Aufgaben

Löse folgende Gleichungen:

Hinweis: Gib die Lösungsmenge ohne %%L%%, das Gleichheitszeichen %%=%% und die geschweiften Klammern %%\{\}%% an. Falls du für die Lösung mehrere Werte (Zahlen) erhältst , musst du sie durch Kommata %%,%% trennen.

Beispiel: Wenn die Lösungsmenge %%L =\{4,5,9\}%% ist, dann gib in das Feld ein: %%4,5,9%%.

%%4x+4=3x+3%%

%%3x=x+5%%

%%\frac1{12}x-5=3%%

%%-8x+5=-5%%

%%-8x+5=-5%%

%%\left|-5\right.%%

%%-8x=-10%%

%%\left|:(-8)\right.%%

$$x=\frac{-10}{-8}$$

$$x=\frac{10}{8}=\frac{5}{4}=1,25$$

%%L=\left\{1,25\right\}%%

%%x+4=9x-\left(5-x\right)%%

%%\frac1{24}x=0%%

Löse folgende Gleichungen

%%3\left(a-4\right)=1-\frac15\left(2-a\right)%%

%%3(a-4)=1-\frac15(2-a)%%

%%3a-12=1-\frac25+\frac15a%%

Fasse zusammen.

%%3a-12=\frac35+\frac15a%%

%%|-\frac15a%%

%%|+12%%

%%3a-\frac{1}5a=\frac{3}5+12%%

Fasse zusammen.

%%\frac{14}5a=\frac{63}5%%

%%\left|:\frac{14}5\right.%%

%%a=\frac92=4,5%%

%%L=\{4,5\}%%

%%3\left(4x-3\right)=4\left(3x-4\right)%%

Nach x auflösen

Wenn du nicht weißt, wie du vorgehen sollst, sieh dir diesen Artikel an zum Lösen von Gleichungen.

%%12x-9=12x-16%%

%%\left|-12x\right.%%

%%-9=-16%%

Ist nicht lösbar.

%%L=\emptyset%%

Finde durch gezieltes Probieren die beiden Lösungen von %%\left|x-3\right|=2%%

Hierbei bezeichnet %%\left|…\right|%% den Betrag, z.B. %%\left|-7\right|=+7,\;\left|+7\right|=+7\;%% .

Die Lösungen hängen mit 3 und 2 zusammen. Probiere also:

  1. %%2+3=5%%
  2. %%2-3=-1%%
  3. %%3-2=1%%

1. x = 5

%%|5-3|=2%%

%%2=2%%

x = 5 ist also eine Lösung.

2. x = -1

%%|-1-3|=2%%

%%|-4|=2%%

%%4\neq2%%

x = -1 ist also keine Lösung.

3. x = 1

%%|1-3|=2%%

%%|-2|=2%%

%%2=2%%

x = 1 ist also die zweite Lösung.

Prüfe durch Einsetzen, ob %%x=1,\;2,\;3,\;4,\;5%% eine Lösung ist :

%%\frac{90}x=x^2+21%%

1. x = 1

%%\frac{90}x=x^2+21%%

Setze ein.

%%{\textstyle90}=1+21%%

%%{\textstyle90}\neq22%%

x = 1 löst die Gleichung nicht.

2. x = 2

%%\frac{90}2=2^2+21%%

%%45=2^2+21%%

%%45=4+21%%

%%45\neq25%%

x = 2 löst die Gleichung nicht.

3. x = 3

%%\frac{90}3=3^2+21%%

%%30=3^2+21%%

%%30=9+21%%

%%30=30%%

x = 3 ist Lösung der Gleichung.

4. x = 4

%%\frac{90}4=4^2+21%%

%%22,5=4^2+21%%

%%22,5=16+21%%

%%22,5\neq37%%

x = 4 löst die Gleichung nicht.

5. x = 5

%%\frac{90}5=5^2+21%%

%%18=5^2+21%%

%%18=25+21%%

%%18\neq46%%

x = 5 löst die Gleichung nicht.

Bestimme die Lösung der Gleichungen.

