Aufgaben

Auf einer Geburstagsparty sind %%30%% Kinder.

Du weißt, dass es viermal so viele Mädchen sind wie Jungen.

Wie viele Mädchen und Jungen sind es jeweils?

Löse mit einem Gleichungssystem!

Gleichungen aus dem Text aufstellen

Wir wissen:

  • 30 Kinder
  • 4 Mal so viele Mädchen wie Jungen

Lege die Variablen fest.

%%m%%: Anzahl der Mädchen

%%j%%: Anzahl der Jungen

Es sind insgesamt 30 Kinder! Jedes Kind ist entweder ein Mädchen oder ein Junge.

%%\mathrm{I}\ \ m+j= 30%%

Die Anzahl der Mädchen ist viermal die Anzahl der Jungen.

Zu beachten: Wir müssen die Anzahl der Jungen mit 4 multiplizieren, nicht die der Mädchen!

%%\mathrm{II} \ \ 4j=m%%

Man hat jetzt ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten.

Bedenke, dass es drei mögliche Lösungsverfahren gibt.

In dieser Lösung wird das Einsetzungsverfahren verwendet.

Einsetzungsverfahren

1. Schritt: Löse nach einer Variablen auf

Sieh dir die zweite Gleichung an, diese ist schon nach %%m%% aufgelöst.

2. Schritt: Setze %%m%% in %%\mathrm{I}%% ein

%%m%% in %%\mathrm{I}%%

%%\begin{array}{rrl} 4j + j &=& 30\\ 5j&=&30\\ j&=&\color{#009900}6 \end{array}%%

$$\;$$ %%|\; :5%%

3. Schritt: Setze %%j%% in %%\mathrm{II}%% ein

%%j%% in %%\mathrm{II}%%

%%\begin{array}{rrl} 4\cdot \color{#009900}6 &=&m\\ \color{#cc0000}{24}&=&m\end{array}%%

Lösungsmenge bestimmen

%%\mathbb{L}=\{(j|m) = (6|24)\}%%

Es sind also %%6%% Jungs und %%24%% Mädchen auf der Party.

Mick und Max gehen einkaufen. Mick kauft sich %%3%% Schokoriegel und %%2%% Eis und bezahlt %%4,80\;%%€, Max kauft sich einen Schokoriegel und %%2%% Eis für %%3\;%%€.
Kann sich Stefan ein Eis kaufen, wenn er %%1,10\;%%€ dabei hat?

Eis am Stiel

Suche dir Variablen aus und stelle die Gleichungen auf

Stelle die Gleichungen möglichst gleich so auf, dass alle gleichen Variablen untereinander stehen.

%%x\;\widehat{=}%% Schokoriegel, %%y\;\widehat{=}%% Eis

%%\begin{array}{rrll} &\mathrm{I}& 3x + 2y &=& 4,80\\ &\mathrm{II}& 1x + 2y &=& 3\end{array}%%

Wie du siehst, kommt zwei mal %%2y%% vor. Deswegen lässt sich hier das Additions-/Subtraktionsverfahren gut verwenden. Da hier dasselbe Vorzeichen in beiden Gleichungen vorliegt, musst du die Gleichungen subtrahieren.

%%\begin{array}{llccll} &&\mathrm{I}& 3x &+& 2y &=& 4,80\\ &- &\mathrm{II}& 1x &+& 2y &=& 3\\ \hline &&&2x&+&0&=&1,80\end{array}%%

Nach der ersten Variablen auflösen

%%\begin{array}{rrl} 2x+0&=&1,80\\ x&=&\color{#009900}{0,90}\end{array}%%

%%|:2%%

Setze %%x%% in %%\mathrm{I}%% oder %%\mathrm{II}%% ein

%%x%% in %%\mathrm{II}%%

%%\begin{array}{rrl} \color{#009900}{0,90} + 2y&=&3\\ 2y&=&2,10\\ y&=&\color{#cc0000}{1,05}\end{array}%%

Lösungsmenge

%%\mathbb{L}=\{(x|y)=(0,9|1,05)\}%%

Lösung im Sachkontext

Ein Schokoriegel kostet also %%0,90\;%%€ und ein Eis %%1,05\;%%€.
Stefan kann sich folglich ein Eis kaufen.

