Aufgaben

Löse folgende Gleichungen.

Hinweis: Gib die Lösungsmenge ohne %%L%%, das Gleichheitszeichen %%=%% und die geschweiften Klammern %%\{\}%% an. Falls du für die Lösung mehrere Werte (Zahlen) erhältst , musst du sie durch Kommata %%,%% trennen.

Beispiel: Wenn die Lösungsmenge %%L =\{4,5,9\}%% ist, dann gib in das Feld ein: %%4,5,9%%.

%%4x+4=3x+3%%

%%3x=x+5%%

%%\frac1{12}x-5=3%%

%%-8x+5=-5%%

%%-8x+5=-5%%

%%\left|-5\right.%%

%%-8x=-10%%

%%\left|:(-8)\right.%%

$$x=\frac{-10}{-8}$$

$$x=\frac{10}{8}=\frac{5}{4}=1,25$$

%%L=\left\{1,25\right\}%%

%%\frac1{24}x=0%%

Löse folgende Gleichungen

%%3\left(a-4\right)=1-\frac15\left(2-a\right)%%

%%3(a-4)=1-\frac15(2-a)%%

%%3a-12=1-\frac25+\frac15a%%

Fasse zusammen.

%%3a-12=\frac35+\frac15a%%

%%|-\frac15a%%

%%|+12%%

%%3a-\frac{1}5a=\frac{3}5+12%%

Fasse zusammen.

%%\frac{14}5a=\frac{63}5%%

%%\left|:\frac{14}5\right.%%

%%a=\frac92=4,5%%

%%L=\{4,5\}%%

Finde durch gezieltes Probieren die beiden Lösungen von %%\left|x-3\right|=2%%

Hierbei bezeichnet %%\left|…\right|%% den Betrag, z.B. %%\left|-7\right|=+7,\;\left|+7\right|=+7\;%% .

Die Lösungen hängen mit 3 und 2 zusammen. Probiere also:

  1. %%2+3=5%%
  2. %%2-3=-1%%
  3. %%3-2=1%%

1. x = 5

%%|5-3|=2%%

%%2=2%%

x = 5 ist also eine Lösung.

2. x = -1

%%|-1-3|=2%%

%%|-4|=2%%

%%4\neq2%%

x = -1 ist also keine Lösung.

3. x = 1

%%|1-3|=2%%

%%|-2|=2%%

%%2=2%%

x = 1 ist also die zweite Lösung.

Prüfe durch Einsetzen, ob %%x=1,\;2,\;3,\;4,\;5%% eine Lösung ist :

%%\frac{90}x=x^2+21%%

1. x = 1

%%\frac{90}x=x^2+21%%

Setze ein.

%%{\textstyle90}=1+21%%

%%{\textstyle90}\neq22%%

x = 1 löst die Gleichung nicht.

2. x = 2

%%\frac{90}2=2^2+21%%

%%45=2^2+21%%

%%45=4+21%%

%%45\neq25%%

x = 2 löst die Gleichung nicht.

3. x = 3

%%\frac{90}3=3^2+21%%

%%30=3^2+21%%

%%30=9+21%%

%%30=30%%

x = 3 ist Lösung der Gleichung.

4. x = 4

%%\frac{90}4=4^2+21%%

%%22,5=4^2+21%%

%%22,5=16+21%%

%%22,5\neq37%%

x = 4 löst die Gleichung nicht.

5. x = 5

%%\frac{90}5=5^2+21%%

%%18=5^2+21%%

%%18=25+21%%

%%18\neq46%%

x = 5 löst die Gleichung nicht.

Bestimme die Lösung der Gleichungen.

%%\left(x-2\right)\left(3x-1\right)=3\left(x+1\right)x-2\left(5x+1\right)%%

%%(x-2)(3x-1)=3(x+1)x-2(5x+1)%%

%%3x^2-x-6x+2=(3x+3)x-10x-2%%

%%3x^2-x-6x+2=(3x+3)x-10x-2%%

%%3x^2-x-6x+2=3x^2+3x-10x-2%%

Fasse zusammen.