%%\left(x-2\right)\left(3x-1\right)=3\left(x+1\right)x-2\left(5x+1\right)%%

%%(x-2)(3x-1)=3(x+1)x-2(5x+1)%%

%%3x^2-x-6x+2=(3x+3)x-10x-2%%

%%3x^2-x-6x+2=(3x+3)x-10x-2%%

%%3x^2-x-6x+2=3x^2+3x-10x-2%%

Fasse zusammen.

%%3x^2-7x+2=3x^2-7x-2%%

%%\begin{array}{l}\left|-3x^2\right.\\\left|+7x\right.\end{array}%%

%%2=-2%%

=> Für x kann keine Zahl eingesetzt werden, sodass die Gleichung wahr ist.

%%L=\emptyset%%

%%\left[\left(x+3\right)\cdot2+4\right]\cdot5-10x=50%%

%%\left[(x+3)\cdot2+4\right]\cdot5-10x=50%%

Multipliziere die Klammern aus.

(Runde Klammern haben höhere Priorität als Eckige)

%%\left[2x+6+4\right]\cdot5-10x=50%%

Fasse in der eckigen Klammer zusammen.

%%\left[2x+10\right]\cdot5-10x=50%%

%%10x+50-10x=50%%

Fasse zusammen.

%%50=50%%

Gilt für jedes x.

%%L=G%%

=> Alle Zahlen sind einsetzbar

%%3\left(2x-0,5\right)=4-2\left(1-x\right)%%

%%3\left(2x-0,5\right)=4-2\left(1-x\right)%%

%%6x-1,5=4-2+2x%%

Auf jeder Seite so weit wie möglich zusammenfassen und zur Übersicht sortieren:
Zuerst die Teile mit Variablen, dann die festen Zahlen.

%%6x-1,5=2x+2%%

%%\left|-2x +1,5\right.%%

Alle Teilterme mit Variablen auf die eine, die festen Zahlen auf die andere Seite bringen.

%%4x=3,5%%

%%\left|:4\right.%%

Durch die Zahl vor der Variablen dividieren.

%%x=\frac{3,5}4%%

Zur Darstellung mit natürlichen Zahlen den Bruch erweitern.

%%x=\frac{3,5\cdot2}{4\cdot2}=\frac78%%

%%\,%%

%%L=\left\{\frac78\right\}%%

%%7-\left[-3\left(11-5x\right)\right]=2x-1-\left(1-4x\right)%%

%%7-\left[-3\left(11-5x\right)\right]=2x-1-\left(1-4x\right)%%

Klammern auflösen, beginne mit runden Klammern.

%%7-\left[-33+15x\right]=2x-1-1+4x%%

%%7+33-15x=2x-1-1+4x%%

Fasse zusammen.

%%40-15x=-2+6x%%

%%\begin{array}{l}\left|+15x\right.\\\left|+2\right.\end{array}%%

%%21x=42%%

%%\left|:21\right.%%

%%x=2%%

 

%%L=\left\{2\right\}%%

 

%%-1\frac34-0,8\left(x-4\right)=-\frac23\left(\frac3{10}x-3\right)+0,5%%

%%-1\frac34-\;0,8(x-4)=-\frac23(\frac3{10}x-3)+0,5%%

%%-1\frac34-\;0,8x+3,2=-\frac15x+2+0,5%%

Summanden addieren, die man zusammenzählen kann (alle ohne x und alle mit x auf jeder Seite)

%%1,45-0,8x=-\frac15x+2,5%%

%%\vert+\frac15x%%

%%\mid-1,45%%

Schreibe alle Terme mit x auf die linke Seite, die anderen Summanden auf die rechte Seite.

%%-0,8\mathrm x+\frac15\mathrm x=-1,45+2,5%%

Fasse zusammen.

%%-0,6x = 1,05%%

%%\mid : (-0,6)%%

      %%\mathrm x=-1,75%%

 

%%L=\{-1,75\}%%

Bestimme die Lösung der Gleichung  %%\left(11,25+2\frac23\right)-x=4,7-3\frac7{12}%% .

%%\left(11,25+2\frac23\right)-x=4,7-3\frac7{12}%%

Fasse zusammen.

