Aufgaben zum Gaußverfahren

Mit diesen Aufgaben lernst du, wie man das Gauß'sche Eliminationsverfahren anwendet. Schaffst du sie alle?

1
Bringe das System so in Form, dass das Gauß-Verfahren angewendet werden kann. Du musst das System in dieser Aufgabe noch nicht lösen!
1. $\begin{array}{ll} I) & 2 x = y + z \\ I I) & 4 (x - 2 z) = y \\ I I I) & z - x - y = 10 \end{array}$
  
  Forme jede Gleichung einzeln um.
  Beginne mit Gleichung I):
  $\begin{array}{lrll} I) & 2 x & = y + z & | - y - z \\ I) & 2 x - y - z & = 0 \end{array}$
  Gleichung II):
  $\begin{array}{lrll} I I) & 4 (x - 2 z) & = y & | - y \\ I I) & 4 x - y - 8 z & = 0 \end{array}$
  Gleichung III):
  $\begin{array}{lrll} I I I) & z - x - y & = 10 \\ I I I) & - x - y + z & = 10 \end{array}$
  Jetzt sind alle drei Gleichungen in der richtigen Form für das Gauß-Verfahren.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Du musst so umformen, dass alle Variablen auf der linken Seite stehen und alle Zahlen ohne Variablen auf der rechten Seite der Gleichung.
  Dabei sollen die Variablen in allen Gleichungen in der gleichen Reihenfolge stehen (zum Beispiel alphabetisch).
2. $\begin{array}{ll} I) & 4 (a + b) = c \\ I I) & 8 a + b + 10 - 4 c = 0 \\ I I I) & c - b = 10 + a \end{array}$
  
  Forme jede Gleichung einzeln um.
  Beginne mit Gleichung I):
  $\begin{array}{lrll} I) & 4 (a + b) & = c & | - c \\ I) & 4 a + 4 b - c & = 0 \end{array}$
  Nun Gleichung II):
  $\begin{array}{lrll} I I) & 8 a + b + 10 - 4 c & = 0 & | - 10 \\ I I) & 8 a + b - 4 c & = - 10 \end{array}$
  Und zuletzt Gleichung III):
  $\begin{array}{lrll} I I I) & c - b & = 10 + a & | - a \\ I I I) & - a - b + c & = 10 \end{array}$
  Jetzt sind alle drei Gleichungen in der richtigen Form für das Gauß-Verfahren.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Du musst so umformen, dass alle Variablen auf der linken Seite stehen und alle Zahlen ohne Variablen auf der rechten Seite der Gleichung.
  Dabei sollen die Variablen in allen Gleichungen in der gleichen Reihenfolge stehen (zum Beispiel alphabetisch).
2
Entscheide jeweils, welche Umformung angewendet wurde um von der linken Matrix zur rechten zu kommen.
1. $(\begin{array}{cccc} 2 & 2 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \end{array}) \Rightarrow (\begin{array}{cccc} 2 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & - 3 & 1 & - 2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \end{array})$
  Das Vierfache der dritten Zeile wurde von der zweiten Zeile subtrahiert, also $I I) - 4 \cdot I I I)$
  Das Doppelte der ersten Zeile wurde von der zweiten Zeile subtrahiert, also $I I) - 2 \cdot I)$
  Das Doppelte der zweiten Zeile wurde von der ersten Zeile subtrahiert, also $I) - 2 \cdot I I)$
  Ein Viertel der zweiten Zeile wurde von der dritten Zeile subtrahiert, also $I I I) - \frac{1}{4} \cdot I I)$
  
  $(\begin{array}{cccc} 2 & 2 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \end{array}) \Rightarrow (\begin{array}{cccc} 2 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & - 3 & 1 & - 2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \end{array})$
  Es ist nicht sinnvoll, etwas von der 1. oder 3. Zeile abzuziehen, da dadurch diese Zeilen verändert werden. Die Veränderung liegt aber in der zweiten Zeile.
  Wenn das Vierfache der dritten Zeile von der zweiten Zeile subtrahiert wird, also $I I) - 4 \cdot I I I)$ , dann ergibt sich die Matrix
  $(\begin{array}{cccc} 2 & 2 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \end{array}) \Rightarrow I I) - 4 \cdot I I I) \Rightarrow (\begin{array}{cccc} 2 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & - 3 & - 5 & - 8 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \end{array})$
  Somit ist dies ebenfalls nicht die korrekte Lösung.
  Damit bleibt nur noch die Option, das Doppelte der ersten Zeile von der zweiten Zeile zu subtrahieren.
  Dies liefert die angegebene Änderung.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Probiere aus, mit welcher der vier Möglichkeiten du die veränderte zweite Zeile bekommst.
3
Finden Sie die Lösungen mithilfe der fertig umgeformten Matrix.
2. $(\begin{array}{cccr} 4 & - 2 & 2 & 24 \\ - 3 & 1 & 0 & 15 \\ 5 & 0 & 0 & - 15 \end{array})$
  (Die erste Spalte gehört zur Unbekannten a, die zweite zu b, die dritte zu c)
  
  Die dritte Zeile liefert die Gleichung
  $I I I) 5 a = - 15$
  und somit
  $I I I) a = - 3$
  Setze a in die Gleichung aus der zweiten Zeile ein.
  Ohne a:
  $I I) - 3 a + b = 15$
  mit $a = - 3$ :
  $I I) - 3 \cdot (- 3) + b = 15$
  und somit
  $I I) b = 6$
  Mit der ersten Zeile ermittelst du die letzte fehlende Variable:
  $I) 4 a - 2 b + 2 c = 24$
  Setze $a = - 3$ und $b = 6$ ein:
  $I) 4 \cdot (- 3) - 2 \cdot 6 + 2 c = 24$
  Löse auf:
  $- 12 - 12 + 2 c$ $=$ $24$ $+ 24$
  $2 c$ $=$ $48$ $: 2$
  $c$ $=$ $24$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Beginne mit der Gleichung aus der dritten Zeile, denn dort gibt es nur eine Unbekannte. Arbeite dich dann nach oben.
3. $(\begin{array}{cccr} 10 & 0 & 0 & 2 \\ 20 & 10 & 0 & 16 \\ - 5 & 5 & 3 & - 10 \end{array})$
  (Die erste Spalte gehört zur Unbekannten a, die zweite zu b, die dritte zu c)
  