%%3x^2-7x+2=3x^2-7x-2%%

%%\begin{array}{l}\left|-3x^2\right.\\\left|+7x\right.\end{array}%%

%%2=-2%%

=> Für x kann keine Zahl eingesetzt werden, sodass die Gleichung wahr ist.

%%L=\emptyset%%

%%\left[\left(x+3\right)\cdot2+4\right]\cdot5-10x=50%%

%%\left[(x+3)\cdot2+4\right]\cdot5-10x=50%%

Multipliziere die Klammern aus.

(Runde Klammern haben höhere Priorität als Eckige)

%%\left[2x+6+4\right]\cdot5-10x=50%%

Fasse in der eckigen Klammer zusammen.

%%\left[2x+10\right]\cdot5-10x=50%%

%%10x+50-10x=50%%

Fasse zusammen.

%%50=50%%

Gilt für jedes x.

%%L=G%%

=> Alle Zahlen sind einsetzbar

%%3\left(2x-0,5\right)=4-2\left(1-x\right)%%

%%3\left(2x-0,5\right)=4-2\left(1-x\right)%%

%%6x-1,5=4-2+2x%%

Auf jeder Seite so weit wie möglich zusammenfassen und zur Übersicht sortieren:
Zuerst die Teile mit Variablen, dann die festen Zahlen.

%%6x-1,5=2x+2%%

%%\left|-2x +1,5\right.%%

Alle Teilterme mit Variablen auf die eine, die festen Zahlen auf die andere Seite bringen.

%%4x=3,5%%

%%\left|:4\right.%%

Durch die Zahl vor der Variablen dividieren.

%%x=\frac{3,5}4%%

Zur Darstellung mit natürlichen Zahlen den Bruch erweitern.

%%x=\frac{3,5\cdot2}{4\cdot2}=\frac78%%

%%\,%%

%%L=\left\{\frac78\right\}%%

%%7-\left[-3\left(11-5x\right)\right]=2x-1-\left(1-4x\right)%%

%%7-\left[-3\left(11-5x\right)\right]=2x-1-\left(1-4x\right)%%

Klammern auflösen, beginne mit runden Klammern.

%%7-\left[-33+15x\right]=2x-1-1+4x%%

%%7+33-15x=2x-1-1+4x%%

Fasse zusammen.

%%40-15x=-2+6x%%

%%\begin{array}{l}\left|+15x\right.\\\left|+2\right.\end{array}%%

%%21x=42%%

%%\left|:21\right.%%

%%x=2%%

 

%%L=\left\{2\right\}%%

 

%%-1\frac34-0,8\left(x-4\right)=-\frac23\left(\frac3{10}x-3\right)+0,5%%

%%-1\frac34-\;0,8(x-4)=-\frac23(\frac3{10}x-3)+0,5%%

%%-1\frac34-\;0,8x+3,2=-\frac15x+2+0,5%%

Summanden addieren, die man zusammenzählen kann (alle ohne x und alle mit x auf jeder Seite)

%%1,45-0,8x=-\frac15x+2,5%%

%%\vert+\frac15x%%

%%\mid-1,45%%

Schreibe alle Terme mit x auf die linke Seite, die anderen Summanden auf die rechte Seite.

%%-0,8\mathrm x+\frac15\mathrm x=-1,45+2,5%%

Fasse zusammen.

%%-0,6x = 1,05%%

%%\mid : (-0,6)%%

      %%\mathrm x=-1,75%%

 

%%L=\{-1,75\}%%

Bestimme die Lösung der Gleichung  %%\left(11,25+2\frac23\right)-x=4,7-3\frac7{12}%% .

%%\left(11,25+2\frac23\right)-x=4,7-3\frac7{12}%%

Fasse zusammen.

%%\frac{45}4+\frac83-x=\frac{47}{10}-\frac{43}{12}%%

%%\begin{array}{l}\left|-\frac{47}{10}\right.\\\left|+\frac{43}{12}\right.\\\left|+x\right.\end{array}%%

%%x=\frac{45}4+\frac83+\frac{43}{12}-\frac{47}{10}%%

Gemeinsamen Hauptnenner 60 bilden und alle Brüche auf diesen erweitern.

