Wahrscheinlichkeit

Beispiele

1. Werfen eines fairen Würfels

Wirft man einen fairen Würfel, so könnte jede (natürliche) Zahl von 1 bis 6 mit gleicher Sicherheit fallen. Hier ergibt es Sinn, dass alle Elementarereignisse

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cc}A_1 &= &\text{ „Es fällt eine 1“ }\\A_2 &= &\text{ „Es fällt eine 2“ } \\&\vdots & \\A_6 &= &\text{ „Es fällt eine 6“ } \end{array}$

die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, also $P(A_1) = P(A_2) = \dots = P(A_6) = \frac{1}{6}$.

2. Werfen eines unfairen (= gezinkten) Würfels

Wenn man weiß, dass der Würfel immer auf eine bestimmte Seite fallen wird, zum Beispiel auf die 5, können die Ereignisse $A_1, A_2,\dots, A_6$ nicht alle die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.

Für die Ereignisse $A_1, A_2, A_3, A_4$ und $A_6$ muss jetzt gelten

da man weiß, dass diese nicht eintreten können.

Das Ereignis $A_5$ hat jedoch die Wahrscheinlichkeit $P(A_5)=1$, weil es sicher eintreten wird.

Bemerkung

Bei vielen Zufallsexperimenten ist es schwierig, die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen direkt zu bestimmen. In solchen Fällen wird für $P(A)$ das Experiment sehr oft wiederholt und der Grenzwert der relativen Häufigkeiten $h_n(A)$ des Ereignisses $A$ bei $n\rightarrow\infty$ als Wahrscheinlichkeit gewählt.

Warum diese Wahl von Wahrscheinlichkeiten Sinn ergibt, findet man im Artikel Gesetz der großen Zahlen.

Rechenregeln

Gegenwahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses $\overline A$ zum Ereignis $A$ ist gegeben durch

Additionsregel für unvereinbare Ereignisse

Haben die Ereignisse $A$ und $B$ keine gemeinsamen Elemente, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass entweder $A$ oder $B$ eintritt, gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten für $A$ und $B$:

Die Ereignisse $A\cap B$, $A\cap \overline{B}$ und $\overline{A}\cap B$ schließen sich gegenseitig aus, gleichzeitig ist

Daher ist

Wahrscheinlichkeit der Vereinigung (Satz von Sylvester)

Für zwei Ereignisse $A$ und $B$ gilt:

Die Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse

Sind die Ereignisse $A$ und $B$ stochastisch unabhängig, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl $A$ als auch $B$ eintreten, gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten von $A$ und $B$.

In Formeln: $P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B)$, wenn $A$ und $B$ stochastisch unabhängig sind.

Normierung der Wahrscheinlichkeiten

Die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisraums $\mathit\Omega$ ist immer 1.