Aufgaben
Rasenfläche: Länge 90 Meter, Breite 45 Meter
Auf dem nebenstehenden Bild siehst du eine Rasenfläche, auf der ein Spielfeld als Rechteck der Länge 90 Meter und der Breite 45 Meter mit weißer Farbe markiert werden soll. Dafür möchte der Sportverein "Serlo 2009" Farbe für das Markieren der Linien kaufen.
Stelle einen Term für den Umfang des weißen Rechtecks auf und berechne diesen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umfang von Rechtecken

Die Formel für den Umfang des Rechtecks ist:
U=2a+2bU=2\color{red}{a}+2\color{green}b
Wobei mit a\color{red}{a} die Länge des Rechtecks und mit b\color{green}{b} die Breite gemeint ist.
In unserer Aufgabe gilt:
Länge: a=90m\color{red}{a}=90\text{m}
Breite: b=45m\color{green}{b}=45\text{m}
U=2a+2bU = 2\cdot\color{#cc0000}{a}+2\cdot\color{#006400}{b}
U=290m+245m\phantom{U}= 2\cdot\color{#cc0000}{90}\color{#cc0000}{\text{m}} + 2\cdot\color{#006400}{45}\color{#006400}{\text{m}}
U=180m+90m\phantom{U}= \color{#cc0000}{180}\color{#cc0000}{\text{m}}+ \color{#006400} {90}\color{#006400}{\text{m}}
U=270m\phantom{U}=270\text{m}
Setze für a 90 m und für b 45 m ein.
Fasse weiter zusammen.
Der Umfang beträgt also 270m270\text{m}.
Aus Teilaufgabe a) ergibt sich für den Umfang U=270U = 270 Meter. Insgesamt sollen also 270270 Meter markiert werden. Wenn xx für die Anzahl der Eimer steht und ein Eimer für 3030 Meter Linie reicht, ergibt sich folgende Gleichung:
x30m=270mx\cdot 30 \text{m} = 270 \text{m}
Forme die Gleichung um, indem du auf beiden Seiten die gleiche Rechenoperation durchführst.
x30m=270m:30x30m:30m=270m:30mx1=9x=9\begin{array}{lcl}x\cdot30\text{m} & = & 270\text{m} &|:30 \\x \cdot 30 \text{m} :30\text{m} & = & 270 \text{m} :30\text{m} \\x\cdot1 & = & 9 \\x & = & 9 \\\end{array}
Wenn du eine Einheit durch sich selbst teilst kürzen sich beide weg. Mit Einheiten auf Serlo rechnen.
Der Sportverein "Serlo 2009" braucht also mindestens 9 Farbeimer für die Markierung der Rasenfläche.
Alex hat eine ungewöhnliche Abmachung mit seinen Eltern: Er erhält für jede Drei im Zeugnis einen bestimmten Geldbetrag von seinen Eltern, für eine Zwei bekommt er das Doppelte und für eine Eins sogar das Dreifache dieses Betrages. Für eine Vier bekommt er nichts, während für eine Fünf das Doppelte des Betrages für eine Zwei abgezogen werden und für eine Sechs das Vierfache des Betrages für eine Eins abgezogen werden. Im Zwischenzeugnis hat Alex folgende Noten: 1 mal Eins, 1 mal Zwei, 4 mal Drei, 2 mal Vier, 1 mal Fünf und 1 mal Sechs. Nachdem Alex in diesem Halbjahr so wenig erfolgreich war, werden ihm 42€ vom Taschengeld abgezogen. Berechne mit Hilfe eines x-Ansatzes, wieviel für jede Note berechnet wird.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichung aufstellen

Alex bekommt einen "bestimmten Geldbetrag" für die Note 3. Abhängig von diesem Betrag werden alle anderen Geldbeträge berechnet. Wähle also:

xx = Geld für die Note 3.
Für die Note 2 bekommt Alex das Doppelte, also 2x2\cdot x.
Für die Note 1 bekommt Alex das Dreifache, also 3x3\cdot x.
Wenn Alex eine Note 4 im Zeugnis hat, bekommt er kein Geld. Es wird ihm aber auch nichts abgezogen, also 00€.
Für eine Note 5 muss Alex von seinem Taschengeld das Doppelte vom Betrag für eine Note 2 abziehen, also 2(2x)Betrag fu¨r eine 2=4x-2\cdot\underbrace{(2\cdot x)}_{\text{Betrag für eine 2}}=-4\cdot x
Bei einer Note 6 wird Alex das Vierfache des Betrags für eine Note 1 abgezogen, also: 4(3x)Betrag fu¨r eine 1=12x-4\cdot\underbrace{(3\cdot x)}_{\text{Betrag für eine 1}}=-12\cdot x
Du weißt aus der Aufgabenstellung, dass Alex am Ende 4242 € von seinem Taschengeld abgezogen werden. Im Zeugnis hat er:
  • eine Note 1
  • eine Note 2
  • viermal die Note 3
  • zweimal eine Note 4
  • eine Note 5
  • eine Note 6
Stelle damit einen Ansatz für die Berechnung von xx auf.
13x+12x+4x+20+1(122x)+1(143x)=423x+2x+4x4x12x=427x=42:(7)x=6\begin{array}{rcll} 1\cdot3x+1\cdot2x+4\cdot x+2\cdot 0€+1\cdot (-1\cdot2\cdot2x)+1\cdot (-1\cdot4\cdot3x)&=&-42€&\\ 3x+2x+4x-4x-12x&=&-42€&\\ -7x&=&-42€&|:(-7)\\x&=&6€&\end{array}

