Um eine Ebene von Koordinatenform in die entsprechende Normalform umzuwandeln, liest man die Einträge des Normalenvektors %%\overrightarrow n%% aus den Koeffizienten der Koordinaten %%x_1,\;x_2%% und %%x_3%%  in der Koordinatenform ab und wählt die Einträge von %%\overrightarrow a%% als die Koordinaten eines beliebigen Punktes, der die Koordinatengleichung erfüllt.

Koordinatenform

Normalform

$$E:a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3-b=0$$

$$E:\overrightarrow n\circ\left[\overrightarrow x-\overrightarrow a\right]=0$$

Vorgehen am Beispiel

  • Koordinatenform der Ebene E

%%E:x_1+x_2-x_3+1=0%%

  • Einträge des Normalenvektors bestimmen

  • Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von %%x_1%%, %%x_2%% und %%x_3%% überein.

$$E:1\cdot x_1+1\cdot x_2+\left(-1\right)\cdot x_3+1=0$$

$$\vec n=\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}$$

  • beliebigen Punkt mit Ortsvektor %%\vec a%% suchen, dessen Koordinaten die Ebenengleichung in Koordinatenform erfüllen

z.B.:   %%\vec a=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}%%

  • %%\vec n\;\mathrm{und}\;\vec a%%  in die allgemeine Normalform einsetzen

$$\vec a=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\;,\;\vec n=\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\;,\;E:\vec n\circ\left[\vec x-\vec a\right]=0$$

  • Normalform der Ebene E

$$E:\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right]=0$$

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