%%\frac{45}4+\frac83-x=\frac{47}{10}-\frac{43}{12}%%

%%|-\frac{47}{10}%%

%%\frac{45}4+\frac83-x - \frac{47}{10} =-\frac{43}{12}%%

%%|+\frac{43}{12}%%

%%\frac{45}4+\frac83-x - \frac{47}{10} +\frac{43}{12}= 0%%

%%|+x%%

%%x=\frac{45}4+\frac83+\frac{43}{12}-\frac{47}{10}%%

Gemeinsamen Hauptnenner 60 bilden und alle Brüche auf diesen erweitern.

%%x=\frac{675}{60}+\frac{160}{60}+\frac{215}{60}-\frac{282}{60}%%

Fasse zusammen.

%%x=\frac{768}{60}%%

Kürze den Bruch.

%%x=\frac{64}5%%

%%L=\left\{\frac{64}5\right\}%%

An einer Schule gibt es w weibliche und m männliche Lehrkräfte. Beschreibe in Worten, welche Aussage jeweils mit der Gleichung verbunden ist.
  1. w + m = 65
  2. w = m + 25
  3. w - 5 = 2m
  4. 3m - 15 = w

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen:Gleichungen

  1. Es gibt insgesamt 65 Lehrkräfte.
  2. Die Anzahl der männlichen Lehrkräfte ist um 25 Personen niedriger als die Anzahl der weiblichen Lehrkräfte.
  3. Wenn man 5 von den Anzahl der weiblichen Lehrkräften abzieht, so erhält man die doppelte Anzahl der männlichen Lehrkräfte.
  4. Das dreifache der Anzahl der männlichen Lehrkräfte ist um 15 Personnen größer als die Anzahl der weiblichen Lehrkräfte.

Löse folgende Gleichung, indem du zuerst mit dem Hauptnenner beide Seiten der Gleichung multiplizierst:

%%\frac13x-\frac3{10}+\frac43x=-x+1\frac16-\frac5{12}x+2%%

%%\frac13x-\frac3{10}+\frac43x=-x+1\frac16-\frac5{12}x+2%%

Bilde den Hauptnenner der linken Seite.

%%\frac{10x}{30}-\frac9{30}+\frac{40x}{30}=-x+1\frac16-\frac5{12}x+2%%

Fasse die linke Seite soweit wie möglich zusammen.

%%\frac{50x-9}{30}=-x+1\frac16-\frac5{12}x+2%%

Bilde den Hauptnenner der rechten Seite.

Beachte: Bevor du den Hauptnenner der Zahl %%1\frac16%% bildest, werde dir bewusst, dass es sich hier um einen gemischten Bruch handelt, also %%1\frac16=\frac76%%.

%%\frac{50x-9}{30}=\frac{-12x+14-5x+24}{12}%%

Fasse den Nenner auf der rechten Seite soweit wie möglich zusammen.

%%\frac{50x-9}{30}=\frac{-17x+38}{12}%%

%%\left|\cdot30\right.%%

%%50x-9=\frac{-17x+38}{12}\cdot30%%

%%\left|\cdot12\right.%%

%%\left(50x-9\right)\cdot12=\left(-17x+38\right)\cdot30%%

%%600x-108=-510x+1140%%

%%\left|+108\right.%%

%%600x=-510x+1248%%

%%\left|+510x\right.%%

%%1110x=1248%%

%%\left|:1110\right.%%

%%x=\frac{1248}{1110}%%

%%L=\left\{\frac{1248}{1110}\right\}%%

Löse folgende Formeln nach der angegebenden Variable auf.