Brennende Kerzen

Brennende Kerzen

Beide Kerze brennen langsam herunter. Da die rote Kerze deutlich dünner ist als die blaue, wird sie schneller kleiner. Am Anfang der Beobachtung ist die blaue Kerze %%6%% cm und die rote %%13%% cm hoch. Man hat bereits beobachtet, dass in einer Stunde die blaue um %%5%% mm und die rote %%9%% mm herunter brennt.

Stelle für beide Kerzen jeweils eine Funktionsgleichung auf, die die Höhe %%h%% in Abhängigkeit der Zeit %%t%% darstellt. Es wird angenommen, dass die Kerzen gleichmäßig abbrennen.

Für die blaue Kerze gilt:
Man muss die Parameter der Gleichung %%h_{blau}(t) = m_{blau} \cdot t+c_{blau}%% finden.
In einer Stunde wird sie %%0,5%% cm kleiner. Damit beträgt die Steigung %%m_{blau} = -0,5%%. Der Y-Achsenabschnitt ist die anfängliche Höhe der Kerze: %%c_{blau}=6%%.
Man erhält: $$h_{blau}(t) = -0,5 \cdot t + 6$$

Für die rote Kerze geht man gleich vor:
%%h_{rot}(t) = m_{rot} \cdot t +c_{rot}%%
Pro Stunde verliert diese %%0,9%% cm. Die Steigung beträgt also %%m_{rot} = -0,9%%. Die rote Kerze beginnt jedoch bei %%c_{rot}=13%%.
Man erhält: $$h_{rot}(t)=-0,9\cdot t + 13$$

Berechne nun, nach wie vielen Stunden die Kerzen gleich lang sind, indem du die beiden Funktionen als Gleichungen mit den Variablen %%h%% und %%t%% auffasst.

Zuerst stellst du aus den Funktionen ein Gleichungssystem mit zwei Variablen zusammen:

%% \begin{array}{lrll} \hphantom{\mathrm{I}} \mathrm{I} &h &= &-0,5t+6 \\ \mathrm{II} &h &= &-0,9t+13 \end{array} %%

Um nun die Zeit %%t%% zu finden an der beide Kerzen die gleiche Höhe haben, suchst du die Lösung des Gleichungssystems. Dazu bietet sich das Gleichsetzungsverfahren gut an.


Beide Gleichungen sind bereits nach %%h%% aufgelöst und können direkt gleichgesetzt werden.

1. Gleichsetzen

%%\Rightarrow -0,5t+6 = -0,9t+13%%

2. Nach t auflösen

%% \begin{array}{rll} -0,5t+6 &= &-0,9t+13 \\ 0,4t + 6 &= &13 \\ 0,4t &= &7 \\ t &= &17,5 \end{array} %%

%% | +0,9t \\ | -6 \\ | :0,4 %%


Antwort: Nach 17 Stunden und 30 Minuten haben die Kerzen die gleiche Höhe %%h%%.

Hinterfrage dein Ergebnis aus %%b)%% kritisch im Kontext der Aufgabe. An welcher Stelle gibt es ein Problem?

Höhe der Kerzen:

Nach Teilaufgabe b) haben die beiden Kerzen nach %%17,5%% Stunden die gleiche Höhe. Doch wie groß sind sie?
Wie bei allen Aufgaben zu Gleichungssystemen, sollte man am Schluss die vollständige Lösungsmenge angeben: Das heißt zu der Zeit %%t = 17,5%% muss noch die Höhe %%h%% berechnet werden.

3. Einsetzen in eine der Gleichungen

%% \begin{array}{lll} h &= &-0,5\cdot (\color{red}{17,5}) + 6 \\ &= &-8,75 +6 \\ &= &-2,75 \end{array} %%

Setze dein Ergebnis beispielsweise in Gleichung %%\mathrm{I}%% ein und vereinfache.


Als Lösungsmenge ergibt sich also: $$\mathbb{L} = \{(17,5|-2,75)\}$$

In Worten: Nach %%17,5%% Stunden sind beide Kerzen %%-2,75%% cm groß.


Was bedeutet das %%\color{red}{-}2,75%% cm?

Mathematisch ergab sich für die beiden Geraden aus Teilaufgabe a) natürlich ein Schnittpunkt.

Doch im Sachzusammenhang betrachtet, macht diese Lösung keinen Sinn. Aus der Geradengleichung der roten Kerze %%h_{rot} = -0,5t+6%% kann man berechnen, dass diese bereits nach %%12%% Stunden abgebrannt ist. (siehe dazu Berechung von Nullstellen)


Alternativ kannst du dir auch die Graphen der Kerzen zeichnen, um deine Löusng zu interpretieren.