  Die erste Zeile liefert die Gleichung
  $I) 10 a = 2$
  und somit
  $a = 0,2$
  Die zweite Zeile liefert die Gleichung
  $I I) 20 a + 10 b = 16$
  mit $a = 0,2$ also
  $20 \cdot 0,2 + 10 b$ $=$ $16$
  $4 + 10 b$ $=$ $16$ $- 4$
  $10 b$ $=$ $12$ $: 10$
  $b$ $=$ $1,2$
  Und die dritte Zeile
  $I I I) - 5 a + 5 b + 3 c = - 10$
  liefert mit $a = 0,2$ und $b = 1,2$
  $- 5 \cdot 0,2 + 5 \cdot 1,2 + 3 c$ $=$ $- 10$
  $5 + 3 c$ $=$ $- 10$ $- 5$
  $3 c$ $=$ $- 15$ $: 3$
  $c$ $=$ $- 5$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Beginne mit der Gleichung aus der dritten Zeile, denn dort gibt es nur eine Unbekannte. Arbeite dich dann nach oben.
4
Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Jordan-Verfahren.
1. $\begin{array}{ccccc} 3 x & + & 4 y & = & - 1 \\ 2 x & + & 5 y & = & - 3 \end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren
  $\begin{array}{ccccc} 3 x & + & 4 y & = & - 1 \\ 2 x & + & 5 y & = & - 3 \end{array}$
  Man bildet zuerst die erweiterte Koeffizientenmatrix.
  $(\begin{array}{ccc} 3 & 4 & - 1 \\ 2 & 5 & - 3 \end{array})$
  Dann dividiert man die erste Zeile durch 3, die zweite durch 2.
  $\overset{\overset{}{I : 3, I I : 2}}{\to} (\begin{array}{ccc} 1 & \frac{4}{3} & - \frac{1}{3} \\ 1 & \frac{5}{2} & - \frac{3}{2} \end{array})$
  Man subtrahiert nun die erste von der zweiten Zeile.
  $\overset{\overset{}{I I - I}}{\to} (\begin{array}{ccc} 1 & \frac{4}{3} & - \frac{1}{3} \\ 0 & \frac{7}{6} & - \frac{7}{6} \end{array})$
  Anschließend teilt man die zweite Zeile durch $\frac{7}{6}$ .
  $\overset{\overset{}{I I : \frac{7}{6}}}{\to} (\begin{array}{ccc} 1 & \frac{4}{3} & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & - 1 \end{array})$
  Danach subtrahiert man von der ersten Zeile das $\frac{4}{3}$ -fache der zweiten Zeile.
  $\overset{\overset{}{I - \frac{4}{3} \cdot I I}}{\to} (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 \end{array})$
  Nun kann man die Lösung in der rechten Spalte ablesen:
  $\Rightarrow x = 1; y = - 1$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. $\begin{array}{ccrcc} 3 x & - & 4 y & = & - 26 \\ 2 x & + & 3 y & = & 28 \end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren
  $\begin{array}{ccrcc} 3 x & - & 4 y & = & - 26 \\ 2 x & + & 3 y & = & 28 \end{array}$
  Man bildet zuerst die erweiterte Koeffizientenmatrix.
  $(\begin{array}{ccc} 3 & - 4 & - 26 \\ 2 & 3 & 28 \end{array})$
  Dann dividiert man die erste Zeile durch 3 und die zweite durch 2.
  $\overset{\overset{}{I : 3, I I : 2}}{\to} (\begin{array}{ccc} 1 & - \frac{4}{3} & - \frac{26}{3} \\ 1 & \frac{3}{2} & 14 \end{array})$
  Man subtrahiert nun die erste von der zweiten Zeile.
  $\overset{\overset{}{I I - I}}{\to} (\begin{array}{ccc} 1 & - \frac{4}{3} & - \frac{26}{3} \\ 0 & \frac{17}{6} & \frac{68}{3} \end{array})$
  Anschließend teilt man die zweite Zeile durch $\frac{17}{6}$ .
  $\overset{\overset{}{I I : \frac{17}{6}}}{\to} (\begin{array}{ccc} 1 & - \frac{4}{3} & - \frac{26}{3} \\ 0 & 1 & 8 \end{array})$
  Danach subtrahiert man von der ersten Zeile das $- \frac{4}{3}$ -fache der zweiten Zeile.
  $\overset{\overset{}{I - (- \frac{4}{3}) \cdot I I}}{\to} (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 8 \end{array})$
  Nun kann man in der rechten Spalte die Lösung ablesen:
  $\Rightarrow x = 2; y = 8$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3. $\begin{array}{rcrcrcr} x & + & 2 y & - & z & = & 2 \\ x & + & y & + & 2 z & = & 9 \\ 2 x & + & 3 y & - & 3 z & = & - 1 \end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren
  $\begin{array}{rcrcrcr} x & + & 2 y & - & z & = & 2 \\ x & + & y & + & 2 z & = & 9 \\ 2 x & + & 3 y & - & 3 z & = & - 1 \end{array}$
  Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.
  $(\begin{array}{ccr} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & - 3 \end{array} | \begin{array}{r} 2 \\ 9 \\ - 1 \end{array}) \overset{I I - I}{\underset{I I I - 2 \cdot I}{⟶}} (\begin{array}{crr} 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 3 \\ 0 & - 1 & - 1 \end{array} | \begin{array}{r} 2 \\ 7 \\ - 5 \end{array}) \overset{I I I - I I}{⟶} (\begin{array}{crr} 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 3 \\ 0 & 0 & - 4 \end{array} | \begin{array}{r} 2 \\ 7 \\ - 12 \end{array})$
  $\overset{I I : (- 1)}{\underset{I I I : (- 4)}{⟶}} (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} | \begin{array}{c} 2 \\ - 7 \\ 3 \end{array})$
  Aus der dritten Zeile ist ersichtlich:
  $z = 3$
  Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.
  $y - 9 = - 7$
  $\Rightarrow y = 2$
  Setze den y- und z-Wert in die erste Zeile ein.
  $x + 4 - 3 = 2$
  $x = 1$
  $\Rightarrow x = 1; y = 2; z = 3$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
5
Löse das Gleichungssystem mit dem Gaußverfahren, und gib die Lösung in allgemeiner Form an. (Verwende dabei, falls erforderlich, Parameter in der Lösung).
1. $\begin{array}{ccccc} x & + & 2 y & = & 0 \\ x & + & y & + & z & = & 0 \\ 2 x & + & 3 y & + & z & = & 0 \end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gauß-Verfahren
  $\begin{array}{ccccc} x & + & 2 y & = & 0 \\ x & + & y & + & z & = & 0 \\ 2 x & + & 3 y & + & z & = & 0 \end{array}$
  Setze das Gleichungssystem in die Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.
  $(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 1 & 0 \end{array}) \overset{1 \cdot I - 1 \cdot I I}{\underset{2 \cdot I - 1 \cdot I I I}{⟶}} (\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}) \overset{1 \cdot I I - 1 \cdot I I I}{⟶} (\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array})$
