Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Versuchsausgängen (= Ergebnissen).

Für ein Bernoulli-Experiment wird eine Bernoulli-verteilte Zufallsvariable %%X%% betrachtet. Diese Zufallsvariable lässt nur zwei mögliche Ereignisse (z. B. „ja“/„nein“, „infiziert“/„nicht infiziert“) mit den Wahrscheinlichkeiten %%p%% und %%q:=1-p%% zu.

Benannt ist das Bernoulli-Experiment nach dem Schweizer Mathematiker Jakob I. Bernoulli (gest. 1705).

Beispiele

  1. Münzwurf: %%P(\text{„Kopf“})=0{,}5:=p%%
    %%P(\text{„Zahl“})=0{,}5=1-p.%%
    Man kann auch %%P(\text{„Zahl“})%% als %%p%% definieren.

  2. Maschinen testen: %%P(\text{„Maschine funktioniert“}):=p%%
    %%P(\text{„Maschine funktioniert nicht“})=1-p%%.

  3. Würfel: %%P(\text{„Die 6 fällt“}):=p=\frac16%%
    %%P(\text{„Die 6 fällt nicht“})=1-p=\frac56%%

Bernoulli-Verteilung

Definition

Für eine Bernoulli-verteilte Zufallsvariable %%X%% mit Eintrittswahrscheinlichkeit %%p%% gilt

%%\mathit\Omega=\left\{0;1\right\},%%

%%P(X=1)=p;\;\;\;\;P(X=0)=1-p%%

Erwartungswert

Für den Erwartungswert der Bernoulli-verteilten Zufallsvariable %%X%% gilt

%%\style{font-size:14px}{E(X)=1\cdot p+0\cdot(1-p)=p}%%

Varianz

Für die Varianz erhält man

%%\style{font-size:14px}{V(X)=E\left(\left(X-E(X)\right)^2\right)=E\left(\left(X- p\right)^2\right)=E\left(\mathrm X^2-2pX+ p^2\right)=E\left(\mathrm X^2\right)-E\left(2 pX\right)+p^2=E(X)^2-2 p\cdot E(X)+p^2=p-p^2=p(1- p)}%%

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion für %%X%% lautet

$$F_X(t)=\begin{cases} 0 \text{ für }t<1 \\ 1 \text{ für }t\geq1\end{cases}$$

Es gibt nur zwei Ereignisse. Das Ereignis „0“ tritt mit Wahrscheinlichkeit %%1-p%% ein und ab %%t=1%% sind beide Ereignisse sicher eingetreten, weshalb dann %%F(t)=1%% gilt.

Aufgabe:

Wenn eine gesunde Person von einem Zombie gebissen wird, verwandelt sie sich mit 85-prozentiger Wahrscheinlichkeit innerhalb von 5 Minuten ebenfalls in einen Zombie.

Bestimme die Zufallsvariable, den Erwartungswert und die Varianz.

Lösung:

Zufallsvariable %%X%%: %%X(x) = \begin{cases} 0, & \text{wenn }x = \text{keine Verwandlung},\\ 1, & \text{wenn }x = \text{Verwandlung in Zombie}. \end{cases}%%

Erwartungswert %%E%%: %%E(X) = p = P(X=1)=0{,}85%%

Varianz %%V(X)%%: %%V(X)=p\cdot(1-p)=0{,}85\cdot0{,}15=0{,}1275%%

Verhältnis zu anderen Verteilungen

Die Bernoulli-Verteilung ist ein Spezialfall der Binomialverteilung mit %%n=1%%.

Wiederholt man also ein Bernoulli-Experiment öfter und betrachtet alle Ergebnisse, so sind diese binomialverteilt.

  

Wiederholte Bernoulli-Experimente

Wird ein Bernoulli-Experiment öfter wiederholt, so spricht man von einem Bernoulli-Prozess oder einer Bernoulli-Kette.

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