Aufgaben
Es ist Sommer und du kaufst ein Eis. Du erinnerst Dich, dass bei Eispackungen im Supermarkt die Menge an Eis in Litern angegeben ist. Das bringt Dich dazu, das Volumen in deiner Eistüte bestimmen zu wollen!
Eistüte mit Hand
  1. Nach Deiner Messung ist die Eistüte 16cm16\,\text{cm} hoch und die Öffnung hat einen Durchmesser von 6cm6\,\text{cm}. Wie viel Liter Eis befinden sich darin?
  2. Wie groß müsste Deine Eistüte sein, um dasselbe Volumen fassen zu können wie eine Packung mit 11 Liter Eis?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kegel

Teilaufgabe 1

Vorüberlegungen

Wenn Du den Rand deiner Eistüte betrachtest erkennst du einen Kreis. Die Spitze der Eistüte denkst Du dir als einen Punkt. Bei deiner Eistüte handelt es sich um einen Kegel.

Volumen eines Kegels

Du benötigst den Radius rr und die Höhe hh des Kegels. Die Höhe ist direkt gegeben und der Radius ist der halbe Durchmesser:
Berechne damit nun das Volumen.


Umrechnen

Für das Umrechnen von Litern gilt 1l=1dm31\,\text{l} = 1 \,\text{dm}^3 und 1dm3=1000cm31\,\text{dm}^3 = 1000\,\text{cm}^3
Beides zusammen ergibt

1l=1000cm311000l=1cm3\begin{array}{lcl} 1\,\text{l} &=& 1000\,\text{cm}^3\\ \dfrac{1}{1000} \,\text{l} &=& 1 \,\text{cm}^3 \end{array}

Rechne damit das Volumen der Eistüte um.
VEistu¨te150,8cm3=150,81000l=0,1508l0,15l\displaystyle V_{Eistüte}\approx 150,8 \,\text{cm}^3 = \dfrac{150,8}{1000} \,\text{l} = 0,1508 \,\text{l} \approx 0,15 \,\text{l}
In die Eistüte passen also etwa 0,150,15 Liter Eis.

Teilaufgabe 2

Vorüberlegungen

Du kannst die Eistüte auf verschiedene Arten vergrößern. Du kannst
  • das Verhältnis von rr und hh so belassen wie bei deiner ursprünglichen Eistüte. Dabei würdest du rr und hh mit dem gleichen Faktor aa multiplizieren, also rr durch ara\cdot r und hh durch aha \cdot h ersetzen.
  • das Verhältnis von rr und hh verändern und die Form deiner Eistüte verzerren. Zum Beispiel könntest du den dreifachen Radius 3r3r und die halbe Höhe h2\dfrac{h}{2} nehmen.
Nimm hier an, dass du die ursprüngliche Form der Eistüte beibehalten möchtest.

Aufstellen einer Gleichung

Du kannst bereits das Volumen einer Eistüte berechnen, wenn du rr und hh kennst.
Nun ist der Radius und die Höhe der größeren Eistüte aber unbekannt. Du multiplizierst Höhe und Radius mit einer Zahl aa, die du noch nicht kennst.
Du musst aa so wählen, dass das Volumen genau 1l=1000cm31\,\text{l} = 1000\,\text{cm}^3 ist, was zu folgender Gleichung führt:

Lösen einer Gleichung mit einer Unbekannten

13π(ar)2(ah)=1000cm3Vereinfache die linke Seiteπ3r2ha3=1000cm3:(π3rh)a3=3000cm3πr2h Werte aus Teil 1 einsetzena3=3000cm3π(3cm)216cma36,633a1,88\begin{array}{rcll}\dfrac{1}{3} \pi (ar)^2 (ah) & = & 1000 \,\text{cm}^3 & \left|\quad \text{Vereinfache die linke Seite}\right. \\\dfrac{\pi}{3} r^2h \cdot a^3 & = & 1000 \,\text{cm}^3 & \left| :(\dfrac{\pi}{3} rh) \right. \\a^3 & = & \dfrac{3000 \, \text{cm}^3}{\pi r^2h} & \left| \quad\ \text{Werte aus Teil 1 einsetzen} \right. \\a^3 & = & \dfrac{3000\, \text{cm}^3}{\pi\cdot (3\,\mathrm{cm})^2\cdot 16\, \mathrm{cm}} & \\a^3 & \approx & 6,63 & \left|\sqrt[3]{}\right. \\a & \approx & 1,88&\end{array}
Also müsstest du dir deine Eiswaffel mit einem Volumen von 0,150,15 Litern etwas weniger als doppelt so breit und hoch vorstellen, um das Volumen auf 11 Liter zu erhöhen!

