Aufgaben zum Gaußverfahren

1

Bringe das System so in Form, dass das Gauß-Verfahren angewendet werden kann. Du musst das System in dieser Aufgabe noch nicht lösen!

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ll} I) &2x=y+z\\ II)& 4(x-2z)=y\\ III)& z-x-y=10 \end{array}$

Forme jede Gleichung einzeln um.
Beginne mit Gleichung I):
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lrll} I)&2x&=y+z&\qquad|-y-z\\ I)&2x-y-z&=0 \end{array}$
Gleichung II):
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lrll} II)&4(x-2z)&=y&\qquad|-y\\ II)&4x-y-8z&=0 \end{array}$
Gleichung III):
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lrll} III)&z-x-y&=10\\ III)&-x-y+z&=10 \end{array}$
Jetzt sind alle drei Gleichungen in der richtigen Form für das Gauß-Verfahren.
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Du musst so umformen, dass alle Variablen auf der linken Seite stehen und alle Zahlen ohne Variablen auf der rechten Seite der Gleichung.
Dabei sollen die Variablen in allen Gleichungen in der gleichen Reihenfolge stehen (zum Beispiel alphabetisch).
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ll} I) &4(a+b)=c\\ II)& 8a+b+10-4c=0\\ III)& c-b=10+a \end{array}$

Forme jede Gleichung einzeln um.
Beginne mit Gleichung I):
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lrll} I)&4(a+b)&=c&\qquad|-c\\ I)&4a+4b-c&=0 \end{array}$
Nun Gleichung II):
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lrll} II)&8a+b+10-4c&=0&\qquad|-10\\ II)&8a+b-4c&=-10 \end{array}$
Und zuletzt Gleichung III):
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lrll} III)&c-b&=10+a&\qquad|-a\\ III)&-a-b+c&=10 \end{array}$
Jetzt sind alle drei Gleichungen in der richtigen Form für das Gauß-Verfahren.
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Du musst so umformen, dass alle Variablen auf der linken Seite stehen und alle Zahlen ohne Variablen auf der rechten Seite der Gleichung.
Dabei sollen die Variablen in allen Gleichungen in der gleichen Reihenfolge stehen (zum Beispiel alphabetisch).

2

Entscheide jeweils, welche Umformung angewendet wurde um von der linken Matrix zur rechten zu kommen.

$\def\arraystretch{1.25} \left( \begin{array}{ccc|c} 2&2&1&1\\ 4&1&3&0\\ 1&1&2&2 \end{array}\right) \Rightarrow \left( \begin{array}{ccc|c} 2&2&1&1\\ 0&-3&1&-2\\ 1&1&2&2 \end{array}\right)$
- Das Vierfache der dritten Zeile wurde von der zweiten Zeile subtrahiert, also $II)-4\cdot III)$
- Das Doppelte der ersten Zeile wurde von der zweiten Zeile subtrahiert, also $II)-2\cdot I)$
- Das Doppelte der zweiten Zeile wurde von der ersten Zeile subtrahiert, also $I)-2\cdot II)$
- Ein Viertel der zweiten Zeile wurde von der dritten Zeile subtrahiert, also $III)-\frac 1 4\cdot II)$
$\def\arraystretch{1.25} \left( \begin{array}{ccc|c} 2&2&1&1\\ 4&1&3&0\\ 1&1&2&2 \end{array}\right) \Rightarrow \left( \begin{array}{ccc|c} 2&2&1&1\\ {\color{green}{0}}&{\color{green}{-3}}&{\color{green}{1}}&{\color{green}{-2}}\\ 1&1&2&2 \end{array}\right)$
Es ist nicht sinnvoll, etwas von der 1. oder 3. Zeile abzuziehen, da dadurch diese Zeilen verändert werden. Die Veränderung liegt aber in der zweiten Zeile.
Wenn das Vierfache der dritten Zeile von der zweiten Zeile subtrahiert wird, also $II)-4\cdot III)$ , dann ergibt sich die Matrix
$\def\arraystretch{1.25} \left( \begin{array}{ccc|c} 2&2&1&1\\ 4&1&3&0\\ 1&1&2&2 \end{array}\right) \Rightarrow{II)-4\cdot III)}\Rightarrow \left( \begin{array}{ccc|c} 2&2&1&1\\ 0&-3&{\color{red}{-5}}&{\color{red}{-8}}\\ 1&1&2&2 \end{array}\right)$
Somit ist dies ebenfalls nicht die korrekte Lösung.
Damit bleibt nur noch die Option, das Doppelte der ersten Zeile von der zweiten Zeile zu subtrahieren.
Dies liefert die angegebene Änderung.
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Probiere aus, mit welcher der vier Möglichkeiten du die veränderte zweite Zeile bekommst.

