Aufgaben

Löse das Gleichungssystem mit dem Gaußverfahren (2 Unbekannte).

%%\begin{array}{ccccc}3x&+&4y&=&-1\\2x&+&5y&=&-3\end{array}%%

%%\begin{array}{ccccc}3x&+&4y&=&-1\\2x&+&5y&=&-3\end{array}%%

Man bildet zuerst die erweiterte Koeffizientenmatrix.

%%\left(\begin{array}{cc|c}3&4&-1\\2&5&-3\end{array}\right)%%

Dann dividiert man die erste Zeile durch 3, die zweite durch 2.

%%\xrightarrow{\mathrm{I:3,\; II:2}}\left(\begin{array}{cc|c}1&\frac43&-\frac13\\1&\frac52&-\frac32\end{array}\right)%%

Man subtrahiert nun die erste von der zweiten Zeile.

%%\xrightarrow{\mathrm{II-I}}\left(\begin{array}{cc|c}1&\frac43&-\frac13\\0&\frac76&-\frac76\end{array}\right)%%

Anschließend teilt man die zweite Zeile durch %%\frac76%%.

%%\xrightarrow{\mathrm{II:\frac76}}\left(\begin{array}{cc|c}1&\frac43&-\frac13\\0&1&-1\end{array}\right)%%

Danach subtrahiert man von der ersten Zeile das %%\frac43%%-fache der zweiten Zeile.

%%\xrightarrow{\mathrm{I-\frac43\cdot II}}\left(\begin{array}{cc|c}1&0&1\\0&1&-1\end{array}\right)%%

Nun kann man die Lösung in der rechten Spalte ablesen:

$$\Rightarrow\;\;x=1 \;;\;y=-1$$

%%\begin{array}{ccrcc}3x&-&4y&=&-26\\2x&+&3y&=&28\end{array}%%

%%\begin{array}{ccrcc}3x&-&4y&=&-26\\2x&+&3y&=&28\end{array}%%

Man bildet zuerst die erweiterte Koeffizientenmatrix.

%%\left(\begin{array}{cc|c}3&-4&-26\\2&3&28\end{array}\right)%%

Dann dividiert man die erste Zeile durch 3 und die zweite durch 2.

%%\xrightarrow{\mathrm{I:3,\;II:2}}\left(\begin{array}{cc|c}1&-\frac43&-\frac{26}3\\1&\frac32&14\end{array}\right)%%

Man subtrahiert nun die erste von der zweiten Zeile.

%%\xrightarrow{\mathrm{II-I}}\left(\begin{array}{cc|c}1&-\frac43&-\frac{26}3\\0&\frac{17}6&\frac{68}3\end{array}\right)%%

Anschließend teilt man die zweite Zeile durch %%\frac{17}6%%.

%%\xrightarrow{\mathrm{II:\frac{17}6}}\left(\begin{array}{cc|c}1&-\frac43&-\frac{26}3\\0&1&8\end{array}\right)%%

Danach subtrahiert man von der ersten Zeile das %%-\frac43%%-fache der zweiten Zeile.

%%\xrightarrow{\mathrm{I-(-\frac43)\cdot II}}\left(\begin{array}{cc|c}1&0&2\\0&1&8\end{array}\right)%%

Nun kann man in der rechten Spalte die Lösung ablesen:

$$\Rightarrow\;x=2\;;\; y=8$$

%%\begin{array}{ccrcr}3x&+&2y&=&-1\\4x&+&y&=&-2\\6x&+&4y&=&3\end{array}%%

%%\begin{array}{ccrcr}3x&+&2y&=&-1\\4x&+&y&=&-2\\6x&+&4y&=&3\end{array}%%

Man bildet zuerst die erweiterte Koeffizientenmatrix.

%%\left(\begin{array}{cc|r}3&2&-1\\4&1&-2\\6&4&3\end{array}\right)%%

Dann dividiert man die erste Zeile durch 3, die zweite durch 4 und die dritte durch 6.

%%\underset{\mathrm{III:6}}{\xrightarrow{\mathrm{I:3,\;II:4}}}\left(\begin{array}{cc|r}1&\frac23&-\frac13\\1&\frac14&-\frac24\\1&\frac23&\frac12\end{array}\right)%%

Man subtrahiert nun die erste von der zweiten Zeile und von der dritten.