%%x=\frac{675}{60}+\frac{160}{60}+\frac{215}{60}-\frac{282}{60}%%

Fasse zusammen.

%%x=\frac{768}{60}%%

Kürze den Bruch.

%%x=\frac{64}5%%

%%L=\left\{\frac{64}5\right\}%%

An einer Schule gibt es w weibliche und m männliche Lehrkräfte. Beschreibe in Worten, welche Aussage jeweils mit der Gleichung verbunden ist.

  1. w + m = 65

  2. w = m + 25

  3. w - 5 = 2m

  4. 3m - 15 = w

Gleichungen

Artikel zum Thema

  1. Es gibt insgesamt 65 weibliche und männliche Lehrkräfte.

  2. DIe Anzahl der männlichen Lehrkräfte ist um 25 Personen niedriger als die Anzal der weiblichen Lehrkräfte.

  3. Wenn man 5 von den Anzahl der weiblichen Lehrkräften abzieht, so erhält man die doppelte Anzahl der männlichen Lehrkräfte.

  4. Das dreifache der Anzahl der männlichen Lehrkräfte ist um 15 Personnen größer als die Anzahl der weiblichen Lehrkräfte.

Löse folgende Gleichung, indem du zuerst mit dem Hauptnenner beide Seiten der Gleichung multiplizierst:

%%\frac13x-\frac3{10}+\frac43x=-x+1\frac16-\frac5{12}x+2%%

%%\frac13x-\frac3{10}+\frac43x=-x+1\frac16-\frac5{12}x+2%%

Bilde den Hauptnenner der linken Seite.

%%\frac{10x}{30}-\frac9{30}+\frac{40x}{30}=-x+1\frac16-\frac5{12}x+2%%

Fasse die linke Seite soweit wie möglich zusammen.

%%\frac{50x-9}{30}=-x+1\frac16-\frac5{12}x+2%%

Bilde den Hauptnenner der rechten Seite.

Beachte: Bevor du den Hauptnenner der Zahl %%1\frac16%% bildest, werde dir bewusst, dass es sich hier um einen gemischten Bruch handelt, also %%1\frac16=\frac76%%.

%%\frac{50x-9}{30}=\frac{-12x+14-5x+24}{12}%%

Fasse den Nenner auf der rechten Seite soweit wie möglich zusammen.

%%\frac{50x-9}{30}=\frac{-17x+38}{12}%%

%%\left|\cdot30\right.%%

%%50x-9=\frac{-17x+38}{12}\cdot30%%

%%\left|\cdot12\right.%%

%%\left(50x-9\right)\cdot12=\left(-17x+38\right)\cdot30%%

%%600x-108=-510x+1140%%

%%\left|+108\right.%%

%%600x=-510x+1248%%

%%\left|+510x\right.%%

%%1110x=1248%%

%%\left|:1110\right.%%

%%x=\frac{1248}{1110}%%

%%L=\left\{\frac{1248}{1110}\right\}%%

Löse folgende Formeln nach der angegebenden Variable auf.