%%\frac b{2r\mathrm\pi}=\frac\alpha{360^\circ}%% nach %%r%%

%%\frac b{2r\mathrm\pi}=\frac\alpha{360^\circ}%%

%%\left|\cdot2r\mathrm\pi\right.%%

%%{\textstyle\mathrm b}=\frac\alpha{360^\circ}\cdot2r\mathrm\pi%%

%%{\textstyle\mathrm b}=\frac{\alpha\cdot2r\mathrm\pi}{360^\circ}%%

%%\left|\cdot360^\circ\right.%%

%%\textstyle360^\circ\cdot\mathrm b=\mathrm a\cdot2\mathrm{rπ}%%

%%\left|:a\right.%%

%%\frac{360^\circ\cdot b}a=2r\mathrm\pi%%

%%\left|:2\mathrm\pi\right.%%

%%\frac{360^\circ\cdot b}{a\cdot2\mathrm\pi}=\mathrm r%%

%%V=\frac{D-d}2\cdot\frac{L_1}L%% nach %%d%%

%%V=\frac{D-d}2\cdot\frac{L_1}L%%

%%\left|:\frac{L_1}L\right.%%

%%\frac V{\displaystyle\frac{L_1}L}=\frac{D-d}2%%

%%V\cdot\frac L{L_1}=\frac{D-d}2%%

%%\left|\cdot2\right.%%

%%V\cdot\frac L{L_1}\cdot2=D-d%%

%%\left|-D\right.%%

%%V\cdot\frac L{L_1}\cdot2-D=-d%%

%%\left|\cdot(-1)\right.%%

%%d=D-\frac{V\cdot L\cdot2}{L_1}%%

%%A=\frac{a+c}2\cdot h-\mathrm{πr}^2%% nach %%c%%

%%A=\frac{a+c}2\cdot h-\mathrm{πr}^2%%

%%\left|+\mathrm{πr}^2\right.%%

%%A+\mathrm{πr}^2=\frac{a+c}2\cdot h%%

%%\left|:h\right.%%

%%\frac{A+\mathrm{πr}^2}h=\frac{a+c}2%%

%%\left|\cdot2\right.%%

%%\frac{A+\mathrm{πr}^2}h\cdot2=a+c%%

%%\left|-a\right.%%

%%\frac{2A+2\mathrm{πr}^2}h-a=c%%

Forme so um, dass %%r^2%% auf der linken Seite steht:

%%A=\frac{a+c}2\cdot h-\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2%%

%%A=\frac{a+c}2\cdot h-\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2%%

%%A=\frac{h\cdot\left(a+c\right)}2-\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2%%

%%\left|+\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2\right.%%

%%A+\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2=\frac{\mathrm h\cdot\left(\mathrm a+\mathrm c\right)}2%%

%%A+\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2=\frac{ha + hc}2%%

%%\left|-A\right.%%

%%\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2=\frac{ha + hc}2-A%%

%%\left|:\mathrm\pi\right.%%

%%r^2=\frac{\frac{ha + hc}2-A}{\mathrm\pi}%%

Bringe die Brüche auf den Hauptnenner.

%%\mathrm r^2=\frac{\left(\frac{ha + hc}2-\frac{2A}2\right)}{\mathrm\pi}%%

Fasse die Brüche zusammen.

Durch eine Zahl zu dividieren bedeutet mit ihrem Kehrwert zu multiplizieren .

%%\mathrm r^2=\frac{ha+hc-2A}2\cdot\frac1{\mathrm\pi}%%

Fasse die Brüche zusammen.

%%\mathrm r^2=\frac{ha + hc - 2A}{2\mathrm\pi}%%

Stelle folgende Formeln nach a um.

Stelle nach a, dann nach b dann nach c und dann wieder nach a um, so dass du am Ende die gleiche Gleichung wie am Anfang hast.

%%\frac{\mathrm b}{\mathrm a}=\mathrm c%%

Nach a auflösen:

%%\frac ba=c%%

%%|\cdot a%%

%%b=c\cdot a%%

%%|:c%%

%%a=\frac bc%%

Nach b auflösen:

%%a=\frac bc%%

%%|\cdot c%%

%%b=a\cdot c%%

Nach c auflösen:

%%b=a\cdot c%%

%%|: a%%

%%c=\frac ba%%

Wieder nach a auflösen:

%%a=\frac bc%%

Gehe genau wie im ersten Schritt vor.