%%\xrightarrow{\mathrm{II-I,\;III-I}}\left(\begin{array}{cc|r}1&\frac23&-\frac13\\0&-\frac5{12}&-\frac16\\0&0&\frac56\end{array}\right)%%

Nach dem Kriterium zur Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen folgt schon, dass das Gleichungssystem keine Lösung hat, denn:

%%rg\begin{pmatrix}1&\frac23\\0&-\frac5{12}\\0&0\end{pmatrix}=2<3=rg\left(\begin{array}{cc|r}1&\frac23&-\frac13\\0&-\frac5{12}&-\frac13\\0&0&\frac56\end{array}\right)%%

%%\begin{array}{rcrcc}\;x&-&3y&=&4\\2x&+&y&=&1\\4x&+&5y&=&9\end{array}%%

%%\begin{array}{rcrcc}\;x&-&3y&=&4\\2x&+&y&=&1\\4x&+&5y&=&9\end{array}%%

Man bildet zuerst die erweiterte Koeffizientenmatrix.

%%\left(\begin{array}{cc|c}1&-3&4\\2&1&1\\4&5&9\end{array}\right)%%

Dann dividiert man die zweite Zeile durch 2 und die dritte durch 4.

%%\xrightarrow{\mathrm{II:2,\;III:4}}\left(\begin{array}{cc|c}1&-3&4\\1&\frac12&\frac12\\1&\frac54&\frac94\end{array}\right)%%

Man subtrahiert nun die erste von der zweiten Zeile und von der dritten.

%%\xrightarrow{\mathrm{II-I,\;III-I}}\left(\begin{array}{cc|c}1&-3&4\\0&\frac72&-\frac72\\0&\frac{17}4&-\frac74\end{array}\right)%%

Dividiere anschließen die zweite Zeile durch %%\frac72%% und die dritte durch %%\frac{17}4%%.

%%\xrightarrow{\mathrm{II:\frac72,\;III:\frac{17}4}}\left(\begin{array}{cc|c}1&-3&4\\0&1&-1\\0&1&-\frac7{17}\end{array}\right)%%

Nun subtrahiert man von der dritten Zeile die zweite.

%%\xrightarrow{\mathrm{III-II}}\left(\begin{array}{cc|c}1&-3&4\\0&1&-1\\0&0&\frac{10}{17}\end{array}\right)%%

Nach dem Kriterium zur Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen folgt schon, dass das Gleichungssystem keine Lösung hat, denn:

%%rg\begin{pmatrix}1&-3\\0&1\\0&0\end{pmatrix}=2<3=rg\left(\begin{array}{cc|c}1&-3&4\\0&1&-1\\0&0&\frac{10}{17}\end{array}\right)%%

%%\begin{array}{rcrcr}x&-&2y&=&3\\-2x&+&4y&=&-6\\\;-x&+&2y&=&-3\end{array}%%

%%\begin{array}{rcrcr}\;\;\;\;x&-&2y&=&3\\-2x&+&4y&=&-6\\\;-x&+&2y&=&-3\end{array}%%

Man bildet zuerst die erweiterte Koeffizientenmatrix.

%%\left(\begin{array}{rr|r}1&-2&3\\-2&4&-6\\-1&2&-3\end{array}\right)%%

Dann dividiert man die zweite Zeile durch -2 und die dritte durch -1.

%%\xrightarrow{\mathrm{II:(-2),\;III:(-1)}}\left(\begin{array}{rr|r}1&-2&3\\1&-2&3\\1&-2&3\end{array}\right)%%

Nun subtrahiert man die erste von der zweiten Zeile und von der dritten.

%%\xrightarrow{\mathrm{II-I,\;III-I}}\left(\begin{array}{rr|r}1&-2&3\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right)%%

Nach dem Kriterium zur Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen folgt schon, dass das Gleichungssystem nicht eindeutig lösbar ist, denn:

%%rg\left(\begin{array}{rr|r}1&-2&3\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right)=1<3%%

Dennoch kann man eine Lösungsmenge angeben:

%%L=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|x-2y=3\}%%

Bemerkung: Die (unendlich vielen) Lösungen befinden sich auf einer Geraden mit der Gleichung %%x-2y=3\Leftrightarrow y=-\frac12x-\frac32%%.

%%\begin{array}{rcrcrcr} 6x&-&y&+&2z&=&1\\ 5x&-&3y&+&3z&=&4\\ 3x&-&2y&+&z&=&14 \end{array}%%

%%\begin{array}{rcrcrcr} 6x&-&y&+&2z&=&1\\ 5x&-&3y&+&3z&=&4\\ 3x&-&2y&+&z&=&14 \end{array}%%

Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.

%%\left(\begin{array}{crc|c}6&-1&2&1\\5&-3&3&4\\3&-2&1&14\end{array}\right)\overset{\mathrm{5 \cdot I - 6 \cdot II}}{\underset{\mathrm{1 \cdot I - 2 \cdot III}} \longrightarrow} \left(\begin{array}{crc|c}6&-1&2&1\\0&13&-8&-19\\0&3&0&-27\end{array}\right)\overset{\mathrm{3 \cdot II - 13 \cdot III}}\longrightarrow \left(\begin{array}{crc|c}6&-1&2&1\\0&13&-8&-19\\0&0&-24&294\end{array}\right)%%

Aus der dritten Zeile folgt:

%%-24z=294%%

%%\left|{:\left(-24\right)}\right.%%

%%z=-12,25%%

Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.

