Aufgaben
Es ist Sommer und du kaufst ein Eis. Du erinnerst Dich, dass bei Eispackungen im Supermarkt die Menge an Eis in Litern angegeben ist. Das bringt Dich dazu, das Volumen in deiner Eistüte bestimmen zu wollen!
Eistüte mit Hand
  1. Nach Deiner Messung ist die Eistüte 16cm16\,\text{cm} hoch und die Öffnung hat einen Durchmesser von 6cm6\,\text{cm}. Wie viel Liter Eis befinden sich darin?
  2. Wie groß müsste Deine Eistüte sein, um dasselbe Volumen fassen zu können wie eine Packung mit 11 Liter Eis?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kegel

Teilaufgabe 1

Vorüberlegungen

Wenn Du den Rand deiner Eistüte betrachtest erkennst du einen Kreis. Die Spitze der Eistüte denkst Du dir als einen Punkt. Bei deiner Eistüte handelt es sich um einen Kegel.

Volumen eines Kegels

Du benötigst den Radius rr und die Höhe hh des Kegels. Die Höhe ist direkt gegeben und der Radius ist der halbe Durchmesser:
Berechne damit nun das Volumen.


Umrechnen

Für das Umrechnen von Litern gilt 1l=1dm31\,\text{l} = 1 \,\text{dm}^3 und 1dm3=1000cm31\,\text{dm}^3 = 1000\,\text{cm}^3
Beides zusammen ergibt

1l=1000cm311000l=1cm3\begin{array}{lcl} 1\,\text{l} &=& 1000\,\text{cm}^3\\ \dfrac{1}{1000} \,\text{l} &=& 1 \,\text{cm}^3 \end{array}

Rechne damit das Volumen der Eistüte um.
VEistu¨te150,8cm3=150,81000l=0,1508l0,15l\displaystyle V_{Eistüte}\approx 150,8 \,\text{cm}^3 = \dfrac{150,8}{1000} \,\text{l} = 0,1508 \,\text{l} \approx 0,15 \,\text{l}
In die Eistüte passen also etwa 0,150,15 Liter Eis.

Teilaufgabe 2

Vorüberlegungen

Du kannst die Eistüte auf verschiedene Arten vergrößern. Du kannst
  • das Verhältnis von rr und hh so belassen wie bei deiner ursprünglichen Eistüte. Dabei würdest du rr und hh mit dem gleichen Faktor aa multiplizieren, also rr durch ara\cdot r und hh durch aha \cdot h ersetzen.
  • das Verhältnis von rr und hh verändern und die Form deiner Eistüte verzerren. Zum Beispiel könntest du den dreifachen Radius 3r3r und die halbe Höhe h2\dfrac{h}{2} nehmen.
Nimm hier an, dass du die ursprüngliche Form der Eistüte beibehalten möchtest.

Aufstellen einer Gleichung

Du kannst bereits das Volumen einer Eistüte berechnen, wenn du rr und hh kennst.
Nun ist der Radius und die Höhe der größeren Eistüte aber unbekannt. Du multiplizierst Höhe und Radius mit einer Zahl aa, die du noch nicht kennst.
Du musst aa so wählen, dass das Volumen genau 1l=1000cm31\,\text{l} = 1000\,\text{cm}^3 ist, was zu folgender Gleichung führt:

Lösen einer Gleichung mit einer Unbekannten

13π(ar)2(ah)=1000cm3Vereinfache die linke Seiteπ3r2ha3=1000cm3:(π3rh)a3=3000cm3πr2h Werte aus Teil 1 einsetzena3=3000cm3π(3cm)216cma36,633a1,88\begin{array}{rcll}\dfrac{1}{3} \pi (ar)^2 (ah) & = & 1000 \,\text{cm}^3 & \left|\quad \text{Vereinfache die linke Seite}\right. \\\dfrac{\pi}{3} r^2h \cdot a^3 & = & 1000 \,\text{cm}^3 & \left| :(\dfrac{\pi}{3} rh) \right. \\a^3 & = & \dfrac{3000 \, \text{cm}^3}{\pi r^2h} & \left| \quad\ \text{Werte aus Teil 1 einsetzen} \right. \\a^3 & = & \dfrac{3000\, \text{cm}^3}{\pi\cdot (3\,\mathrm{cm})^2\cdot 16\, \mathrm{cm}} & \\a^3 & \approx & 6,63 & \left|\sqrt[3]{}\right. \\a & \approx & 1,88&\end{array}
Also müsstest du dir deine Eiswaffel mit einem Volumen von 0,150,15 Litern etwas weniger als doppelt so breit und hoch vorstellen, um das Volumen auf 11 Liter zu erhöhen!

Ein Kegel, dessen Höhe h so groß ist wie der Grundkreis-Durchmesser, habe das Volumen 1 Liter.

Berechne h.

Berechne nun den Mittelpunktswinkel %%\mathrm\alpha%% des Sektors, aus dem dieser Kegel gefertigt werden kann

Lösung zur 1. Frage der Aufgabe:

gegeben:

  • Grundkreisdurchmesser des Kreiskegels %%\text{d=h}%%
  • Volumen %%V=1\;\text{l}%%

gesucht:

  • Höhe des Kreiskegels %%h%%

Darstellen des Grundkreisradius mit %%h%%

Um die Höhe %%\text{h}%% zu berechnen, kannst du zuerst den Radius %%\text{r}%% als %%\text{h}%% geteilt durch zwei darstellen, denn %%\text{h}%% gleicht %%\text{h}%% und ist außerdem doppelt so lang wie %%\text{r}%%.

%%\text{r=}\frac d2%%

%%\mathrm r=\frac{\mathrm h}2%%

Aufstellen eines Gleichungssystemes

%%\mathrm r=\frac{\mathrm h}2%% ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen auf.

Gleichung (I) ist die Darstellung von %%r%% mit %%h%%.

Gleichung (II) ist die Formel für die Berechnung des Volumens von einem Kreiskegel mit den eingesetzten Wert von %%\text{r=}\frac{\mathrm h}2%%

(I): %%\text{r=}\frac{\mathrm h}2%%

(II): %%\frac13\cdot\text{r}^2\text{·}\pi\cdot\text{h}=1\;\text{l}%%

Nun löst du das Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren, wobei du die Gleichung (I) ind (II) einsetzst.

(I) in (II):

%%\frac13\cdot\frac{\mathrm h^2}{2^2}\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm h=1\;\mathrm l%%

$$\frac{1\cdot\mathrm h^2\cdot\mathrm h\cdot\mathrm\pi}{3\cdot4}=1\;\mathrm l$$

$$\frac{\mathrm h^3\cdot\mathrm\pi}{12}=1\;\mathrm l\;\;\left|\cdot12\right.$$

Du multiplizierst nun auf beiden Seiten der Gleichung %%\mathrm{mit}\;12%%.

$$\begin{array}{l}\mathrm h^3\cdot\mathrm\pi=12\cdot1\;\mathrm l\\\\\mathrm h^3\cdot\mathrm\pi=12\;\mathrm l\;\;\left|:\mathrm\pi\right.\end{array}$$

Du dividierst nun auf beiden Seiten der Gleichung $$\mathrm{durch}\;\mathrm\pi.$$

$$\mathrm h^3=\frac{12\;\mathrm l}{\mathrm\pi}\;\;\left|\sqrt[3]{(\;)}\right.$$

Nun ziehst du auf beiden Seiten der Gleichung die %%3.\mathrm{Wurzel}%%.

$$\mathrm h=\sqrt[3]{\frac{12\;\mathrm l}{\mathrm\pi}}=\sqrt[3]{\frac{12\;\mathrm{dm}^3}{\mathrm\pi}}$$

$$\mathrm h=1,563185283593544\;\mathrm{dm}\approx1,56\;\mathrm{dm}$$

Du kannst %%\mathrm r%% ausrechnen, indem du %%\mathrm h%% in Gleichung (I) einsetzst. Du benötigst den Radius %%\mathrm r%%, um die 2 Frage der Aufgabenstellung zu beantworten.

