Das Additionsverfahren ist eine Methode zum Lösen von Gleichungssystemen.

Um ein Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren zu lösen, werden die Gleichungen oder deren Vielfache so miteinander addiert bzw. subtrahiert, bis in jeder Gleichung nur noch eine Variable vorkommt.

Vorgehen an Beispielen

Gleichungssystem mit zwei Variablen und zwei Gleichungen

Notation

Erläuterung

%%\begin{array}{r|ccccc} \hphantom{II-I\toI}\mathrm{I}&-4a&+&3b&=&6\\ \mathrm{II}&3a&-&6b&=&3 \end{array}%%

Man wählt eine Variable aus und findet das kleinste gemeinsame Vielfache der Koeffizienten. Hier wählt man %%b%% und berechnet:

$$\mathrm{kgV(3;6)}=6$$

Nun vervielfacht man die Gleichungen so, dass die Koeffizienten der Variable in beiden Gleichungen gleich dem kgV sind.

Tipp

Es ist hilfreich, wenn man die Variable so wählt, dass die nachfolgenden Schritte möglichst einfach sind. Die Wahl der Variable ändert aber nur den Lösungsweg, nicht die Lösung. Mit der Zeit erkennt man, welche Wahl geschickt ist.

Hier: Man multipliziert die erste Gleichung mit %%2%%.

%%\begin{array}{r|ccccc} \mathrm{2\cdot I\to I'}&-8a&+&6b&=&12\\ \hphantom{II-I\to'}\mathrm{II} &3a&-&6b&=&3 \end{array}%%

Nun addiert (oder subtrahiert) man die Gleichungen voneinander, um die gewählte Variable zu eliminieren.

Hier: Man addiert %%\mathrm{I}'%% und %%\mathrm{II}%%.

%%\begin{array}{r|rrll} \mathrm{I'}&-8a&+6b&=12\\ \mathrm{II+I'\to II'} &3a\color{blue}{-6b}-8a\color{blue}{+6b}&&=3+12 \end{array}%%

Fasse zusammen.

%%\begin{array}{r|ccccc} \mathrm{I'}&-8a&+&6b&=&12\\ \hphantom{II-I\to}\mathrm{II'} &-5a&&&=&15 \end{array}%%

Jetzt ist %%\color{green}{a}%% die einzige Variable in der zweiten Gleichung. Man löst nach %%\color{green}{a}%% auf.

%%\begin{array}{r|ccccc} \mathrm{I'}&-8a&+&6b&=&12\\ \hphantom{II-I\to}\mathrm{II'} &\color{green}{a}&&&\color{green}{=}&\color{green}{-3} \end{array}%%

Es fehlt noch der Wert für %%\color{red}{b}%%. Da man nun weiß, dass %%a=-3%% sein muss, setzt man den Wert in %%\mathrm{I}'%% ein und löst nach %%\color{red}{b}%% auf.

%%\begin{array}{r|ccccc} \;a \mathrm{\text{ in }I'\to I''}&-8\cdot \color{green}{(-3)}&+6\color{red}{b}&=12 \end{array}%%

%%\begin{array}{r|rcl} \hphantom{II-I'\to}\mathrm{I}''&24+6b&=&12&|-24\\ \mathrm{I}''&6b&=&-12&|:6\\ \mathrm{I}''&\color{red}{b}&\color{red}{=}&\color{red}{-2} \end{array}%%

Insgesamt erhält man %%a=-3,\;b=-2%%. Die Werte für %%a%% und %%b%% schreibt man in ein Tupel. Die Lösungsmenge lautet:

%%L=\{(-3;-2)\}%%

Was ist ein Tupel?

Als Tupel bezeichnet man eine geordnete Menge von Werten. Während bei normalen Mengen die Reihenfolge keine Rolle spielt, ist sie bei Tupeln von Bedeutung.

Beispiel:

Es gilt %%\{1;2;3\}=\{3;1;2\}=\{3;2;1\}%%.

Für Tupel gilt aber: %%(1;2;3)\neq(3;1;2)%%.

Für die Lösungsmenge oben ist es insbesondere wichtig, dass zuerst der Wert für %%a%%, dann für %%b%% im Tupel steht.

 

 

Gleichungssystem mit drei Variablen und drei Gleichungen

 

Notation

Erläuterung

%%\begin{array}{r|ccccc} \mathrm{I}&2 a&+&3b&-&c&=&11\\ \mathrm{II}&a&-&b&+&2c&=&3\\ \hphantom{2\cdot IIII'\to}\mathrm{III}&3a&-&2b&+&3c&=&8 \end{array}%%

Wie oben wählt man eine Variable aus und findet das kleinste gemeinsame Vielfache der Koeffizienten. Hier wählt man %%a%% und berechnet:

$$\mathrm{kgV(1;2;3)}=6$$

Nun vervielfacht man die Gleichungen so, dass die Koeffizienten der Variable in allen Gleichungen gleich dem [kgV]() sind.

Hier: Man multipliziert die erste Gleichung mit %%3%%, die zweite mit %%6%%, die dritte mit %%2%%.

%%\begin{array}{r|ccccc} \mathrm{3\cdot I\to I'}&6a&+&9b&-&3c&=&33\\ \mathrm{6\cdot II\to II'}&6a&-&6b&+&12c&=&18\\ \quad\mathrm{2\cdot III\to III'}&6a&-&4b&+&6c&=&16 \end{array}%%

Nun addiert (oder subtrahiert) man die Gleichungen voneinander, um die gewählte Variable zu eliminieren.

Hier: Man subtrahiert %%\mathrm{I}'%% von %%\mathrm{II}'%% und von %%\mathrm{III}'%%.

%%\begin{array}{r|ccccc} \mathrm{I'}&6a&+&9b&-&3c&=&33\\ \mathrm{II'-I'\to II''}&6a-6a&-&6b-9b&+&12c-(-3c)&=&18-33\\ \mathrm{III'-I'\to III''}&6a-6a&-&4b-9b&+&6c-(-3c)&=&16-33 \end{array}%%

%%\begin{array}{r|ccccc} \mathrm{I'}&6a&+&9b&-&3c&=&33\\ \mathrm{II''}&&-&15b&+&15c&=&-15\\ \hphantom{II'-I'\to}\mathrm{III''}&&-&13b&+&9c&=&-17 \end{array}%%

Nun bilden %%\mathrm{II}''%% und %%\mathrm{III}''%% ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten. Man löst dieses neue Gleichungssystem wie oben beschrieben und erhält:

%%b=2;\;c=1%%.

Diese beiden Werte setzt man dann in %%\mathrm{I}'%% ein und löst nach %%\color{green}{a}%% auf.

%%\begin{array}{r|rcl} b\text{ und }c\text{ in }\mathrm{I'\to I''}&6\color{green}{a}+9\cdot2-3\cdot1&=&33\\ &6a+15&=&33&|-15\\ &6a&=&18&|:6\\ &\color{green}{a}&\color{green}{=}&\color{green}{3} \end{array}%%

Insgesamt erhält man %%a=3,\;b=2%% und %%c=1%%. Die Werte für %%a%% und %%b%% schreibt man in ein Tupel. Die Lösungsmenge lautet:

%%L=\{(3;2;1)\}%%

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