%%13y-8\cdot\left(-12,25\right)=-19%%

%%13y+98=-19%%

%%\left|{-98}\right.%%

%%13y=-117%%

%%\left|{:13}\right.%%

%%y=-9%%

Setze den gefundenen y- und z-Wert in die erste Zeile ein.

%%6x-\left(-9\right)+2\cdot\left(-12,25\right)=1%%

%%6x+9-24,5=1%%

%%6x-15,5=1%%

%%\left|{+15,5}\right.%%

%%6x=16,5%%

%%\left|{:6}\right.%%

%%x=2,75%%

$$\Rightarrow\;x=2,75;\;y=-9;\;z=-12,25$$

%%\begin{array}{cccc} \frac34x&-&\frac76y&=&\frac18\\ -9x&+&14y&=&-\frac32\\ \frac13x&+&\frac19y&=&0 \end{array}%%

%%\begin{array}{cccc} \frac34x&-&\frac76y&=&\frac18\\ -9x&+&14y&=&-\frac32\\ \frac13x&+&\frac19y&=&0 \end{array}%%

Man bildet zuerst die erweiterte Koeffizientenmatrix.

%%\left(\begin{array}{cc|c} \frac34&-\frac76&\frac18\\ -9&14&-\frac32\\ \frac13&\frac19&0 \end{array}\right)%%

Dann dividiert man die erste Zeile durch %%\frac34%%, die zweite durch %%-9%% und die dritte durch %%\frac13%%.

%%\underset{\mathrm{III}:\frac13}{\xrightarrow{\mathrm{I:\frac34,\;II:(-9)}}}\left(\begin{array}{cc|c} 1&-\frac{14}{9}&\frac16\\ 1&-\frac{14}9&\frac16\\ 1&\frac13&0 \end{array}\right)%%

Nun subtrahiert man von der zweiten und dritten Zeile die erste.

%%\underset{\mathrm{III-I}}{\xrightarrow{\mathrm{II-I}}}\left(\begin{array}{cc|c} 1&-\frac{14}{9}&\frac16\\ 0&0&0\\ 0&\frac{17}9&-\frac16 \end{array}\right)%%

Wegen %%rg(A)=2=rg(A|b)%% und zwei ist die Anzahl der Unbekannten, ist das Gleichungssystem nach dem Rangkriterium für die Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen eindeutig lösbar.

Man dividiert nun die dritte Zeile durch %%\frac{17}9%%.

%%\xrightarrow{\mathrm{III:\frac{17}9}}\left(\begin{array}{cc|c} 1&-\frac{14}{9}&\frac16\\ 0&0&0\\ 0&1&-\frac3{34} \end{array}\right)%%

Anschließend subtrahiert man von der ersten das %%-\frac{14}9%%-fache der dritten Zeile.

%%\xrightarrow{\mathrm{I-(-\frac{14}9)\cdot III}}\left(\begin{array}{cc|c} 1&0&\frac{1}{34}\\ 0&0&0\\ 0&1&-\frac3{34} \end{array}\right)%%

Nun kann man die Lösung in der rechten Spalte ablesen:

%%L=\left\{\left(\frac1{34};-\frac3{34}\right)\right\}%%

Löse das Gleichungssystem mit dem Gaußverfahren (3 Unbekannte).

%%\begin{array}{rcrcrcr}\;\;x&-&2y&\;&\;&=&4\\\;&-&y&-&z&=&-1\\-x&+&y&+&3z&=&-1\end{array}%%

%%\begin{array}{rcrcrcr}\;\;x&-&2y&\;&\;&=&4\\\;&-&y&-&z&=&-1\\-x&+&y&+&3z&=&-1\end{array}%%

Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.

%%\left(\begin{array}{ccc|c}1&-2&0&4\\0&-1&-1&-1\\-1&1&3&-1\end{array}\right)\overset{\mathrm{1\cdot I + 1 \cdot III}}\longrightarrow\left(\begin{array}{ccc|c}1&-2&0&4\\0&-1&-1&-1\\0&-1&3&3\end{array}\right)\overset{\mathrm{1\cdot II - 1 \cdot III}}\longrightarrow \left(\begin{array}{ccc|c}1&-2&0&4\\0&-1&-1&-1\\0&0&-4&-4\end{array}\right)%%

Aus der dritten Zeile folgt:

%%-4z=-4%%

%%\left|{:\left(-4\right)}\right.%%

%%z=1%%

%%\;%%

Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.