Ein Kegel, dessen Höhe h so groß ist wie der Grundkreis-Durchmesser, habe das Volumen 1 Liter.

Berechne h.

Berechne nun den Mittelpunktswinkel %%\mathrm\alpha%% des Sektors, aus dem dieser Kegel gefertigt werden kann

Lösung zur 1. Frage der Aufgabe:

gegeben:

  • Grundkreisdurchmesser des Kreiskegels %%\text{d=h}%%
  • Volumen %%V=1\;\text{l}%%

gesucht:

  • Höhe des Kreiskegels %%h%%

Darstellen des Grundkreisradius mit %%h%%

Um die Höhe %%\text{h}%% zu berechnen, kannst du zuerst den Radius %%\text{r}%% als %%\text{h}%% geteilt durch zwei darstellen, denn %%\text{h}%% gleicht %%\text{h}%% und ist außerdem doppelt so lang wie %%\text{r}%%.

%%\text{r=}\frac d2%%

%%\mathrm r=\frac{\mathrm h}2%%

Aufstellen eines Gleichungssystemes

%%\mathrm r=\frac{\mathrm h}2%% ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen auf.

Gleichung (I) ist die Darstellung von %%r%% mit %%h%%.

Gleichung (II) ist die Formel für die Berechnung des Volumens von einem Kreiskegel mit den eingesetzten Wert von %%\text{r=}\frac{\mathrm h}2%%

(I): %%\text{r=}\frac{\mathrm h}2%%

(II): %%\frac13\cdot\text{r}^2\text{·}\pi\cdot\text{h}=1\;\text{l}%%

Nun löst du das Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren, wobei du die Gleichung (I) ind (II) einsetzst.

(I) in (II):

%%\frac13\cdot\frac{\mathrm h^2}{2^2}\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm h=1\;\mathrm l%%

$$\frac{1\cdot\mathrm h^2\cdot\mathrm h\cdot\mathrm\pi}{3\cdot4}=1\;\mathrm l$$

$$\frac{\mathrm h^3\cdot\mathrm\pi}{12}=1\;\mathrm l\;\;\left|\cdot12\right.$$

Du multiplizierst nun auf beiden Seiten der Gleichung %%\mathrm{mit}\;12%%.

$$\begin{array}{l}\mathrm h^3\cdot\mathrm\pi=12\cdot1\;\mathrm l\\\\\mathrm h^3\cdot\mathrm\pi=12\;\mathrm l\;\;\left|:\mathrm\pi\right.\end{array}$$

Du dividierst nun auf beiden Seiten der Gleichung $$\mathrm{durch}\;\mathrm\pi.$$

$$\mathrm h^3=\frac{12\;\mathrm l}{\mathrm\pi}\;\;\left|\sqrt[3]{(\;)}\right.$$

Nun ziehst du auf beiden Seiten der Gleichung die %%3.\mathrm{Wurzel}%%.

$$\mathrm h=\sqrt[3]{\frac{12\;\mathrm l}{\mathrm\pi}}=\sqrt[3]{\frac{12\;\mathrm{dm}^3}{\mathrm\pi}}$$

$$\mathrm h=1,563185283593544\;\mathrm{dm}\approx1,56\;\mathrm{dm}$$

Du kannst %%\mathrm r%% ausrechnen, indem du %%\mathrm h%% in Gleichung (I) einsetzst. Du benötigst den Radius %%\mathrm r%%, um die 2 Frage der Aufgabenstellung zu beantworten.

%%\mathrm h%% in (I): $$\mathrm r=\frac{1,56\;\mathrm{dm}}2=0,78\;\mathrm{dm}$$

Antwort zur 1. Frage der Aufgabe:

Der Kreiskegel ist etwa 1,56 dm hoch.

Lösung zur 2. Frage der Aufgabe:

Berechnung der Mantellinie s:

Um den Mittelpunktswinkel α des Kreissektors, aus dem der Kegel gefertigt werden kann, zu bestimmen, musst du zuerst die Mantellinie %%\mathrm s%% des Kegels ausrechnen. Du musst dazu dir ein rechtwinkliges Dreieck vorstellen, welches den Grundkreismittelpunkt, irgendeinen Punkt auf der Kreisline und die Spitze des Kreiskegels verbindet. Der Grundkreismittelpunkt und der Punkt auf der Kreislinie verbinden sich zu einer Kathete und dem Grundkreisradius r. Der Punkt auf der Kreislinie verbindet sich mit der Kegelspitze zur Hypotenuse und der Mantellinie s. Die Kegelspitze verbindet sich mit dem Grundkreismittelpunkt zu der zweiten Kathete und derHöhe h. Da h und r bereits bekannt sind, kannst du s mit dem Satz des Pythagoras berechnen.