  Aus der dritten Zeile (Nullzeile) folgt:
  $z = r$ , wobei $r$ beliebig gewählt werden kann
  Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.
  $y - r$ $=$ $0$ $+ r$
  $y$ $=$ $r$
  Setze den gefundenen y- und z-Wert in die erste Zeile ein.
  $x + 2 r$ $=$ $0$ $- 2 r$
  $x$ $=$ $- 2 r$
  $\Rightarrow x = - 2 r; y = r; z = r$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. $\begin{array}{rcrcrcc} x & - & 2 y & + & 3 z & = & 0 \\ - x & + & 2 y & - & 3 z & = & 0 \\ 2 x & - & 4 y & + & 6 z & = & 0 \end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gauß-Verfahren
  $\begin{array}{rcrcrcc} x & - & 2 y & + & 3 z & = & 0 \\ - x & + & 2 y & - & 3 z & = & 0 \\ 2 x & - & 4 y & + & 6 z & = & 0 \end{array}$
  Setze dass Gleichungssystem in die Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.
  $(\begin{array}{rrrc} 1 & - 2 & 3 & 0 \\ - 1 & 2 & - 3 & 0 \\ 2 & - 4 & 6 & 0 \end{array}) \overset{1 \cdot I + 1 \cdot I I}{\underset{2 \cdot I - 1 \cdot I I I}{⟶}} (\begin{array}{rrrc} 1 & - 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array})$
  Aus den beiden unteren Zeilen (Nullzeilen) folgt: Man kann zwei der drei Variablen frei wählen bzw. muss in einer allgemeinen Lösung Parameter dafür schreiben.
  Setze zum Beispiel
  $y = r; z = s$
  … und setze diese Parameter-Werte für $y$ und $z$ in die erste Zeile ein.
  $x - 2 r + 3 s = 0$
  Löse nach $x$ auf.
  $x - 2 r + 3 s$ $=$ $0$ $+ 2 r - 3 s$
  $x$ $=$ $2 r - 3 s$
  $\Rightarrow x = 2 r - 3 s; y = r; z = s$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3. $\begin{array}{rcrcrcc} 2 x & - & y & + & 3 z & = & 1 \\ x & + & 3 y & - & 2 z & = & 1 \\ 3 x & - & 2 y & + & 5 z & = & 1 \end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gauß-Verfahren
  $\begin{array}{rcrcrcc} 2 x & - & y & + & 3 z & = & 1 \\ x & + & 3 y & - & 2 z & = & 1 \\ 3 x & - & 2 y & + & 5 z & = & 1 \end{array}$
  Setze das Gleichungssystem in die Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.
  $(\begin{array}{crrc} 2 & - 1 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & - 2 & 1 \\ 3 & - 2 & 5 & 1 \end{array}) \overset{1 \cdot I - 2 \cdot I I}{\underset{3 \cdot I - 2 \cdot I I I}{⟶}} (\begin{array}{crrc} 2 & - 1 & 3 & 1 \\ 0 & - 7 & 7 & - 1 \\ 0 & 1 & - 1 & 1 \end{array}) \overset{1 \cdot I I + 7 \cdot I I I}{⟶} (\begin{array}{crrc} 2 & - 1 & 3 & 1 \\ 0 & - 7 & 7 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end{array})$
  Aus der dritten Zeile folgt:
  $0 \cdot z = 6$
  $\Rightarrow$ Dies ist nicht lösbar
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
4. $\begin{array}{rcrcrcr} x & - & 2 y & + & z & = & - 1 \\ - 2 x & + & y & + & 2 z & = & - 5 \\ 3 x & - & y & + & 2 z & = & 3 \\ x & - & 3 y & + & 8 z & = & - 9 \end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gauß-Verfahren
  $\begin{array}{rcrcrcr} x & - & 2 y & + & z & = & - 1 \\ - 2 x & + & y & + & 2 z & = & - 5 \\ 3 x & - & y & + & 2 z & = & 3 \\ x & - & 3 y & + & 8 z & = & - 9 \end{array}$
  Setze das Gleichungsystem in die Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.
  $\begin{aligned} (\begin{array}{rrcr} 1 & - 2 & 1 & - 1 \\ - 2 & 1 & 2 & - 5 \\ 3 & - 1 & 2 & 3 \\ 1 & - 3 & 8 & - 9 \end{array}) \\ \overset{2 \cdot I + I I, 3 \cdot I - 1 \cdot I I I}{\underset{1 \cdot I - 1 \cdot I V}{⟶}} & (\begin{array}{rrcr} 1 & - 2 & 1 & - 1 \\ 0 & - 3 & 4 & - 7 \\ 0 & - 5 & 1 & - 6 \\ 0 & 1 & - 7 & 8 \end{array}) \\ \overset{5 \cdot I I - 3 \cdot I I I}{\underset{1 \cdot I I + 3 \cdot I V}{⟶}} & (\begin{array}{rrcr} 1 & - 2 & 1 & - 1 \\ 0 & - 3 & 4 & - 7 \\ 0 & 0 & 17 & - 17 \\ 0 & 0 & - 17 & 17 \end{array}) \end{aligned}$
  Aus der dritten (oder vierten) Zeile folgt:
  $17 z$ $=$ $- 17$ $: 17$
  $z$ $=$ $- 1$
  Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.
  $- 3 y + 4 \cdot (- 1)$ $=$ $- 7$
  ↓
  Multpliziere aus.
  $- 3 y - 4$ $=$ $- 7$ $+ 4$
  $- 3 y$ $=$ $- 3$ $: (- 3)$
  $y$ $=$ $1$
  Setze den gefundenen y- und z-Wert in die erste Zeile ein und löse nach x auf.
  $x - 2 - 1$ $=$ $- 1$
  $x - 3$ $=$ $- 1$ $+ 3$
  $x$ $=$ $2$
  $\Rightarrow x = 2; y = 1; z = - 1$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
5. $\begin{array}{rcrcrcr} x & - & 3 y & + & z & = & 4 \\ - 2 x & + & 4 y & - & 3 z & = & - 9 \end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gauß-Verfahren
  Wende das Gauß-Verfahren auf das folgdende Gleichungssystem an:
  $\begin{array}{rcrcrcr} x & - & 3 y & + & z & = & 4 \\ - 2 x & + & 4 y & - & 3 z & = & - 9 \end{array}$
  Setze das Gleichungssystem in die Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.
  $(\begin{array}{rrrr} 1 & - 3 & 1 & 4 \\ - 2 & 4 & - 3 & - 9 \end{array}) \overset{2 \cdot I + 1 \cdot I I}{⟶} (\begin{array}{rrrr} 1 & - 3 & 1 & 4 \\ 0 & - 2 & - 1 & - 1 \end{array})$
  Aus der zweiten Zeile folgt:
  $- 2 y - 1 z = - 1$
  Setze $z = r$ .
  $- 2 y - r$ $=$ $- 1$ $+ r$
  $- 2 y$ $=$ $- 1 + r$ $: (- 2)$
  $y$ $=$ $\frac{1 - r}{2}$
  Setze den gefundenen y- und z-Wert in die erste Zeile ein.
  $x - 3 \cdot \frac{1 - r}{2} + r$ $=$ $4$
  ↓
  Multipliziere die 3 in den Bruch.
  $x - \frac{3 - 3 r}{2} + r$ $=$ $4$ $+ \frac{3 - 3 r}{2} - r$
  $x$ $=$ $4 + \frac{3 - 3 r}{2} - r$
  ↓
  Bilde den Hauptnenner (hier 2) und erweitere alle Elemente auf diesen.
  $x$ $=$ $\frac{8}{2} + \frac{3 - 3 r}{2} - \frac{2 r}{2}$
  $x$ $=$ $\frac{- 5 r + 11}{2}$
  $\Rightarrow x = \frac{- 5 r + 11}{2}; y = \frac{1 - r}{2}; z = r$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉

Löse das Gleichungssystem mit dem Gaußverfahren.

$ \begin{array}{ccrcr} 3 x & + & 2 y & = & - 1 \\ 4 x & + & y & = & - 2 \\ 6 x & + & 4 y & = & 3 \end{array}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren
$\begin{array}{ccrcr} 3 x & + & 2 y & = & - 1 \\ 4 x & + & y & = & - 2 \\ 6 x & + & 4 y & = & 3 \end{array}$
Man bildet zuerst die erweiterte Koeffizientenmatrix.
$(\begin{array}{ccr} 3 & 2 & - 1 \\ 4 & 1 & - 2 \\ 6 & 4 & 3 \end{array})$
Dann dividiert man die erste Zeile durch 3, die zweite durch 4 und die dritte durch 6.
$\underset{I I I : 6}{\overset{\overset{}{I : 3, I I : 4}}{\to}} (\begin{array}{ccr} 1 & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} \\ 1 & \frac{1}{4} & - \frac{2}{4} \\ 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{2} \end{array})$
Man subtrahiert nun die erste von der zweiten Zeile und von der dritten.
$\overset{\overset{}{I I - I, I I I - I}}{\to} (\begin{array}{ccr} 1 & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} \\ 0 & - \frac{5}{12} & - \frac{1}{6} \\ 0 & 0 & \frac{5}{6} \end{array})$
"Übersetzt" man diese Matrix zurück in das Gleichungssystem bekommt man:
$\begin{array}{ccrcr} x & + & \frac{2}{3} y & = & - \frac{1}{3} \\ 0 & + & - \frac{5}{12} y & = & - \frac{1}{6} \\ 0 & + & 0 & = & \frac{5}{6} \end{array}$
Die letzte Zeile ist eine falsche Aussage. Also hat das Gleichungssystem keine Lösung.
Nach dem Kriterium zur Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen folgt ebenfalls, dass das Gleichungssystem keine Lösung hat, denn:
$r g (\begin{array}{cc} 1 & \frac{2}{3} \\ 0 & - \frac{5}{12} \\ 0 & 0 \end{array}) = 2 < 3 = r g (\begin{array}{ccr} 1 & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} \\ 0 & - \frac{5}{12} & - \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & \frac{5}{6} \end{array})$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
$\begin{array}{rcrcc} x & - & 3 y & = & 4 \\ 2 x & + & y & = & 1 \\ 4 x & + & 5 y & = & 9 \end{array}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren
$\begin{array}{rcrcc} x & - & 3 y & = & 4 \\ 2 x & + & y & = & 1 \\ 4 x & + & 5 y & = & 9 \end{array}$
Man bildet zuerst die erweiterte Koeffizientenmatrix.
$(\begin{array}{ccc} 1 & - 3 & 4 \\ 2 & 1 & 1 \\ 4 & 5 & 9 \end{array})$
Dann dividiert man die zweite Zeile durch 2 und die dritte durch 4.
$\overset{\overset{}{I I : 2, I I I : 4}}{\to} (\begin{array}{ccc} 1 & - 3 & 4 \\ 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 1 & \frac{5}{4} & \frac{9}{4} \end{array})$
Man subtrahiert nun die erste von der zweiten Zeile und von der dritten.
$\overset{\overset{}{I I - I, I I I - I}}{\to} (\begin{array}{ccc} 1 & - 3 & 4 \\ 0 & \frac{7}{2} & - \frac{7}{2} \\ 0 & \frac{17}{4} & - \frac{7}{4} \end{array})$
Dividiere anschließen die zweite Zeile durch $\frac{7}{2}$ und die dritte durch $\frac{17}{4}$ .
$\overset{\overset{}{I I : \frac{7}{2}, I I I : \frac{17}{4}}}{\to} (\begin{array}{ccc} 1 & - 3 & 4 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - \frac{7}{17} \end{array})$
Nun subtrahiert man von der dritten Zeile die zweite.
$\overset{\overset{}{I I I - I I}}{\to} (\begin{array}{ccc} 1 & - 3 & 4 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & \frac{10}{17} \end{array})$
"Übersetzt" man diese Matrix zurück in das Gleichungssystem bekommt man:
$\begin{array}{rcrcc} x & - & 3 y & = & 4 \\ 0 & + & y & = & - 1 \\ 0 & + & 0 & = & \frac{10}{17} \end{array}$
Die letzte Zeile ist eine falsche Aussage. Also hat das Gleichungssystem keine Lösung.
Nach dem Kriterium zur Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen folgt ebenfalls, dass das Gleichungssystem keine Lösung hat, denn:
$r g (\begin{array}{cc} 1 & - 3 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}) = 2 < 3 = r g (\begin{array}{ccc} 1 & - 3 & 4 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & \frac{10}{17} \end{array})$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
$\begin{array}{rcrcr} x & - & 2 y & = & 3 \\ - 2 x & + & 4 y & = & - 6 \\ - x & + & 2 y & = & - 3 \end{array}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren
$\begin{array}{rcrcr} x & - & 2 y & = & 3 \\ - 2 x & + & 4 y & = & - 6 \\ - x & + & 2 y & = & - 3 \end{array}$
Man bildet zuerst die erweiterte Koeffizientenmatrix.
$(\begin{array}{rrr} 1 & - 2 & 3 \\ - 2 & 4 & - 6 \\ - 1 & 2 & - 3 \end{array})$
Dann dividiert man die zweite Zeile durch -2 und die dritte durch -1.
$\overset{\overset{}{I I : (- 2), I I I : (- 1)}}{\to} (\begin{array}{rrr} 1 & - 2 & 3 \\ 1 & - 2 & 3 \\ 1 & - 2 & 3 \end{array})$
Nun subtrahiert man die erste von der zweiten Zeile und von der dritten.
$\overset{\overset{}{I I - I, I I I - I}}{\to} (\begin{array}{rrr} 1 & - 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})$
"Übersetzt" man diese Matrix zurück in das Gleichungssystem bekommt man:
$\begin{array}{rcrcc} x & - & 2 y & = & 3 \\ 0 & + & 0 & = & 0 \\ 0 & + & 0 & = & 0 \end{array}$
Die letzten beiden Zeilen sind wahre Aussagen. Sie tragen nicht zur Lösung bei. Die Lösung steht in der ersten Zeile. Alle Zahlenpaare, welche die erste Zeile erfüllen sind Lösung des Gleichungssystems. Es sind also unendlich viele.
$L = {(x, y) \in ℝ^{2} | x - 2 y = 3}$
Nach dem Kriterium zur Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen folgt ebenfalls, dass das Gleichungssystem nicht eindeutig lösbar ist, denn:
$r g (\begin{array}{rrr} 1 & - 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}) = 1 < 3$
Dennoch kann man eine Lösungsmenge angeben:
$L = {(x, y) \in ℝ^{2} | x - 2 y = 3}$
Bemerkung: Die (unendlich vielen) Lösungen befinden sich auf einer Geraden mit der Gleichung $x - 2 y = 3 \Leftrightarrow y = \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}$ .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
$\begin{array}{rcrcrcr} 6 x & - & y & + & 2 z & = & 1 \\ 5 x & - & 3 y & + & 3 z & = & 4 \\ 3 x & - & 2 y & + & z & = & 14 \end{array}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren
$\begin{array}{rcrcrcr} 6 x & - & y & + & 2 z & = & 1 \\ 5 x & - & 3 y & + & 3 z & = & 4 \\ 3 x & - & 2 y & + & z & = & 14 \end{array}$
Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.
$(\begin{array}{crcc} 6 & - 1 & 2 & 1 \\ 5 & - 3 & 3 & 4 \\ 3 & - 2 & 1 & 14 \end{array}) \overset{5 \cdot I - 6 \cdot I I}{\underset{1 \cdot I - 2 \cdot I I I}{⟶}} (\begin{array}{crcc} 6 & - 1 & 2 & 1 \\ 0 & 13 & - 8 & - 19 \\ 0 & 3 & 0 & - 27 \end{array})$
$\overset{II \leftrightarrow III}{\underset{II : 3}{⟶}} (\begin{array}{crcc} 6 & - 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 9 \\ 0 & 13 & - 8 & - 19 \end{array}) \overset{I I I - 13 \cdot I I}{⟶} (\begin{array}{crcc} 6 & - 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 9 \\ 0 & 0 & - 8 & 98 \end{array})$
Aus der dritten Zeile folgt:
$- 8 z$ $=$ $98$ $: (- 8)$
$z$ $=$ $- 12,25$
Die zweite Zeile enthält schon den Wert von $y$ :
$y$ $=$ $- 9$
↓
Setze den gefundenen y- und z-Wert in die erste Zeile ein.
$6 x - (- 9) + 2 \cdot (- 12,25)$ $=$ $1$
↓
Multipliziere aus.
$6 x + 9 - 24,5$ $=$ $1$
$6 x - 15,5$ $=$ $1$
$6 x$ $=$ $16,5$
$x$ $=$ $2,75$
$\Rightarrow x = 2,75; y = - 9; z = - 12,25$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
$\begin{array}{cccc} \frac{3}{4} x & - & \frac{7}{6} y & = & \frac{1}{8} \\ - 9 x & + & 14 y & = & - \frac{3}{2} \\ \frac{1}{3} x & + & \frac{1}{9} y & = & 0 \end{array}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren
$\begin{array}{cccc} \frac{3}{4} x & - & \frac{7}{6} y & = & \frac{1}{8} \\ - 9 x & + & 14 y & = & - \frac{3}{2} \\ \frac{1}{3} x & + & \frac{1}{9} y & = & 0 \end{array}$
Man bildet zuerst die erweiterte Koeffizientenmatrix.
$(\begin{array}{ccc} \frac{3}{4} & - \frac{7}{6} & \frac{1}{8} \\ - 9 & 14 & - \frac{3}{2} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & 0 \end{array})$
Dann dividiert man die erste Zeile durch $\frac{3}{4}$ , die zweite durch $- 9$ und die dritte durch $\frac{1}{3}$ .
$\underset{III : \frac{1}{3}}{\overset{\overset{}{I : \frac{3}{4}, I I : (- 9)}}{\to}} (\begin{array}{ccc} 1 & - \frac{14}{9} & \frac{1}{6} \\ 1 & - \frac{14}{9} & \frac{1}{6} \\ 1 & \frac{1}{3} & 0 \end{array})$
