Aufgaben

Berechne die fehlenden Seiten und Winkel (rot markiert) der Dreiecke.

Zu text-exercise-group 57741:
R_J 2017-10-29 09:01:21+0100
Wie kommt man bei a) für alpha auf 30,07? Denn wenn ich sinhoch-1(12,7/24,9) in den Taschenrechner eingebe kommt 34,07 raus...
Nish 2017-10-29 12:31:37+0100
Hi,

ich komme immer noch auf 30,6665... also ungefähr 30,7. Gerechnet habe ich das Gleiche wie du bzw. wie es in der Lösung steht.

Kannst du es nochmal probieren oder hast du mittlerweile deinen Fehler gefunden? Vllt. hast du noch ein vorher gespeichertes Ergebnis in diese Rechnung unbewusst mitgenommen und so hat sich dein Ergebnis verfälscht. Anders kann ich es mir gerade nicht erklären.

Falls du immer noch das gleiche Ergebnis bekommst und nicht weiß, was du falsch machst. Meld dich gerne nochmal hier oder gerne auch per Mail an nishanth@serlo.org.

LG,
Nish
Renate 2017-10-30 07:13:00+0100
Hallo R_J, hallo Nish,
ich habe es gerade ausprobiert: Ich bekomme ca. 34,07 heraus, wenn der Taschenrechner auf Neugrad umgeschaltet ist!

Ein Taschenrechner, der sin, cos und tan kann, hat in der Regel drei mögliche Einstellungen:
- eine für normales Gradmaß; diese wird in der Regel bei den heutigen Taschenrechnern mit DEG bezeichnet (DEG für "degree" (engl.)). In der Anzeige steht dann bei dieser Einstellunge evtl. "DEG" oder auch nur ein kleines "D".
- eine für das Bogenmaß, normalerweise mit RAD bezeichnet; in der Anzeige erscheint evtl. auch nur ein "R"
- und eine für Neugrad, bei meinem Taschenrechner mit GRAD bezeichnet; in der Anzeige sieht man dann bei manchen Rechnern ein "G".

Neugrad bezeichnet eine Art der Winkelmessung, bei der der rechte Winkel als 100 Neugrad (statt 90 Grad) gezählt wird - daher entsprechen 30,7° dann ungefähr 34,07 Neugrad.

@R_J, hast du vielleicht schon öfters mal Ergebnisse herausbekommen, die immer ein klein wenig anders waren als das, was die anderen heraus hatten?
Einer Nachhilfeschülerin von mir ist das nämlich mal passiert: Sie erzählte mir, dass sie ständig etwas andere Ergebnisse habe als die anderen - wir gingen der Sache nach und stellten dann fest, dass ihr Rechner auf "G" stand. ;)

Viele Grüße
Renate
Nish 2017-10-31 11:57:27+0100
Cool, Renate, dass du es rausgefunden hast! :)
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$$\gamma = 90^\circ$$ $$a=12{,}7\,\mathrm{cm}$$ $$c= 24{,}9\,\mathrm{cm}$$

%%\alpha%% berechnen

%%\sin\left(\alpha\right)=\frac{12,7\,\mathrm{cm}}{24,9\,\mathrm{cm}}%%

%%\alpha=30{,}7^\circ%%

%%\beta%% berechnen

%%\beta%% kannst du ausrechnen, indem du alle gegebenen Winkel von der Gesamtsumme aller Winkel in einem Dreieck %%\left(180^\circ\right)%% abziehst.

%%\beta=180^\circ-90^\circ-30{,}7^\circ%%

%%\beta=59{,}3^\circ%%

%%b%% berechnen

%%b%% mithilfe des Satzes des Pythagoras ausrechnen.

%%\left(24{,}9\,\mathrm{cm}\right)^2=\left(12{,}7\,\mathrm{cm}\right)^2+b^2%%

%%|{}-\left(12{,}7\,\mathrm{cm}\right)^2%%

%%b^2=\left(24{,}9\,\mathrm{cm}\right)^2-\left(12{,}7\,\mathrm{cm}\right)^2%%

%%b^2=458{,}72\,\mathrm{cm}^2%%

%%b\approx21{,}4\,\mathrm{cm}%%

$$\alpha = 90^\circ$$ $$b= 420\,\mathrm m$$ $$a= 645\,\mathrm m$$

%%\beta%% berechnen

%%\sin\left(\beta\right)=\frac{420\,\mathrm m}{645\,\mathrm m}%%

%%\beta=40{,}6^\circ%%

%%\gamma%% berechnen

%%\gamma%% kannst du ausrechnen, indem du alle gegebenen Winkel von der Gesamtsumme aller Winkel in einem Dreieck %%\left(180^\circ\right)%% abziehst.

%%\gamma=180^\circ-90^\circ-40{,}6^\circ=49{,}4^\circ%%

%%c%% berechnen

%%c%% mithilfe des Satzes des Pythagoras ausrechnen.

%%(645\,\mathrm m)^2=(420\,\mathrm m)^2+c^2%%

%%c^2= (645\,\mathrm m)^2 - (420\,\mathrm m)^2%%

%%c^2=239\,625\,\mathrm m^2%%

%%c\approx490\,\mathrm m%%

$$\beta=90^\circ$$ $$c=15{,}8\,\mathrm{cm}$$ $$a=30{,}7\,\mathrm{cm}$$

%%b%% berechnen

%%b%% mithilfe des Satzes des Pythagoras ausrechnen.

%%b^2=\left(30{,}7\,\mathrm{cm}\right)^2+\left(15{,}8\,\mathrm{cm}\right)^2%%

%%b^2=1192{,}13\,\mathrm{cm}^2%%

%%b=34{,}5\,\mathrm{cm}%%

%%\alpha%% berechnen

%%\cos\left(\alpha\right)=15{,}8\,\mathrm{cm}:34{,}5\,\mathrm{cm}%%

%%\alpha=62{,}7^\circ%%

%%\gamma%% berechnen

%%\gamma%% kannst du ausrechnen, indem du alle gegebenen Winkel von der Gesamtsumme aller Winkel in einem Dreieck %%\left(180^\circ\right)%% abziehst.