$$\begin{array}{l}\mathrm s^2=\mathrm h^2+\mathrm r^2\\\\\mathrm s^2=1,56^2\;\mathrm{dm}^2+0,78^{2\;}\;\mathrm{dm}^2\\\\\mathrm s^2=2,4336\;\mathrm{dm}^{2\;}+0,6084\;\mathrm{dm}^2\\\\\mathrm s^2=3,042\;\mathrm{dm}^{2\;}\;\;\left|\sqrt{(\;)}\right.\end{array}$$

Du radizierst nun auf beiden Seiten der Gleichung.

$$\mathrm s=\sqrt{3,042\;\mathrm{dm}^2}\approx1,74\;\mathrm{dm}$$

Anmerkung:

Die Lösungen der Gleichung wären:

$${\mathrm s}_{1/2}=\pm\sqrt{3,042\;\mathrm{dm}^2}$$ Da s eine Länge ist, wäre eine negative Lösung nicht sinnvoll, weshalb du diese nicht weiter beachten musst.

Berechnung des Mittelpunktswinkels %%\alpha%%

Nun kannst du %%\alpha%% berechnen, indem du dir bereits bekannte Werte in eine nach %%\alpha%% umgeformte Version von dieser Formel$$\frac{\mathrm\alpha}{360^\circ}=\frac{2\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm r}{2\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm s}=\frac{\mathrm r}{\mathrm s}$$ einsetzst.

$$\frac{\mathrm\alpha}{360^\circ}=\frac{0,78\;\mathrm{dm}}{1,74\;\mathrm{dm}}\;\;\;\;\left|\cdot360^\circ\right.$$

Du multiplizierst auf beiden Seiten der Gleichung mit 360°.

$$\alpha=0,45\cdot360^\circ=162^\circ$$

Antwort:

Der Mittelpunktswinkel α des Sektors, aus dem der Kegel gefertigt werden kann, ist 162° groß.

Das Glas ist (ohne Stiel) 7 cm hoch und hat oben den Umfang 26,7 cm.

Wie groß ist das Volumen von dem Glas?

Glas, Kegelörmig

Lösung

Gegeben:

  • Höhe des Kegelglases h=7 cm
  • Umfang des Grundkreises U=26,7 cm

Gesucht:

  • Volumen des Kegelglases V

Berechnung des Grundkreisradius r

Um das Volumen des kegelförmigen Glases zu berechnen, musst du zuerst den Grundkreisradius r berechnen, indem du die Formel für die Berechnung des Radius eines Kreises nach r umformst.Du musst dazu auf beiden Seiten der Gleichung durch 2π teilen.

$$\begin{array}{l}\mathrm U=2\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm r\;\;\left|:(2\right.\cdot\mathrm\pi)\\\\\mathrm r=\frac{\mathrm U}{2\cdot\mathrm\pi}\end{array}$$

Jetzt kannst du U in die Gleichung einsetzen.

$$\mathrm r=\frac{26,7\;\mathrm{cm}}{2\cdot\mathrm\pi}\approx4,25\;\mathrm{cm}$$

Berechnung des Volumens V von dem kegelförmigen Glas

Du kannst nun den Radius und die Höhe in die Formel zur Berechnung des Volumens eines Kegels einsetzen.

$$\begin{array}{l}\mathrm V=\frac13\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2\cdot\mathrm h\\=\frac13\cdot\mathrm\pi\cdot(4,25\mathrm{cm})^2\cdot7\;cm\\=\frac13\cdot\mathrm\pi\cdot18.0625\;\mathrm{cm}^2\cdot7\;\mathrm{cm}\\\approx132,41\;\mathrm{cm}^3\end{array}$$

Antwort:

Das Volumen V des kegelförmigen Glases ist ca. %%132\;\mathrm{cm}^3%% groß.

Betrachte den geraden Kegel. Der Radius der Grundfläche ist %%r=3%% und der Winkel %%\varphi%% ist %%60°%%.

Berechne das Volumen des Kegels.

Vorüberlegungen

Schau dir den Artikel zum Kegel an und suche die passende Formel für das Volumen heraus.

Die gesuchte Formel lautet:

%%V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot h%%

Überleg dir nun, welche der Variablen in der Aufgabe gegeben sind und welche du noch suchst.

gegeben:

%%r = 3%%

%%\varphi = 60°%%

gesucht:

%%V%%, %%h%%

Das Volumen V kannst du erst ausrechnen, wenn du die Höhe h gefunden hast.

Berechnen der Höhe h

Die Höhe des Kegels erhältst du durch einen Querschnitt durch den Mittelpunkt %%M%% und die Spitze %%S%%. Dieser sieht folgendermaßen aus:

Dieses Dreieck kannst du nun halbieren, so dass du ein rechtwinkliges Dreieck erhältst.