Note

Betrag

1

%%3\cdot 6€=18€%%

2

%%2\cdot 6€=12€%%

3

%%6€%%

4

%%0€%%

5

%%-2\cdot 2\cdot 6€=-24€%%

6

%%-4\cdot 3\cdot 6€=-72€%%

Berechne mit deinen Beträgen für die einzelnen Noten gern noch zur Sicherheit nach, ob damit Alex 4242€ Taschengeld abgezogen werden.
118+112+46+20124172=18+12+242472=3072=42\displaystyle \begin{array}{l}1 \cdot 18€+1 \cdot 12€+4 \cdot 6€+2 \cdot 0€- 1\cdot 24€-1 \cdot 72€\\=18€+12€+24€-24€-72€\\=30€-72€=-42€\end{array}
In einem Verein mit 25 Mitgliedern haben 12 Mitglieder jeweils 2000€ eingezahlt. 12 weitere Mitglieder haben jeweils 1500€ beigesteuert. Auf dem Vereinskonto befinden sich 17000€. Wie ist das zu erklären? Führe eine Rechnung mit einem x-Ansatz durch!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen aufstellen

x:x: Geld, das auf dem Vereinskonto war, bevor die Mitglieder eingezahlt haben.
Die Summe von 1700017000€, die sich auf dem Vereinskonto befindet, setzt sich zusammen aus dem Geld, dass die Mitglieder eingezahlt haben und dem Geld, das sich davor schon auf dem Konto befand. Das kannst du mithilfe einer Gleichung beschreiben:
122000+121500+x12\cdot2000+12\cdot1500+x==1700017000
24000+18000+x24000+18000+x==1700017000
42000+x42000+x==1700017000|42000-42000
xx==25000-25000
        \;\;\Rightarrow\;\; Vor den Einzahlungen hatte der Verein 25000€ Schulden.

Berechne jeweils die Winkel.

Zu text-exercise-group 5217:
Nish 2018-10-04 12:57:02+0200
Die Lösungen zu den Teilaufgaben sollte nach den aktuellen Richtlinien für Aufgabenlösungen überarbeitet werden! ;) Richtlinie findet Ihr unter www.serlo.org/community -> Hilfe zur Bearbeitung -> Richtlinien für Inhalte

LG,
Nish
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In einem rechtwinkligen Dreieck ist der eine Winkel an der Hypotenuse um 32° kleiner als der andere. Berechne den gesuchten Winkel.

In einem rechtwinkligen Dreieck ist einer der beiden spitzen Winkel halb so groß wie der andere.

Jedes Dreieck hat eine Innenwinkelsumme von 180°. Da es ein rechtwinkliges Dreieck ist, haben wir %%\alpha+\beta+90^\circ=180^\circ%%, also %%\alpha+\beta=90^\circ.%%

 

|-90°

Da %%\alpha%% halb so groß ist wie %%\beta%%, gilt: %%\alpha=\frac12\;\beta%%

 

Jetzt setzen wir diese Gleichung in %%\alpha+\beta=90^\circ%% ein, also: %%\frac12\beta+\beta=90^\circ\;%%

 

%%\beta%% zusammenzählen

 

%%\frac32\beta=90^\circ%%

%%\left|{:\frac32}\right.%%

%%\begin{array}{l}\beta=60^\circ\\\alpha=\frac12\beta=30^\circ\end{array}%%

In einem Dreieck ist %%\alpha%% um 20° kleiner als %%\beta%% und %%\gamma%% doppelt so groß wie %%\alpha%%.

Term für %%\alpha%% und %%\gamma%% in Abhängigkeit von %%\beta%% aufstellen.

