Aufgaben

Auf dem nebenstehenden Bild siehst du eine Rasenfläche, auf der ein Spielfeld als Rechteck der Länge 90 Meter und der Breite 45 Meter mit weißer Farbe markiert werden soll. Dafür möchte der Sportverein "Serlo 2009" Farbe für das Markieren der Linien kaufen.

Rasenfläche: Länge 90 Meter, Breite 45 Meter

Stelle einen Term für den Umfang des weißen Rechtecks auf und berechne diesen.
Tipp: Verwende den Umfang eines Rechtecks.

Berechnen des Umfangs

Die Formel für den Umfang des Rechtecks ist:
U=2a+2bU=2\color{red}{a}+2\color{green}b
Wobei mit a\color{red}{a} die Länge des Rechtecks und mit b\color{green}{b} die Breite gemeint ist.
In unserer Aufgabe gilt:
Länge: a=90m\color{red}{a}=90\text{m}
Breite: b=45m\color{green}{b}=45\text{m}
U=2a+2bU = 2\cdot\color{#cc0000}{a}+2\cdot\color{#006400}{b}
U=290m+245m\phantom{U}= 2\cdot\color{#cc0000}{90}\color{#cc0000}{\text{m}} + 2\cdot\color{#006400}{45}\color{#006400}{\text{m}}
U=180m+90m\phantom{U}= \color{#cc0000}{180}\color{#cc0000}{\text{m}}+ \color{#006400} {90}\color{#006400}{\text{m}}
U=270m\phantom{U}=270\text{m}
Setze für a 90 m und für b 45 m ein.
Fasse weiter zusammen.
Der Umfang beträgt also 270m270\text{m}.
Wie viele Eimer Farbe muss der Sportverein mindestens kaufen, wenn man mit einem Eimer 30 Meter Linien markieren kann?
Tipp: Du brauchst hier das Ergebnis aus der Teilaufgabe a).

Auflösen einer Gleichung

Aus Teilaufgabe a) ergibt sich für den Umfang U=270U = 270 Meter. Insgesamt sollen also 270270 Meter markiert werden. Wenn xx für die Anzahl der Eimer steht und ein Eimer für 3030 Meter Linie reicht, ergibt sich folgende Gleichung:
x30m=270mx\cdot 30 \text{m} = 270 \text{m}

Forme die Gleichung um, indem du auf beiden Seiten die gleiche Rechenoperation durchführst.
%%\begin{array}{lcl}x\cdot30\text{m} & = & 270\text{m} \\x \cdot 30 \text{m} :30\text{m} & = & 270 \text{m} :30\text{m} \\x\cdot1 & = & 9 \\x & = & 9 \\\end{array}%%
| :30: 30m
Vereinfach nun weiter
Wenn du eine Einheit durch sich selbst teilst kürzen sich beide weg. Mit Einheiten auf Serlo rechnen.
Der Sportverein "Serlo 2009" braucht also mindestens 9 Farbeimer für die Markierung der Rasenfläche.

Alex hat eine ungewöhnliche Abmachung mit seinen Eltern: Er erhält für jede Drei im Zeugnis einen bestimmten Geldbetrag von seinen Eltern, für eine Zwei bekommt er das Doppelte und für eine Eins sogar das Dreifache dieses Betrages. Für eine Vier bekommt er nichts, während für eine Fünf das Doppelte des Betrages für eine Zwei abgezogen werden und für eine Sechs das Vierfache des Betrages für eine Eins abgezogen werden. Im Zwischenzeugnis hat Alex folgende Noten: 1 mal Eins, 1 mal Zwei, 4 mal Drei, 2 mal Vier, 1 mal Fünf und 1 mal Sechs. Nachdem Alex in diesem Halbjahr so wenig erfolgreich war, werden ihm 42€ vom Taschengeld abgezogen. Berechne mit Hilfe eines x-Ansatzes, wieviel für jede Note berechnet wird.

Gleichung aufstellen

Note 3: %%x€%%

 

Note 2: %%2\cdot x€%%

 

Note 1: %%3\cdot x€%%

 

Note 4: %%0€%%

 

Note 5: %%-2\cdot2\cdot x€%%

 

Note 6: %%-4\cdot3\cdot x€%%

Ansatz für das Zeugnis aufstellen.