In diesem Dreieck kennst du die Strecke %%r%% (Gegenkathete von %%\frac{\varphi}{2}%%).

Die gesuchte Größe ist die Höhe %%h%%. Diese ist die Ankathete von %%\frac{\varphi}{2}%% .

Du kannst %%h%% mithilfe einer trigonomischen Funktion (Sinus, Kosinus oder Tangens) ausrechnen.

%%tan\left(\frac{\varphi}{2} \right)=\frac{Gegenkathete}{Ankathete}=\frac rh%%

Du kannst den Tangens von %%\frac{\varphi}{2}%% benutzen um auf %%h%% zu kommen. Anschließend musst du die Formel nach %%h%% umstellen.

%%tan\left(\frac{\varphi}{2} \right)=\frac rh \hspace{2cm} | \cdot h%%

%%tan\left(\frac{\varphi}{2} \right) \cdot h = r \hspace{1,55cm} |:tan\left(\frac{\varphi}{2} \right)%%

%%h = \dfrac{r}{tan\left(\frac{\varphi}{2} \right)}%%

(Beachte: Diese Umformungen sind nur gültig, wenn %%tan\left( \frac{\varphi}{2} \right)\not= 0%% ist. Das ist in unserem Fall mit %%\varphi = 60°%% der Fall.)

Setze die Werte ein und berechne die Höhe des Kegels!

%%h = \dfrac{r}{tan\left(\frac{\varphi}{2} \right)}= h = \dfrac{3}{tan\left(\frac{60°}{2} \right)}=%%

%%= \dfrac{3}{\dfrac{1}{\sqrt{3}}} = 3 \sqrt{3} \approx 5,20%%

Die Höhe des Kegels beträgt %%3\sqrt{3} \approx 5,20%%.

Berechnung des Volumens

Das Volumen können wir nun mit der bekannten Formel berechnen. Setze dazu die bekannten Werte in die Formel ein und berechne das Volumen!

%%V= \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \pi r^2 \cdot h%%

%%V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (3)^2 \cdot 3\sqrt{3} \approx 49,0%%

Das Volumen des Kegels beträgt ca. %%49,0%%.

Berechne den Oberflächeninhalt des Kegels.

Vorüberlegungen

Den Oberflächeninhalt des Kegels erhältst du mithilfe einer Formel, die du im Artikel zum Kegel findest.

%%O = M + G = r \cdot m \cdot \pi + r^2 \pi%%

In der Formel haben wir alle Werte gegeben außer die Mantellinie %%m%%.

Berechnung der Mantellinie

Die Mantellinie %%m%% erhältst du ähnlich wie die Höhe in der Teilaufgabe %%a)%% über das rechtwinklige Dreieck.

Benutze wieder eine trigonometrische Funktion, um die Mantellinie %%m%% zu berechnen!

%%sin \left( \dfrac{\varphi}{2} \right) = \dfrac{Gegenkathete}{Hypotenuse}=\dfrac{r}{m}%%

Nutze den Sinus um %%m%% mithilfe von %%\frac{\varphi}{r}%% und %%r%% zu berechnen. Und stelle die Gleichung entsprechend um!

%%sin \left( \dfrac{\varphi}{2} \right) = \dfrac{r}{m} \hspace{2cm} |\cdot m%%

%%m \cdot sin \left( \dfrac{\varphi}{2} \right) = r \hspace{1,6cm} |:sin \left( \dfrac{\varphi}{2} \right)%%

%%m = \dfrac{r}{sin \left( \frac{\varphi}{2} \right)}%%

Setze die Werte für %%r%% und %%\varphi%% ein und berechne die Mantellinie %%m%%.

%%m = \dfrac{r}{sin \left( \frac{\varphi}{2} \right)} = \dfrac{3}{sin \left( \frac{60°}{2} \right)}%%

%%m = \dfrac{3}{sin \left( 30° \right)} = \dfrac{3}{\frac{1}{2}} = 2 \cdot 3 = 6%%

Die Mantelfläche %%m%% ist %%6%% lang.

Berechnung des Oberflächeninhalts

Nutze die Formel für den Oberflächeninhalt des Kegels und setze die Werte ein.

%%O = M + G = r \cdot m \cdot \pi + r^2 \pi%%

%%O = 3 \cdot 6 \cdot \pi +(3)^2 \cdot \pi = 27\pi \approx 84,8%%

Die Oberfläche des Kegels beträgt ca. %%84,8%%.

Berechne das Volumen eines Kegelstumpfs mit Höhe h=2  cmh = 2 \; cm, Grundflächenradius r2=3  cmr_2 = 3 \; cm und Deckelradius r1=5  cmr_1 = 5 \; cm.
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