Aufgaben
Auf einer Geburstagsparty sind 3030 Kinder.
Du weißt, dass es viermal so viele Mädchen sind wie Jungen.
Wie viele Mädchen und Jungen sind es jeweils?
Löse mit einem Gleichungssystem!
Tipp: Versuche die zwei Aussagen als Gleichungen aufzuschreiben und mithilfe eines Verfahrens für Gleichungssysteme zu lösen!

Gleichungen aus dem Text aufstellen

Wir wissen:
  • 30 Kinder
  • 4 Mal so viele Mädchen wie Jungen
Lege die Variablen fest.
mm: Anzahl der Mädchen
jj: Anzahl der Jungen
Es sind insgesamt 30 Kinder!Jedes Kind ist entweder ein Mädchen oder ein Junge.
I  m+j=30\mathrm{I}\ \ m+j= 30
Die Anzahl der Mädchen ist viermal die Anzahl der Jungen.
Zu beachten: Wir müssen die Anzahl der Jungen mit 4 multiplizieren, nicht die der Mädchen!
II  4j=m\mathrm{II} \ \ 4j=m
Man hat jetzt ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten.
Bedenke, dass es drei mögliche Lösungsverfahren gibt.
In dieser Lösung wird das Einsetzungsverfahren verwendet.

Einsetzungsverfahren

1. Schritt: Löse nach einer Variablen auf

Sieh dir die zweite Gleichung an, diese ist schon nach mm aufgelöst.

2. Schritt: Setze mm in I\mathrm{I} ein

mm in I\mathrm{I}
%%\begin{array}{rrl}4j + j &=& 30\\5j&=&30\\ j&=&\color{#009900}6 \end{array}%%
  \displaystyle \;

3. Schritt: Setze jj in II\mathrm{II} ein

jj in II\mathrm{II}
%%\begin{array}{rrl}4\cdot \color{#009900}6 &=&m\\\color{#cc0000}{24}&=&m\end{array}%%


Lösungsmenge bestimmen

L={(jm)=(624)}\mathbb{L}=\{(j|m) = (6|24)\}
Es sind also 66 Jungs und 2424 Mädchen auf der Party.
Mick und Max gehen einkaufen. Mick kauft sich 33 Schokoriegel und 22 Eis und bezahlt 4,80  4,80\;€, Max kauft sich einen Schokoriegel und 22 Eis für 3  3\;€. Kann sich Stefan ein Eis kaufen, wenn er 1,10  1,10\;€ dabei hat?
Eis am Stiel
Tipp: Erstelle aus dem Text ein lineares Gleichungssystem. Wähle eine Variable für die Schokoriegel und eine für das Eis.

Suche dir Variablen aus und stelle die Gleichungen auf

Stelle die Gleichungen möglichst gleich so auf, dass alle gleichen Variablen untereinander stehen.
x  =^x\;\widehat{=} Schokoriegel, y  =^y\;\widehat{=} Eis
%%\begin{array}{rrll}&\mathrm{I}& 3x + 2y &=& 4,80\\&\mathrm{II}& 1x + 2y &=& 3\end{array}%%
Wie du siehst, kommt zwei mal 2y2y vor. Deswegen lässt sich hier das Additions-/Subtraktionsverfahren gut verwenden. Da hier dasselbe Vorzeichen in beiden Gleichungen vorliegt, musst du die Gleichungen subtrahieren.
%%\begin{array}{llccll}&&\mathrm{I}& 3x &+& 2y &=& 4,80\\&- &\mathrm{II}& 1x &+& 2y &=& 3\\\hline&&&2x&+&0&=&1,80\end{array}%%


Nach der ersten Variablen auflösen

%%\begin{array}{rrl}2x+0&=&1,80\\x&=&\color{#009900}{0,90}\end{array}%%
:2|:2

Setze xx in I\mathrm{I} oder II\mathrm{II} ein

xx in II\mathrm{II}
%%\begin{array}{rrl}\color{#009900}{0,90} + 2y&=&3\\2y&=&2,10\\y&=&\color{#cc0000}{1,05}\end{array}%%


Lösungsmenge

L={(xy)=(0,91,05)}\mathbb{L}=\{(x|y)=(0,9|1,05)\}

Lösung im Sachkontext

Ein Schokoriegel kostet also 0,90  0,90\;€ und ein Eis 1,05  1,05\;€. Stefan kann sich folglich ein Eis kaufen.

Brennende Kerzen

Brennende Kerzen

Beide Kerze brennen langsam herunter. Da die rote Kerze deutlich dünner ist als die blaue, wird sie schneller kleiner. Am Anfang der Beobachtung ist die blaue Kerze %%6%% cm und die rote %%13%% cm hoch. Man hat bereits beobachtet, dass in einer Stunde die blaue um %%5%% mm und die rote %%9%% mm herunter brennt.