%%\mathrm a\cdot\mathrm b=\mathrm c%%

Nach a auflösen:

%%a\cdot b =c%%

%%|:b%%

%%a=\frac cb%%

Nach b auflösen:

%%a=\frac cb%%

%%|\cdot b%%

%%a\cdot b =c%%

%%|: a%%

%%b=\frac ca%%

Nach c auflösen:

%%b=\frac ca%%

%%|\cdot a%%

%%c=b\cdot a%%

Wieder nach a auflösen:

%%a=\frac cb%%

Genau wie im ersten Schritt.

Bestimme die Lösungsmenge der Gleichungen.

Zu text-exercise-group 56261:
Nish 2018-10-04 12:55:38+0200
Die Lösungen zu den Teilaufgaben sollte nach den aktuellen Richtlinien für Aufgabenlösungen überarbeitet werden! ;) Richtlinie findet Ihr unter www.serlo.org/community -> Hilfe zur Bearbeitung -> Richtlinien für Inhalte

LG,
Nish
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%%x^3-x=0%%

%%x^3-x=0%%

Klammere %%x%% aus.

%%x\cdot(x^2-1)=0%%

Wende den Satz vom Nullprodukt an.

%%x=0%% und/oder %%x^2-1=0%%

Löse die zweite Gleichung, indem du sie nach %%x^2%% auflöst.

%%x=0%% und/oder %%x^2=1%%

Ziehe die Wurzel.

%%x=0%% und/oder %%x=\pm1%%

%%\mathrm{L}=\{-1;0;1\}%%

%%(x^2+1)\cdot(x-42)=0%%

%%(x^2+1)\cdot(x-42)=0%%

Wende den Satz vom Nullprodukt an.

%%x^2+1=0%% und/oder %%x-42=0%%

Löse die linke Seite nach %%x^2%% auf.

%%x^2=-1%% und/oder %%x-42=0%%

Quadratzahlen sind nicht negativ, weshalb die linke Gleichung nicht lösbar ist.

%%x=42%%

%%\mathrm{L}=\{42\}%%

Gib die Lösungsmenge folgender Gleichungen an.

%%\frac{2x+4}8=\frac{8x-7}{20}%%

Bruchgleichungen

Artikel zum Thema

%%\frac{2x+4}8=\frac{8x-7}{20};%%

%%\begin{array}{l}\left|\cdot20\right.\\\left|\cdot8\right.\end{array}%%

%%(2x+4)\;20\;=\;(8x-7)\;8%%

%%40x+80=64x-56;%%

%%\begin{array}{l}\left|+56\right.\\\left|-40x\right.\end{array}%%

%%136=24x%%

%%\left|:24\right.%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;x=\frac{17}3=5\frac23%%

%%\frac29\cdot\frac x{11}=\frac{27}{22}%%

Bruchgleichungen

Artikel zum Thema

%%\frac29\cdot\frac x{11}=\frac{27}{22};%%

%%\frac{2x}{99}=\frac{27}{22}%%

%%\begin{array}{l}\left|\cdot99\right.\\\left|\cdot22\right.\end{array}%%

"Über Kreuz multiplizieren."

%%44x=27\cdot99%%

%%\left|:44\right.%%

%%x=\frac{2673}{44}%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;x=\frac{243}4=60,75%%

Löse die folgende Gleichung nach xx auf: 3x+7+2x=5x123x3x + 7 + 2x = 5x - \dfrac{1}{2} - 3x
x=7,5x = 7,5
x=78x = \dfrac{7}{8}
x=34x = - \dfrac{3}{4}
Sortiere zuerst die xx-Terme auf beiden Seiten um und fasse sie dann zusammen
 Sortierte Gleichung lautet: 3x2x+7=5x3x12 Zusammengefasste Gleichung lautet: x+7=2x12\displaystyle \begin{array}{llcr} &\text{ Sortierte Gleichung lautet: } &3x - 2x + 7 &= &5x-3x -\frac{1}{2}\\ &\text{ Zusammengefasste Gleichung lautet: } &x + 7 &= &2x - \frac{1}{2}\end{array}
Subtrahiere xx auf beiden Seitender Gleichung.
 Neue Gleichung lautet: 7=x12\displaystyle \begin{array}{llcr} &\text{ Neue Gleichung lautet: }&7 &= &x - \frac{1}{2}\end{array}
Addiere nun 12\dfrac{1}{2} auf beiden Seiten.
Die Lösung ist somit x=7+12=7,5x = 7 + \dfrac{1}{2} = 7,5

%%4x+4=3x+3%%

Ermittle die Lösungsmenge der Gleichungen über die Grundmenge %%\mathbb{Z}%% und trage die Elemente der Lösungsmenge in das Feld daneben ein.

