm{cm})^2 + (5\ \mathrm{cm})^2 = 4 \mathrm{cm^2}+ 25\mathrm{cm^2} = 29\mathrm{cm^2}$$

Ziehe die Wurzel um die Höhe des Dreiecks zu erhalten.

$$\Rightarrow c = \sqrt{29\ \mathrm{cm^2}} \approx 5,4\ \mathrm{cm}$$

Berechne damit nun die Seitenflächen.

Seitenfläche

Seitenfläche

Stelle die Formel für ein Dreieck auf.

$$A = \frac12 \cdot g \cdot h$$

Setze die Werte ein.

$$A = \frac12 \cdot 4\ \mathrm{cm} \cdot 5,4\ \mathrm{cm} = 10,8 \mathrm{cm^2}$$

Mantelfläche

$$M = 4 \cdot A = 4 \cdot 10,8\ \mathrm{cm^2} = 43,2 \ \mathrm{cm^2}$$

Oberfläche der Pyramide

Berechne nun die Oberfläche der Pyramide, indem du Grundfläche und Mantelfläche addierst.

$$O=G + M = 16\ \mathrm{cm^2} +43,2\ \mathrm{cm^2} = 59,2\ \mathrm{cm^2}$$

Lösung: Die Oberfläche der Pyramide ist %%59,2\ \mathrm{cm^2}%%

Der Tempel unten soll restauriert werden, da er, wie du siehst, ziemlich verfallen ist. Im Rahmen der Sanierungsarbeiten soll er auch einen neuen Anstrich bekommen.

Die Maße des Tempels sind:

  • Breite %%50 \;\mathrm{m}%%
  • Länge insgesamt %%90 \;\mathrm{m}%%, in drei gleich lange Teilstücke aufgeteilt
  • Die Höhe der Seitlichen Dächer ist %%5 \;\mathrm{m}%%
  • Das mittlere spitze Dach hat noch eine zusätzliche Höhe von %%10 \;\mathrm{m}%% und eine zusätzliche Länge nach vorne von ebenfalls %%10 \;\mathrm{m}%%
  • Die Säulen haben eine Höhe von %%20 \;\mathrm{m}%%
  • Auf der Rückseite befinden sich %%9%% Säulen, an jeder Breitseite jeweils %%5%% und vorne insgesamt %%10%%
  • Die Säulen haben einen Durchmesser von %%3 \;\mathrm{m}%%.
  • Der Boden mit der Treppenstufe muss nicht saniert werden

Tempel Bild

Hier ist der Tempel noch einmal in etwas größer.

Bild Tempel

Berechne für wie viel Fläche die Farbe reichen muss, wenn nur die Säulen gestrichen werden sollen.

Wie gehst du vor?

Zuerst musst du überlegen, wie viele Säulen der Tempel hat.
Die Angabe sagt dir, dass auf der Rückseite 9, auf der Vorderseite 10 und an jeder Breitseite jeweils 5 Säulen sind. Das Problem ist jetzt, dass die Ecksäulen nicht doppelt gezählt werden dürfen.
Du darfst also nur 3 Säulen auf jeder Breitseite zählen und die Vorder- und Rückseite. Insgesamt sind es also 3+3+9+10=25.
Dann musst du dir überlegen, welche Figur eine Säule ist, nämlich ein Zylinder. Du musst also die Zylinderoberfläche von den 25 Säulen ausrechnen. Allerdings brauchst du dazu nur die Mantelfläche, da der "Boden" und der "Deckel" nicht gestrichen werden können.

$$M_{Säule}=U\cdot h$$

Zum Umfang der Säule hast du schon die Angabe, dass die Säule einen Durchmesser von %%3\;\mathrm{m}%% hat. %%U=2\cdot r\cdot \pi%%. Du weißt schon, dass %%2\cdot r=d%%.
Setze die Werte ein.

$$M_{Säule}=3\;\mathrm{m}\cdot\pi\cdot 20\;\mathrm{m}$$

$$M_{Säule}=60\pi\;\mathrm{m}^2=188,50\;\mathrm{m}^2$$

Jetzt hast du den Mantel einer Säule. Du brauchst aber 25 Säulen.

$$M_{Säulen}=25\cdot M_{Säule}$$

Rechne mit dem ungerundeten Wert.

$$M_{Säulen}=25\cdot 60\pi\;\mathrm{m}^2$$

$$M_{Säulen}=1500\pi\;\mathrm{m}^2=4712,39\;\mathrm{m}^2$$

Die Farbe muss für %%4712,39\;\mathrm{m}^2%% reichen.

