Neben der definierenden Eigenschaft, dass lineare Abbildungen sich gut mit der zugrundeliegenden Vektorraumstruktur vertragen, können lineare Abbildungen auch über folgende Eigenschaft charakterisiert werden:
Lineare Abbildungen sind genau die Abbildungen, die Linearkombinationen auf Linearkombinationen abbilden.
Dies ist eine wichtige Eigenschaft, weil über Linearkombinationen wichtige Struktureigenschaften von Vektoren wie die lineare Unabhängigkeit oder das Erzeugendensystemen definiert werden. Auch die Definition der Basis gründet sich auf den Begriff der Linearkombination. Den Zusammenhang zu den Linearkombinationen erkennt man, wenn man sich die beiden charakteristischen Gleichungen linearer Abbildungen anschaut:
f(v1+v2)=f(v1)+f(v2)f(λv)=λf(v)\begin{array}{c l} f(v_1 + v_2) & = f(v_1) + f(v_2) \\ f(\lambda \cdot v) & = \lambda \cdot f(v) \end{array}
Wir können auf eine Linearkombination wie 3u+5w2z3\cdot u + 5\cdot w -2 \cdot z für Vektoren uu,ww und zz aus VV die beiden obigen Formeln schrittweise anwenden. So können wir diese Linearkombination aus der Funktion schrittweise „herausziehen“:
f(3u+5w2z) Additivita¨t von f=f(3u)+f(5w2z) Additivita¨t von f=f(3u)+f(5w)+f(2z) Homogenita¨t von f=3f(u)+5f(w)2f(z)\displaystyle \begin{array}{c l} & f(3\cdot u + 5\cdot w -2 \cdot z) \\[0.3em] & {\color{208000}\left\downarrow\ \text{Additivität von } f \right.} \\[0.3em] = & f(3\cdot u) + f(5\cdot w -2 \cdot z) \\[0.3em] & {\color{208000}\left\downarrow\ \text{Additivität von } f \right.} \\[0.3em] = & f(3\cdot u) + f(5\cdot w) + f(-2 \cdot z) \\[0.3em] & {\color{208000}\left\downarrow\ \text{Homogenität von } f \right.} \\[0.3em] = & 3\cdot f(u) + 5\cdot f(w) -2 \cdot f(z) \end{array}
Die Linearkombination 3u+5w2z3\cdot u + 5\cdot w -2 \cdot z wird durch ff auf 3f(u)+5f(w)2f(z)3\cdot f(u) + 5\cdot f(w) -2 \cdot f(z) abgebildet und bleibt damit in ihrer Struktur erhalten. Ähnlich verhält es sich bei anderen Linearkombinationen. Denn durch die Eigenschaft f(v1+v2)=f(v1)+f(v2)f(v_1 + v_2) = f(v_1) + f(v_2) sind Summen und durch die Eigenschaft f(λv)=λf(v)f(\lambda \cdot v) = \lambda \cdot f(v) sind skalare Multiplikationen herausziehbar. Wir erhalten damit folgende alternative Charakterisierung der linearen Abbildung:
Satz: Eine Abbildung f:VWf:V\to W zwischen zwei KK-Vektorräumen VV und WW ist genau dann eine lineare Abbildung, wenn sie Linearkombinationen erhält. Sprich: Jede lineare Abbildung bildet die Linearkombination von Elementen auf die Linearkombination von den Bildern der Elemente ab. Formal bedeutet das, dass für endlich viele v1,,vnVv_1,\dots,v_n \in V und λ1,,λnK\lambda_1,\dots,\lambda_n \in K gilt:

f(i=1nλiVvi)=i=1nλiWf(vi)f \left( \sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot_{{}_V} v_i \right) =\sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot_{{}_W} f \left( v_i \right)
Wir wollen zeigen, dass für alle viV v_i \in V und λiK\lambda_i \in K gilt: f(i=1nλiVvi)=i=1nλiWf(vi)    f f\bigg(\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}\cdot_{V}v_{i}\bigg) = \sum_{i=1}^{n}\lambda_{i} \cdot_{W}f(v_{i}) \iff f ist eine lineare Abbildung.

Wir wissen aus der Definition der linearen Abbildung, dass für diese die Eigenschaften der Additivität und Homogenität gelten, welche wir uns zu Nutze machen.

Für die Richtung von links nach rechts des Beweises wählen wir 2 Linearkombinationen so, dass wir durch Einsetzen in die obige Formel die zwei Eigenschaften erhalten.

Für die Rückrichtung wissen wir, dass f eine lineare Abbildung ist. Wir können durch vollständige Induktion zeigen, dass obige Formel für alle Elemente gilt. Dabei reduzieren wir die Linearkombination auf einzelne Additionen und Skalarmultiplikationen, auf die wir die Additivität und Homogenität anwenden können.
Beweisschritt 1(v1,,vnVλ1,,λnK:f(i=1nλiVvi)=i=1nλiWf(vi))    f \left(\forall v_1,\dots,v_n \in V\,\forall\lambda_1,\dots,\lambda_n \in K:\,f\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot_{{}_V} v_i \right) =\sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot_{{}_W} f \left( v_i \right)\right)\implies f ist eine lineare Abbildung.