KerzenGraph


Antwort:

Obwohl sich rechnerisch eine Lösung ergibt, sind die beiden Kerzen niemals gleich groß: Sie sind vorher heruntergebrannt.

Du hast dein Moped mit einer Mischung von Superbenzin und E10 getankt. Dabei hast du für %%5%% Liter dieser Mischung insgesamt %%6,50%% Euro bezahlt.

Wie viel Liter sind von jeder Sorte getankt worden, wenn %%1%% Liter Superbenzin %%1,35%% EUR und %%1%% Liter E10 %%1,20%% EUR kosten?

Stelle aus den gegebenen Informationen ein Gleichungssystem auf.

Zunächst bezeichne die Größen mit geeigneten Variablen:

getankte Liter von Superbenzin %%\widehat{=}%% %%x%%

getankte Liter von E10 %%\widehat{=}%% %%y%%

Als nächstes musst du alle Informationen ordnen. Einerseits hast du Literangaben und andererseits hast du Geldangaben.

Wichtig: %%x%% und %%y%% sind in beiden Angaben enthalten.

Also:

Literangaben: %%x%% Liter, %%y%% Liter, %%5%% Liter

Geldangaben: %%1,35\cdot x%% Euro, %%1,20\cdot y%% Euro, %%6,50%% Euro

Im letzten Schritt stellst du aus den jeweiligen Angaben eine Gleichung auf.

Die erste Gleichung erhältst du durch die Information, dass %%x%% Liter und %%y%% Liter sich zu %%5%% Liter addieren.

$$\mathrm{I}\qquad x + y = 5$$

Die zweite Gleichung erhältst du durch die Information, dass %%1,35\cdot x%% Euro und %%1,20\cdot y%% Euro sich zu %%6,50%% Euro addieren.

$$\mathrm{II}\qquad 1,35\cdot x + 1,20\cdot y = 6,50$$

Sowohl Gleichung %%\mathrm{I}%% als auch Gleichung %%\mathrm{II}%% müssen laut Text erfüllt sein. Das Problem aus der Aufgabe kannst du also mit folgendem Gleichungssystem darstellen.

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I} &x& + &y& = 5\\ \mathrm{II} &1,35\cdot x& + &1,2\cdot y& = 6,5\\ \end{array}%%

Löse das Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren. Beachte bei der Rechnung nicht den Sachzusammenhang.

%%\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I} \quad x + y = 5%%

%%\mathrm{II} \quad 1,35\cdot x + 1,2\cdot y = 6,5%%

1. Beide Gleichungen nach y auflösen

Löse beide Gleichungen nach einer Variablen auf. Dabei ist in diesem Fall egal, ob du %%x%% oder %%y%% nimmst.

%%\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I} \quad x + y = 5%%

%%\mid-x%%

%%\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I'} \quad y = 5 - x%%

%%\mathrm{II} \quad 1,35\cdot x + 1,2\cdot y = 6,5%%

%%\mid-1,35\cdot x%%

%%\mathrm{II}\quad 1,2\cdot y = 6,5 - 1,35\cdot x%%

%%\mid:1,2%%

%%\mathrm{II'}\quad y = \frac{65}{12} - 1,125\cdot x%%

2. Gleichsetzen

Setze die beiden Gleichungen %%\mathrm{I}%% und %%\mathrm{II'}%% gleich.

%%\Rightarrow 5 - x = \frac{65}{12} - 1,125\cdot x%%

3. Gleichung nach x auflösen

%%5 - x = \frac{65}{12} - 1,125\cdot x%%

%%\mid + 1,125\cdot x \quad\mid -5%%

%%0,125\cdot x = \frac{5}{12}%%

%%\mid : 0,125%%

%%x = \frac{10}{3}%%

4. x einsetzen, um y heraus zu finden

Setze %%x%% in %%\mathrm{I'}%% oder %%\mathrm{II'}%% ein.

%%\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I'} \quad y = 5 - \frac{10}{3} = \frac{5}{3}%%

Gib die Lösungsmenge an.

%%\displaystyle{L = \left\lbrace \left( \frac{10}{3} ; \frac{5}{3} \right) \right\rbrace}%%

Dein Freund kauft bei einer großen Fastfood-Kette eine wilde Mischung aus Hamburger und Cheeseburger. Die Anzahl aller Burger beträgt %%12%% und kosten zusammen %%12,68%% Euro.