Das Dach bekommt einen wasserfesten Anstrich. Dazu wird alles gestrichen, was vom Regen erreicht werden kann, das heißt alles außer die Unterseite des Daches.
Berechne, für wie viel Fläche die wasserfeste Farbe reichen muss.

Wie gehst du vor?

Aus welchen Figuren und Flächen besteht das Dach?

  • Die beiden "Seitendächer" sind Quader.
  • In der Mitte siehst du vielleicht ein Prisma. Es ist aber leichter und weniger aufwendig, sich die einzelnen Flächen des Prismas anzuschauen, als die Oberfläche.

Du teilst also deine Rechenschritte auf. Hier beginnt die Lösung mit den Seitenteilen, die aus Quadern bestehen.

Oberfläche von Quadern

$$O_{Quader}=2\cdot l\cdot b + 2\cdot l \cdot h + 2 \cdot b \cdot h$$

Überlege dir jetzt, welche Seiten wirklich gestrichen werden müssen. Du brauchst nur eine %%l\cdot b%% Seite und nur eine %%l\cdot h%% Seite.

$$O_{Seitendach}=l\cdot b + l \cdot h + 2 \cdot b \cdot h$$

%%\;%%
Setze die gegebenen Werte ein.

$$O_{Seitendach}=30\;\mathrm{m}\cdot 50\;\mathrm{m} + 50\;\mathrm{m} \cdot 5\;\mathrm{m} + 2\cdot 30\;\mathrm{m} \cdot 5\;\mathrm{m}$$

%%\;%%
Achte auf die Einheiten.

$$O_{Seitendach}=2050\;\mathrm{m}^2$$

Das ganze brauchst du zwei mal, da es zwei Seitendächer gibt.

$$O_{Seitendächer}=2\cdot 2050\;\mathrm{m}^2=4100\;\mathrm{m}^2$$

Oberfläche Mittelteil

Zur Oberfläche vom Mittelteil gelangst du, indem du

  • die zwei Seiten vom Spitzdach
  • die Vorder und Rückseite, die sich aus Rechteck und Dreieck zusammensetzen
  • die zwei Seitenflächen vom Vordach

ausrechnest.
Im Folgenden steht A für die Fläche.

$$A_{SpitzdachOberseite}=2\cdot l\cdot b$$

Die Seitenflächen brauchst du zwei mal. Die Länge ist %%60\;\mathrm{m}%%. Aber wie lang ist die Breite? Betrachte dazu das Dreieck, das du auf der Vorderseite siehst. Aus diesem musst du jetzt die fehlende Länge ausrechnen. Dies machst du mit dem Satz des Pythagoras.

Dreieck

Wie kommst du jetzt auf die fehlende Strecke? %%h^2 + c^2 =b^2%% und %%b= \sqrt{h^2+c^2}%%.

%%b= \sqrt{h^2+c^2}%%

Setze die Werte ein.

%%b= \sqrt{{(10\;\mathrm{m})}^2+(15\;\mathrm{m})^2}=5\sqrt{13}\;\mathrm{m}%%

Mit dieser Breite kannst du jetzt weiter rechnen.

$$A_{SpitzdachOberseite}=2\cdot l\cdot b$$

Die Breite hast du gerade ausgerechnet und die Länge ist %%60\;\mathrm{m}%%.

$$A_{SpitzdachOberseite}=2\cdot 60\;\mathrm{m}\cdot 5\sqrt{13}\;\mathrm{m}$$

$$A_{SpitzdachOberseite}=2163,33\;\mathrm{m}^2$$

$$A_{SpitzdachVorderseite}=A_{Dreieck}+A_{Rechteck}$$

Wie geht die Flächenformel für Dreiecke? Jetzt benötigst du aber wieder ein anderes Dreieck, nämlich das, was du auf der Vorderseite des Daches siehst.

$$A_{SpitzdachVorderseite}=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h+l\cdot b$$

%%\;%%
Setze die Werte ein.

$$A_{SpitzdachVorderseite}=\frac{1}{2}\cdot 30\;\mathrm{m}\cdot 10\;\mathrm{m}+ 30\;\mathrm{m}\cdot 5\;\mathrm{m}$$

$$A_{SpitzdachVorderseite}=300\;\mathrm{m}^2$$

Da es sowohl eine Vorder- als auch eine Rückseite gibt, die den gleichen Flächeninhalt haben, kannst du die Fläche mal 2 nehmen.