Stelle für beide Kerzen jeweils eine Funktionsgleichung auf, die die Höhe hh in Abhängigkeit der Zeit tt darstellt. Es wird angenommen, dass die Kerzen gleichmäßig abbrennen.
Tipp: Die Höhe der Kerzen wird durch zwei lineare Funktionen beschrieben. Verwende als (abhängige) Variable tt statt xx, um zu verdeutlichen, dass die Höhe der Kerzen von der Zeit abhängt.
Für die blaue Kerze gilt: Man muss die Parameter der Gleichung hblau(t)=mblaut+cblauh_{blau}(t) = m_{blau} \cdot t+c_{blau} finden. In einer Stunde wird sie 0,50,5 cm kleiner. Damit beträgt die Steigung mblau=0,5m_{blau} = -0,5. Der Y-Achsenabschnitt ist die anfängliche Höhe der Kerze: cblau=6c_{blau}=6. Man erhält:
Für die rote Kerze geht man gleich vor: hrot(t)=mrott+croth_{rot}(t) = m_{rot} \cdot t +c_{rot} Pro Stunde verliert diese 0,90,9 cm. Die Steigung beträgt also mrot=0,9m_{rot} = -0,9. Die rote Kerze beginnt jedoch bei crot=13c_{rot}=13. Man erhält:

Berechne nun, nach wie vielen Stunden die Kerzen gleich lang sind, indem du die beiden Funktionen als Gleichungen mit den Variablen %%h%% und %%t%% auffasst.

Zuerst stellst du aus den Funktionen ein Gleichungssystem mit zwei Variablen zusammen:

%% \begin{array}{lrll} \hphantom{\mathrm{I}} \mathrm{I} &h &= &-0,5t+6 \\ \mathrm{II} &h &= &-0,9t+13 \end{array} %%

Um nun die Zeit %%t%% zu finden an der beide Kerzen die gleiche Höhe haben, suchst du die Lösung des Gleichungssystems. Dazu bietet sich das Gleichsetzungsverfahren gut an.


Beide Gleichungen sind bereits nach %%h%% aufgelöst und können direkt gleichgesetzt werden.

1. Gleichsetzen

%%\Rightarrow -0,5t+6 = -0,9t+13%%

2. Nach t auflösen

%% \begin{array}{rll} -0,5t+6 &= &-0,9t+13 \\ 0,4t + 6 &= &13 \\ 0,4t &= &7 \\ t &= &17,5 \end{array} %%

%% | +0,9t \\ | -6 \\ | :0,4 %%


Antwort: Nach 17 Stunden und 30 Minuten haben die Kerzen die gleiche Höhe %%h%%.

Hinterfrage dein Ergebnis aus b)b) kritisch im Kontext der Aufgabe. An welcher Stelle gibt es ein Problem?
Tipp: Berechne zuerst auf welche Höhe die beiden Kerzen herunter gebrannt sind, wenn sie gleich groß sind. Versuche dann noch einmal deine Ergebnisse im Bezug auf zwei brennende Kerzen in Worte zu fassen.

Höhe der Kerzen:

Nach Teilaufgabe b) haben die beiden Kerzen nach 17,517,5 Stunden die gleiche Höhe. Doch wie groß sind sie? Wie bei allen Aufgaben zu Gleichungssystemen, sollte man am Schluss die vollständige Lösungsmenge angeben: Das heißt zu der Zeit t=17,5t = 17,5 muss noch die Höhe hh berechnet werden.
3. Einsetzen in eine der Gleichungen

%%\begin{array}{lll}h &= &-0,5\cdot (\color{red}{17,5}) + 6 \\&= &-8,75 +6 \\&= &-2,75\end{array}%%
Setze dein Ergebnis beispielsweise in Gleichung I\mathrm{I} ein und vereinfache.
Als Lösungsmenge ergibt sich also:
In Worten: Nach 17,517,5 Stunden sind beide Kerzen 2,75-2,75 cm groß.
Was bedeutet das 2,75\color{red}{-}2,75 cm?
Mathematisch ergab sich für die beiden Geraden aus Teilaufgabe a) natürlich ein Schnittpunkt.
Doch im Sachzusammenhang betrachtet, macht diese Lösung keinen Sinn. Aus der Geradengleichung der roten Kerze hrot=0,5t+6h_{rot} = -0,5t+6 kann man berechnen, dass diese bereits nach 1212 Stunden abgebrannt ist. (siehe dazu Berechung von Nullstellen)
Alternativ kannst du dir auch die Graphen der Kerzen zeichnen, um deine Löusng zu interpretieren.
KerzenGraph

Antwort:

Obwohl sich rechnerisch eine Lösung ergibt, sind die beiden Kerzen niemals gleich groß: Sie sind vorher heruntergebrannt.