%%\alpha=\beta-20^\circ%%

%%\gamma=2\left(\beta-20^\circ\right)%%

Gleichung zur Winkelsumme im Dreieck aufstellen. Sprich:  %%\alpha+\beta+\gamma=180^\circ%%

%%180^\circ=\alpha+\beta+\gamma%%

%%180^\circ=\beta-20^\circ+\beta+2\left(\beta-20^\circ\right)%%

%%180^\circ=\beta-20^\circ+\beta+2\beta-40^\circ%%

%%180^\circ=4\beta-60^\circ\;\;\;\;\;%%

%%\left|+60^\circ\right.%%

%%240^\circ=4\beta\;\;\;\;\;%%

%%\left|:4\right.%%

%%\beta=60^\circ%%

%%\beta=60^\circ%%  in Terme für  %%\alpha%% bzw. %%\beta%% einsetzen und ausrechnen.

%%\alpha=\;\beta-20^\circ%%

%%\alpha=60^\circ-20^\circ%%

%%\alpha=40^\circ%%

%%\gamma=2\alpha%%

%%\gamma=2\cdot40^\circ%%

%%\gamma=80^\circ%%

Marco, Sabine, Volker und Lena haben zusammen 66€. Marco hat 2€ weniger als Sabine, Volker hat doppelt so viel wie Sabine und Lena doppelt so viel wie Marco. Berechne wie viel Geld Marco, Sabine, Volker und Lena haben.
Löse mit Hilfe eines Gesamtansatzes.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen

Schreibe dir die Informationen aus der Angabe übersichtlich auf. Setze s als Variable für den Geldbetrag, den Sabine besitzt, denn in Bezug zu Sabine sind viele Angaben in der Aufgabenstellung gemacht worden.

Name

Beschreibung

Rechnung

Sabine

%%s%%

Marco

Marco hat 2€ weniger als Sabine.

%%s-2€%%

Volker

Volker hat doppelt so viel wie Sabine.

%%2s%%

Lena

Lena hat doppelt so viel wie Marco.

%%2\cdot(s-2€)%%

Alle zusammen

Marco, Sabine, Volker und Lena haben zusammen 66€

%%s+(s-2€)+2s+2(s-2€)=66€%%

Berechne mit dem Gesamtansatz nun ss.
s+(s2)+2s+2(s2)s+\left(s-2€\right)+2s+2\left(s-2€\right)==6666€
Löse die Klammern auf.
s+s2+2s+2s4s+s-2€+2s+2s-4€==6666€
Fasse zusammen.
6s66s-6€==6666€|+6+6€
6s6s==7272€|:6:6
ss==1212€
Nachdem du s=12s=12€ nun berechnet hast, kannst du berechnen, wie viel Geld die anderen Kinder haben.

Name

Beschreibung

Rechnung

Sabine

%%s=12€%%

Marco

Marco hat 2€ weniger als Sabine.

%%s-2€=12€-2€=10€%%

Volker

Volker hat doppelt so viel wie Sabine.

%%2s=2\cdot 12€=24€%%

Lena

Lena hat doppelt so viel wie Marco.

%%2(s-2€)=2\cdot 10€=20€%%

Alle zusammen

Marco, Sabine, Volker und Lena haben zusammen 66€

%%12€+10€+24€+20€=66€\;\checkmark%%

Sabine hat also 1212€, Marco hat 1010€, Volker hat 2424€ und Lena hat 2020€.
Berechne x am Rechteck ABCD. (Die Zeichnung ist nicht maßstabgerecht.)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lösen von Gleichungen

Gesucht: xx
Zwei gegenüberliegende Seiten eines Rechtecks sind gleich lang, also in diesem Fall: CD=AB\overline{CD} = \overline{AB}.
3,22 cm+x cm3{,}22\ \mathrm{cm}+x\ \mathrm{cm} ==9,37 cm+4,84 cm9{,}37\ \mathrm{cm}+4{,}84\ \mathrm{cm}|3,22 cm- 3{,}22\ \mathrm{cm}
Löse nach xx auf.
x cmx\ \mathrm{cm}==9,37 cm+4,84 cm3,22 cm9{,}37\ \mathrm{cm}+4{,}84\ \mathrm{cm}-3{,}22\ \mathrm{cm}
Rechne die rechte Seite aus.
x cmx\ \mathrm{cm}==10,99 cm10{,}99\ \mathrm{cm}
Also ist die Lösung: x=10,99x=10{,}99
Verlängert man zwei gegenüberliegende Seiten eines Quadrats um jeweils 3 cm und verkürzt die anderen Seiten um jeweils 2 cm, so entsteht ein Rechteck, dessen Flächeninhalt um  1  cm21\;\mathrm{cm}^2 größer ist als der des Quadrats. Wie lang sind die Seiten des Quadrats?
Aus einem Draht von einem Meter Länge wurde das Kantenmodell eines Würfels gebaut. Es blieb ein Reststück von 4,0 cm. Wie lang ist eine Würfelkante?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Würfel