%%\mathrm h%% in (I): $$\mathrm r=\frac{1,56\;\mathrm{dm}}2=0,78\;\mathrm{dm}$$

Antwort zur 1. Frage der Aufgabe:

Der Kreiskegel ist etwa 1,56 dm hoch.

Lösung zur 2. Frage der Aufgabe:

Berechnung der Mantellinie s:

Um den Mittelpunktswinkel α des Kreissektors, aus dem der Kegel gefertigt werden kann, zu bestimmen, musst du zuerst die Mantellinie %%\mathrm s%% des Kegels ausrechnen. Du musst dazu dir ein rechtwinkliges Dreieck vorstellen, welches den Grundkreismittelpunkt, irgendeinen Punkt auf der Kreisline und die Spitze des Kreiskegels verbindet. Der Grundkreismittelpunkt und der Punkt auf der Kreislinie verbinden sich zu einer Kathete und dem Grundkreisradius r. Der Punkt auf der Kreislinie verbindet sich mit der Kegelspitze zur Hypotenuse und der Mantellinie s. Die Kegelspitze verbindet sich mit dem Grundkreismittelpunkt zu der zweiten Kathete und derHöhe h. Da h und r bereits bekannt sind, kannst du s mit dem Satz des Pythagoras berechnen.

$$\begin{array}{l}\mathrm s^2=\mathrm h^2+\mathrm r^2\\\\\mathrm s^2=1,56^2\;\mathrm{dm}^2+0,78^{2\;}\;\mathrm{dm}^2\\\\\mathrm s^2=2,4336\;\mathrm{dm}^{2\;}+0,6084\;\mathrm{dm}^2\\\\\mathrm s^2=3,042\;\mathrm{dm}^{2\;}\;\;\left|\sqrt{(\;)}\right.\end{array}$$

Du radizierst nun auf beiden Seiten der Gleichung.

$$\mathrm s=\sqrt{3,042\;\mathrm{dm}^2}\approx1,74\;\mathrm{dm}$$

Anmerkung:

Die Lösungen der Gleichung wären:

$${\mathrm s}_{1/2}=\pm\sqrt{3,042\;\mathrm{dm}^2}$$ Da s eine Länge ist, wäre eine negative Lösung nicht sinnvoll, weshalb du diese nicht weiter beachten musst.

Berechnung des Mittelpunktswinkels %%\alpha%%

Nun kannst du %%\alpha%% berechnen, indem du dir bereits bekannte Werte in eine nach %%\alpha%% umgeformte Version von dieser Formel$$\frac{\mathrm\alpha}{360^\circ}=\frac{2\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm r}{2\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm s}=\frac{\mathrm r}{\mathrm s}$$ einsetzst.

$$\frac{\mathrm\alpha}{360^\circ}=\frac{0,78\;\mathrm{dm}}{1,74\;\mathrm{dm}}\;\;\;\;\left|\cdot360^\circ\right.$$

Du multiplizierst auf beiden Seiten der Gleichung mit 360°.

$$\alpha=0,45\cdot360^\circ=162^\circ$$

Antwort:

Der Mittelpunktswinkel α des Sektors, aus dem der Kegel gefertigt werden kann, ist 162° groß.

Glas, Kegelörmig
Das Glas ist (ohne Stiel) 7 cm hoch und hat oben den Umfang 26,7 cm.
Wie groß ist das Volumen von dem Glas?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kegel


Gegeben:
  • Höhe des Kegelglases h=7 cm
  • Umfang des Grundkreises U=26,7 cm
Gesucht:
  • Volumen des Kegelglases V
Um das Volumen zu berechnen, kannst du folgendermaßen vorgehen:
  • Berechne zuerst den Grundkreisradius des Kegels.
  • Berechne damit das Volumen