Nun subtrahiert man von der zweiten und dritten Zeile die erste.
$\underset{I I I - I}{\overset{\overset{}{I I - I}}{\to}} (\begin{array}{ccc} 1 & - \frac{14}{9} & \frac{1}{6} \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{17}{9} & - \frac{1}{6} \end{array})$
Die zweite Zeile ist eine wahre Aussage und trägt nicht zur Lösung bei.
Aus der letzten Zeile $\frac{17}{9} y = - \frac{1}{6}$ bekommt man für y einen Wert: $y = - \frac{3}{34}$ .
Nun setzt man diesen Wert in die erste Zeile ein: $x - \frac{14}{9} (- \frac{3}{34}) = \frac{1}{6}$ und formt nach $x$ um. Man bekommt für x einen Wert: $x = \frac{1}{34}$ , also $L = {(\frac{1}{34}; - \frac{3}{34})}$ .
Ermittlung der Lösung mit dem Gauß-Jordan-Verfahren:
Starte noch einmal mit der letzten Matrix:
Man dividiert nun die dritte Zeile durch $\frac{17}{9}$ .
$\overset{\overset{}{I I I : \frac{17}{9}}}{\to} (\begin{array}{ccc} 1 & - \frac{14}{9} & \frac{1}{6} \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{3}{34} \end{array})$
Anschließend subtrahiert man von der ersten das $- \frac{14}{9}$ -fache der dritten Zeile.
$\overset{\overset{}{I - (- \frac{14}{9}) \cdot I I I}}{\to} (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & \frac{1}{34} \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{3}{34} \end{array})$
Nun kann man die Lösung in der rechten Spalte ablesen:
$L = {(\frac{1}{34}; - \frac{3}{34})}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
$\begin{array}{rcrcrcr} 6 x & - & z & + & 2 y & = & 48 \\ 5 y & - & 3 x & + & 3 z & = & 49 \\ 3 z & - & 2 x & + & y & = & 24 \end{array}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren
$\begin{array}{rcrcrcr} 6 x & - & z & + & 2 y & = & 48 \\ 5 y & - & 3 x & + & 3 z & = & 49 \\ 3 z & - & 2 x & + & y & = & 24 \end{array}$
Ordne nach den Variablen.
$\begin{array}{rcrcrcr} 6 x & + & 2 y & - & z & = & 48 \\ - 3 x & + & 5 y & + & 3 z & = & 49 \\ - 2 x & + & y & + & 3 z & = & 24 \end{array}$
Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.
$(\begin{array}{crcc} 6 & 2 & - 1 & 48 \\ - 3 & 5 & 3 & 49 \\ - 2 & 1 & 3 & 24 \end{array}) \overset{1 \cdot I + 2 \cdot I I}{\underset{1 \cdot I + 3 \cdot I I I}{⟶}} (\begin{array}{crcc} 6 & 2 & - 1 & 48 \\ 0 & 12 & 5 & 146 \\ 0 & 5 & 8 & 120 \end{array}) \underset{5 \cdot I I - 12 \cdot I I I}{⟶} (\begin{array}{crcc} 6 & 2 & - 1 & 48 \\ 0 & 12 & 5 & 146 \\ 0 & 0 & - 71 & - 710 \end{array})$
Aus der dritten Zeile folgt:
$- 71 z$ $=$ $- 710$
$z$ $=$ $10$
Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.
$12 y + 5 \cdot 10$ $=$ $146$
$12 y + 50$ $=$ $146$
$12 y$ $=$ $96$
$y$ $=$ $8$
Setze den gefundenen y- und den gefundenen z-Wert in die erste Zeile ein.
$6 x + 2 \cdot 8 - 10$ $=$ $48$
$6 x \cdot 16 - 10$ $=$ $48$
$6 x + 6$ $=$ $48$
$6 x$ $=$ $42$
$x$ $=$ $7$
$\Rightarrow x = 7; y = 8; z = 10$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
$\begin{array}{rcrcrcr} x & - & 2 y & = & 4 \\ - & y & - & z & = & - 1 \\ - x & + & y & + & 3 z & = & - 1 \end{array}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren
$\begin{array}{rcrcrcr} x & - & 2 y & = & 4 \\ - & y & - & z & = & - 1 \\ - x & + & y & + & 3 z & = & - 1 \end{array}$
Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.
$(\begin{array}{cccc} 1 & - 2 & 0 & 4 \\ 0 & - 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 1 & 3 & - 1 \end{array}) \overset{1 \cdot I + 1 \cdot I I I}{⟶} (\begin{array}{cccc} 1 & - 2 & 0 & 4 \\ 0 & - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & - 1 & 3 & 3 \end{array}) \overset{1 \cdot I I - 1 \cdot I I I}{⟶} (\begin{array}{cccc} 1 & - 2 & 0 & 4 \\ 0 & - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 0 & - 4 & - 4 \end{array})$
Aus der dritten Zeile folgt:
$- 4 z$ $=$ $- 4$ $: (- 4)$
$z$ $=$ $1$
↓
Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.
$- y - 1$ $=$ $- 1$ $+ 1$
$- y$ $=$ $0$ $: (- 1)$
$y$ $=$ $0$
↓
Setze den gefundenen y-Wert in die erste Zeile ein.
$x - 2 \cdot 0$ $=$ $4$
$x$ $=$ $4$
$\Rightarrow x = 4; y = 0; z = 1$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉

$\begin{array}{rcrcrcr} 2 x & + & 3 y & - & z & = & 3 \\ x & + & 2 z & = & 9 \\ x & - & y & = & 2 \end{array}$

$\begin{array}{rcrcrcr} 5 x & + & 2 y & - & 2 z & = & - 1 \\ 3 x & + & y & - & 3 z & = & - 4 \\ 2 x & + & z & = & 4 \end{array}$

$\begin{array}{ccrcrcr} 4 x & + & 3 y & + & z & = & 13 \\ 2 x & - & 5 y & + & 3 z & = & 1 \\ 7 x & - & y & - & 2 z & = & - 1 \end{array}$

$\begin{array}{rcrcrcr} 2 x & + & 9 y & - & 14 z & = & 39 \\ 3 x & + & 6 y & + & 2 z & = & 36 \\ \frac{x}{2} & + & \frac{y}{3} & + & 7 z & = & 2 \end{array}$

$\begin{array}{rcrcrcr} x & + & y & - & z & = & 4 \\ 4 x & - & 2 y & - & 2 z & = & 3 \\ - 5 x & + & 4 y & + & 2 z & = & 0 \end{array}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren
$\begin{array}{rcrcrcr} x & + & y & - & z & = & 4 \\ 4 x & - & 2 y & - & 2 z & = & 3 \\ - 5 x & + & 4 y & + & 2 z & = & 0 \end{array}$
Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.
$(\begin{array}{rrrc} 1 & 1 & - 1 & 4 \\ 4 & - 2 & - 2 & 3 \\ - 5 & 4 & 2 & 0 \end{array}) \overset{4 \cdot I - 1 \cdot I I}{\underset{5 \cdot I + 1 \cdot I I I}{⟶}} (\begin{array}{rrrc} 1 & 1 & - 1 & 4 \\ 0 & 6 & - 2 & 13 \\ 0 & 9 & - 3 & 20 \end{array}) \overset{3 \cdot I I - 2 \cdot I I I}{⟶} (\begin{array}{rrrc} 1 & 1 & - 1 & 4 \\ 0 & 6 & - 2 & 13 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{array})$
Aus unterer Zeile folgt:
$0 \cdot z = - 1$
$\Rightarrow$ Dies ist nicht lösbar!
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$20 \cdot 0,2 + 10 b$	$=$	$16$
$4 + 10 b$	$=$	$16$	$- 4$
$10 b$	$=$	$12$	$: 10$
$b$	$=$	$1,2$

$- 5 \cdot 0,2 + 5 \cdot 1,2 + 3 c$	$=$	$- 10$
$5 + 3 c$	$=$	$- 10$	$- 5$
$3 c$	$=$	$- 15$	$: 3$
$c$	$=$	$- 5$

$- 3 y + 4 \cdot (- 1)$	$=$	$- 7$
	↓	Multpliziere aus.
$- 3 y - 4$	$=$	$- 7$	$+ 4$
$- 3 y$	$=$	$- 3$	$: (- 3)$
$y$	$=$	$1$

$- 2 y - r$	$=$	$- 1$	$+ r$
$- 2 y$	$=$	$- 1 + r$	$: (- 2)$
$y$	$=$	$\frac{1 - r}{2}$