%%1\cdot3x+1\cdot2x+4\cdot x-1\cdot2\cdot2x-1\cdot4\cdot3x=-42%%

 

                 %%3x+2x+4x-4x-12x=-42%%

 

                                                  %%-7x=-42%%

%%\left|{:(-7)}\right.%%

                                                       %%x=6%%

 

Note 1: %%3\cdot6€=18€%%

 

Note 2: %%2\cdot6€=12€%%

 

 Note 3: %%6€%%

 

Note 4: %%0€%%

 

Note 5: %%-2\cdot2\cdot6€=-24€%%

 

Note 6: %%-4\cdot3\cdot6€=-72€%%

 

In einem Verein mit 25 Mitgliedern haben 12 Mitglieder jeweils 2000€ eingezahlt. 12 weitere Mitglieder haben jeweils 1500€ beigesteuert. Auf den Vereinskonto befinden sich 17000€. Wie ist das zu erklären? Führe eine Rechnung mit einem x-Ansatz durch!

Gleichung aufstellen

%%12\cdot2000+12\cdot1500+x=17000%%

      %%24000+18000+x=17000%%

 

                     %%42000+x=17000%%

%%\left|{-42000}\right.%%

                                    %%x=-25000%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Vor den Einzahlungen hatte der Verein 25000€ Schulden.

Berechne jeweils die Winkel.

Zu text-exercise-group 5217:
Nish 2018-10-04 12:57:02+0200
Die Lösungen zu den Teilaufgaben sollte nach den aktuellen Richtlinien für Aufgabenlösungen überarbeitet werden! ;) Richtlinie findet Ihr unter www.serlo.org/community -> Hilfe zur Bearbeitung -> Richtlinien für Inhalte

LG,
Nish
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In einem rechtwinkligen Dreieck ist der eine Winkel an der Hypotenuse um 32° kleiner als der andere. Berechne den gesuchten Winkel.

In einem rechtwinkligen Dreieck ist einer der beiden spitzen Winkel halb so groß wie der andere.

Jedes Dreieck hat eine Innenwinkelsumme von 180°. Da es ein rechtwinkliges Dreieck ist, haben wir %%\alpha+\beta+90^\circ=180^\circ%%, also %%\alpha+\beta=90^\circ.%%

 

|-90°

Da %%\alpha%% halb so groß ist wie %%\beta%%, gilt: %%\alpha=\frac12\;\beta%%

 

Jetzt setzen wir diese Gleichung in %%\alpha+\beta=90^\circ%% ein, also: %%\frac12\beta+\beta=90^\circ\;%%

 

%%\beta%% zusammenzählen

 

%%\frac32\beta=90^\circ%%

%%\left|{:\frac32}\right.%%

%%\begin{array}{l}\beta=60^\circ\\\alpha=\frac12\beta=30^\circ\end{array}%%

In einem Dreieck ist %%\alpha%% um 20° kleiner als %%\beta%% und %%\gamma%% doppelt so groß wie %%\alpha%%.

Term für %%\alpha%% und %%\gamma%% in Abhängigkeit von %%\beta%% aufstellen.

%%\alpha=\beta-20^\circ%%

%%\gamma=2\left(\beta-20^\circ\right)%%

Gleichung zur Winkelsumme im Dreieck aufstellen. Sprich:  %%\alpha+\beta+\gamma=180^\circ%%

%%180^\circ=\alpha+\beta+\gamma%%

%%180^\circ=\beta-20^\circ+\beta+2\left(\beta-20^\circ\right)%%

%%180^\circ=\beta-20^\circ+\beta+2\beta-40^\circ%%

%%180^\circ=4\beta-60^\circ\;\;\;\;\;%%

%%\left|+60^\circ\right.%%

%%240^\circ=4\beta\;\;\;\;\;%%

%%\left|:4\right.%%

%%\beta=60^\circ%%

%%\beta=60^\circ%%  in Terme für  %%\alpha%% bzw. %%\beta%% einsetzen und ausrechnen.

%%\alpha=\;\beta-20^\circ%%

%%\alpha=60^\circ-20^\circ%%

%%\alpha=40^\circ%%

%%\gamma=2\alpha%%

%%\gamma=2\cdot40^\circ%%

%%\gamma=80^\circ%%

Marco, Sabine, Volker und Lena haben zusammen 66€. Marco hat 2€ weniger als Sabine, Volker hat doppelt so viel wie Sabine und Lena doppelt so viel wie Marco. Wie viel Geld hat Marco, Sabine, Volker und Lena? Löse mit Hilfe eines Gesamtansatzes.

Gleichungen

%%s\;%% entspricht Sabines Geld.