%%\gamma=180^\circ-90^\circ-62{,}7^\circ%%

%%\gamma=27{,}3^\circ%%

$$\gamma=90^\circ$$ $$\alpha=35^\circ$$ $$c=12{,}5\,\mathrm{cm}$$

%%\beta%% berechnen

%%\beta%% kannst du ausrechnen, indem du alle gegebenen Winkel von der Gesamtsumme aller Winkel in einem Dreieck %%\left(180^\circ\right)%% abziehst.

%%\beta=180^\circ-90^\circ-35^\circ%%

%%\beta=55^\circ%%

%%a%% berechnen

%%\sin\left(35^\circ\right)=\frac{a}{12,5\,\mathrm{cm}}%%

%%|{}\cdot12{,}5\,\mathrm{cm}%%

%%a=\sin\left(35^\circ\right)\cdot12{,}5\,\mathrm{cm}%%

%%a=7{,}2\,\mathrm{cm}%%

%%b%% berechnen

%%b%% mithilfe des Satzes des Pythagoras ausrechnen.

%%c^2=a^2+b^2%%

%%\left(12{,}5\,\mathrm{cm}\right)^2=\left(7{,}2\,\mathrm{cm}\right)^2+b^2%%

%%|{}-\left(7{,}2\,\mathrm{cm}\right)^2%%

%%b^2=\left(12{,}5\,\mathrm{cm}\right)^2-\left(7{,}2\,\mathrm{cm}\right)^2%%

%%b^2\approx104{,}4\,\mathrm{cm}^2%%

%%b\approx10{,}2\,\mathrm{cm}%%

%%b%% berechnen (alternative Lösung mit dem Kosinus)

%%\cos\left(\alpha\right)=\frac bc%%

Nach %%b%% umstellen.

%%b = \cos\left( \alpha \right) \cdot c \approx 10{,}2\,\mathrm{cm}%%

$$\alpha=90^\circ$$ $$\gamma=40{,}3^\circ$$ $$a=10{,}5\,\mathrm{cm}$$

%%\beta%% berechnen

%%\beta%% kannst du ausrechnen, indem du alle gegebenen Winkel von der Gesamtsumme aller Winkel in einem Dreieck %%\left(180^\circ\right)%% abziehst.

%%\beta=180^\circ-90^\circ-40{,}3^\circ%%

%%\beta=49{,}7^\circ%%

%%b%% berechnen

%%\sin\left(49{,}7^\circ\right)=\frac{b}{10,5\,\mathrm{cm}}%%

%%|{}\cdot10{,}5\,\mathrm{cm}%%

%%b=\sin\left(49{,}7^\circ\right)\cdot10{,}5\,\mathrm{cm}%%

%%b\approx8\,\mathrm{cm}%%

%%c%% berechnen

%%c%% mithilfe des Satzes des Pythagoras ausrechnen.

%%\left(10{,}5\,\mathrm{cm}\right)^2=c^2+\left(8\,\mathrm{cm}\right)^2%%

%%c^2=46{,}25\,\mathrm{cm}^2%%

%%c\approx6{,}8\,\mathrm{cm}%%

Berechne in einem rechtwinkligen Dreieck mit %%a=5\text{ cm}%% und %%\alpha= 75°%% die Seitenlänge von %%b%%.

Rechtwinkliges Dreieck Aufgabe Tangens

Geg.: %%a=5 \text{ cm} \\ \alpha=75°%%

Ges.: %%b%%

Die Gegenkathete von %%\alpha%% ist gegeben und gesucht ist die Ankathete von %%\alpha%%. Verwende daher den Tangens von %%\alpha%%.

$$\tan(\alpha)=\frac ab$$

Löse nach %%b%% auf.

$$b=\frac a{\tan(\alpha)}$$

Setze %%a=5\,\text{cm}%% und %%\alpha=75°%% in die Gleichung ein.

$$b=\frac{5\,\text{cm}}{\tan(75^\circ)} \approx 1{,}34\,\text{cm}$$

Berechne die fehlenden Seiten und Winkel des gleichschenkligen Dreiecks ABC mit %%a=b%%. Beachte, dass wir allgemeine gleichschenklige Dreiecke betrachten, die nicht unbedingt rechtwinklig sind.

Zu text-exercise-group 11369:
Nish 2019-01-13 17:05:54+0100
Bitte die Lösungen aller Teilaufgaben bei Gelegenheit nach den neuen Richtlinien für Aufgabenlösungen (http://de.serlo.org/90400) überarbeiten.

LG,
Nish
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a=44,2cm

c=63,4cm

geg: a=b= 44,2cm  c=63,4cm

ges: h, %%\alpha,\;\beta,\;\gamma%%

Zur Verdeutlichung eine Skizze zeichnen.

Skizze des Dreiecks mit den zu bestimmenden Größen

Zunächst %%x%% berechnen.

%%x=\frac c2%%

 

%%x=\frac{63,4cm}2=31,7cm%%

%%h%% berechnen, indem man in dem rechtwinkligen Dreieck %%\triangle{DBC}%% den Satz des Pythagoras anwendet.

%%h=\sqrt{a^2-x^2}%%

Bekannte Werte einsetzen.

%%h=\sqrt{\left(44,2cm\right)^2-\left(31,7cm\right)^2}%%

Zunächst quadrieren.

%%h=\sqrt{1953,64cm^2-1004,89cm^2}%%

%%h=\sqrt{948,75cm^2}%%

Wurzel ziehen.

%%h=30,8cm%%

%%\alpha%% mit Hilfe von Sinus berechnen.

%%\sin\left(\alpha\right)=\frac hb%%

Werte einsetzen.

%%\sin\left(\alpha\right)=\frac{30,8cm}{44,2cm}%%

Mit Hilfe des Taschenrechners %%\alpha%% berechnen.

%%\alpha=44,2^\circ=\beta%%, da es sich hier um ein gleichschenkliges Dreieck mit %%a=b%% handelt.

Da die Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck gleich sind, und alle Innenwinkel insgesamt %%180^\circ%% ergeben, %%\gamma%% ausrechnen.

%%\gamma=180^\circ-2\cdot44,2^\circ%%

%%\gamma=91,6^\circ%%

  %%\Rightarrow%% %%h=30,8cm;\alpha=\beta=44,2^\circ;\gamma=91,6^\circ%%

Achtung: Das Dreieck %%ABC%% ist kein rechtwinkliges Dreieck, da kein Winkel %%90°%% groß ist.

a=114,5m

%%\alpha%% =32,3°

geg: %%a=b= 114,5\,m%%  %%\alpha=\beta%% =32,3°

ges: %%c%%, %%h%%, %%\gamma%%

Zur Verdeutlichung eine Skizze zeichnen.