3

Finden Sie die Lösungen mithilfe der fertig umgeformten Matrix.

$\def\arraystretch{1.25} \left (\begin{array}{ccc|r} 4&-2&2&24\\ -3&1&0&15\\ 5&0&0&-15 \end{array}\right )$
(Die erste Spalte gehört zur Unbekannten a, die zweite zu b, die dritte zu c)

Die dritte Zeile liefert die Gleichung
$III) 5a=-15$
und somit
$III)a=-3$
Setze a in die Gleichung aus der zweiten Zeile ein.
Ohne a:
$II)-3a+b=15$
mit $a=-3$ :
$II)-3\cdot(-3)+b=15$
und somit
$II)b=6$
Mit der ersten Zeile ermittelst du die letzte fehlende Variable:
$I)4a-2b+2c=24$
Setze $a=-3$ und $b=6$ ein:
$I)4\cdot(-3)-2\cdot6+2c=24$
Löse auf:
$\displaystyle -12-12+2c$ $=$ $\displaystyle 24$ $\displaystyle +24$
$\displaystyle 2c$ $=$ $\displaystyle 48$ $\displaystyle :2$
$\displaystyle c$ $=$ $\displaystyle 24$
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Beginne mit der Gleichung aus der dritten Zeile, denn dort gibt es nur eine Unbekannte. Arbeite dich dann nach oben.

$\def\arraystretch{1.25} \left (\begin{array}{ccc|r} 10&0&0&2\\ 20&10&0&16\\ -5&5&3&-10 \end{array}\right )$

(Die erste Spalte gehört zur Unbekannten a, die zweite zu b, die dritte zu c)