%%-y-1=-1%%

%%\left|{+1}\right.%%

%%-y=0%%

%%\left|{:\left(-1\right)}\right.%%

%%y=0%%

%%\;%%

Setze den gefundenen y-Wert in die erste Zeile ein.

%%x-2\cdot0=4%%

%%x=4%%

$$\Rightarrow\;x=4;\;y=0;\;z=1$$

%%\begin{array}{rcrcrcr}\;\;x&+&2y&-&z&=&2\\x&+&y&+&2z&=&9\\2x&+&3y&-&3z&=&-1\end{array}%%

%%\begin{array}{rcrcrcr}\;\;x&+&2y&-&z&=&2\\x&+&y&+&2z&=&9\\2x&+&3y&-&3z&=&-1\end{array}%%

Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.

%%\left(\begin{array}{ccr}1&2&-1\\1&1&2\\2&3&-3\end{array}\left|\begin{array}{r}2\\9\\-1\end{array}\right.\right)\overset{\mathrm{II - I}}{\underset{\mathrm{III-2 \cdot I}}\longrightarrow} \left(\begin{array}{crr}1&2&-1\\0&-1&3\\0&-1&-1\end{array}\left|\begin{array}{r}2\\7\\-5\end{array}\right.\right)\overset{\mathrm{III - II}}\longrightarrow \left(\begin{array}{crr}1&2&-1\\0&-1&3\\0&0&-4\end{array}\left|\begin{array}{r}2\\7\\-12\end{array}\right.\right)%%

%%\overset{\mathrm{II\;:\;(-1)}}{\underset{\mathrm{III\;:\;(-4)}}\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccc}1&2&-1\\0&1&-3\\0&0&1\end{array}\left|\begin{array}{c}2\\-7\\3\end{array}\right.\right)%%

Aus der dritten Zeile ist ersichtlich:

%%z=3%%

%%\;%%

Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.

%%y-9=-7%%

%%\mid +9%%

%%\Rightarrow y=2%%

%%\;%%

Setze den y- und z-Wert in die erste Zeile ein.

%%x+4-3=2%%

%%\mid -1%%

%%x=1%%

$$\Rightarrow x=1;\; y=2;\;z=3$$

%%\begin{array}{rcrcrcr}2x&+&3y&-&z&=&3\\x&\;&\;&+&2z&=&9\\x&-&y&\;&\;&=&2\end{array}%%

%%\begin{array}{rcrcrcr}2x&+&3y&-&z&=&3\\x&\;&\;&+&2z&=&9\\x&-&y&\;&\;&=&2\end{array}%%

Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.

%%\left(\begin{array}{ccr}2&3&-1\\1&0&2\\1&-1&0\end{array}\left|\begin{array}{c}3\\9\\2\end{array}\right.\right)\overset{\mathrm{1 \cdot I - 2 \cdot II}}{\underset{\mathrm{1 \cdot I -2 \cdot III}}\longrightarrow} \left(\begin{array}{crr}2&3&-1\\0&3&-5\\0&5&-1\end{array}\left|\begin{array}{r}3\\-15\\-1\end{array}\right.\right)\overset{\mathrm{5 \cdot II - 3 \cdot III}}\longrightarrow \left(\begin{array}{crr}2&3&-1\\0&3&-5\\0&0&-22\end{array}\left|\begin{array}{r}3\\-15\\-72\end{array}\right.\right)%%

Aus der letzten Zeile folgt:

%%-22z=-72%%

%%\left|{:\left(-22\right)}\right.%%

%%z=\frac{36}{11}%%

%%\;%%

Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.

%%3\cdot y-5\cdot\frac{36}{11}=-15%%

%%\;%%

%%3\cdot y-\frac{180}{11}=-15%%

%%\left|{+\frac{180}{11}}\right.%%

%%3\cdot y=\frac{15}{11}%%

%%\left|{:3}\right.%%

%%y=\frac5{11}%%

%%\;%%

Setze den gefundenen y- und z-Wert in die erste Zeile ein.

%%2\cdot x+3\cdot\frac5{11}-\frac{36}{11}=3%%

%%\;%%

%%2\cdot x+\frac{15}{11}-\frac{36}{11}=3%%

%%\;%%

%%2\cdot x+-\frac{21}{11}=3%%

%%\left|{+\frac{21}{11}}\right.%%

%%2\cdot x=\frac{54}{11}%%

%%\left|{:2}\right.%%

%%x=\frac{27}{11}%%

$$\;\;\Rightarrow\;\;x=\frac{27}{11};\;y=\frac5{11};\;z=\frac{36}{11}$$

%%\begin{array}{rcrcrcr}5x&+&2y&-&2z&=&-1\\3x&+&y&-&3z&=&-4\\2x&\;&\;&+&z&=&4\end{array}%%

%%\begin{array}{ccrcrcr}5x&+&2y&-&2z&=&-1\\3x&+&y&-&3z&=&-4\\2x&\;&\;&+&\;z&=&4\end{array}%%

Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.