%%\frac b{2r\mathrm\pi}=\frac\alpha{360^\circ}%% nach %%r%%

%%\frac b{2r\mathrm\pi}=\frac\alpha{360^\circ}%%

%%\left|\cdot2r\mathrm\pi\right.%%

%%{\textstyle\mathrm b}=\frac\alpha{360^\circ}\cdot2r\mathrm\pi%%

%%{\textstyle\mathrm b}=\frac{\alpha\cdot2r\mathrm\pi}{360^\circ}%%

%%\left|\cdot360^\circ\right.%%

%%\textstyle360^\circ\cdot\mathrm b=\mathrm a\cdot2\mathrm{rπ}%%

%%\left|:a\right.%%

%%\frac{360^\circ\cdot b}a=2r\mathrm\pi%%

%%\left|:2\mathrm\pi\right.%%

%%\frac{360^\circ\cdot b}{a\cdot2\mathrm\pi}=\mathrm r%%

%%V=\frac{D-d}2\cdot\frac{L_1}L%% nach %%d%%

%%V=\frac{D-d}2\cdot\frac{L_1}L%%

%%\left|:\frac{L_1}L\right.%%

%%\frac V{\displaystyle\frac{L_1}L}=\frac{D-d}2%%

%%V\cdot\frac L{L_1}=\frac{D-d}2%%

%%\left|\cdot2\right.%%

%%V\cdot\frac L{L_1}\cdot2=D-d%%

%%\left|-D\right.%%

%%V\cdot\frac L{L_1}\cdot2-D=-d%%

%%\left|\cdot(-1)\right.%%

%%d=D-\frac{V\cdot L\cdot2}{L_1}%%

%%A=\frac{a+c}2\cdot h-\mathrm{πr}^2%% nach %%c%%

%%A=\frac{a+c}2\cdot h-\mathrm{πr}^2%%

%%\left|+\mathrm{πr}^2\right.%%

%%A+\mathrm{πr}^2=\frac{a+c}2\cdot h%%

%%\left|:h\right.%%

%%\frac{A+\mathrm{πr}^2}h=\frac{a+c}2%%

%%\left|\cdot2\right.%%

%%\frac{A+\mathrm{πr}^2}h\cdot2=a+c%%

%%\left|-a\right.%%

%%\frac{2A+2\mathrm{πr}^2}h-a=c%%

Forme so um, dass %%r^2%% auf der linken Seite steht:

%%A=\frac{a+c}2\cdot h-\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2%%

%%A=\frac{a+c}2\cdot h-\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2%%

%%A=\frac{h\cdot\left(a+c\right)}2-\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2%%

%%\left|+\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2\right.%%

%%A+\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2=\frac{\mathrm h\cdot\left(\mathrm a+\mathrm c\right)}2%%

%%A+\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2=\frac{ha + hc}2%%

%%\left|-A\right.%%

%%\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2=\frac{ha + hc}2-A%%

%%\left|:\mathrm\pi\right.%%

%%r^2=\frac{\frac{ha + hc}2-A}{\mathrm\pi}%%

Bringe die Brüche auf den Hauptnenner.

%%\mathrm r^2=\frac{\left(\frac{ha + hc}2-\frac{2A}2\right)}{\mathrm\pi}%%

Fasse die Brüche zusammen.

Durch eine Zahl zu dividieren bedeutet mit ihrem Kehrwert zu multiplizieren .

%%\mathrm r^2=\frac{ha+hc-2A}2\cdot\frac1{\mathrm\pi}%%

Fasse die Brüche zusammen.

%%\mathrm r^2=\frac{ha + hc - 2A}{2\mathrm\pi}%%

Stelle folgende Formeln nach a um.

Stelle nach a, dann nach b dann nach c und dann wieder nach a um, so dass du am Ende die gleiche Gleichung wie am Anfang hast.

%%\frac{\mathrm b}{\mathrm a}=\mathrm c%%

Nach a auflösen:

%%\frac ba=c%%

%%|\cdot a%%

%%b=c\cdot a%%

%%|:c%%

%%a=\frac bc%%

Nach b auflösen:

%%a=\frac bc%%

%%|\cdot c%%

%%b=a\cdot c%%

Nach c auflösen:

%%b=a\cdot c%%

%%|: a%%

%%c=\frac ba%%

Wieder nach a auflösen:

%%a=\frac bc%%

Gehe genau wie im ersten Schritt vor.

%%\mathrm a\cdot\mathrm b=\mathrm c%%

Nach a auflösen:

%%a\cdot b =c%%

%%|:b%%

%%a=\frac cb%%

Nach b auflösen:

%%a=\frac cb%%

%%|\cdot b%%

%%a\cdot b =c%%

%%|: a%%

%%b=\frac ca%%

Nach c auflösen:

%%b=\frac ca%%

%%|\cdot a%%

%%c=b\cdot a%%

Wieder nach a auflösen:

%%a=\frac cb%%

Genau wie im ersten Schritt.