Skizze des Dreiecks mit den zu bestimmenden Größen

Da die Basiswinkel in einem gleischenkligen Dreieck gleich sind, und alle Innenwinkel insgesamt %%180^\circ%% ergeben, %%\gamma%% ausrechnen.

%%\gamma=180^\circ-2\cdot32,3^\circ=115,4^\circ%%

 

%%h%% mit Hilfe des Sinus berechnen.

%%\sin\left(\alpha\right)=\frac hb%%

Nach %%h%% umstellen und Werte einsetzen.

%%h=114,5m\cdot\sin\left(32,3^\circ\right)%%

%%h=61,2m%%

%%x%% berechnen, indem man in dem rechtwinkligen Dreieck %%\triangle{DBC}%% den Satz des Pythagoras anwendet.

%%x=\sqrt{a^2-h^2}%%

Bekannte Werte einsetzen.

%%x=\sqrt{\left(114,5m\right)^2-\left(61,2m\right)^2}%%

Zunächst quadrieren.

%%x=\sqrt{13110,25m^2-3745,44m^2}%%

%%x=\sqrt{9364,81m^2}%%

Wurzel ziehen.

%%x=96,8cm%%

 

 

%%c%% berechnen, indem man die Seite %%x%% verdoppelt, dann die Höhe %%h%%, %%c%% in der Mitte teilt, so dass man %%2%% gleich lange Strecken %%x%% bekommt.

%%c=2\cdot96,8m=193,6m%%

  %%\Rightarrow%% %%h=61,2\,m; c=193,6\,m;\gamma=115,4^\circ%%

c=35,4cm

%%\beta%% =43,9°

Sinus, Cosinus und Tangens

geg: c=35,4cm  %%\beta=\alpha%% =43,9°

ges: a, b, h, %%\gamma%% , x

Zur Verdeutlichung eine Skizze zeichnen.

Geogebra File: /uploads/legacy/5310_IjxY3uHftI.xml

Da die Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck gleich sind, und alle Innenwinkel insgesamt 180° ergeben, %%\gamma%% ausrechnen.

%%\gamma=180^\circ-2\cdot43,9^\circ=92,2^\circ%%

 

x berechnen, indem man die Seite c halbiert.

%%x=\frac{35,4cm}2=17,7cm%%

a mit Hilfe des Cosinus berechnen.

%%\cos\left(\beta\right)=\frac xa%%

Nach a umstellen und Werte einsetzen.

%%a=\frac{17,7cm}{\cos\left(43,9^\circ\right)}%%

%%a=24,6cm%%

h mit Hilfe des Tangens berechnen.

%%\tan\left(\beta\right)=\frac hx%%

Nach h umstellen und Werte einsetzen.

%%h=17,7cm\cdot\tan\left(43,9^\circ\right)%%

%%h=17,0cm%%

  %%\Rightarrow\;\;%% %%\alpha=43,9^\circ;\;\gamma=92,2^\circ;\;a=b=24,6cm;\;h=17,0cm\;%%

h=14,8cm

%%\alpha=\beta=%% 28,3°

Geg.: %%h=14,8cm%%; %%\alpha=\beta= 28,3^\circ%%

Ges.: %%\beta,\gamma,c, b, a%%

Zeichne zur Verdeutlichung eine Skizze.

Skizze des Dreiecks mit den zu bestimmenden Größen

Da die Basiswinkel (hier: %%\alpha%% und %%\beta%%) in einem gleichschenkligen Dreieck gleich groß sind, und alle Innenwinkel insgesamt 180° ergeben (d.h. %%\alpha+\beta+\gamma=180^\circ%%), kannst %%\gamma%% mit dieser Information direkt ausrechnen.

%%\gamma=180^\circ-2\cdot28,3^\circ=123.4^\circ%%

%%x%% mit Hilfe des Tangens berechnen.

%%\tan\left(\beta\right)=\frac hx%%

Nach %%x%% umstellen und Werte einsetzen.

%%x=\frac{14,8cm}{\tan\left(28,3^\circ\right)}%%

%%x=27,5cm%%

%%c%% erhälst du, indem du die Seite %%x%% verdoppelst (siehe Skizze).

%%c=2\cdot27,5cm%%

%%c=55cm%%

%%b%% mit Hilfe des Sinus berechnen.

%%\sin\left(\alpha\right)=\frac hb%%

Nach %%b%% umstellen und Werte einsetzen.

%%b=\frac{14,8cm}{\sin\left(28,3^\circ\right)}%%

%%b=31,2cm%%

Da es sich hier um ein gleichschenkliges Dreieck handelt, ist die Seitenlänge %%a%% gerade gleich der Seitenlänge %%b%%.

  %%\Rightarrow\;\;%% %%\gamma=123,4^\circ;\;c=55cm;\;a=b=31,2cm%%

a=146,4m

h=58,4m

geg: %%a=b=146,4 \, m%%; %%h=58,4\, m%%

ges: %%c%%, %%\gamma,\;\alpha,\;\beta%% , %%x%%

Zur Verdeutlichung eine Skizze zeichnen.

Skizze des Dreiecks mit den zu bestimmenden Größen

%%\beta%% mit Hilfe des Sinus berechnen.

%%\sin\left(\beta\right)=\frac ha%%

Werte einsetzen und mit Hilfe des Taschenrechners %%\alpha%% berechnen.

%%\beta=23,5^\circ%%

Da die Basiswinkel in einem gleischenkligen Dreieck gleich sind, und alle Innenwinkel insgesamt %%180^\circ%% ergeben, %%\gamma%% ausrechnen.

%%\gamma=180^\circ-2\cdot23,5^\circ=133^\circ%%

%%x%% mit Hilfe des Tangens berechnen.

%%\tan\left(\beta\right)=\frac hx%%

Nach %%x%% umstellen und Werte einsetzen.

%%x=\frac{58,4m}{\tan\left(23,5^\circ\right)}%%

%%x=134,3m%%

 

%%c%% berechnen, indem man die Seite %%x%% verdoppelt, dann die Höhe %%h%%, %%c%% in der Mitte teilt, so dass man %%2%% gleich lange Strecken %%x%% bekommt.