Du hast dein Moped mit einer Mischung von Superbenzin und E10 getankt. Dabei hast du für %%5%% Liter dieser Mischung insgesamt %%6,50%% Euro bezahlt.

Wie viel Liter sind von jeder Sorte getankt worden, wenn %%1%% Liter Superbenzin %%1,35%% EUR und %%1%% Liter E10 %%1,20%% EUR kosten?

Stelle aus den gegebenen Informationen ein Gleichungssystem auf.
Tipp: Bezeichne mit xx die getankten Liter von Superbenzin und mit yy die getankten Liter von E10.
Zunächst bezeichne die Größen mit geeigneten Variablen:
getankte Liter von Superbenzin =^\widehat{=} xx
getankte Liter von E10 =^\widehat{=} yy
Als nächstes musst du alle Informationen ordnen. Einerseits hast du Literangaben und andererseits hast du Geldangaben.
Wichtig: xx und yy sind in beiden Angaben enthalten.
Also:
Literangaben: xx Liter, yy Liter, 55 Liter
Geldangaben: 1,35x1,35\cdot x Euro, 1,20y1,20\cdot y Euro, 6,506,50 Euro
Im letzten Schritt stellst du aus den jeweiligen Angaben eine Gleichung auf.
Die erste Gleichung erhältst du durch die Information, dass xx Liter und yy Liter sich zu 55 Liter addieren.
Ix+y=5\displaystyle \mathrm{I}\qquad x + y = 5
Die zweite Gleichung erhältst du durch die Information, dass 1,35x1,35\cdot x Euro und 1,20y1,20\cdot y Euro sich zu 6,506,50 Euro addieren.
II1,35x+1,20y=6,50\displaystyle \mathrm{II}\qquad 1,35\cdot x + 1,20\cdot y = 6,50
Sowohl Gleichung I\mathrm{I} als auch Gleichung II\mathrm{II} müssen laut Text erfüllt sein. Das Problem aus der Aufgabe kannst du also mit folgendem Gleichungssystem darstellen.
%%\begin{array}{rrll}\mathrm{I} &x& + &y& = 5\\\mathrm{II} &1,35\cdot x& + &1,2\cdot y& = 6,5\\\end{array}%%

Löse das Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren. Beachte bei der Rechnung nicht den Sachzusammenhang.

%%\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I} \quad x + y = 5%%

%%\mathrm{II} \quad 1,35\cdot x + 1,2\cdot y = 6,5%%

1. Beide Gleichungen nach y auflösen

Löse beide Gleichungen nach einer Variablen auf. Dabei ist in diesem Fall egal, ob du %%x%% oder %%y%% nimmst.

%%\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I} \quad x + y = 5%%

%%\mid-x%%

%%\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I'} \quad y = 5 - x%%

%%\mathrm{II} \quad 1,35\cdot x + 1,2\cdot y = 6,5%%

%%\mid-1,35\cdot x%%

%%\mathrm{II}\quad 1,2\cdot y = 6,5 - 1,35\cdot x%%

%%\mid:1,2%%

%%\mathrm{II'}\quad y = \frac{65}{12} - 1,125\cdot x%%

2. Gleichsetzen

Setze die beiden Gleichungen %%\mathrm{I}%% und %%\mathrm{II'}%% gleich.

%%\Rightarrow 5 - x = \frac{65}{12} - 1,125\cdot x%%

3. Gleichung nach x auflösen

%%5 - x = \frac{65}{12} - 1,125\cdot x%%

%%\mid + 1,125\cdot x \quad\mid -5%%

%%0,125\cdot x = \frac{5}{12}%%

%%\mid : 0,125%%

%%x = \frac{10}{3}%%

4. x einsetzen, um y heraus zu finden

Setze %%x%% in %%\mathrm{I'}%% oder %%\mathrm{II'}%% ein.

%%\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I'} \quad y = 5 - \frac{10}{3} = \frac{5}{3}%%

Gib die Lösungsmenge an.

%%\displaystyle{L = \left\lbrace \left( \frac{10}{3} ; \frac{5}{3} \right) \right\rbrace}%%

Dein Freund kauft bei einer großen Fastfood-Kette eine wilde Mischung aus Hamburger und Cheeseburger. Die Anzahl aller Burger beträgt %%12%% und kosten zusammen %%12,68%% Euro.

Es gilt: Ein Hamburger kostet %%0,99%% Euro und ein Cheeseburger %%1,19%% Euro.