Beipiele:

%%\mathbb{L}=\{2\}%%, dann trage in das Feld %%2%% ein.

%%\mathbb{L}=\{2;3;4\}%%, dann trage in das Feld %%2;3;4%% ein.

%%\mathbb{L}=\{\}%%, dann trage in das Feld %%\text{leer}%% ein.

x+3=4x+3=4
Tipp: Überlege dir welche Zahl du zu 33 addieren musst, damit du 44 erhältst.

Lösen einer Gleichung über G=Z\mathbb{G}=\mathbb{Z}.

Diese Aufgabe kannst du durch Umformungen der Gleichung oder geschicktes Einsetzen lösen.

1. Umformen

x+3=4x+3=4
x+33=43x+3-3=4-3
x=1x=1
|3-3
Fasse weiter zusammen.
Da 11 ein Element der ganzen Zahlen Z\mathbb{Z} ist, ist die gesuchte Lösungsmenge: L={1}\mathbb{L}=\{1\}.

2. Geschicktes Einsetzen

Überlege dir hierbei, welche Zahl du zu 33 addieren musst, damit du 44 erhältst.
Die Lösung ist 11, da 1+3=41+3= 4 und da 1Z1\in\mathbb{Z} ist, ist die gesuchte Lösungsmenge: L={1}\mathbb{L}=\{1\}.
Du hast eine weitere Variante gefunden diese Aufgabe zu lösen? Dann schreib uns gerne in die Kommentare oder füge deine Variante der Lösung hinzu.
2x=22 x=2
Tipp: Überlege dir welche Zahl du mit 22 multiplizieren musst, damit du wieder 22 erhältst.

Lösen einer Gleichung über G=Z\mathbb{G}=\mathbb{Z}.

Diese Aufgabe kannst du durch Umformungen der Gleichung oder geschicktes Einsetzen lösen.

1. Umformen

2x=22 x=2
|:2:2
x=2:2x=2:2
Kürze beide Brüche so weit wie möglich.
x=1x=1

Da 11 ein Element der ganzen Zahlen Z\mathbb{Z} ist, ist die gesuchte Lösungsmenge: L={1}\mathbb{L}=\{1\}.

2. Geschicktes Einsetzen

Überlege dir hierbei, welche Zahl du mit 22 multiplizieren musst, damit du wieder 22 erhältst.
Die Lösung ist 11, da 21=22\cdot 1= 2 und da 1Z1\in\mathbb{Z} ist, ist die gesuchte Lösungsmenge: L={1}\mathbb{L}=\{1\}.
Du hast eine weitere Variante gefunden diese Aufgabe zu lösen? Dann schreib uns gerne in die Kommentare oder füge deine Variante der Lösung hinzu.
6x=4x+46x=4x+4
Tipp: Forme die Gleichung so um, dass alle Terme mit einem xx auf der einen Seite der Gleichung und alle Terme ohne xx auf der anderen Seite der Gleichung stehen.

Lösen einer Gleichung über G=Z\mathbb{G}=\mathbb{Z}.

Durch Umformungen der Gleichung kannst du die Aufgabe Lösen. Forme die Gleichung dafür so um, dass alle Terme mit einem xx auf der einen Seite der Gleichung stehen und alle Terme ohne xx auf der anderen Seite der Gleichung stehen.
6x=4x+46x=4 x+4
6x4x=4x4x+46 x - 4 x=4 x - 4 x+4
2x=42 x=4
x=2x=2
|4x-4 x
Fasse weiter zusammen.
|:2:2
Da 22 ein Element der ganzen Zahlen Z\mathbb{Z} ist, ist die gesuchte Lösungsmenge: L={2}\mathbb{L}=\{2\}.
Du hast eine weitere Variante gefunden diese Aufgabe zu lösen? Dann schreib uns gerne in die Kommentare oder füge deine Variante der Lösung hinzu.
8x+8=12x8 x+8=12 x
Tipp: Forme die Gleichung so um, dass alle Terme mit einem xx auf der einen Seite der Gleichung und alle Terme ohne xx auf der anderen Seite der Gleichung stehen.