Berechnung des Grundkreisradius r

Um das Volumen des kegelförmigen Glases zu berechnen, musst du zuerst den Grundkreisradius r berechnen, indem du die Formel für die Berechnung des Umfangs eines Kreises nach r umformst. Du musst dazu auf beiden Seiten der Gleichung durch 2π teilen.
U=2πr:(2π)r=U2π\displaystyle \begin{array}{rcll}\mathrm U&=&2\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm r&\left|:(2\right.\cdot\mathrm\pi)\\\\\mathrm r&=&\dfrac{\mathrm U}{2\cdot\mathrm\pi}\end{array}
Jetzt kannst du U in die Gleichung einsetzen.
r=26,7  cm2π4,25  cm\displaystyle \mathrm r=\frac{26,7\;\mathrm{cm}}{2\cdot\mathrm\pi}\approx4,25\;\mathrm{cm}

Berechnung des Volumens V von dem kegelförmigen Glas

Du kannst nun den Radius und die Höhe in die Formel zur Berechnung des Volumens eines Kegels einsetzen.
V=13πr2h=13π(4,25cm)27  cm=13π18.0625  cm27  cm132,41  cm3\displaystyle \begin{array}{rcl} \mathrm V&=&\frac13\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2\cdot\mathrm h\\\\ &=&\frac13\cdot\mathrm\pi\cdot(4,25\mathrm{cm})^2\cdot7\;cm\\\\ &=&\frac13\cdot\mathrm\pi\cdot18.0625\;\mathrm{cm}^2\cdot7\;\mathrm{cm}\\\\ &\approx&132,41\;\mathrm{cm}^3 \end{array}

Antwort:

Das Volumen V des kegelförmigen Glases beträgt ca. 132  cm3132\;\mathrm{cm}^3.
Betrachte den geraden Kegel. Der Radius der Grundfläche ist r=3r=3 und der Winkel φ\varphi ist 60°60°.
Berechne das Volumen des Kegels.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kegel

Schau dir den Artikel zum Kegel an und suche die passende Formel für das Volumen heraus.
Die gesuchte Formel lautet:
V=13Gh=13πr2h\displaystyle V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot h
Überleg dir nun, welche der Variablen in der Aufgabe gegeben sind und welche du noch suchst.
gegeben:
r=3r = 3
φ=60°\varphi = 60°
gesucht:
VV, hh
Das Volumen V kannst du erst ausrechnen, wenn du die Höhe h gefunden hast.

Berechnen der Höhe h

Die Höhe des Kegels erhältst du durch einen Querschnitt durch den Mittelpunkt MM und die Spitze SS. Dieser sieht folgendermaßen aus:
Dieses Dreieck kannst du nun halbieren, so dass du ein rechtwinkliges Dreieck erhältst.
In diesem Dreieck kennst du die Strecke rr (Gegenkathete von φ2\frac{\varphi}{2}).
Die gesuchte Größe ist die Höhe hh. Diese ist die Ankathete von φ2\frac{\varphi}{2} .
Du kannst hh mithilfe einer trigonomischen Funktion (Sinus, Kosinus oder Tangens) ausrechnen.
tan(φ2)=GegenkatheteAnkathete=rhtan\left(\frac{\varphi}{2} \right)=\frac{Gegenkathete}{Ankathete}=\frac rh
Du kannst den Tangens von φ2\frac{\varphi}{2} benutzen um auf hh zu kommen.Anschließend musst du die Formel nach hh umstellen.
tan(φ2)=rhhtan(φ2)h=r:tan(φ2)h=rtan(φ2)\displaystyle \begin{array}{rcll} \tan\left(\frac{\varphi}{2} \right)&=&\frac rh &| \cdot h \\ \tan\left(\frac{\varphi}{2} \right) \cdot h &=& r &|: \tan\left(\frac{\varphi}{2} \right)\\ h &=& \dfrac{r}{tan\left(\frac{\varphi}{2} \right)} \\ \end{array}
(Beachte: Diese Umformungen sind nur gültig, wenn tan(φ2)0tan\left( \frac{\varphi}{2} \right)\not= 0 ist. Das ist in unserem Fall mit φ=60°\varphi = 60° der Fall.)
Setze die Werte ein und berechne die Höhe des Kegels!
h=rtan(φ2)=3tan(60°2)=313=335,20\displaystyle h = \dfrac{r}{tan\left(\frac{\varphi}{2} \right)}= \dfrac{3}{tan\left(\frac{60°}{2} \right)} = \dfrac{3}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 3 \sqrt{3} \approx 5,20
Die Höhe des Kegels beträgt 335,203\sqrt{3} \approx 5,20.