4

Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Jordan-Verfahren.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}3x&+&4y&=&-1\\2x&+&5y&=&-3\end{array}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}3x&+&4y&=&-1\\2x&+&5y&=&-3\end{array}$
Man bildet zuerst die erweiterte Koeffizientenmatrix.
$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{cc|c}3&4&-1\\2&5&-3\end{array}\right)$
Dann dividiert man die erste Zeile durch 3, die zweite durch 2.
$\def\arraystretch{1.25} \xrightarrow{\mathrm{I:3,\; II:2}}\left(\begin{array}{cc|c}1&\frac43&-\frac13\\1&\frac52&-\frac32\end{array}\right)$
Man subtrahiert nun die erste von der zweiten Zeile.
$\def\arraystretch{1.25} \xrightarrow{\mathrm{II-I}}\left(\begin{array}{cc|c}1&\frac43&-\frac13\\0&\frac76&-\frac76\end{array}\right)$
Anschließend teilt man die zweite Zeile durch $\frac76$ .
$\def\arraystretch{1.25} \xrightarrow{\mathrm{II:\frac76}}\left(\begin{array}{cc|c}1&\frac43&-\frac13\\0&1&-1\end{array}\right)$
Danach subtrahiert man von der ersten Zeile das $\frac43$ -fache der zweiten Zeile.
$\def\arraystretch{1.25} \xrightarrow{\mathrm{I-\frac43\cdot II}}\left(\begin{array}{cc|c}1&0&1\\0&1&-1\end{array}\right)$
Nun kann man die Lösung in der rechten Spalte ablesen:
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$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccrcc}3x&-&4y&=&-26\\2x&+&3y&=&28\end{array}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccrcc}3x&-&4y&=&-26\\2x&+&3y&=&28\end{array}$
Man bildet zuerst die erweiterte Koeffizientenmatrix.
$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{cc|c}3&-4&-26\\2&3&28\end{array}\right)$
Dann dividiert man die erste Zeile durch 3 und die zweite durch 2.
$\def\arraystretch{1.25} \xrightarrow{\mathrm{I:3,\;II:2}}\left(\begin{array}{cc|c}1&-\frac43&-\frac{26}3\\1&\frac32&14\end{array}\right)$
Man subtrahiert nun die erste von der zweiten Zeile.
$\def\arraystretch{1.25} \xrightarrow{\mathrm{II-I}}\left(\begin{array}{cc|c}1&-\frac43&-\frac{26}3\\0&\frac{17}6&\frac{68}3\end{array}\right)$
Anschließend teilt man die zweite Zeile durch $\frac{17}6$ .
$\def\arraystretch{1.25} \xrightarrow{\mathrm{II:\frac{17}6}}\left(\begin{array}{cc|c}1&-\frac43&-\frac{26}3\\0&1&8\end{array}\right)$
Danach subtrahiert man von der ersten Zeile das $-\frac43$ -fache der zweiten Zeile.
$\def\arraystretch{1.25} \xrightarrow{\mathrm{I-(-\frac43)\cdot II}}\left(\begin{array}{cc|c}1&0&2\\0&1&8\end{array}\right)$
Nun kann man in der rechten Spalte die Lösung ablesen:
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$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcrcrcr}\;\;x&+&2y&-&z&=&2\\x&+&y&+&2z&=&9\\2x&+&3y&-&3z&=&-1\end{array}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcrcrcr}\;\;x&+&2y&-&z&=&2\\x&+&y&+&2z&=&9\\2x&+&3y&-&3z&=&-1\end{array}$
Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.
$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{ccr}1&2&-1\\1&1&2\\2&3&-3\end{array}\left|\begin{array}{r}2\\9\\-1\end{array}\right.\right)\overset{\mathrm{II - I}}{\underset{\mathrm{III-2 \cdot I}}\longrightarrow}\left(\begin{array}{crr}1&2&-1\\0&-1&3\\0&-1&-1\end{array}\left|\begin{array}{r}2\\7\\-5\end{array}\right.\right)\overset{\mathrm{III - II}}\longrightarrow\left(\begin{array}{crr}1&2&-1\\0&-1&3\\0&0&-4\end{array}\left|\begin{array}{r}2\\7\\-12\end{array}\right.\right)$
$\def\arraystretch{1.25} \overset{\mathrm{II\;:\;(-1)}}{\underset{\mathrm{III\;:\;(-4)}}\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccc}1&2&-1\\0&1&-3\\0&0&1\end{array}\left|\begin{array}{c}2\\-7\\3\end{array}\right.\right)$
Aus der dritten Zeile ist ersichtlich:
$z=3$
Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.
$y-9=-7$
$\Rightarrow y=2$
Setze den y- und z-Wert in die erste Zeile ein.
$x+4-3=2$
$x=1$
$\Rightarrow x=1;\; y=2;\;z=3$
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5

Löse das Gleichungssystem mit dem Gaußverfahren, und gib die Lösung in allgemeiner Form an. (Verwende dabei, falls erforderlich, Parameter in der Lösung).