 

%%s-2€%% entspricht Marcos Geld.

 

%%2s%% entspricht Volkers Geld.

 

%%\left(s-2€\right)\cdot2%% entspricht Lenas Geld.

Gesamtansatz aufstellen.

%%\left(s-2€\right)\cdot2+s+s-2€+2s=66€%%

 

%%2s-4€+2s-2€+2s=66€%%

 

%%6s-6€=66€%%

%%\left|{+6€}\right.%%

%%6s=72€%%

Durch %%6%% dividieren .

%%s=12€%%

 

Sabine hat %%12€%%

 

Marco hat %%12€-2€=10€%%

 

Volker hat %%2\cdot12€=24€%%

 

Lena hat %%\left(12€-2€\right)\cdot2=20€%%

 

Berechne x am Rechteck ABCD. (Die Zeichnung ist nicht maßstabgerecht.)

 

Gesucht: %%x%%

Zwei gegenüberliegende Seiten eines Rechtecks sind gleich lang.

%%9,37\mathrm{cm}+4,84\mathrm{cm}=3,22\mathrm{cm}+x\mathrm{cm}%%

Löse nach %%x%% auf.

%%x\mathrm{cm}=9,37\mathrm{cm}+4,84\mathrm{cm}-3,22\mathrm{cm}%%

Rechne die rechte Seite aus.

%%x\mathrm{cm}=14,21\mathrm{cm}-3,22\mathrm{cm}%%

%%x\mathrm{cm}=10,99\mathrm{cm}%%

Also: %%x=10,99%%

Verlängert man zwei gegenüberliegende Seiten eines Quadrats um jeweils 3 cm und verkürzt die anderen Seiten um jeweils 2 cm, so entsteht ein Rechteck, dessen Flächeninhalt um  1  cm21\;\mathrm{cm}^2 größer ist als der des Quadrats. Wie lang sind die Seiten des Quadrats?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen:Aufstellen und Lösen von Gleichungen

Variable einführen

a = Seite des Quadrats

Gleichung aufstellen

Drücke die Angaben mithilfe von a aus:
aa : Seite des Quadrats
a+3a+3 : lange Seite des Rechtecks
a2a-2 : kurze Seite des Rechtecks
a2+1a^2+1 : Flächeninhalt des Rechtecks in Abhängigkeit vom Quadrat
(a+3)(a2)(a+3)(a-2) : Flächeninhalt in Abhängigkeit von den Rechteckseiten
Gleichung aufstellen:
"Quadrat + 1 = Rechteckfläche (Länge mal Breite)"
a2+1=(a+3)(a2)a^2+1=\left(a+3\right)\left(a-2\right)

Gleichung lösen

Gleichung umformen und Klammern ausmultiplizieren .
a2+1=a22a+3a6a2a^2+1=a^2-2a+3a-6 \hspace{2cm}|-a^2
1= a6+6\hspace{0.75cm} 1 =\ a-6 \hspace{3.64cm}|+6
7=a\hspace{0.75cm} 7 = a

Lösung überprüfen:

Wenn die Quadratseite 7 cm7\ cm ist, dann wäre die Fläche des Quadrats a2=49 cm2a^2=49\ cm^2 und die Fläche vom Rechteck: 10 cm5 cm=50 cm210\ cm\cdot5\ cm=50\ cm^2 und damit 1 cm21\ cm^2 größer als die Fläche des Quadrats.
Die Lösung stimmt also!

Antwortsatz

        \;\;\Rightarrow\;\; Die Länge der Seite a des Quadrats beträgt 7cm.

Aus einem Draht von einem Meter Länge wurde das Kantenmodell eines Würfels gebaut. Es blieb ein Reststück von 4,0 cm. Wie lang ist eine Würfelkante?

Würfel

Thema dieser Aufgabe ist der Würfel.

Ein Würfel ist unter anderem dadurch charakterisiert, dass die 12 Kanten des Würfels alle gleich lang sind.

Aus der Aufgabenstellung ergibt sich so folgender Ansatz mit der unbestimmten Kantenlänge %%x%%:

%%1\,\mathrm m-12\cdot x=0{,}04\,\mathrm m%%

|%%{}+(12x-0{,}04\,\mathrm m)%%

%%0{,}96\,\mathrm m=12x%%

| %%:12%%

%%x=0{,}08\,\mathrm m=8\,\mathrm{cm}%%

%%\Rightarrow%% Eine Würfelkante ist also %%8\,\mathrm{cm}%% lang.