%%\left(\begin{array}{ccr|r}5&2&-2&-1\\3&1&-3&-4\\2&0&1&4\end{array}\right) \overset{\mathrm{3 \cdot I-5 \cdot II}}{\underset{\mathrm{2 \cdot I - 5 \cdot III}}\longrightarrow} \left(\begin{array}{ccr|r}5&2&-2&-1\\0&1&9&17\\0&4&-9&-22\end{array}\right) \overset{\mathrm{4 \cdot II-1 \cdot III}}\longrightarrow \left(\begin{array}{ccr|r}5&2&-2&-1\\0&1&9&17\\0&0&45&90\end{array}\right)%%

Aus der dritten Zeile folgt:

%%45z=90%%

%%\left|{:45}\right.%%

%%z=2%%

%%\;%%

Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.

%%y+9\cdot2=17%%

%%\;%%

%%y+18=17%%

%%\left|{-18}\right.%%

%%y=-1%%

%%\;%%

Setze den gefundenen y- und z-Wert in die erste Zeile ein.

%%5x+2\cdot\left(-1\right)-2\cdot2=-1%%

%%\;%%

%%5x-2-4=-1%%

%%5x-6=-1%%

%%\left|{+6}\right.%%

%%5x=5%%

%%\left|{:5}\right.%%

%%x=1%%

$$\Rightarrow\;x=1;\;y=-1;\;z=2$$

%%\begin{array}{ccrcrcr}4x&+&3y&+&z&=&13\\2x&-&5y&+&3z&=&1\\7x&-&y&-&2z&=&-1\end{array}%%

%%\begin{array}{ccrcrcr}4x&+&3y&+&z&=&13\\2x&-&5y&+&3z&=&1\\7x&-&y&-&2z&=&-1\end{array}%%

Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.

%%\left(\begin{array}{crr|r}4&3&1&13\\2&-5&3&1\\7&-1&-2&-1\end{array}\right)\overset{\mathrm{1 \cdot I - 2 \cdot II}}{\underset{\mathrm{7 \cdot I - 4 \cdot III}}\longrightarrow} \left(\begin{array}{crr|r}4&3&1&13\\0&13&-5&11\\0&25&15&95\end{array}\right)\overset{\mathrm{25 \cdot II - 13 \cdot III}}\longrightarrow \left(\begin{array}{crr|r}4&3&1&13\\0&13&-5&11\\0&0&-320&-960\end{array}\right)%%

Aus der dritten Zeile folgt:

%%-320z=-960%%

%%\left|:\left(-320\right)\right.%%

%%z=3%%

%%\;%%

Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.

%%13y-5\cdot3=11%%

%%13y-15=11%%

%%\left|+15\right.%%

%%13y=26%%

%%\left|{:13}\right.%%

%%y=2%%

%%\;%%

Setze den gefundenen y- und z-Wert in die erste Gleichung ein.

%%4x+3\cdot2+3=13%%

%%\;%%

Fasse zusammen.

%%4x+9=13%%

%%\left|-9\right.%%

%%4x=4%%

%%\left|{:4}\right.%%

%%x=1%%

$$\Rightarrow\;x=1;\;y=2;\;z=3$$

%%\begin{array}{rcrcrcr}2x&+&9y&-&14z&=&39\\3x&+&6y&+&2z&=&36\\\frac x2&+&\frac y3&+&7z&=&2\end{array}%%

%%\begin{array}{rcrcrcr}2x&+&9y&-&14z&=&39\\3x&+&6y&+&2z&=&36\\\frac x2&+&\frac y3&+&7z&=&2\end{array}%%

Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.

%%\left(\begin{array}{ccr|c}2&9&-14&39\\3&6&2&36\\ \frac12&\frac13& 7&2\end{array}\right)\overset{\mathrm{3 \cdot I - 2 \cdot II}}{\underset{\mathrm{1 \cdot I - 4 \cdot III}}\longrightarrow} \left(\begin{array}{ccr|c}2&9&-14&39\\0&15&-46&45\\ 0&\frac{23}{3}& -42&31\end{array}\right)\overset{\mathrm{\frac{23}{3} \cdot II - 15 \cdot III}}\longrightarrow \left(\begin{array}{ccr|c}2&9&-14&39\\0&15&-46&45\\ 0&0& \frac{832}{3}&-120\end{array}\right)%%

Aus der dritten Zeile folgt:

%%\frac{832}3z=-120%%

%%\left|{:\frac{832}3}\right.%%

%%z=-\frac{45}{104}%%

%%\;%%

Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.