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}x&+&2y&\;&\;&=&0\\\;x&+&y&+&z&=&0\\2x&+&3y&+&\;z&=&0\end{array}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gauß-Verfahren
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}x&+&2y&\;&\;&=&0\\\;x&+&y&+&z&=&0\\2x&+&3y&+&\;z&=&0\end{array}$
Setze das Gleichungssystem in die Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.
$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{ccc|c}1&2&0&0\\1&1&1&0\\2&3&1&0\end{array}\right)\overset{\mathrm{1 \cdot I - 1 \cdot II}}{\underset{\mathrm{2 \cdot I - 1 \cdot III}}\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&0&0\\0&1&-1&0\\0&1&-1&0\end{array}\right)\overset{\mathrm{1 \cdot II - 1 \cdot III}}\longrightarrow\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&0&0\\0&1&-1&0\\0&0&0&0\end{array}\right)$
Aus der dritten Zeile (Nullzeile) folgt:
$z=r$ , wobei $r$ beliebig gewählt werden kann
Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.
$\displaystyle y-r$ $=$ $\displaystyle 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \$ $\displaystyle +r$
$\displaystyle y$ $=$ $\displaystyle r$
$\;$ Setze den gefundenen y- und z-Wert in die erste Zeile ein.
$\displaystyle x+2r$ $=$ $\displaystyle 0$ $\displaystyle -2r$
$\displaystyle x$ $=$ $\displaystyle -2r$
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$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcrcrcc}\;\;x&-&2y&+&3z&=&0\\-x&+&2y&-&3z&=&0\\2x&-&4y&+&6z&=&0\end{array}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gauß-Verfahren
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcrcrcc}\;\;x&-&2y&+&3z&=&0\\-x&+&2y&-&3z&=&0\\2x&-&4y&+&6z&=&0\end{array}$
Setze dass Gleichungssystem in die Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.
$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{rrrc}1&-2&3&0\\-1&2&-3&0\\2&-4&6&0\end{array}\right)\overset{\mathrm{1 \cdot I + 1 \cdot II}}{\underset{\mathrm{2 \cdot I - 1 \cdot III}}\longrightarrow}\left(\begin{array}{rrrc}1&-2&3&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right)$
Aus den beiden unteren Zeilen (Nullzeilen) folgt: Man kann zwei der drei Variablen frei wählen bzw. muss in einer allgemeinen Lösung Parameter dafür schreiben.
Setze zum Beispiel
$y=r;\;z=s$
… und setze diese Parameter-Werte für $y$ und $z$ in die erste Zeile ein.
$x-2r+3s=0$
Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle x-2r+3s$ $=$ $\displaystyle 0$ $\displaystyle +2r-3s$
$\displaystyle x$ $=$ $\displaystyle 2r-3s$
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$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcrcrcc}2x&-&y&+&3z&=&1\\\;x&+&3y&-&2z&=&1\\3x&-&2y&+&5z&=&1\end{array}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gauß-Verfahren
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcrcrcc}2x&-&y&+&3z&=&1\\\;x&+&3y&-&2z&=&1\\3x&-&2y&+&5z&=&1\end{array}$
Setze das Gleichungssystem in die Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.
$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{crrc}2&-1&3&1\\1&3&-2&1\\3&-2&5&1\end{array}\right)\overset{\mathrm{1 \cdot I - 2 \cdot II}}{\underset{\mathrm{3 \cdot I - 2 \cdot III}}\longrightarrow}\left(\begin{array}{crrc}2&-1&3&1\\0&-7&7&-1\\0&1&-1&1\end{array}\right)\overset{\mathrm{1 \cdot II + 7 \cdot III}}\longrightarrow\left(\begin{array}{crrc}2&-1&3&1\\0&-7&7&-1\\0&0&0&6\end{array}\right)$
Aus der dritten Zeile folgt:
$0\cdot z=6$
$\Rightarrow\;$ Dies ist nicht lösbar
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$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcrcrcr}x&-&2y&+&z&=&-1\\-2x&+&y&+&2z&=&-5\\3x&-&y&+&2z&=&3\\x&-&3y&+&8z&=&-9\end{array}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gauß-Verfahren

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcrcrcr}x&-&2y&+&z&=&-1\\-2x&+&y&+&2z&=&-5\\3x&-&y&+&2z&=&3\\x&-&3y&+&8z&=&-9\end{array}$