Bestimme die Lösungsmenge der Gleichungen.

Zu text-exercise-group 56261:
Nish 2018-10-04 12:55:38
Die Lösungen zu den Teilaufgaben sollte nach den aktuellen Richtlinien für Aufgabenlösungen überarbeitet werden! ;) Richtlinie findet Ihr unter www.serlo.org/community -> Hilfe zur Bearbeitung -> Richtlinien für Inhalte

LG,
Nish
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%%x^3-x=0%%

%%x^3-x=0%%

Klammere %%x%% aus.

%%x\cdot(x^2-1)=0%%

Wende den Satz vom Nullprodukt an.

%%x=0%% und/oder %%x^2-1=0%%

Löse die zweite Gleichung, indem du sie nach %%x^2%% auflöst.

%%x=0%% und/oder %%x^2=1%%

Ziehe die Wurzel.

%%x=0%% und/oder %%x=\pm1%%

%%\mathrm{L}=\{-1;0;1\}%%

%%(x^2+1)\cdot(x-42)=0%%

%%(x^2+1)\cdot(x-42)=0%%

Wende den Satz vom Nullprodukt an.

%%x^2+1=0%% und/oder %%x-42=0%%

Löse die linke Seite nach %%x^2%% auf.

%%x^2=-1%% und/oder %%x-42=0%%

Quadratzahlen sind nicht negativ, weshalb die linke Gleichung nicht lösbar ist.

%%x=42%%

%%\mathrm{L}=\{42\}%%

Gib die Lösungsmenge folgender Gleichungen an.

%%\frac{2x+4}8=\frac{8x-7}{20}%%

Bruchgleichungen

Artikel zum Thema

%%\frac{2x+4}8=\frac{8x-7}{20};%%

%%\begin{array}{l}\left|\cdot20\right.\\\left|\cdot8\right.\end{array}%%

%%(2x+4)\;20\;=\;(8x-7)\;8%%

%%40x+80=64x-56;%%

%%\begin{array}{l}\left|+56\right.\\\left|-40x\right.\end{array}%%

%%136=24x%%

%%\left|:24\right.%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;x=\frac{17}3=5\frac23%%

%%\frac29\cdot\frac x{11}=\frac{27}{22}%%

Bruchgleichungen

Artikel zum Thema

%%\frac29\cdot\frac x{11}=\frac{27}{22};%%

%%\frac{2x}{99}=\frac{27}{22}%%

%%\begin{array}{l}\left|\cdot99\right.\\\left|\cdot22\right.\end{array}%%

"Über Kreuz multiplizieren."

%%44x=27\cdot99%%

%%\left|:44\right.%%

%%x=\frac{2673}{44}%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;x=\frac{243}4=60,75%%

Löse die folgende Gleichung nach %%x%% auf $$3x + 7-2x = 5x -\frac{1}{2} -3x$$

Leider falsch. Denk noch einmal scharf nach ;)

Hoppla, da hast du dich verrechnet.

Sehr gut gemacht!

Sortiere zuerst die %%x%%-Terme auf beiden Seiten um und fasse sie dann zusammen

$$\begin{array}{l,l,c,r} &\text{ Sortierte Gleichung lautet: } &3x - 2x + 7 &= &5x-3x -\frac{1}{2}\\ &\text{ Zusammengefasste Gleichung lautet: } &x + 7 &= &2x - \frac{1}{2}\end{array}$$

Subtrahiere %%x%% auf beiden Seitender Gleichung.

$$\begin{array}{l,l,c,r} &\text{ Neue Gleichung lautet: }&7 &= &x - \frac{1}{2}\end{array}$$

Addiere nun %%\dfrac{1}{2}%% auf beiden Seiten.

Die Lösung ist somit %%x = 7 + \dfrac{1}{2} = 7,5%%

%%4x+4=3x+3%%

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