Ein Kegel ist

  • ein dreidimensionaler Körper,

der entsteht, wenn man

  • alle Punkte eines Kreises
  • mit einem Punkt außerhalb der Kreisebene

verbindet.

Rotation von einem rechtwinkligen Dreieck Schematisches Bild eines geraden Kreiskegels

Eingezeichnet sind die Kegelhöhe h, die Mantellinie s und der Grundkreisradius r.

Begriff Kegel

  • Der richtige Ausdruck für diesen Körper ist eigentlich Kreiskegel.
    In der höheren Mathematik werden nämlich manchmal auch Kegel betrachtet, deren Grundfläche kein Kreis ist.

  • In der Schule geht es in der Regel um gerade Kreiskegel.
    Bei geraden Kreiskegeln liegt die Spitze des Kegels senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche.

Bemerkung:

Man kann sich einen geraden Kreiskegel auch dadurch entstanden denken, dass sich ein rechtwinkliges Dreieck um eine seiner Katheten dreht.

Der entstehende Rotationskörper ist ein gerader Kreiskegel, dessen Höhe die eine der Katheten und dessen Grundkreisradius die andere der beiden Katheten ist.

Beispiele für Kegel in der realen Welt

Manche Alltagsgegenstände haben annähernd die Gestalt eines Kegels.
Hier ein paar Beispiele:

Partyhut

Ein kegelförmiger Partyhut

Markierhut

Auch dieser Markierungshut hat, wenn man ihn sich "richtig" spitz denkt, ungefähr Kegelform.

Eistuete

Die Eistüte hat die Form eines Kegels, und in diesem Fall annähernd sogar auch das Eis.

Volumen eines Kegels

%%\begin{array}{l}V_{Kegel}=\frac13\cdot G\cdot h\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac13\cdot r^2\cdot\pi\cdot h\end{array}%%

G: Grundfläche des Kegels

h: Höhe des Kegels

r: Radius der Grundfläche

Warum ist das so?

Die Grundfäche G eines Kegels ist ein Kreis. Die Fläche von einem Kreis erhält man mit der Formel %%A_{Kreis}=\mathrm r^2\cdot\mathrm\pi%%

Volumen eines Kegels

Beispielaufgabe

Oberflächeninhalt eines Kegels

%%\begin{array}{l}O_{Kegel}=\mathrm M+G\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\mathrm r\cdot\mathrm m\cdot\mathrm\pi+\mathrm r^2\cdot\mathrm\pi\end{array}%%

M: Mantelfläche des Kegels

G: Grundfläche des Kegels

m: Mantellinie am Kegel

r: Radius der Grundfläche

Teile der Kegeloberfläche

Warum ist das so?

Die Grundfäche G eines Kegels ist ein Kreis. Die Fläche von einem Kreis erhält man durch die Formel %%{\mathrm A}_\mathrm{Kreis}=\mathrm r^2\cdot\mathrm\pi%%

Die Mantelfläche M eines Kegels ist ein Kreissektor mit Radius m. Die Fläche von diesem Kreissektor erhält man durch die Formel %%{\mathrm A}_\mathrm{Mantel}=\frac\alpha{360^\circ}\cdot\mathrm m^2\cdot\mathrm\pi\;%%

Dabei ist %%\alpha%% der Mittelpunktswinkel des Kressektors. Dieser verhält sich zu %%360^\circ%% wie die Kreisbogenlänge, hier %%2\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm r%%, zum gesamten Umfang eines Kreises mit Radius %%\mathrm m%%. Also ergibt sich für die Mantelfläche:

$$\begin{array}{l}{\mathrm A}_\mathrm{Mantel}=\frac{2\mathrm{πr}}{2\mathrm{πm}}\cdot\mathrm m^2\cdot\mathrm\pi\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{\mathrm r}{\mathrm m}\cdot\mathrm m^2\cdot\mathrm\pi=\mathrm r\cdot\mathrm m\cdot\mathrm\pi\end{array}$$

Schiefer Kegel

Die Spitze eines Kegels muss nicht senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche liegen. Liegt er nicht genau darüber, spricht man von einem schiefen Kegel.

Das Volumen verändert sich bei gleicher Höhe nicht, der Oberflächeninhalt jedoch schon.

Schieferkegel

Schieferkegel

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