$$A_{SpitzdachVorderseiteundRückseite}=2\cdot 300\;\mathrm{m}^2=600\;\mathrm{m}^2$$

Jetzt fehlen noch zwei kleine Seiten vom Vordach, mit der Länge %%10\;\mathrm{m}%% und Breite %%5\;\mathrm{m}%%.

$$A_{Seitenflächen}=2\cdot l\cdot b$$

%%\;%%
Setze die Werte ein.

$$A_{Seitenflächen}=2\cdot 10\;\mathrm{m}\cdot 5\;\mathrm{m}$$

$$A_{Seitenflächen}=100\;\mathrm{m}^2$$

Gesamtfläche Dach

$$O_{gesamt}=O_{Seitendächer}+A_{SpitzdachOberseite}+A_{SpitzdachVorderseiteundRückseite}+A_{Seitenflächen}$$

Setze die Werte ein. Am besten die genauen, ungerundeten Werte, ansonsten auf zwei Nachkommastellen gerundet.

$$O_{gesamt}=4100\;\mathrm{m}^2+2163,33\;\mathrm{m}^2+600\;\mathrm{m}^2+100\;\mathrm{m}^2=6963,33\;\mathrm{m}^2$$

Es wird also ingesamt so viel Farbe benötigt, dass sie für eine Fläche von %%6963,33\;\mathrm{m}^2%% reicht.

Wie viele %%10\;\mathrm{l}%% Eimer Farbe werden für den ganzen Tempel benötigt, wenn ein Liter für %%7\;\mathrm{m}^2%% reicht.

Wie gehst du vor?

Zuerst musst du die Teilaufgaben a) und b) anschauen und zusammenrechnen, wie viel Quadratmeter Oberfläche du insgesamt ausgerechnet hast.
Als nächstes musst du die Quadratmeter durch 7 teilen, um zu wissen, wie viele Liter du benötigst und anschließend nochmal durch 10 teilen, um die Anzahl der Eimer heraus zu finden.

Oberfläche Tempel insgesamt

$$O_{gesamt}=O_{Dach}+O_{Säulen}$$

Setze die Werte aus Teilaufgabe a) und b) ein.

$$O_{gesamt}=6963,33 \;\mathrm{m}^2 + 4712,39\;\mathrm{m}^2$$

$$O_{gesamt}=11 675,72\;\mathrm{m}^2$$

Wie viele Liter sind das?

Nenne die Anzahl der Liter x.
Schaue dir jetzt noch einmal die Angabe an.
Es heißt: "%%1\;\mathrm{l}%% reicht für %%7\;\mathrm{m}^2%%". Was sagt dir das?
Das bedeutet, dass man %%7\;\mathrm{m}^2%% mit einem Liter Farbe streichen kann.
Dies drückt man in der Mathematik so aus %%7\;\mathrm{\frac{{m}^2}{l}}%%.
Genau damit wird in diesem Lösungsbeispiel gerechnet.

Alternativ kannst du auch mit dem Dreisatz auf die richtige Anzahl der Liter kommen.

$$x=\frac{O_{gesamt}}{7\;\mathrm{\frac{{m}^2}{l}}}$$

%%\;%% Setze die Gesamtoberfläche ein.

$$x=\frac{11 675,72\;\mathrm{m}^2}{7\;\mathrm{\frac{{m}^2}{l}}}$$

Überlege dir erst, welche Einheit herauskommen soll. Richtig, Liter.
Beachte dazu, dass sich die %%\mathrm{m}^2%% wegkürzen und die %%l%% aus dem Nenner des Nenners wieder im Zähler landen. (Rechnen mit Einheiten)

$$x=1667,96\;\mathrm{l}$$

Es werden also 1667,96 Liter benötigt.

Wie viele Eimer sind das?

Berechne nun die Anzahl %%e%% der Eimer.

$$e=\frac{x}{10\;\mathrm{l}}$$

%%\;%%
Setze den Wert ein.

$$e=\frac{1667,96\;\mathrm{l}}{10\;\mathrm{l}}$$

Beachte, dass sich die Einheiten wegkürzen.

$$e=166,796$$

Es werden also 166,796 %%10\;\mathrm{l}%% Eimer benötigt. Es reicht also nicht 166 Eimer zu kaufen, deshalb müssen 167 Eimer gekauft werden.

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