Lösen einer Gleichung über G=Z\mathbb{G}=\mathbb{Z}.

Diese Aufgabe kannst du durch Umformungen der Gleichung lösen. Dabei solltest du alle Terme mit einem xx auf die rechte oder linke Seite der Gleichung bringen.

1. Alle Terme mit xx auf die rechte Seite der Gleichung

8x+8=12x8 x+8=12 x
8x8x+8=12x8x8 x - 8x+8=12 x - 8 x
8=4x8=4 x
x=2x=2
|8x-8 x
Fasse weiter zusammen.
|:2:2
Da 22 ein Element der ganzen Zahlen Z\mathbb{Z} ist, ist die gesuchte Lösungsmenge: L={2}\mathbb{L}=\{2\}.

2. Alle Terme mit xx auf die linke Seite der Gleichung

8x+8=12x8 x+8=12 x
8x12x+8=12x12x8x - 12 x+8=12 x - 12 x
4x+8=0- 4 x+8=0
4x=8- 4 x=-8
x=2x=2
|12x-12 x
Fasse weiter zusammen.
|8-8
|:(4):(-4)
So wie bei der ersten Variante ist auch hier die Lösungsmenge L={2}\mathbb{L}=\{2\}.
Du hast eine weitere Variante gefunden diese Aufgabe zu lösen? Dann schreib uns gerne in die Kommentare oder füge deine Variante der Lösung hinzu.
5x+3=4x+25 x+3=4 x+2
Tipp: Forme die Gleichung so um, dass alle Terme mit einem xx auf der einen Seite der Gleichung und alle Terme ohne xx auf der anderen Seite der Gleichung stehen.

Lösen einer Gleichung über G=Z\mathbb{G}=\mathbb{Z}.

Durch Umformungen der Gleichung kannst du die Aufgabe Lösen. Forme die Gleichung dafür so um, dass alle Terme mit einem xx auf der einen Seite der Gleichung stehen und alle Terme ohne xx auf der anderen Seite der Gleichung stehen.
5x+3=4x+25 x+3=4 x+2
x+3=2x+3=2
x=1x=-1
|4x-4 x
|3-3
Da 1-1 ein Element der ganzen Zahlen Z\mathbb{Z} ist, ist die gesuchte Lösung: L={1}\mathbb{L}=\{-1\}.
Du hast eine weitere Variante gefunden diese Aufgabe zu lösen? Dann schreib uns gerne in die Kommentare oder füge deine Variante der Lösung hinzu.
2x2=4x+1-2x-2=-4x+1
Tipp: Forme die Gleichung so um, dass alle Terme mit einem xx auf der einen Seite der Gleichung und alle Terme ohne xx auf der anderen Seite der Gleichung stehen.

Lösen einer Gleichung über G=Z\mathbb{G}=\mathbb{Z}.

Durch Umformungen der Gleichung kannst du die Aufgabe Lösen. Forme die Gleichung dafür so um, dass alle Terme mit einem xx auf der einen Seite der Gleichung stehen und alle Terme ohne xx auf der anderen Seite der Gleichung stehen.
2x2=4x+1-2x-2=-4x+1
2x2=12x-2=1
2x=32x=3
x=1,5x=1,5
|+4x+4x
|+2+2
|:2:2
Da 1,51,5 kein Element der ganzen Zahlen Z\mathbb{Z} ist, ist die gesuchte Lösungsmenge: L={}\mathbb{L}=\{\}.
Die Zahl 1,51,5 ist ein Element der Menge der rationalen Zahlen.
Du hast eine weitere Variante gefunden diese Aufgabe zu lösen? Dann schreib uns gerne in die Kommentare oder füge deine Variante der Lösung hinzu.
0x=20x=2
Tipp: Wenn du eine beliebige Zahl mit 00 multipizierst, ist das Ergebnis immer 00.