%%c=2\cdot134,3m=268,6m%%

  %%\Rightarrow\;\;%% %%b=146,4m;\;\alpha=\beta=23,5^\circ;\;\gamma=133^\circ;\;c=268,5m%%

Ein Dreieck mit rechtem Winkel bei C, mit der Seite  %%b=113m%% hat den Winkel %%\alpha=39^\circ%% . Fertige zunächst eine Skizze an und berechne dann alle fehlenden Seiten sowie den Winkel %%\beta%% .

Sinus, Cosinus und Tangens

1. Skizze zeichnen

 

Geogebra File: /uploads/legacy/1786.xml

2. Berechnen

 

%%\cos\left(39^\circ\right)=113m:c%%

%%\left|{\cdot c\;\left|{:\cos\left(39^\circ\right)}\right.}\right.%%

%%c=113m:\cos\left(39^\circ\right)%%

 

%%c=145m%%

 

%%\beta=180^\circ-90^\circ-39^\circ%%

%%\beta%% ausrechnen, indem man alle gegebenen Winkel von der Gesamtsumme aller Winkel in einem Dreieck %%\left(180^\circ\right)%% abzieht.

%%\beta=51^\circ%%

 

%%\sin\left(39^\circ\right)=a:145m%%

%%\left|{\cdot145m}\right.%%

%%a=\sin\left(39^\circ\right)\cdot145m%%

 

%%a=91m%%

 

Skizziere ein Rechteck mit den Seiten a=7cm und b=18cm und berechne die Winkel

zwischen einer Diagonalen und den Seiten

Sinus, Cosinus und Tangens

geg: a=7cm; b= 18cm

ges: %%\alpha,\;\beta,\;%%

Zum Verständnis eine Skizze anfertigen.

Geogebra File: /uploads/legacy/5324_rVxxa8b9gs.xml

%%\alpha%% mit Hilfe des Tangens berechnen.

%%\tan\left(\alpha\right)=\frac ab%%

Werte einstetzen und %%\alpha%% mit Hilfe des Taschenrechners berechnen.

%%\alpha=21,3^\circ%%

%%\beta%% berechnen, da wir wissen, dass %%\alpha%% und %%\beta%% zusammen 90° ergeben.

%%\beta=90^\circ-21,3^\circ=68,7^\circ%%

  %%\Rightarrow\;\;%% Der Winkel %%\alpha%% beträgt 21,3°, %%\beta%% beträgt 68,7°.

zwischen beiden Diagonalen

Sinus, Cosinus und Tangens

geg: %%\alpha=68,7^\circ;\;\beta=21,3^\circ%%

ges: %%\gamma,\;\delta%%

Zum Verständnis eine Skizze anfertigen.

Geogebra File: /uploads/legacy/5324_rVxxa8b9gs.xml

%%\delta%% ist 2 %%\alpha%% , weil %%\delta%% + %%\gamma%% =180° und 

%%\gamma%% +2 %%\alpha%% =180° im gleichschenklichen Dreieck gilt.

%%\Rightarrow%% %%\delta%% + %%\gamma%% = %%\gamma%% +2 %%\alpha%%

%%\Rightarrow%% %%\delta%% =2 %%\alpha%%

Deswegen  %%\alpha%% verdoppeln.

%%\delta=2\cdot68,7^\circ=137,4^\circ%%

%%\gamma%% und %%\delta%% bilden 180°.

%%\gamma=180^\circ-137,4^\circ=42,6^\circ%%

  %%\Rightarrow\;\;%% Der Winkel  %%\gamma%% beträgt 42,6°,  %%\delta%% beträgt 137,4°.

Heike ist 1,69 m1,69\ \text{m} groß. Wie lang ist ihr Schatten, wenn die Sonnenstrahlen in einem Winkel von 30°30° auf den Boden auftreffen? Gib das Ergebnis in Metern auf 2 Dezimalstellen gerundet an.
m

Im Kreis mit dem Radius r=10cm gehört zur Sehne s der Mittelpunktswinkel %%\alpha=84^\circ%%

Wie lang ist die Sehne?

Sinus, Kosinus und Tangens

Thema dieser Aufgabe ist das Anwenden von Sinus, Kosinus und Tangens.

Geg.: %%r=10\,cm%%; %%\alpha =84^\circ%%

Ges.: %%x%%

 Zum Verständnis die Skizze zeichnen.

Skizze

Skizze zur Aufgabe mit Sinus, Kosinus und Tangens

Mit Hilfe des Sinus %%x%% berechnen.

%%\sin\left(\frac\alpha2\right)=\frac xr%%

Nach %%x%% umstellen und Werte einsetzen.

%%x=10cm\cdot\sin\left(\frac{84^\circ}2\right)%%

Mit Hilfe des Taschenrechners %%x%% berechnen.

%%x=6,7cm%%

Da %%x%% die Hälfte der Sehne %%s%% ist, %%x%% verdoppeln.

%%s=2\cdot6,7cm=13,4cm%%

  %%\Rightarrow\;\;%% Die Länge der Sehne beträgt %%13,4\,cm%%.

Berechne die fehlenden Seiten und Winkel des gleichschenkligen Dreiecks ABC mit a=b.

a = 44,2cm

c = 63,4cm

Berechne die Höhe des Dreiecks.

Wende den Satz des Pythagoras an, um die Höhe zu berechnen.

%%h_c=\sqrt{b^2-\left(\frac12c\right)^2}%%

%%h_c\approx30,802cm%%

Berechne nun %%\alpha,\beta%% und %%\gamma%% mithilfe von Sinus oder Cosinus ..

%%\sin\left(\alpha\right)=\frac{h_c}b%%

%%\alpha\approx44,177^\circ%%

oder:

%%\cos\left(\alpha\right)=\frac{{\displaystyle\frac12}c}b%%

%%\alpha\approx44,177^\circ%%

%%\sin\left(\beta\right)=\frac{h_c}a%%

%%\beta\approx44,177^\circ%%

%%\cos\left(\beta\right)=\frac{{\displaystyle\frac12}c}a%%

%%\beta=44,177^\circ%%

Addiere die zwei Winkel und subrahiere sie von der Winkelsumme im Dreieck .