Seien v,v1,v2Vv,v_1,v_2 \in V und λK \lambda \in K. Die beiden Terme v1+v2v_1+v_2 und λv\lambda \cdot v sind zwei Linearkombinationen in VV. Wenn wir diese in die Formel f(i=1nλiVvi)=i=1nλiWf(vi)f \left( \sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot_{{}_V} v_i \right) =\sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot_{{}_W} f \left( v_i \right) einsetzen, so erhalten wir

f(v1+v2)=f(v1)+f(v2)f(λv)=λf(w) \begin{array}{c l} f(v_1 + v_2) & = f(v_1) + f(v_2) \\[0.5em] f(\lambda \cdot v) & = \lambda \cdot f(w) \end{array}

Damit erfüllt ff die Definition einer linearen Abbildung.
Beweisschritt 2
ff ist eine lineare Abbildung     (v1,,vnVλ1,,λnK:f(i=1nλiVvi)=i=1nλiWf(vi)) \implies \left(\forall v_1,\dots,v_n \in V\,\forall\lambda_1,\dots,\lambda_n \in K:\,f\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot_{{}_V} v_i \right) =\sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot_{{}_W} f \left( v_i \right)\right).

Sei ff eine lineare Abbildung. Wir beweisen die Gleichung mit vollständiger Induktion über nn:

Wir zeigen für nNn\in\N, dass v1,,vnVλ1,,λnK:f(i=1nλiVvi)=i=1nλiWf(vi) \forall v_1,\dots,v_n \in V\,\forall\lambda_1,\dots,\lambda_n \in K:\,f \left( \sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot_{{}_V} v_i \right) =\sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot_{{}_W} f \left( v_i \right)

Induktionsanfang: Wir fangen die Induktion bei n=1n=1 an und stellen fest, dass hierfür die Eigenschaft der Homogenität ausreicht:

f(λ1Vv1) Homogenita¨t von f=λ1Wf(v1)\begin{array}{c l} & f \left( \lambda_1 \cdot_{{}_V} v_1 \right) \\[0.3em] & {\color{208000} \left\downarrow\ \text{Homogenität von } f \right.} \\[0.3em] = & \lambda_1 \cdot_{{}_W} f \left( v_1 \right) \end{array}

Induktionsvoraussetzung: v1,,vnVλ1,,λnK:f(i=1nλiVvi)=i=1nλiWf(vi) \forall v_1,\dots,v_n \in V\,\forall\lambda_1,\dots,\lambda_n \in K:\,f \left( \sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot_{{}_V} v_i \right) =\sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot_{{}_W} f \left( v_i \right)

Induktionsbehauptung: v1,,vn,vn+1Vλ1,,λn,λn+1K:f(i=1n+1λiVvi)=i=1n+1λiWf(vi)\forall v_1,\dots,v_n,v_{n+1} \in V\,\forall\lambda_1,\dots,\lambda_n,\lambda_{n+1} \in K:\,f \left( \sum_{i=1}^{n+1} \lambda_i \cdot_{{}_V} v_i \right) =\sum_{i=1}^{n+1} \lambda_i \cdot_{{}_W} f \left( v_i \right)

Induktionsschritt: Seien v1,,vn+1Vv_1,\dots,v_{n+1} \in V und λ1,,λn+1K\lambda_1,\dots,\lambda_{n+1} \in K. Dann
f(i=1n+1λiVvi) Summe aufteilen=f((i=1nλiVvi)+V(λn+1Vvn+1)) Additivita¨t von f=f(i=1nλiVvi)+Wf(λn+1Vvn+1) Homogenita¨t von f=f(i=1nλiVvi)+W(λn+1Wf(vn+1)) Induktionsannahme=(i=1nλiWf(vi))+W(λn+1Wf(vn+1)) Summe zusammenfassen=i=1n+1λiWf(vi)\begin{array}{c l} & f \left( \sum_{i=1}^{n+1} \lambda_i \cdot_{{}_V} v_i \right) \\[0.5em] & {\color{208000} \left\downarrow\ \text{Summe aufteilen} \right.} \\[0.5em] = & f \left( \left( \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \cdot_{{}_V} v_i \right) +_{{}_V} \left( \lambda_{n+1} \cdot_{{}_V} v_{n+1} \right) \right) \\[0.5em] & {\color{208000} \left\downarrow\ \text{Additivität von } f \right.} \\[0.5em] = & f \left( \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \cdot_{{}_V} v_i \right) +_{{}_W} f\left( \lambda_{n+1} \cdot_{{}_V} v_{n+1} \right) \\[0.5em] & {\color{208000} \left\downarrow\ \text{Homogenität von } f \right.} \\[0.5em] = & f \left( \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \cdot_{{}_V} v_i \right) +_{{}_W} \left( \lambda_{n+1} \cdot_{{}_W} f\left( v_{n+1} \right) \right) \\[0.5em] & {\color{208000} \left\downarrow\ \text{Induktionsannahme} \right.} \\[0.5em] = & \left( \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \cdot_{{}_W} f \left( v_i \right) \right) +_{{}_W} \left( \lambda_{n+1} \cdot_{{}_W} f\left( v_{n+1} \right) \right) \\[0.5em] & {\color{208000} \left\downarrow\ \text{Summe zusammenfassen} \right.} \\[0.5em] = & \sum_{i=1}^{n+1} \lambda_i \cdot_{{}_W} f \left( v_i \right) \end{array}
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