$x - 3 \cdot \frac{1 - r}{2} + r$	$=$	$4$
	↓	Multipliziere die 3 in den Bruch.
$x - \frac{3 - 3 r}{2} + r$	$=$	$4$	$+ \frac{3 - 3 r}{2} - r$
$x$	$=$	$4 + \frac{3 - 3 r}{2} - r$
	↓	Bilde den Hauptnenner (hier 2) und erweitere alle Elemente auf diesen.
$x$	$=$	$\frac{8}{2} + \frac{3 - 3 r}{2} - \frac{2 r}{2}$
$x$	$=$	$\frac{- 5 r + 11}{2}$

$y$	$=$	$- 9$
	↓	Setze den gefundenen y- und z-Wert in die erste Zeile ein.
$6 x - (- 9) + 2 \cdot (- 12,25)$	$=$	$1$
	↓	Multipliziere aus.
$6 x + 9 - 24,5$	$=$	$1$
$6 x - 15,5$	$=$	$1$
$6 x$	$=$	$16,5$
$x$	$=$	$2,75$

$12 y + 5 \cdot 10$	$=$	$146$
$12 y + 50$	$=$	$146$
$12 y$	$=$	$96$
$y$	$=$	$8$

$6 x + 2 \cdot 8 - 10$	$=$	$48$
$6 x \cdot 16 - 10$	$=$	$48$
$6 x + 6$	$=$	$48$
$6 x$	$=$	$42$
$x$	$=$	$7$

$- 4 z$	$=$	$- 4$	$: (- 4)$
$z$	$=$	$1$
	↓	Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.
$- y - 1$	$=$	$- 1$	$+ 1$
$- y$	$=$	$0$	$: (- 1)$
$y$	$=$	$0$
	↓	Setze den gefundenen y-Wert in die erste Zeile ein.
$x - 2 \cdot 0$	$=$	$4$
$x$	$=$	$4$

$- 22 z$	$=$	$- 72$	$: (- 22)$
$z$	$=$	$\frac{36}{11}$
	↓	Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.
$3 \cdot y - 5 \cdot \frac{36}{11}$	$=$	$- 15$
	↓	Multipliziere aus.
$3 \cdot y - \frac{180}{11}$	$=$	$- 15$	$+ \frac{180}{11}$
$3 \cdot y$	$=$	$\frac{15}{11}$	$: 3$
$y$	$=$	$\frac{5}{11}$
	↓	Setze den gefundenen y- und z-Wert in die erste Zeile ein.
$2 \cdot x + 3 \cdot \frac{5}{11} - \frac{36}{11}$	$=$	$3$
	↓	Multipliziere.
$2 \cdot x + \frac{15}{11} - \frac{36}{11}$	$=$	$3$
	↓	Subtrahiere.
$2 \cdot x + (- \frac{21}{11})$	$=$	$3$	$+ \frac{21}{11}$
$2 \cdot x$	$=$	$\frac{54}{11}$	$: 2$
$x$	$=$	$\frac{27}{11}$

$17 z$	$=$	$- 17$	$: 17$
$z$	$=$	$- 1$

$- 8 z$	$=$	$98$	$: (- 8)$
$z$	$=$	$- 12,25$

$45 z$	$=$	$90$	$: 45$
$z$	$=$	$2$
	↓	Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.
$y + 9 \cdot 2$	$=$	$17$
	↓	Multipliziere aus.
$y + 18$	$=$	$17$	$- 18$
$y$	$=$	$- 1$
	↓	Setze den gefundenen y- und z-Wert in die erste Zeile ein.
$5 x + 2 \cdot (- 1) - 2 \cdot 2$	$=$	$- 1$
	↓	Multipliziere aus.
$5 x - 2 - 4$	$=$	$- 1$
$5 x - 6$	$=$	$- 1$	$+ 6$
$5 x$	$=$	$5$	$: 5$
$x$	$=$	$1$

$- 320 z$	$=$	$- 960$	$: (- 320)$
$z$	$=$	$3$
	↓	Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.
$13 y - 5 \cdot 3$	$=$	$11$
$13 y - 15$	$=$	$11$	$+ 15$
$13 y$	$=$	$26$	$: 13$
$y$	$=$	$2$
	↓	Setze den gefundenen y- und z-Wert in die erste Gleichung ein.
$4 x + 3 \cdot 2 + 3$	$=$	$13$
	↓	Fasse zusammen.
$4 x + 9$	$=$	$13$	$- 9$
$4 x$	$=$	$4$	$: 4$
$x$	$=$	$1$

$\frac{832}{3} z$	$=$	$- 120$	$: \frac{832}{3}$
$z$	$=$	$- \frac{45}{104}$
	↓	Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.
$15 \cdot y - 46 \cdot (- \frac{45}{104})$	$=$	$45$
	↓	Multipliziere aus.
$15 \cdot y + \frac{1035}{52}$	$=$	$45$	$- \frac{1035}{52}$
$15 \cdot y$	$=$	$\frac{1025}{52}$	$: 15$
$y$	$=$	$\frac{87}{52}$
	↓	Setze den gefundenen y- und z-Wert in die erste Zeile ein.
$2 \cdot x + 9 \cdot \frac{87}{52} - 14 \cdot (- \frac{45}{104})$	$=$	$39$
	↓	Multipliziere aus.
$2 \cdot x + \frac{783}{52} + \frac{315}{52}$	$=$	$39$
$2 \cdot x + \frac{1098}{52}$	$=$	$39$	$- \frac{1098}{52}$
$2 \cdot x$	$=$	$\frac{465}{26}$	$: 2$
$x$	$=$	$\frac{465}{52}$

Aufgaben zum Gaußverfahren

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?