%%\gamma=180^\circ-2\cdot44,177^\circ%%

%%\gamma=91,646^\circ%%

alternativ:

%%\cos\left(\frac12\gamma\right)=\frac{{\displaystyle\frac12}c}a%%

%%\frac12\gamma\approx45,8^\circ%%

%%\gamma=45,8^\circ\cdot2=91,6^\circ%%

oder:

%%\sin\left(\frac12\gamma\right)=\frac{h_c}a%%

%%\frac12\gamma\approx45,8^\circ%%

%%\gamma=2\cdot45,8^\circ=91,6^\circ%%

a = 114,5m

%%\alpha%% = 32,3°

Berechne die Seite c des Dreiecks:

Verwende den Cosinus , um die Basis des Dreiecks zu berechnen,

%%\cos\left(\alpha\right)=\frac{{\displaystyle\frac12}c}b%%

%%\left|\cdot b\right.%%

%%\cos\left(32,3^\circ\right)\cdot114,5m=\frac12c%%

%%\left|\cdot2\right.%%

%%2\cdot\left(\cos\left(32,3^\circ\right)\cdot114,5m\right)=c%%

%%c\approx193,565m%%

Berechne die Höhe des Dreiecks:

Verwende dafür den Sinus .

%%\sin\left(\alpha\right)=\frac{h_c}b%%

%%\left|\cdot b\right.%%

%%\sin\left(32,3^\circ\right)\cdot114,5m=h_c%%

%%h_c=61,183m%%

Berechne die zwei fehlenden Winkel mithilfe von Sinus oder Cosinus

%%\cos\left(\beta\right)=\frac{{\displaystyle\frac12}c}a%%

%%\beta=32,3^\circ%%

oder:

%%\sin\left(\beta\right)=\frac ha%%

%%\beta=32,3^\circ%%

Addiere die zwei Winkel und subtrahiere sie von der Winkelsumme im Dreieck .

%%\gamma=180^\circ-2\cdot32,3^\circ%%

%%\gamma=115,4^\circ%%

alternativ:

%%\cos\left(\frac12\gamma\right)=\frac{h_c}b%%

%%\frac12\gamma=57,25^\circ%%

%%\gamma=115,4^\circ%%

%%\sin\left(\frac12\gamma\right)=\frac{{\displaystyle\frac12}c}b%%

%%\frac12\gamma=57,25^\circ%%

%%\left|\cdot2\right.%%

%%\gamma=115,4^\circ%%

c = 35,4cm

%%\beta%% = 43,9°

Berechne die Seiten a und b des Dreiecks.

Verwende den Cosinus , um die zwei Katheten auszurechnen,

%%\cos\left(\beta\right)=\frac{{\displaystyle\frac12}c}a%%

%%\left|\cdot a;\;:\cos\left(\beta\right)\right.%%

%%a=\frac{{\displaystyle\frac12}\cdot35,4cm}{\cos\left(43,9^\circ\right)}%%

%%a=24,565cm=b%%

Berechne die Höhe des Dreiecks:

Verwende hierfür den Sinus .

%%\sin\left(\beta\right)=\frac{h_c}a%%

%%\left|\cdot a\right.%%

%%h_c=\sin\left(43,9^\circ\right)\cdot24,565cm%%

%%h_c=17,033cm%%

Berechne die zwei fehlenden Winkel mit Sinus oder Cosinus .

%%\cos\left(\alpha\right)=\frac{{\displaystyle\frac12}c}b%%

%%\alpha=43,9^\circ%%

oder:

%%\sin\left(\alpha\right)=\frac{h_c}b%%

%%\alpha=43,9^\circ%%

Addiere die zwei Winkel und subtrahiere sie von der Winkelsumme im Dreieck, um den letzen Winkel zu berechnen.

%%\gamma=180^\circ-2\cdot43,9^\circ%%

%%\gamma=92,2^\circ%%

alternativ:

%%\cos\left(\frac12\gamma\right)=\frac{h_c}b%%

%%\frac12\gamma=46,1^\circ%%

%%\left|\cdot2\right.%%

%%\gamma=92,2^\circ%%

%%\sin\left(\frac12\gamma\right)=\frac{{\displaystyle\frac12}c}b%%

%%\frac12\gamma=46,1^\circ%%

%%\left|\cdot2\right.%%

%%\gamma=92,2^\circ%%

%%h_c%% = 14,8cm

%%\alpha%% = 28,3°

Bereche die Seiten a und b des Dreiecks:

Verwende hierfür den Sinus .

%%\sin\left(\alpha\right)=\frac{h_c}b%%

%%\left|\cdot b;\;:\sin\left(\alpha\right)\right.%%

%%b=\frac{14,8cm}{\sin\left(28,3^\circ\right)}%%

%%b=31,218cm=a%%

Berechne die Seite c des Dreicks.

Verwende hierfür den Cosinus .

%%\cos\left(\alpha\right)=\frac{{\displaystyle\frac12}c}b%%

%%\left|\cdot b\right.%%

%%\cos\left(28,3^\circ\right)\cdot31,218cm=\frac12c%%

%%\left|\cdot2\right.%%

%%c=54,973cm%%

Berechne die fehlenden Winkel mithilfe von Cosinus oder Sinus ,

%%\cos\left(\beta\right)=\frac{{\displaystyle\frac12}c}a%%

%%\beta=28,3^\circ%%

oder:

%%\sin\left(\beta\right)=\frac{h_c}a%%

%%\beta=28,3^\circ%%

Addiere die zwei Winkel und subtrahiere sie von der Winkelsumme im Dreieck , um den letzten Winkel auszurechnen,

%%\gamma=180^\circ-2\cdot28,3^\circ%%

%%\gamma=123,4^\circ%%

alternativ:

%%\cos\left(\frac12\gamma\right)=\frac{h_c}b%%

%%\frac12\gamma=61,7^\circ%%

%%\left|\cdot2\right.%%

%%\gamma=123,4^\circ%%

oder:

%%\sin\left(\frac12\gamma\right)=\frac{{\displaystyle\frac12}c}b%%

%%\frac12\gamma=61,7^\circ%%

%%\left|\cdot2\right.%%

%%\gamma=123,4^\circ%%

a = 146,4m

%%h_c%% = 58,4m

Berechne den Winkel %%\alpha%% ..

