Die verschiedenen Abbildungen im Koordinatensystem können ohne Problem hintereinander ausgeführt werden.

Häufige Verknüpfungen

Jegliche Abbildungen in der Ebene können miteinander verknüpft werden. In diesem Artikel werden nur die häufigsten behandelt.

Hierbei wird der Punkt %%B_n%% zuerst um den Winkel %%\alpha%% um den Punkt %%A%% auf %%B'%% gedreht und dann um den Faktor %%k%% auf den Punkt %%C_n%% gestreckt. Rechnerisch erreicht man dies, indem man zuerst die Drehung und dann die Streckung ausführt.

Drehung und Streckung

%%\begin{pmatrix} x_{B'}\\ y_{B'} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos{\alpha}& -\sin{\alpha}\\ \sin{\alpha} & \cos{\alpha} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x_{B_n}\\ y_{B_n} \end{pmatrix}%%

%% \begin{pmatrix} x_{C_n}\\ y_{C_n} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_{B'}\\ y_{B'} \end{pmatrix} %%

Hierbei wird der Punkt %%A%% an der roten Ursprungsgeraden gespiegelt und anschließend um den grünen Winkel um das Zentrum %%Z%% auf %%Z'%% gedreht.

Bild

%%\begin{pmatrix} x_{A'}\\ y_{A'} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos{2\alpha} & \sin{2\alpha}\\ \sin{2\alpha} & -\cos{2\alpha} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_A\\ y_A \end{pmatrix}%%

%%\begin{pmatrix} x_{Z'}\\y_{Z'} \end{pmatrix} = \left( \begin{array}{…} \cos\alpha\ \ -\sin \alpha \\ \sin\alpha \ \ \ \ \ \ \cos \alpha \end{array} \right) \cdot \overrightarrow{ZA'} + \overrightarrow{OZ}%%

Beispiel

Spiegle den Punkt %%A(1|4)%% an der Gerade %%g: \frac12x%% und drehe ihn anschließend um %%30°%% um das Zentrum %%Z(2|3)%%.

%%\begin{pmatrix} x_{A'}\\ y_{A'} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac35 & \frac45\\ \frac45& -\frac35 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3,8 \\-1,6 \end{pmatrix}%%

%%\begin{pmatrix} x_{Z'}\\y_{Z'} \end{pmatrix} = \left( \begin{array}{…} \frac{\sqrt3}{2} \ -\frac{1}{2} \\ \frac12 \ \ \ \ \ \ \frac{\sqrt3}{2} \end{array} \right) \cdot \begin{pmatrix} 3,8-2 \\ -1,6-3 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1,86 \\ 6,08 \end{pmatrix}%%

Hierbei wird zuerst %%A%% um den Vektor %%v%% auf %%C%% verschoben und dann um den Faktor %%k%% auf %%D%% gestreckt.

Parallelverschiebung und zentrische Streckung

$$\begin{pmatrix} x_C\\ y_C \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 &0\\ 0& 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_A\\ y_A\\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} v_x\\ v_y \end{pmatrix}$$

%% \begin{pmatrix} x_D\\ y_D \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_{C}\\ y_{C} \end{pmatrix} %%

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