Ein Vater, seine Tochter und sein Sohn sind zusammen genauso alt wie ihre 77-jährige Oma. Der Vater ist doppelt so alt wie seine Tochter welche 3 jahre älter ist als der Sohn. Berechne das Alter des Vaters, der Tochter und des Sohnes mithilfe einer Gleichung.

Das Alter der Tochter ist Unbekannt also
Tochter = %%x%%
Der Vater ist doppelt so alt wie seine Tochter also
Vater = %%2\cdot x%%
Der Sohn ist drei Jahre jünger als die Tochter also
Sohn = %%x-3%%
Alle zusammen sind so alt wie ihre 77-jährige Oma also

%%\begin{array}{rcl} x&+&2\cdot x&+&x-3&=&77\\ x&+&2x&+&x-3&=&77\\ &3x&&+&x-3&=&77\\ &&&&4x-3&=&77&|+3\\ &&&&4x&=&80&|:4\\ &&&&x&=&20\\ \end{array}%%

Die Tochter ist %%x%%, also %%20%% Jahre alt.
Der Vater ist 2 mal so alt, also %%2\cdot20%%
Der Sohn ist %%3%% Jahre jünger als die Tochter, also %%20-3%%

Die Tochter ist 20 Jahre alt.
Der Vater ist 40 Jahre alt.
Der Sohn ist 17 Jahre alt.

Zahlenrätsel
Löse die folgenden Aufgaben durch Aufstellen einer geeigneten Gleichung.
Die Summe von zwei Zahlen ist 814, ihre Differenz ist 90.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen:Gleichung aufstellen

  1. Variable einführen
  2. Gleichung aufstellen
  3. Gleichung lösen
  4. Ergebnis überprüfen und Antwortsatz schreiben

Variable einführen

x=x = die größere Zahl

Gleichung aufstellen

Finde Beziehungen zwischen den Zahlen und drücke so die kleinere Zahl durch die größere Zahl aus:
x=x= größere Zahl
814x814-x == kleinere Zahl
Stelle eine Gleichung aus der zweiten Beziehung auf:
"Die größere - die kleinere Zahl =90= 90"
x(814x)=90x-(814-x)=90

Gleichung lösen

x(814x)=90      x814+x=90              2x814=90+8142x=904:2x=452x-(814-x)=90 \\ \; \; \; x-814 +x = 90 \\ \; \; \; \; \; \; \ \ 2x-814 = 90 \hspace{1cm} |+814 \\ \hspace{1.7cm} 2x = 904 \hspace{1cm} |:2 \\ \hspace{1.87cm} x = 452

Ergebnis prüfen

Die größere Zahl ist also x=452x=452 und die kleinere Zahl 814452=362814-452 = 362.
Überprüfen, ob die Differenz 90 ergibt:
452362=90452-362=90
Ergebnis stimmt!

Antwort

Die gesuchten Zahlen sind 452 und 362.
Drei aufeinander folgende Zahlen ergeben zusammen addiert 165.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen:Gleichungen aufstellen


  1. Variable einführen
  2. Gleichung aufstellen
  3. Gleichung lösen
  4. Ergebnis überprüfen und Antwortsatz schreiben

Variable einführen

x=x = die kleinste der drei Zahlen

Gleichung aufstellen

Stelle die Beziehung zwischen der kleinsten Zahl und den anderen beiden Zahlen auf:
x=x = kleinste Zahl
x+1=x+1 = mittlere Zahl
x+2=x+2 = größte Zahl
Gleichung aufstellen:
"kleinste Zahl + mittlere Zahl + größte Zahl = 165"
x+(x+1)+(x+2)=165x+\left(x+1\right)+\left(x+2\right)=165

Gleichung lösen

x+(x+1)+(x+2)=165x+x+1+x+2=1653x+2=16523x=162:3x=54x+(x+1)+(x+2)=165\\ \hspace{0.55cm} x+x+1+x+2=165 \\ \hspace{2.25cm} 3x+2 = 165 \hspace{1cm} |-2\\ \hspace{2.86cm} 3x =162 \hspace{1cm} |:3\\ \hspace{3cm} x=54 

Überprüfen der Lösung

Wenn die kleinste Zahl 54 ist, ist die mittlere 55 und die größte 56.
54+55+56=16554+55+56 = 165
Die Lösung stimmt also!

Antwortsatz

Die Zahlen sind 54, 55 und 56.
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