Verwende hierfür den Sinus ,

%%\sin\left(\alpha\right)=\frac{h_c}b%%

%%\alpha=23,51^\circ%%

Berechne nun die Seite c mithilfe des Cosinus .

%%\cos\left(\alpha\right)=\frac{{\displaystyle\frac12}c}b%%

%%\left|\cdot b\right.%%

%%\frac12c=\cos\left(\alpha\right)\cdot b%%

%%\frac12c=134,25m%%

%%\left|\cdot2\right.%%

%%c=268,5m%%

Berechne die fehlenden Winkel mithilfe von Sinus oder Cosinus .

%%\cos\left(\beta\right)=\frac{{\displaystyle\frac12}c}a%%

%%\beta=23,51^\circ%%

oder:

%%\sin\left(\beta\right)=\frac{h_c}a%%

%%\beta=23,51^\circ%%

Addiere die zwei Winkel und subtrahiere sie von der Winkelsumme im Dreieck .

%%\gamma=180^\circ-2\cdot23,51^\circ%%

%%\gamma=132,98^\circ%%

alternativ:

%%\cos\left(\frac12\gamma\right)=\frac{h_c}b%%

%%\frac12\gamma=66,49^\circ%%

%%\left|\cdot2\right.%%

%%\gamma=132,98^\circ%%

oder:

%%\sin\left(\frac12\gamma\right)=\frac{{\displaystyle\frac12}c}b%%

%%\frac12\gamma=66,49^\circ%%

%%\left|\cdot2\right.%%

%%\gamma=132,98^\circ%%

Diese nicht maßstabsgetreue Skizze zeigt ein Trapez mit den Längen:
AD=7m,  DAB=DCB=CDA=90,  CAD=50,  ADE=55\overline{\mathrm{AD}}=7\mathrm m,\;\measuredangle\mathrm{DAB}=\measuredangle\mathrm{DCB}=\measuredangle\mathrm{CDA}=90^\circ,\;\measuredangle\mathrm{CAD}=50^\circ,\;\measuredangle\mathrm{ADE}=55^\circ
Berechne die rot markierte Strecke xx

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens

Tipp: Vorgehen rückwärts in Bildern:
Für diese Aufgabe musst du den Sinus und Kosinus im rechtwinkligen Dreieck sowie den Satz des Pythagoras verwenden können.

Strategie

Wenn du dir zuerst eine Strategie für die Lösung überlegen willst, gehst du am besten rückwärts vor:
Für die Berechnung der Strecke xx brauchst du z. B. alle anderen Streckenlängen in diesem Dreieck. Die Länge der Strecke BC\overline{BC} kennst du. Sie ist genauso lang wie die Strecke AD\overline{AD}, da sie gegenüberliegende Seiten in einem Rechteck sind. Das heißt, du musst noch BE\overline{BE} bestimmen.
Vorgehen rückwärts: Schritt 1
BE\overline{BE} kannst du berechnen, indem du die Strecke AB\overline{AB} von der langen Seite AE\overline{AE} abziehst. AE\overline{AE} kannst du mit Hilfe des Tangens im Dreieck ΔADE\Delta ADE berechnen. Für die Berechnung von AB\overline{AB} kannst du zum Beispiel den Tangens im Dreieck ΔACD\Delta ACD verwenden, da du weißt, dass DC\overline{DC} und AB\overline{AB} als gegenüberliegende Seiten im Rechteck gleich lang sind.
Vorgehen rückwärts: Schritt 2
Vorgehen rückwärts: Schritt 3

Lösung

Nun kennst du das Vorgehen "von hinten" und kannst es in genau umgekehrter Reihenfolge verwenden, um auf die Länge der Strecke xx zu kommen:
Berechnung von DC\overline{DC}
Verwende den Tangens im Dreieck ΔACD\Delta ACD mit dem dir bekannten Winkel CAD\measuredangle\mathrm{CAD} für die Berechnung von DC\overline{DC}:
tan(CAD)=GegenkatheteAnkathete=DCAD\tan(\measuredangle\mathrm{CAD})=\displaystyle\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}=\frac{\overline{DC}}{\overline{AD}}
Stelle nach der gesuchten Seite DC\overline{DC} um, indem du mit AD\overline{AD} multiplizierst.
DC=ADtan(CAD)\overline{DC}=\displaystyle\overline{AD}\cdot\tan(\measuredangle\mathrm{CAD})
Setze die Werte AD=7m\overline{\mathrm{AD}}=7\mathrm m und CAD=50\measuredangle\mathrm{CAD}=50^\circ ein.
DC=AB=7tan(50)8,34\overline{DC}=\overline{AB}=\displaystyle7\cdot\tan(50^\circ)\approx8,34

Berechnung von AE\overline{AE}
Verwende den Tangens im Dreieck ΔADE\Delta ADE für die Berechnung von AE\overline{AE}, da du ADE=55\measuredangle\mathrm{ADE}=55^\circ und AD=7\overline{AD}=7 kennst.
tan(ADE)=GegenkatheteAnkathete=ADAE\tan(\measuredangle\mathrm{ADE})=\displaystyle\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}=\frac{\overline{AD}}{\overline{AE}}
Stelle nach der gesuchten Seite AE\overline{AE} um, indem du mit AE\overline{AE} multiplizierst und durch tan(ADE)\tan(\measuredangle\mathrm{ADE}) teilst.
AE=ADtan(ADE)\overline{AE}=\displaystyle\frac{\overline{AD}}{\tan(\measuredangle\mathrm{ADE})}
Setze die Werte ein.
AE=7tan(55)10,00\overline{AE}=\displaystyle\frac{7}{\tan(55^\circ)}\approx 10,00

Berechnung von BE\overline{BE}
Nun kannst du BE\overline{BE} berechnen:
BE=AEAD=10,008,34=1,66m\overline{BE}=\overline{AE}-\overline{AD}=10,00-8,34=1,66\,m
Berechnung von xx
Jetzt kannst du die Länge von xx mit Hilfe des Satzes von Pythagoras ausrechnen. Dabei ist xx die Hypotenuse.
x2=BE2+BC2x^2=\displaystyle\overline{BE}^2+\overline{BC}^2
Stelle nach xx um, indem du die Wurzel ziehst.
x=BE2+BC2x=\displaystyle\sqrt{\overline{BE}^2+\overline{BC}^2}
Setze die Werte ein. Denke dabei daran, dass du BC=AD\overline{BC}=\overline{AD} verwenden kannst, da es sich um gegenüberliegende Seiten im Rechteck handelt.
x=1,662+727,19mx=\displaystyle\sqrt{1,66^2+7^2}\approx7,19\,m