Es gilt: Ein Hamburger kostet %%0,99%% Euro und ein Cheeseburger %%1,19%% Euro.

Stelle mit den Informationen aus dem Text ein lineares Gleichungssystem auf.

Zunächst bezeichne die Größen mit geeigneten Variablen:

Anzahl der Hamburger %%\widehat{=}%% %%x%%

Anzahl der Cheeseburger %%\widehat{=}%% %%y%%

Als nächstes musst du alle Informationen ordnen. Einerseits hast du Mengenangaben und andererseits hast du Geldangaben.

Wichtig: %%x%% und %%y%% sind in beiden Angaben enthalten.

Also:

Mengenangaben: %%x%% Hamburger, %%y%% Cheeseburger, Gesamtanzahl: %%12%% Burger

Geldangaben: %%0,99\cdot x%% Euro, %%1,19\cdot y%% Euro, %%12,68%% Euro

Im letzten Schritt stellst du aus den jeweiligen Angaben eine Gleichung auf.

Die erste Gleichung erhältst du durch die Information, dass %%x%% Hamburger und %%y%% Cheeseburger sich zu %%12%% Burger addieren.

$$\mathrm{I}\qquad x + y = 12$$

Die zweite Gleichung erhältst du durch die Information, dass %%0,99\cdot x%% Euro und %%1,19\cdot y%% Euro sich zu %%12,68%% Euro addieren.

$$\mathrm{II}\qquad 0,99\cdot x + 1,19\cdot y = 12,68$$

Zeige, dass %%x = 8%% Hamburger und %%y = 4%% Cheeseburger eine Lösung des Gleichungssystems ist.

Wenn du zeigen möchtest, dass %%x%% und %%y%% eine Lösung eines beliebigen linearen Gleichungssystems ist, musst du die Unbekannten in die Gleichungen des Systems einsetzen. Am Ende muss jede Gleichung eine wahre Aussage ergeben.

Setze also %%x = 8%% und %%y = 4%% in die Gleichungen ein:

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I} &x + y &= &12 \\ \mathrm{II} &0,99\cdot x + 1,19\cdot y &= &12,68 \end{array}%%

Setze die Werte ein.

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I} &\color{#CC0000}{8} + \color{#009999}{4} &= &12 \\ \mathrm{II} &0,99\cdot \color{#CC0000}{8} + 1,19\cdot \color{#009999}{4} &= &12,68 \end{array}%%

Rechne aus. Falls links und rechts die gleiche Zahl steht, ist die Aussage wahr.

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I} &\color{#FF6600}{12} &= &12 \\ \mathrm{II} &\color{#FF6600}{12,68} &= &12,68 \end{array}%%

Du siehst sofort, dass %%x = 8%% Hamburger und %%y = 4%% Cheeseburger eine wahre Aussage liefern.

Warum gibt es nur genau eine Lösung?

Ein lineares Gleichungssystem kann entweder keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen haben.

Die Gleichungen sind linear und nicht identisch. Zudem gibt es nur %%2%% Gleichungen. Damit gibt es maximal nur einen Schnittpunkt. Maximal ein Schnittpunkt bedeutet, dass es entweder keinen oder einen Schnittpunkt gibt. Aus Aufgabenteil b) weißt du aber schon, dass ersteres nicht stimmt, da %%x = 8%% und %%y = 4%% eine Lösung ist. Deswegen hat das Gleichungssystem genau eine Lösung.

Vater und Sohn sind zusammen 34 Jahre alt. Wie alt ist jeder von ihnen, wenn der Unterschied ihres Alters 26 Jahre beträgt?

Gleichungen

%%v%% entspricht Alter des Vaters.

 

%%s%% entspricht Alter des Sohns.

 

Vater und Sohn sind zusammen 34 Jahre alt.

Gleichung aufstellen.

%%v+s=34a%%

 

Der Unterschied ihres Alters beträgt 26 Jahre.

Gleichung aufstellen.

%%v-s=26a%%

Nach %%v%% auflösen.

%%v=s+26a%%

In die obere Gleichung einsetzen.

%%26a+2s=34a%%

Nach %%s%% auflösen.

           %%2s=8a%%

 

             %%s=4%% a

 Alter des Vaters berechnen.

%%34a-4a=30a%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Der Altersunterschied beträgt %%26%% Jahre wenn der Vater %%30%% Jahre und der Sohn %%4%% Jahre alt ist.

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