In einem Land der Dritten Welt leiden 1% der Menschen an einer bestimmten Infektionskrankheit. Ein Test zeigt die Krankheit bei den tatsächlich Erkrankten zu 98% korrekt an. Leider zeigt der Test auch 3% der Gesunden als erkrankt an.

Stellen Sie den Sachzusammenhang in einer 4-Feldtafel da. Verwenden Sie die Ereignisse (mit ihren Gegenereignissen):

K: Die getestete Person ist krank.

T: Testergebnis ist positiv (Person wurde als krank getestet).

Definiere Ereignisse

Definiere die Ereignisse, die in der Aufgaben genannt wurden.

  • %%K%%: Die Person ist krank
  • %%\overline K%%: Die Person ist gesund
  • %%T%%: Der Test fällt bei der Person positiv aus (Nach Aussage des Tests sei Person krank)
  • %%\overline T%%: Der Test fällt bei der Person negativ aus (Nach Aussage des Tests sei Person gesund)

Berechne Wahrscheinlichkeiten

Entnehme der Aufgabenstellung bekannte Wahrscheinlichkeiten.

Informationen aus Aufgabenstellung

In einem Land der Dritten Welt leiden 1% der Menschen an einer bestimmten Infektionskrankheit. Ein Test zeigt die Krankheit bei den tatsächlich Erkrankten zu 98% korrekt an. Leider zeigt der Test auch 3% der Gesunden als erkrankt an.

Gib die Wahrscheinlichkeit an, mit der eine zufällig ausgewählte Person erkrankt ist.

%%P(K) = 0,01%%
%%P(\overline K) = 0,99%%

Gib die Wahrscheinlichkeit an, mit der eine Person erkrankt ist und bei ihr der Test positiv ausfällt.

%%P(K \cap T) = 0,01 \cdot 0,98 = 0,0098%%

Gib die Wahrscheinlichkeit an, mit der eine Person gesund ist und bei ihr der Test trotzdem positiv ausfällt.

%%P(\overline K \cap T) = 0,99 \cdot 0,03 = 0,0297%%

Zeichne eine Vierfeld-Tafel

$$\begin{array}{c|c|c|c} \ &\quad \mathrm{K}\quad & \quad \mathrm{\overline K}\quad & \ \\ \hline \mathrm{T} & & & \\ \hline \mathrm{\overline T} & & & \\ \hline \ & & & 1 \\ \end{array}$$

Trage die eben berechneten Informationen als Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeld-Tafel ein.

Beachte, dass sich die Wahrscheinlichkeiten insgesamt zu 1 addieren.

$$\begin{array}{c|c|c|c} \ &\quad \mathrm{K}\quad & \quad \mathrm{\overline K}\quad & \ \\ \hline \mathrm{T} & 0,0098 & 0,0297 & \\ \hline \mathrm{\overline T} & & & \\ \hline \ & 0,01 & 0,99& 1 \\ \end{array}$$

Berechne die fehlenden Informationen.

$$\begin{array}{c|c|c|c} \ &\quad \mathrm{K}\quad & \quad \mathrm{\overline K}\quad & \ \\ \hline \mathrm{T} & 0,0098 & 0,0297 & 0,0395 \\ \hline \mathrm{\overline T} & 0,0002 & 0,9603 & 0,9605 \\ \hline \ & 0,01 & 0,99& 1 \\ \end{array}$$

Zeichnen Sie das Baumdiagramm und den inversen Baum. Bestimmen Sie alle Pfadwahrscheinlichkeiten.

Zeichne das Baumdiagramm

Berechne alle Pfadwahrscheinlichkeiten

Verwende die Vierfeldtafel, um alle Pfadwahrscheinlichkeiten anzugeben oder gegebenenfalls zu berechnen.

$$\begin{array}{c|c|c|c} \ &\quad \mathrm{K}\quad & \quad \mathrm{\overline K}\quad & \ \\ \hline \mathrm{T} & 0,0098 & 0,0297 & 0,0395 \\ \hline \mathrm{\overline T} & 0,0002 & 0,9603 & 0,9605 \\ \hline \ & 0,01 & 0,99& 1 \\ \end{array}$$

Lese alle benötigten Wahrscheinlichkeiten aus der Vierfeldtafel ab.

  • %%P(K) = 0,01%%

  • %%P(\overline K) = 0,99%%

  • %%P(T) = 0,0395%%

  • %%P(\overline T) = 0,9605%%

  • %%P(K \cap T) = 0,0098%%

  • %%P(K \cap \overline T) = 0,0002%%

  • %%P(\overline K \cap T) = 0,0297%%

  • %%P(\overline K \cap \overline T) = 0,9603%%

Berechne nun die bedingten Wahrscheinlichkeiten, die du für das Baumdiagramm benötigst.