Die Strecke xx ist 7,19m7,19 \, m lang.
Hier gibt es, wie sehr oft, nicht nur einen möglichen Lösungsweg. Zum Beispiel kannst du mit einem weiteren Zwischenschritt statt dem Tangens auch den Sinus oder Kosinus verwenden.
Diese nicht maßstabsgetreue Skizze zeigt ein Drachenviereck ABCDABCD mit Symmetrieachse ACAC und den Maßen: a=7  cm\mathrm a=7\;\mathrm{cm}, c=6  cm\mathrm c=6\;\mathrm{cm}, DB=10  cm\overline{\mathrm{DB}}=10\;\mathrm{cm}
Berechne die Winkel α,β\alpha,\beta und γ\gamma.
Diese nicht maßstabsgetreue Skizze zeigt ein Rechteck mit den Seitenlängen a=5,0  cm\mathrm a=5,0\;\mathrm{cm} und b=7,0  cm\mathrm b=7,0\; \mathrm{cm}.
Berechne den Winkel α\alpha.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus

Zunächst rechnen wir die Strecke von A nach C aus und erhalten dadurch ein rechtwinkliges Dreieck. AC=b2+a2AC=(7cm)2+(5cm)2AC=74cm\begin{array}{rcl} \overline{AC} &=& \sqrt{b^2 + a^2}\\ \overline{AC} &=& \sqrt{(7\text{cm})^2 + (5\text{cm})^2} \\ \overline{AC} &=& \sqrt{74}\text{cm} \end{array}
Um den Winkel α\alpha auszurechen, teilen wir die Strecke von AA nach CC und die Strecke von AA nach BB jeweils durch 2.2. Somit können wir den Sinus anwenden um α2\dfrac{\alpha}{2} auszurechnen. Danach multiplizieren wir den ausgerechneten Winkel mit 22 und erhalten den gesuchten Winkel α\alpha.
AB2=5cm2=2,5cmAC2=742cmsin(α2)=AB2AC2=2,5742α=2sin1(2,5742)71°\displaystyle \dfrac{\overline{AB}}{2} = \dfrac{5\text{cm}}{2} = 2,5\text{cm}\\ \dfrac{\overline{AC}}{2} = \dfrac{\sqrt{74}}{2}\text{cm}\\\\ \sin(\frac{\alpha}{2}) = \dfrac{\frac{\overline{AB}}{2}}{\frac{\overline{AC}}{2}} = \dfrac{2,5}{\frac{\sqrt{74}}{2}}\\\\ \alpha = 2\cdot \sin^{-1}(\frac{2,5}{\frac{\sqrt{74}}{2}}) \approx 71°
Diese Skizze zeigt ein nicht maßgetreues, rechtwinkliges Dreieck mit der Höhe h=8cmh=8\,\mathrm{cm} und den Winkeln α=65\mathrm\alpha=65^\circ und β=80\beta=80^\circ.
Berechne die Seitenlängen aa und bb.a=tan(α)ha=tan(65)8cma=17,16cmb=tan(β)hb=tan(80)8cmb=45,37cm\begin{array}{l}a=\tan\left(\alpha\right)\cdot h\\a=\tan\left(65^\circ\right)\cdot8\,\mathrm{cm}\\a=17{,}16\,\mathrm{cm}\\\\b=\tan\left(\beta\right)\cdot h\\b=\tan\left(80^\circ\right)\cdot8\,\mathrm{cm}\\b=45{,}37\,\mathrm{cm}\end{array}

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Bei Aufgabe 19/20 gibt es keine Lösungen
metzgaria 2017-06-16 11:40:41+0200
Vielen Dank für den Hinweis!
ismail 2018-05-26 13:21:51+0200
Hallo, ich habe die Aufgabe NO 19 so gelöst
Also, zuerst die zwie Diagonalen AC und BD schneiden sich gegeseitig,und jede Diagonale teilt die andere in zwei gleich lange Strecken.
wir nennen die Mittelpukt als M ( M ist die Punkte, wo die beiden Diagonalen sich schneiden)
jetzt möchten wie die Länge der Diagonale AC rechnen
wir nennen die Digonale AC als e
und wir nennen die Digonale BD als f
also, e=Diagonale AC,
und f= Diagonlae BD
jetzt gilt
a^2+b^2=e^2, rechwinkliges Dreieck ACD
5^2+7^2=74
74=e^2
e=quadratische Wurzel aus 74=8,6 ungefähr
e=8,6 ungefähr.
und das gilt auch für f = e = 8,6
a^2+b^2=f^2
also f = 8,6
jetzte haben wir das Rechteck ACD wollen wir den Winkel DAC rechnen
wir nennen den rechtwinkliges Winkel DAC= β
Gegeben ist
a= 5 Ankathete
b= 7 Gegekathete
e= 8,6 Hypotenuse
Sins β=Gegekathete/ Hypotenuse
Sins β= b / e
Sins β= 7/8,6 = 0.814
β=54,5 ungefähr.
oder
cosinus β= Ankathete / Hypotenuse
cosinus β=5 / 8,6=0,58 eungefähr
β= 54,5 das gleiche.

die Diagonale BD schneidet die Diagonle AC(e) in zwei gleich lange strecken.
also die Diagonale AC /2=4,3
AC= 8,6
8,6/2=4,3
M= die Mittelpukt des Rechhtecks ABCD
. auch die Diagonale AC schneidet die Diagonle BD in zwei gleich lange strecken.
BD= 8,6
BD/2=4,3
M= MIttelpunkt beider Diagonalen.
also Strecke CM=4,3
Strecke AM=4,3
Strecke DM=4,3
Strecke BM=4,3
jetzt haben wir das Dreieck CDM mit dem Spitze α
und wollen α rechnen
hier haben wir schon den Winkel β =54,5 und die Gegeüberliegende Seite von β (Strecke DM)=4,3
wie nennen die Strecke DM als x
also x = DM = 4,3
also hier gilt das Gesetzt x/Sinus β = a/ sinus α
x= 4,3
a=5
also 4,3/Sinus β = 5/ sinus α //// * sinus α
sinus α* (4,3/sinus β) = 5 //// geteilt durch (4,3/sinus β)
sinus α = 5/ (4,3/sinus β) /// mit dem Kehrwert mutiplizieren
sinus α =5 *(sinus β /4,3)
β = 54,5 /// setzten 54,5 in gleichung ein
sinus α =5 *(sinus 54,4 /4,3)
sinus α=0,95 ungefähr
α =71,.
180 -α - β =54,5
180-71-54,5=54,5
54,5+54.5+71=180.
also das Dreick CDM ist ein gleichschenklieg Dreieck
man kann auch zur Probe mit Dreieck den wunkel β messen.
Hoffentlich ist es klar.