Berechnung des Volumens

Das Volumen können wir nun mit der bekannten Formel berechnen. Setze dazu die bekannten Werte in die Formel ein und berechne das Volumen!
V=13Gh=13πr2h\displaystyle V= \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \pi r^2 \cdot h
V=13π(3)23349,0\displaystyle V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (3)^2 \cdot 3\sqrt{3} \approx 49,0
Das Volumen des Kegels beträgt ca. 49,049,0.
Berechne den Oberflächeninhalt des Kegels.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kegel

Den Oberflächeninhalt des Kegels erhältst du mithilfe einer Formel, die du im Artikel zum Kegel findest.
O=M+G=rmπ+r2πO = M + G = r \cdot m \cdot \pi + r^2 \pi
In der Formel haben wir alle Werte gegeben außer die Mantellinie mm.

Berechnung der Mantellinie

Die Mantellinie mm erhältst du ähnlich wie die Höhe in der Teilaufgabe a)a) über das rechtwinklige Dreieck.
Benutze wieder eine trigonometrische Funktion, um die Mantellinie mm zu berechnen!
sin(φ2)=GegenkatheteHypotenuse=rmsin \left( \dfrac{\varphi}{2} \right) = \dfrac{Gegenkathete}{Hypotenuse}=\dfrac{r}{m}
Nutze den Sinus um mm mithilfe von φr\frac{\varphi}{r} und rr zu berechnen. Und stelle die Gleichung entsprechend um!
sin(φ2)=rmmsin \left( \dfrac{\varphi}{2} \right) = \dfrac{r}{m} \hspace{2cm} |\cdot m
msin(φ2)=r:sin(φ2)m \cdot sin \left( \dfrac{\varphi}{2} \right) = r |:sin \left( \dfrac{\varphi}{2} \right)
m=rsin(φ2)m = \dfrac{r}{sin \left( \frac{\varphi}{2} \right)}
Setze die Werte für rr und φ\varphi ein und berechne die Mantellinie mm.
m=rsin(φ2)=3sin(60°2)m = \dfrac{r}{sin \left( \frac{\varphi}{2} \right)} = \dfrac{3}{sin \left( \frac{60°}{2} \right)}
m=3sin(30°)=312=23=6m = \dfrac{3}{sin \left( 30° \right)} = \dfrac{3}{\frac{1}{2}} = 2 \cdot 3 = 6
Die Mantelfläche mm ist 66 lang.

Berechnung des Oberflächeninhalts

Nutze die Formel für den Oberflächeninhalt des Kegels und setze die Werte ein.
O=M+G=rmπ+r2πO = M + G = r \cdot m \cdot \pi + r^2 \pi
O=36π+(3)2π=27π84,8O = 3 \cdot 6 \cdot \pi +(3)^2 \cdot \pi = 27\pi \approx 84,8
Die Oberfläche des Kegels beträgt ca. 84,884,8.
Zeichne ein sauberes Bild des Netzes von diesem Kegel.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kegel

Tipp: Im Artikel zum Kegel ist ein Bild des Netzes vom Kegel zu sehen. Überlege dir, wie es für deinen Kegel aussehen muss!
Benutze für die 33 aus der Angabe 3cm3cm in deinem Heft.