%%15\cdot y-46\cdot\left(-\frac{45}{104}\right)=45%%

%%\;%%

%%15\cdot y+\frac{1035}{52}=45%%

%%\left|{-\frac{1035}{52}}\right.%%

%%15\cdot y=\frac{1305}{52}%%

%%\left|{:15}\right.%%

%%y=\frac{87}{52}%%

%%\;%%

Setze den gefundenen y- und z-Wert in die erste Zeile ein.

%%2\cdot x+9\cdot\frac{87}{52}-14\cdot\left(-\frac{45}{104}\right)=39%%

%%\;%%

%%2\cdot x+\frac{783}{52}+\frac{315}{52}=39%%

%%2\cdot x+\frac{1098}{52}=39%%

%%\left|{-\frac{1098}{52}}\right.%%

%%2\cdot x=\frac{465}{26}%%

%%\left|{:2}\right.%%

%%x=\frac{465}{52}%%

$$\Rightarrow\;\;x=\frac{465}{52};\;y=\frac{87}{52};\;z=-\frac{45}{104}$$

%%\begin{array}{rcrcrcr}x&+&y&-&z&=&4\\4x&-&2y&-&2z&=&3\\-5x&+&4y&+&2z&=&0\end{array}%%

%%\begin{array}{rcrcrcr}x&+&y&-&z&=&4\\4x&-&2y&-&2z&=&3\\-5x&+&4y&+&2z&=&0\end{array}%%

Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.

%%\left(\begin{array}{rrr|c}1&1&-1&4\\4&-2&-2&3\\-5&4&2&0\end{array}\right) \overset{\mathrm{4 \cdot I - 1 \cdot II}}{\underset{\mathrm{5 \cdot I + 1 \cdot III}}\longrightarrow} \left(\begin{array}{rrr|c}1&1&-1&4\\0&6&-2&13\\0&9&-3&20\end{array}\right) \overset{\mathrm{4 \cdot I - 1 \cdot II}}{\underset{\mathrm{5 \cdot I + 1 \cdot III}}\longrightarrow} \left(\begin{array}{rrr|c}1&1&-1&4\\0&6&-2&13\\0&0&0&-1\end{array}\right)%%

Aus unterer Zeile folgt:

%%0\cdot z=-1%%

%%\Rightarrow\;\;%% Dies ist nicht lösbar!

Löse das folgende Gleichungssystem mit Hilfe des Gaußverfahrens.

%%\begin{array}{rcrcrcr} 6x &- & z &+ &2y &=&48\\ 5y &- &3x &+ &3z &=&49\\ 3z &- &2x &+ & y &=&24 \end{array}%%

%%\begin{array}{rcrcrcr} 6x &- & z &+ &2y &=&48\\ 5y &- &3x &+ &3z &=&49\\ 3z &- &2x &+ & y &=&24 \end{array}%%

Ordne nach den Variablen.

%%\begin{array}{rcrcrcr} 6x &+& 2y &-& z &=& 48\\ -3x &+& 5y &+& 3z &=& 49\\ -2x &+& y &+& 3z &=& 24 \end{array}%%

Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.

%%\left( \begin{array}{crc|c} 6&2&-1&48\\ -3&5&3&49\\ -2&1&3&24 \end{array} \right) \overset{\mathrm{1 \cdot I +2 \cdot II}} {\underset{\mathrm{1 \cdot I + 3 \cdot III}} \longrightarrow} \left( \begin{array}{crc|c} 6&2&-1&48\\ 0&12&5&146\\ 0&5&8&120 \end{array} \right) \underset{\mathrm{5 \cdot II - 12 \cdot III}}\longrightarrow \left( \begin{array}{crc|c} 6&2&-1&48\\ 0&12&5&146\\ 0&0&-71&-710 \end{array} \right)%%

Aus der dritten Zeile folgt:

%%-71z=-710%%

%%\left|{:\left(-71\right)}\right.%%

%%z=10%%

%%\;%%

Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.

%%12y+5\cdot 10=146%%

%%\;%%

%%12y+50=146%%

%%\left|{-50}\right.%%

%%12y=96%%

%%\left|{:12}\right.%%

%%y=8%%

%%\;%%

Setze den gefundenen y- und den gefundenen z-Wert in die erste Zeile ein.