Ein Würfel ist unter anderem dadurch charakterisiert, dass die 12 Kanten des Würfels alle gleich lang sind.
Aus der Aufgabenstellung ergibt sich so folgender Ansatz mit der unbestimmten Kantenlänge xx:
1m12x1\,\mathrm m-12\cdot x==0,04m0{,}04\,\mathrm m|+(12x0,04m)+(12x-0{,}04\,\mathrm m)
0,96m0{,}96\,\mathrm m==12x12x|÷12\div 12
xx==0,08m=8cm0{,}08\,\mathrm m=8\,\mathrm{cm}
\Rightarrow Eine Würfelkante ist also 8cm8\,\mathrm{cm} lang.
Ein Vater, seine Tochter und sein Sohn sind zusammen genauso alt wie ihre 77-jährige Oma. Der Vater ist doppelt so alt wie seine Tochter welche 3 jahre älter ist als der Sohn. Berechne das Alter des Vaters, der Tochter und des Sohnes mithilfe einer Gleichung.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichung lösen

Das Alter der Tochter ist Unbekannt also Tochter = xx Der Vater ist doppelt so alt wie seine Tochter also Vater = 2x2\cdot x Der Sohn ist drei Jahre jünger als die Tochter also Sohn = x3x-3 Alle zusammen sind so alt wie ihre 77-jährige Oma also
x+2x+x3=77x+2x+x3=773x+x3=774x3=77+34x=80:4x=20\begin{array}{cccccc}x&+&2 x&+&x-3&=&77\\x&+&2x&+&x-3&=&77\\&&3x&+&x-3&=&77\\&&&&4x-3&=&77&|&+3\\&&&&4x&=&80&|&:4\\&&&&x&=&20\\\end{array} Die Tochter ist xx, also 2020 Jahre alt. Der Vater ist 2 mal so alt, also 2202\cdot20 Der Sohn ist 33 Jahre jünger als die Tochter, also 20320-3 Die Tochter ist 20 Jahre alt. Der Vater ist 40 Jahre alt. Der Sohn ist 17 Jahre alt.
Zahlenrätsel
Löse die folgenden Aufgaben durch Aufstellen einer geeigneten Gleichung.
Die Summe von zwei Zahlen ist 814, ihre Differenz ist 90.
  1. Variable einführen
  2. Gleichung aufstellen
  3. Gleichung lösen
  4. Ergebnis überprüfen und Antwortsatz schreiben

Variable einführen

x=x = die größere Zahl

Gleichung aufstellen

Finde Beziehungen zwischen den Zahlen und drücke so die kleinere Zahl durch die größere Zahl aus:
x=x= größere Zahl
814x814-x == kleinere Zahl
Stelle eine Gleichung aus der zweiten Beziehung auf:
"Die größere - die kleinere Zahl =90= 90"
x(814x)=90x-(814-x)=90

Gleichung lösen

x(814x)=90      x814+x=90              2x814=90+8142x=904:2x=452x-(814-x)=90 \\ \; \; \; x-814 +x = 90 \\ \; \; \; \; \; \; \ \ 2x-814 = 90 \hspace{1cm} |+814 \\ \hspace{1.7cm} 2x = 904 \hspace{1cm} |:2 \\ \hspace{1.87cm} x = 452

Ergebnis prüfen

Die größere Zahl ist also x=452x=452 und die kleinere Zahl 814452=362814-452 = 362.
Überprüfen, ob die Differenz 90 ergibt:
452362=90452-362=90
Ergebnis stimmt!

Antwort

Die gesuchten Zahlen sind 452 und 362.
Drei aufeinander folgende Zahlen ergeben zusammen addiert 165.

  1. Variable einführen
  2. Gleichung aufstellen
  3. Gleichung lösen
  4. Ergebnis überprüfen und Antwortsatz schreiben

Variable einführen

x=x = die kleinste der drei Zahlen

Gleichung aufstellen

Stelle die Beziehung zwischen der kleinsten Zahl und den anderen beiden Zahlen auf:
x=x = kleinste Zahl
x+1=x+1 = mittlere Zahl
x+2=x+2 = größte Zahl
Gleichung aufstellen:
"kleinste Zahl + mittlere Zahl + größte Zahl = 165"
x+(x+1)+(x+2)=165x+\left(x+1\right)+\left(x+2\right)=165

Gleichung lösen

x+(x+1)+(x+2)=165x+x+1+x+2=1653x+3=16533x=162:3x=54x+(x+1)+(x+2)=165\\ \hspace{0.55cm} x+x+1+x+2=165 \\ \hspace{2.25cm} 3x+3 = 165 \hspace{1cm} |-3\\ \hspace{2.86cm} 3x =162 \hspace{1cm} |:3\\ \hspace{3cm} x=54 

Überprüfen der Lösung

Wenn die kleinste Zahl 54 ist, ist die mittlere 55 und die größte 56.
54+55+56=16554+55+56 = 165
Die Lösung stimmt also!

Antwortsatz

Die Zahlen sind 54, 55 und 56.
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