Vorüberlegungen

Beginne mit einer Skizze, in die du alle wichtigen Werte einzeichnest, die du kennen musst bevor du starten kannst.
Skizze:
In der nebenstehenden Skizze kennst du die Werte für rr und mm, dir fehlt aber der Wert für α\alpha.
Die Mantelfläche um α\alpha ist ein Kreissektor. Schau dir dazu nochmals die Formeln an und versuche den Wert für den Mittelpunktswinkel α\alpha zu berechnen.
Der Mittelpunktswinkel berechnet sich folgendermaßen in einem Kreissektor:
α360°=ASektorAKreis\dfrac{\alpha}{360°} = \dfrac{A_{Sektor}}{A_{Kreis}}
Mit AKreisA_{Kreis} ist die Fläche gemeint, die ein Kreis mit dem Radius mm hätte.
Stelle jetzt die Flächen ASektorA_{Sektor} und AKreisA_{Kreis} auf und setze sie in die Formel ein.
Tipp: ASektorA_{Sektor} entspricht der Mantelfläche des Kegels.
ASektor=M=rmπA_{Sektor} = M = r \cdot m \cdot \pi
AKreis=m2πA_{Kreis} = m^2 \cdot \pi
α360°=ASektorAKreis\dfrac{\alpha}{360°} = \dfrac{A_{Sektor}}{A_{Kreis}}
α360°=rmπm2π\dfrac{\alpha}{360°} = \dfrac{r \cdot m \cdot \pi}{m^2 \cdot \pi}
Kürzen ergibt:
α360°=rm\dfrac{\alpha}{360°} = \dfrac{r}{m}
Stelle die Gleichung nach α\alpha um!Und setze die Werte ein.
α360°=rm360°\dfrac{\alpha}{360°} = \dfrac{r}{m} \hspace{2cm} |\cdot 360°
α=rm360°=36360°=12360°\alpha = \dfrac{r}{m} \cdot 360° = \dfrac{3}{6} \cdot 360° = \dfrac{1}{2} \cdot 360°
α=180°\alpha= 180°
Dieser Kegel hat einen Mittelpunktswinkel seiner Mantelfläche von 180°180°.

Konstruktion des Kegel - Netzes

Beginne mit der Mantelfläche und zeichne dazu den Mittelpunktswinkel α\alpha an den Punkt der Spitze SS.
Zeichne einen Halbkreis mit dem Radius m=6  cmm = 6 \; cm um den Punkt SS.
Suche dir einen beliebigen Punkt am Halbkreis, an dem die Grundfläche GG des Kegels die Mantelfläche berührt. Benenne ihn! Zum Beispiel mit AA.
Verbinde den Punkt SS mit dem Punkt AA durch eine Halbgerade!
Am Punkt AA trägst du nun den Radius r=3  cmr=3 \; cm ab und erhältst einen Schnittpunkt mit der Halbgerade.
Dieser Schnittpunkt ist MM (Mittelpunkt der Grundfläche).
Wenn du um MM den Kreis mit r=3  cmr = 3 \; cm zeichnest hast du die Grundfläche.
Die türkis eingefärbte Fläche ist das Netz des Kegels.
Berechne das Volumen eines Kegelstumpfs mit Höhe h=2  cmh = 2 \; cm, Grundflächenradius r2=3  cmr_2 = 3 \; cm und Deckelradius r1=5  cmr_1 = 5 \; cm.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen eines Kegels

Ergänze den Kegelstumpf, so dass ein vollständiger Kegel entsteht dessen Volumen du berechnen kannst. Ziehe anschließend das Volumen der "imaginären" Kegelspitze wieder ab!

Volumen eines Kegelstumpfes berechnen

Um das Volumen eines solchen Kegelstumpfes zu berechnen, musst du dir vorstellen, dass der Kegel nicht "abgeschnitten" ist, sondern noch seine charakteristische Spitze hat. Dann kann man das gesamte Volumen dieses Kegels berechnen und die Spitze wieder abziehen. Zeichne dazu zuerst eine Skizze des gesamten Kegels!
Deine Skizze sollte ungefähr so aussehen. Wichtig sind die Höhen.
H=h+h2H = h+h_2 ist die Höhe des gesamten Kegels, h2h_2 ist die Höhe der "imaginären" Spitze.
Jetzt musst du zuerst auf die Höhe h2h_2 kommen, dafür machst du am besten einen Querschnitt des Kegels.