jetzt haben wir das Dreieck CDM
ismail 2018-05-26 16:28:33+0200
die Lösung für Aufgabe 20 lautet
α=65
β=80
β-α=15
h=8
Summer der Innnenwinkel=180
wir bezeichnen die beiden Winkel, die an die Seite a Liegen als
δ , γ
also
α+δ + γ=180
δ =90
γ= 180-α-δ
γ=180-(65+90)
γ=25
h=8
//// dieses Gesetzt gilt auch für nicht rechtwinklges Dreick ,
Es gilt h/sinus(γ) = a/ sinus(α)
h/sinus(25)= a/sins(65) ///*sinus(65)
sinus(65)* ( 8/sinus(25) )=a
17,15 =a ungefähr
a= 17,15
hier haben wir aber ein rechtwinkliges Dreieck , daher können wir sinus benutzten , also
sinus (γ) =Gegekathete/ Hypotenuse
wir bezeichnen die Hypontenuse als X
sinus (γ) =h/x
sinus (25) =8/x /// *x
x*sinus(25)=8 /// geteilt duch sinus(25)
X=18,9
jetzt rechnen wir a
tang(y)= Gegekathete/Ankathete
tang(25)=8/a /// *a
a* tang(25)=8 /// geteilt duch tang(25)
a= 8 / ( tang(25) )=17,15 /// gas gleiche wie oben mit dem anderen gesetz
also
a=17,15
h=8
X=18,9

Hypotenuse kann man auch mit dem satz des pythagoras
also

jetzt h^2+a2 = x^2
8^2+17,15^2=x^2
358,122=X^2
quadratisch Wurzel aus 358,122=18,9= x
x=18,9 /// dsa gleiche

jetzt rechen wir b
zuerst möchte wir die neben Winkel von γ rechnen
γ=25
Y+Nebenwinkel= 180
also 180-γ
180-25=155= Nebenwinkel
wir bezeichnen den Nebenwinkel vov y als σ
also σ =155= Nebenwinkel von γ
jetzt haben wir das rechte dreiek, und wir haben schon zwei Winkel,
nämlich
1) β-α=15 , wir bezeichnen der winkel 15 als ε
2) nebenwinkel von γ =σ=155
ε=15
σ=155
hier sieht man dass , das Dreick ist kein rechteck.
Summer der innen winkel = 180
180 -(ε+σ)
180-(15+155)
180-170=10
wir bezeichne dieser 10 als Winkel η
n= 10
also
η+σ+ ε= 180
jetzt haben wir schon
ε=15
σ=155
n= 10
x=18,9

,jetzt lautet das Gestetz
x /sinus(η) = b/sinus(ε)
18,9 /sinus(10) = b/sinus(15) //// * sinus(15)
sinus(15) * ( 18,9 /sinus(10) )= b
28,17 =b
also b =28,17
a+b
17,15+28,17= 45,32
man kann auch so rechnen
das größe Dreickeck insgesamt
glit: h/sinus(η) =(a+b)/ sinus(β) //// jede Seite durch sinus von ihre gegeüberliegende Winkel ////
8/sinus(10) =(a+b)/ sinus(80) ///* sinus(80)
sinus(80) * 8/sinus(10)= (a+b)
45,32=a+b
b= 45,32-a
b=45,32-17.15
b=28,17









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Zu topic-folder Aufgaben zum Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck: Die Lösungen einiger Aufgaben nochmal anschauen und überarbeiten
Nish 2016-05-13 15:44:05+0200
Bei vielen Aufgaben indiesem Ordner sind die Überschriften von einigen Lösungen immer noch nach dem alten Schema mit "Artikel zum Thema" verlinkt. Bitte die Überschriften direkt verlinken.
Die Lösungen sollten auch korrekturgelesen werden.

LG,
Nish

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xxhennixx 2015-09-14 20:25:47+0200
Eigentlich sehr schöne Aufgaben die hier gestellt wurden, doch bei Teilaufgabe 1 b) bin ich etwas ins rätseln gekommen.
Hier wird der Winkel Beta mit Hilfe der Tangensfunktion berechnet, jedoch bedeutet Tangens: Gegenkathete: Ankathete. D.h. in diesem Fall b:c, doch c ist uns n diesem Fall nicht gegeben und c ist auch nicht die Hypotenuse. -- Tangens kann gar nicht verwendet werden, ich würde hierbei Sinus verwenden. Dasselbe spielt bei der Berechnung von c eine Rolle, der Satz des Pythagoras ist in dieser Form nicht richtig angewendet, da c nicht die Hypotenuse ist!
Bitte schauen sie sich das nocheinmal an. Vielen Dank im voraus und es tut mir leid falls ich falsch liege, jedoch scheint mir das ziemlich logisch. MfG
Nish 2015-09-16 12:11:21+0200
Hallo xxhennixx,

danke für Ihren Beitrag/Hinweis, sie haben vollkommen recht. Hier wurde ein Fehler gemacht. Falls Sie noch andere Fehler entdecken, wäre es schön, wenn sie das hier wieder mitteilen könnten oder wenn Sie möchten auch gleich selbst verbessern.
Wie das geht, können Sie auf unseren Hilfeseiten nachlesen (https://de.serlo.org/hilfe-startseite bzw. https://de.serlo.org/community-funktionen).
Ich schaue mir aus Zeitgründen nur die Teilaufgabe 1b an und verbessere sie gleich.
Wenn Sie sonst noch Fragen zu Serlo allgemein oder zu technischen Anwendungen haben, können Sie jederzeit eine Diskussion hier oder auf meinem Profil hinterlassen hinterlassen.

Liebe Grüße,
Nish
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