%%6x+2\cdot 8 - 10 =48%%

%%\;%%

%%6x+16-10=48%%

%%6x+6=48%%

%%\left|{-6}\right.%%

%%6x=42%%

%%\left|{:6}\right.%%

%%x=7%%

$$\Rightarrow\;x=7;\;y=8;\;z=10$$

Löse das Gleichungssystem mit dem Gaußverfahren, und gib die Lösung in allgemeiner Form an. (Verwende dabei, falls erforderlich, Parameter in der Lösung).

Zu text-exercise-group 4311:
Renate 2017-08-19 17:09:47
AUFGABENSTELLUNG BESSER FORMULIEREN?

Die Formulierung "Löse das Gleichungssystem in Abhängigkeit von der Variablen r mit dem Gaußverfahren." ist möglicherweise irritierend. Denn in den Gleichungssystemen kommt überhaupt kein r vor.
Vielmehr soll, wie mir nach einem Blick in die Lösungen klar wurde, die Lösung der (möglicherweise unterbestimmten) Gleichungssysteme gegebenfalls parameterabhängig angegeben werden.

Was haltet ihr von der Formulierung
"Löse das Gleichungssystem mit dem Gaußverfahren, und gib die Lösung in allgemeiner Form an. (Verwende dabei, falls erforderlich, Parameter in der Lösung)." ?

Gruß
Renate
Rebi 2017-08-22 22:01:01
Hallo Renate,
ich finde deine Anmerkung richtig und finde deinen Vorschlag gut.
Liebe Grüße,
Rebi
Renate 2017-08-23 14:51:37
Danke, @Rebi, für die Antwort!
Ich habe den Text jetzt entsprechend abgeändert. :)
Viele Grüße
Renate

%%\begin{array}{ccccc}x&+&2y&\;&\;&=&0\\\;x&+&y&+&z&=&0\\2x&+&3y&+&\;z&=&0\end{array}%%

%%\begin{array}{ccccc}x&+&2y&\;&\;&=&0\\\;x&+&y&+&z&=&0\\2x&+&3y&+&\;z&=&0\end{array}%%

Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.

%%\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&0&0\\1&1&1&0\\2&3&1&0\end{array}\right)\overset{\mathrm{1 \cdot I - 1 \cdot II}}{\underset{\mathrm{2 \cdot I - 1 \cdot III}}\longrightarrow} \left(\begin{array}{ccc|c}1&2&0&0\\0&1&-1&0\\0&1&-1&0\end{array}\right)\overset{\mathrm{1 \cdot II - 1 \cdot III}}\longrightarrow \left(\begin{array}{ccc|c}1&2&0&0\\0&1&-1&0\\0&0&0&0\end{array}\right)%%

Aus der dritten Zeile (Nullzeile) folgt:

%%z=r%%, wobei %%r%% beliebig gewählt werden kann

Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.

%%y-r=0%%

%%\left|{+r}\right.%%

%%y=r%%

%%\;%%

Setze den gefundenen y- und z-Wert in die erste Zeile ein.

%%x+2r=0%%

%%\left|{-2r}\right.%%

$$\Rightarrow\;\;x=-2r;\;y=r;\;z=r$$

%%\begin{array}{rcrcrcc}\;\;x&-&2y&+&3z&=&0\\-x&+&2y&-&3z&=&0\\2x&-&4y&+&6z&=&0\end{array}%%

%%\begin{array}{rcrcrcc}\;\;x&-&2y&+&3z&=&0\\-x&+&2y&-&3z&=&0\\2x&-&4y&+&6z&=&0\end{array}%%

Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.

%%\left(\begin{array}{rrrc}1&-2&3&0\\-1&2&-3&0\\2&-4&6&0\end{array}\right)\overset{\mathrm{1 \cdot I + 1 \cdot II}}{\underset{\mathrm{2 \cdot I - 1 \cdot III}}\longrightarrow} \left(\begin{array}{rrrc}1&-2&3&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right)%%

Aus den beiden unteren Zeilen (Nullzeilen) folgt:
Man kann zwei der drei Variablen frei wählen bzw. muss in einer allgemeinen Lösung Parameter dafür schreiben.

Setze zum Beispiel

%%y=r;\;z=s%%

%%\;%%

… und setze diese Parameter-Werte für y und z in die erste Zeile ein.

%%x-2r+3s=0%%

%%x-2r+3s=0%%

%%\left|{+2r-3s}\right.%%

Löse nach %%x%% auf.

%%x=2r-3s%%

$$\Rightarrow\;\;x=2r-3s;\;y=r;\;z=s$$

%%\begin{array}{rcrcrcc}2x&-&y&+&3z&=&1\\\;x&+&3y&-&2z&=&1\\3x&-&2y&+&5z&=&1\end{array}%%

%%\begin{array}{rcrcrcc}2x&-&y&+&3z&=&1\\\;x&+&3y&-&2z&=&1\\3x&-&2y&+&5z&=&1\end{array}%%

Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.