Berechnung der Höhen h2h_2 und HH

Bei dieser Skizze siehst du, dass es ausreichend ist, nur die rechte Seite des Dreiecks zu betrachten. Außerdem kannst du eine senkrechte Linie auf r1r_1 einzeichnen, die genau auf den Endpunkt von r2r_2 trifft.
Die rechte Seite deines Querschnitts sollte ungefähr so aussehen.
Du hast nun die Verbindungslinie von r1r_1 und r2r_2 eingezeichnet (gestrichelt) und erhältst dadurch einen Abschnitt dd von r1r_1 mit d=r1r2d=r_1 -r_2.
Außerdem kannst du zwei ähnliche Dreiecke erkennen. Einmal das Dreieck rechts unten mit dd, hh und φ\varphi und dann noch das Dreieck oben mit r2r_2, h2h_2 und φ\varphi.
Versuche nun die bekannten Strecken einzuzeichnen und den Winkel φ\varphi zu bestimmen!
Das rechte untere Dreieck hat die Längen h=2  cmh=2\; cm und
d=r1r2=5  cm3  cm=2  cmd=r_1 - r_2 = 5\; cm-3 \; cm = 2 \; cm.
Damit hast du ein gleichschenkliges und rechtwinkliges Dreieck. Bei einem gleichschenkligen Dreieck hast du immer zwei gleiche Winkel und du hast zusätzlich noch einen 90°90° Winkel.
Dadurch kommst du auf:
180°=90°+2φ180° = 90° + 2 \cdot \varphi
Und erhältst: φ=45°\varphi = 45°.
Durch eine Ähnlichkeitsbetrachtung kannst du nun auch h2h_2 berechnen.
Da du zwei ähnliche Dreiecke hast, muss das obere Dreieck auch gleichschenklig sein. Dadurch erhältst du:
h2=r2=3  cmh_2 = r_2 = 3 \; cm
Berechne nun die gesamte Höhe des Kegels HH und das Volumen VgesV_{ges} des ganzen Kegels mit dem Radius r1r_1 und der Höhe HH.

Berechnung des gesuchten Volumens

H=h+h2=2  cm+3  cm=5  cmH = h+h_2 = 2 \; cm + 3 \; cm = 5 \; cm
Vges=13r12πHV_{ges} = \dfrac{1}{3} \cdot r_{1}^2 \cdot \pi \cdot H
Vges=13(5  cm)2π5  cm131  cm3V_{ges} = \dfrac{1}{3} \cdot (5 \; cm)^2 \cdot \pi \cdot 5 \; cm \approx 131 \; cm^3
Von dem Gesamtvolumen VgesV_{ges} ziehst du nun das Volumen des "imaginären" Kegels VspitzeV_{spitze} mit der Höhe h2h_2 und dem Radius r2r_2 ab und erhältst so das Volumen des Kegelstumpfs VstumpfV_{stumpf}.
Vstumpf=VgesVspitzeV_{stumpf} = V_{ges} - V_{spitze}
Vspitze=13r22πh2V_{spitze} = \dfrac{1}{3} \cdot r_2 ^2 \cdot \pi \cdot h_2
Vspitze=13(3  cm)2π3  cm28,3  cm3V_{spitze}= \dfrac{1}{3} \cdot (3 \; cm)^2 \cdot \pi \cdot 3 \; cm \approx 28,3 \; cm^3
Vstumpf=131  cm328,3  cm3102,7  cm3V_{stumpf} = 131 \; cm^3 - 28,3 \; cm^3 \approx 102,7 \; cm^3
Das Volumen des Kegelstumpfs beträgt Vstumpf102,7  cm3V_{stumpf} \approx 102,7 \; cm^3.
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