Stelle mit den Informationen aus dem Text ein lineares Gleichungssystem auf.
Tipp: Bezeichne mit xx die Anzahl der Hamburger und mit yy die Anzahl der Cheeseburger.
Zunächst bezeichne die Größen mit geeigneten Variablen:
Anzahl der Hamburger =^\widehat{=} xx
Anzahl der Cheeseburger =^\widehat{=} yy
Als nächstes musst du alle Informationen ordnen. Einerseits hast du Mengenangaben und andererseits hast du Geldangaben.
Wichtig: xx und yy sind in beiden Angaben enthalten.
Also:
Mengenangaben: xx Hamburger, yy Cheeseburger, Gesamtanzahl: 1212 Burger
Geldangaben: 0,99x0,99\cdot x Euro, 1,19y1,19\cdot y Euro, 12,6812,68 Euro
Im letzten Schritt stellst du aus den jeweiligen Angaben eine Gleichung auf.
Die erste Gleichung erhältst du durch die Information, dass xx Hamburger und yy Cheeseburger sich zu 1212 Burger addieren.
Ix+y=12\displaystyle \mathrm{I}\qquad x + y = 12
Die zweite Gleichung erhältst du durch die Information, dass 0,99x0,99\cdot x Euro und 1,19y1,19\cdot y Euro sich zu 12,6812,68 Euro addieren.
II0,99x+1,19y=12,68\displaystyle \mathrm{II}\qquad 0,99\cdot x + 1,19\cdot y = 12,68
Zeige, dass x=8x = 8 Hamburger und y=4y = 4 Cheeseburger eine Lösung des Gleichungssystems ist.
Tipp: Du musst hier nicht das lineare Gleichungssystem ausrechnen. Es geht viel einfacher!
Wenn du zeigen möchtest, dass xx und yy eine Lösung eines beliebigen linearen Gleichungssystems ist, musst du die Unbekannten in die Gleichungen des Systems einsetzen. Am Ende muss jede Gleichung eine wahre Aussage ergeben.
Setze also x=8x = 8 und y=4y = 4 in die Gleichungen ein:
%%\begin{array}{rrll}\mathrm{I} &x + y &= &12 \\\mathrm{II} &0,99\cdot x + 1,19\cdot y &= &12,68\end{array}%%
Setze die Werte ein.
%%\begin{array}{rrll}\mathrm{I} &\color{#CC0000}{8} + \color{#009999}{4} &= &12 \\\mathrm{II} &0,99\cdot \color{#CC0000}{8} + 1,19\cdot \color{#009999}{4} &= &12,68\end{array}%%
Rechne aus. Falls links und rechts die gleiche Zahl steht, ist die Aussage wahr.
%%\begin{array}{rrll}\mathrm{I} &\color{#FF6600}{12} &= &12 \\\mathrm{II} &\color{#FF6600}{12,68} &= &12,68\end{array}%%

Du siehst sofort, dass x=8x = 8 Hamburger und y=4y = 4 Cheeseburger eine wahre Aussage liefern.

Warum gibt es nur genau eine Lösung?

Ein lineares Gleichungssystem kann entweder keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen haben.

Die Gleichungen sind linear und nicht identisch. Zudem gibt es nur %%2%% Gleichungen. Damit gibt es maximal nur einen Schnittpunkt. Maximal ein Schnittpunkt bedeutet, dass es entweder keinen oder einen Schnittpunkt gibt. Aus Aufgabenteil b) weißt du aber schon, dass ersteres nicht stimmt, da %%x = 8%% und %%y = 4%% eine Lösung ist. Deswegen hat das Gleichungssystem genau eine Lösung.

Vater und Sohn sind zusammen 34 Jahre alt. Wie alt ist jeder von ihnen, wenn der Unterschied ihres Alters 26 Jahre beträgt?

Gleichungen

vv entspricht Alter des Vaters.
ss entspricht Alter des Sohns.
Vater und Sohn sind zusammen 34 Jahre alt.
Gleichung aufstellen.
v+s=34v+s=34
Der Unterschied ihres Alters beträgt 26 Jahre.
Gleichung aufstellen.
vs=26v-s=26
Nach vv auflösen.
v=s+26v=s+26
In die obere Gleichung einsetzen.
26+2s=3426+2s=34
Nach ss auflösen.
2s=82s=8
s=4s=4
Das Alter des Sohnes ist 4 Jahre.
Alter des Vaters berechnen.
344=3034-4=30
Das Alter des Vaters ist 30 Jahre.


        \;\;\Rightarrow\;\; Der Altersunterschied beträgt 2626 Jahre wenn der Vater 3030 Jahre und der Sohn 44 Jahre alt ist.

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