Lösen durch Ausprobieren

Wenn du in unsere Gleichung verschiedene Werte einsetzt, fällt dir bestimmt schnell auf, dass bei dieser Aufgabe etwas nicht stimmt.
Für x=1x=1 erhalten wir:
01=020\cdot 1=0\neq2
Für x=2x=2 erhalten wir auch:
02=020\cdot 2=0\neq2
Wenn du eine beliebige Zahl mit 00 multipizierst, ist das Ergebnis immer 00. Deswegen erhältst du in beiden Fällen auf der linken Seite der Gleichung eine 00.
Die Gleichung ist also nicht lösbar und L={}\mathbb{L}=\{\}.
4x2=3x+π-4 x-2=-3 x +\pi

Tipp: Forme die Gleichung so um, dass alle Terme mit einem xx auf der einen Seite der Gleichung und alle Terme ohne xx auf der anderen Seite der Gleichung stehen.

Lösen einer Gleichung über G=Z\mathbb{G}=\mathbb{Z}.

Durch Umformungen der Gleichung kannst du die Aufgabe Lösen. Forme die Gleichung dafür so um, dass alle Terme mit einem xx auf der einen Seite der Gleichung stehen und alle Terme ohne xx auf der anderen Seite der Gleichung stehen.
Die Kreiszahl π\mathrm\pi ist eine der wichtigsten Konstanten in der Mathematik.
Näherungsweise ist π3,14159\mathrm\pi\approx3,14159. Zum Beispiel benötigt man π\pi zur Berechnung des Kreisumfangs.
4x2=3x+π-4 x-2=-3 x +\pi
x2=π- x-2=\pi
x=π+2- x=\pi+2
x=π2x=-\pi-2
|+3x+3 x
|+2+2
|:(1):(-1)
Da π25,14-\pi-2\approx-5,14 kein Element der ganzen Zahlen Z\mathbb{Z} ist, ist die gesuchte Lösungsmenge: L={}\mathbb{L}=\{\}.
Du hast eine weitere Variante gefunden diese Aufgabe zu lösen? Dann schreib uns gerne in die Kommentare oder füge deine Variante der Lösung hinzu.
Wähle die sinnvollste Grundmenge für die Sachsituation aus.
Du musst die Aufgaben nicht lösen!
Du möchstest bestimmen, nach wie vielen Stunden eine 20 cm hohe Kerze komplett abgebrannt ist, wenn sie pro Stunde 12 mm abbrennt.
G=QG=\mathbb Q
G=NG=\mathbb N
G=Q0+G=\mathbb Q^+_0
G={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}G=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen:Grundmenge von Gleichungen

Da deine Variable für eine Zeiteinheit stehen wird, machen negative Zahlen keinen Sinn. Das schließt G=QG=\mathbb Q aus.
Zeiteinheiten sind allerdings nicht immer ganzzahlig, sondern können auch durch Brüche oder Dezimalzahlen dargestellt werden. Deshalb eignet sich - ohne die Lösung berechnet zu haben - nur die Grundmenge G=Q0+G=\mathbb Q^+_0.
Die Hündin Loulou hat Welpen. Der Vater sagt seiner Tochter aber nicht wie viele, sondern gibt ihr ein Matherätsel, dessen Lösung der Anzahl der Hundewelpen entspricht
G=QG=\mathbb Q
G=N0G= \mathbb N_0
G=ZG=\mathbb Z
G=Q+G= \mathbb Q^+

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen:Grundmenge von Gleichungen

Du kannst davon ausgehen, dass auch sehr kleine Hunde nicht als halbe Hunde gezählt werden. Deshalb macht es keinen Sinn, Dezimalzahlen mit einzubeziehen.
Außerdem sind Anzahlen immer positiv. Es werden nach der Geburt nicht weniger Welpen durch das Wohnzimmer springen als vor der Geburt.
Deshalb ist die sinnvollste Grundmenge G=N0G=\mathbb N_0
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