Um eine Ebene von Koordinatenform in die entsprechende Normalform umzuwandeln, liest man die Einträge des Normalenvektors %%\overrightarrow n%% aus den Koeffizienten der Koordinaten %%x_1,\;x_2%% und %%x_3%% in der Koordinatenform ab und wählt die Einträge von %%\overrightarrow a%% als die Koordinaten eines beliebigen Punktes, der die Koordinatengleichung erfüllt.
Koordinatenform
Normalform
$$E:a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3-b=0$$
$$E:\overrightarrow n\circ\left[\overrightarrow x-\overrightarrow a\right]=0$$
Vorgehen am Beispiel
- Koordinatenform der Ebene E
%%E:x_1+x_2-x_3+1=0%%
Einträge des Normalenvektors bestimmen
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von %%x_1%%, %%x_2%% und %%x_3%% überein.
$$E:1\cdot x_1+1\cdot x_2+\left(-1\right)\cdot x_3+1=0$$
$$\vec n=\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}$$
- beliebigen Punkt mit Ortsvektor %%\vec a%% suchen, dessen Koordinaten die Ebenengleichung in Koordinatenform erfüllen
z.B.: %%\vec a=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}%%
- %%\vec n\;\mathrm{und}\;\vec a%% in die allgemeine Normalform einsetzen
$$\vec a=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\;,\;\vec n=\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\;,\;E:\vec n\circ\left[\vec x-\vec a\right]=0$$
- Normalform der Ebene E
$$E:\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right]=0$$
