Wer ist in seiner Schullaufbahn nicht der Aufgabe "Berechne das Volumen der Kugel!" begegnet? Aber was ist überhaupt ein Volumen?

Um diese Frage beantworten zu können, kann man mit einer anderen Einstiegsfrage anfangen:
Wie viel Wasser passt in ein Aquarium?
Antwort: In ein Aquarium passen %%\ldots \, \mathrm{l}%% Wasser.
Dabei ist %%\mathrm{l}%% die Volumeneinheit Liter, die auch mit %%1 \; \mathrm{l} = 1 \; \mathrm{dm}^3%% bekannt ist.

Wenn man einen Festkörper, in dem Fall ein Aquarium, mit Wasser füllen möchte, so braucht man eine bestimme Menge an Wasser, damit man weder zu wenig noch zu viel hat. Ein Aquarium hat die Form eines Quaders. Dieser ist also ein fester Körper im dreidimensionalen Raum.
Dieser Quader, also das Aquarium, hat eine bestimmte Länge %%l%%, Breite %%b%% und Höhe %%h%%.
Damit man ausrechnen kann, wie viel Wasser er nun fasst, sollte man seinen gesamten Inhalt bestimmen.

Betrachtet man das Ganze im Zweidimensionalen, so hat man ein Rechteck als Grundfläche. Will man aus dem Rechteck einen Quader erzeugen, so geht man eine Ebene in die Höhe. Daraus ergibt sich auch ganz leicht die Volumenformel eines Quaders: $$V_{Aquarium} = G \cdot h = l \cdot b \cdot h$$

Der Inhalt eines Festkörpers ist also das Volumen. Anders ausgedrückt: Ein Volumen ist der Inhalt eines festen Körpers, der durch seine Oberfläche eingegrenzt wird.

Damit man sich bei der Rechnung sicherer fühlt, kann man auch dazu den Artikel Rechnen mit Einheiten betrachten.

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