  • %%P_K (T) = \frac{P(K \cap T )}{P(K)} = \frac{0,0098}{0,01} = 0,98%%

  • %%P_K (\overline T) = \frac{P(K \cap \overline T )}{P(K)} = \frac{0,0002}{0,01} =0,02%%

  • %%P_{\overline K} (T) = \frac{P(\overline K \cap T )}{P(\overline K)} = \frac{0,0297}{0,99} = 0,03%%

  • %%P_{\overline K} (\overline T) = \frac{P(\overline K \cap \overline T )}{P(\overline K)} = \frac{0,9603}{0,99} = 0,97%%

  • %%P_T (K) = \frac{P(K \cap T )}{P(T)} = \frac{0,0098}{0,0395} = 0,2481%%

  • %%P_T (\overline K) = \frac{P(\overline K \cap T )}{P(T)} = \frac{0,0297}{0,0395} = 0,7519%%

  • %%P_{\overline T} (K) = \frac{P(K \cap \overline T )}{P(\overline T)} =\frac{0,0002}{0,9605} = 0,000208%%

  • %%P_{\overline T} (\overline K) = \frac{P(\overline K \cap \overline T )}{P(\overline T)} = \frac{0,9603}{0,9605} = 0,999792%%

Zeichne das Baumdiagramm

Zeichne nun mit den ermittelten Pfadwahrscheinlichkeiten das Baumdiagramm.
Ordne dabei die Ereignisse in der Reihenfolge "krank" - "nicht krank" und "Test positiv" - "Test negativ" an.

Zeichne das inverse Baumdiagramm

Zeichne nun mit den ermittelten Pfadwahrscheinlichkeiten das inverse Baumdiagramm.
Ordne dabei die Ereignisse in der Reihenfolge "Test positiv" - "Test negativ" und "krank" - "nicht krank" an.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit zeigt der Test bei einer zufällig ausgewählten Person ein positives Ergebnis?

Berechne die Wahrscheinlichkeit, mit der der Test bei einer zufällig ausgewählten Person ein positives Ergebnis zeigt.

Betrachte das Baumdiagramm.

Summiere die Pfadwahrscheinlichkeiten %%P(K \cap T)%% und %%P(\overline K \cap T)%%.

%%P(K \cap T) + P(\overline K \cap T) = 0,0098 + 0,0297 = 0,0395%%

Rechne in Prozent um.

%%=3,95\%%%

Ergebnis

Bei einer zufällig ausgewählten Person zeigt der Test mit einer Wahrscheinlichkeit von 3,95 % ein positives Ergebnis an.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine positiv getestete Person auch tatsächlich krank? Kommentieren Sie das Ergebnis.

Lese die bedingte Wahrscheinlichkeit ab

Ermittle die Wahrscheinlichkeit, mit der eine Person auch tatsächlich krank ist, wenn bekannt ist, dass der Test bei ihr positiv war.

Betrachte das Baumdiagramm.

Betrachte den Pfad %%T%% und lese die bedingte Wahrscheinlichkeit %%P_T{K} = \frac{P(T\cap K)}{P(T)} = 0,2481%% ab.

Ergebnis

Eine Person, von der bekannt ist, dass der Test positiv ausgefallen ist, ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 24,81 % auch tatsächlich krank.

Kommentar: Das Ergebnis von ca. 25% ist nicht zufriedenstellend. Nur 25% aller positiv getesteten sind tatsächlich erkrankt. Das bedeutet, dass ca. 75% der positiv getesteten gesund sind. Es wäre wünschenswert, dass der Test verbessert wird.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine als negativ getestete Person gesund? Kommentieren Sie das Ergebnis.

Lese die bedingte Wahrscheinlichkeit ab

Ermittle die Wahrscheinlichkeit, mit der eine Person gesund ist, wenn bekannt ist, dass der Test bei ihr negativ war.

Betrachte das Baumdiagramm.

Betrachte den Pfad %%\overline T%% und lese die bedingte Wahrscheinlichkeit %%P_{\overline T} {\overline K} = \frac{P(\overline T \cap \overline K)}{P(\overline T)} = 0,999792%% ab.

Ergebnis

Eine Person, von der man weiß, dass sie negativ getestet wurde, ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,999792 auch tatsächlich gesund.

Kommentar: In diesem Fall ist das Ergebnis von ca. 99,98% sehr zufriedenstellend. Nur ca. 0,02% der als negativ getesteten Personen sind tatsächlich krank.