%%\left(\begin{array}{crrc}2&-1&3&1\\1&3&-2&1\\3&-2&5&1\end{array}\right)\overset{\mathrm{1 \cdot I - 2 \cdot II}}{\underset{\mathrm{3 \cdot I - 2 \cdot III}}\longrightarrow} \left(\begin{array}{crrc}2&-1&3&1\\0&-7&7&-1\\0&1&-1&1\end{array}\right)\overset{\mathrm{1 \cdot II + 7 \cdot III}}\longrightarrow \left(\begin{array}{crrc}2&-1&3&1\\0&-7&7&-1\\0&0&0&6\end{array}\right)%%

Aus der dritten Zeile folgt:

%%0\cdot z=6%%

%%\Rightarrow\;%% Dies ist nicht lösbar

%%\begin{array}{rcrcrcr}x&-&2y&+&z&=&-1\\-2x&+&y&+&2z&=&-5\\3x&-&y&+&2z&=&3\\x&-&3y&+&8z&=&-9\end{array}%%

%%\begin{array}{rcrcrcr}x&-&2y&+&z&=&-1\\-2x&+&y&+&2z&=&-5\\3x&-&y&+&2z&=&3\\x&-&3y&+&8z&=&-9\end{array}%%

Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.

%%\left(\begin{array}{rrc|r}1&-2&1&-1\\-2&1&2&-5\\3&-1&2&3\\1&-3&8&-9\end{array}\right)\overset{\mathrm{2 \cdot I + (-2) \cdot II\; , \; 3 \cdot I - 1 \cdot III}}{\underset{\mathrm{1 \cdot I - 1 \cdot IV}} \longrightarrow} \left(\begin{array}{rrc|r}1&-2&1&-1\\0&-3&4&-7\\0&-5&1&-6\\0&1&-7&8\end{array}\right)\overset{\mathrm{5 \cdot II - 3 \cdot III}}{\underset{\mathrm{1 \cdot II + 3 \cdot IV}} \longrightarrow} \left(\begin{array}{rrc|r}1&-2&1&-1\\0&-3&4&-7\\0&0&17&-17\\0&0&-17&17\end{array}\right) %%

Aus der dritten (oder vierten) Zeile folgt:

%%17z=-17%%

%%\left|{:17}\right.%%

%%z=-1%%

%%\;%%

Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.

%%-3y+4\cdot\left(-1\right)=-7%%

%%\;%%

%%-3y-4=-7%%

%%\left|{+4}\right.%%

%%-3y=-3%%

%%\left|{:\left(-3\right)}\right.%%

%%y=1%%

%%\;%%

Setze den gefundenen y- und z-Wert in die erste Zeile ein.

%%x-2-1=-1%%

%%x-3=-1%%

%%\left|{+3}\right.%%

%%x=2%%

$$\Rightarrow\;x=2;\;y=1;\;z=-1$$

%%\begin{array}{rcrcrcr}x&-&3y&+&z&=&4\\-2x&+&4y&-&3z&=&-9\end{array}%%

%%\begin{array}{rcrcrcr}x&-&3y&+&z&=&4\\-2x&+&4y&-&3z&=&-9\end{array}%%

Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.

%%\left(\begin{array}{rrr|r}1&-3&1&4\\-2&4&-3&-9\end{array}\right)\overset{\mathrm{2 \cdot I + 1 \cdot II}}\longrightarrow \left(\begin{array}{rrr|r}1&-3&1&4\\0&-2&-1&-1\end{array}\right)%%

Aus der zweiten Zeile folgt:

%%-2y-1z=-1%%

%%\;%%

Setze %%z=r%%.

%%-2y-r=-1%%

%%\left|{+r}\right.%%

%%-2y=-1+r%%

%%\left|{:\left(-2\right)}\right.%%

%%y=\frac{1-r}2%%

%%\;%%

Setze den gefundenen y- und z-Wert in die erste Zeile ein.

%%x-3\cdot\frac{1-r}2+r=4%%

%%\;%%

Multipliziere die 3 in den Bruch.

%%x-\frac{3-3r}2+r=4%%

%%\left|{+\frac{3-3r}2-r}\right.%%

                         %%x=4+\frac{3-3r}2-r%%

%%\;%%

Bilde den Hauptnenner (hier 2) und erweitere alle Elemente auf diesen .

%%\frac x2=\frac42+\frac{3-3r}2-\frac r2%%

%%\left|{\cdot2}\right.%%

                           %%x=4+3-3r-r%%

%%\;%%

Fasse zusammen.

%%x=7-4r%%

$$\Rightarrow x=7-4r;\;y=\frac{1-r}2;\;z=r$$

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