Setze das Gleichungsystem in die Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}&\left(\begin{array}{rrc|r}1&-2&1&-1\\-2&1&2&-5\\3&-1&2&3\\1&-3&8&-9\end{array}\right)\\\overset{\mathrm{2 \cdot I + II\; , \; 3 \cdot I - 1 \cdot III}}{\underset{\mathrm{1 \cdot I - 1 \cdot IV}} \longrightarrow}&\left(\begin{array}{rrc|r}1&-2&1&-1\\0&-3&4&-7\\0&-5&1&-6\\0&1&-7&8\end{array}\right)\\\overset{\mathrm{5 \cdot II - 3 \cdot III}}{\underset{\mathrm{1 \cdot II + 3 \cdot IV}} \longrightarrow}&\left(\begin{array}{rrc|r}1&-2&1&-1\\0&-3&4&-7\\0&0&17&-17\\0&0&-17&17\end{array}\right)\end{array}$

Aus der dritten (oder vierten) Zeile folgt:

$\displaystyle 17z$	$=$	$\displaystyle -17$	$\displaystyle :17$
$\displaystyle z$	$=$	$\displaystyle -1$

Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.

$\displaystyle -3y+4\cdot\left(-1\right)$	$=$	$\displaystyle -7$
	↓	Multpliziere aus.
$\displaystyle -3y-4$	$=$	$\displaystyle -7$	$\displaystyle +4$
$\displaystyle -3y$	$=$	$\displaystyle -3$	$\displaystyle :\left(-3\right)$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 1$

Setze den gefundenen y- und z-Wert in die erste Zeile ein und löse nach x auf.

$\displaystyle x-2-1$	$=$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle x-3$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle +3$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2$

\displaystyle \Rightarrow\;x=2;\;y=1;\;z=-1

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$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcrcrcr}x&-&3y&+&z&=&4\\-2x&+&4y&-&3z&=&-9\end{array}$

6

Löse das Gleichungssystem mit dem Gaußverfahren.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccrcr}3x&+&2y&=&-1\\4x&+&y&=&-2\\6x&+&4y&=&3\end{array}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccrcr}3x&+&2y&=&-1\\4x&+&y&=&-2\\6x&+&4y&=&3\end{array}$
Man bildet zuerst die erweiterte Koeffizientenmatrix.
$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{cc|r}3&2&-1\\4&1&-2\\6&4&3\end{array}\right)$
Dann dividiert man die erste Zeile durch 3, die zweite durch 4 und die dritte durch 6.
$\def\arraystretch{1.25} \underset{\mathrm{III:6}}{\xrightarrow{\mathrm{I:3,\;II:4}}}\left(\begin{array}{cc|r}1&\frac23&-\frac13\\1&\frac14&-\frac24\\1&\frac23&\frac12\end{array}\right)$
Man subtrahiert nun die erste von der zweiten Zeile und von der dritten.
$\def\arraystretch{1.25} \xrightarrow{\mathrm{II-I,\;III-I}}\left(\begin{array}{cc|r}1&\frac23&-\frac13\\0&-\frac5{12}&-\frac16\\0&0&\frac56\end{array}\right)$
"Übersetzt" man diese Matrix zurück in das Gleichungssystem bekommt man:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccrcr}x&+&\frac23y&=&-\frac13\\0&+&-\frac5{12}y&=&-\frac16\\0&+&0&=&\frac56\end{array}$
Die letzte Zeile ist eine falsche Aussage. Also hat das Gleichungssystem keine Lösung.
Nach dem Kriterium zur Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen folgt ebenfalls, dass das Gleichungssystem keine Lösung hat, denn:
$\def\arraystretch{1.25} rg\begin{pmatrix}1&\frac23\\0&-\frac5{12}\\0&0\end{pmatrix}=2<3=rg\left(\begin{array}{cc|r}1&\frac23&-\frac13\\0&-\frac5{12}&-\frac13\\0&0&\frac56\end{array}\right)$
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$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcrcc}\;x&-&3y&=&4\\2x&+&y&=&1\\4x&+&5y&=&9\end{array}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcrcc}\;x&-&3y&=&4\\2x&+&y&=&1\\4x&+&5y&=&9\end{array}$
Man bildet zuerst die erweiterte Koeffizientenmatrix.
$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{cc|c}1&-3&4\\2&1&1\\4&5&9\end{array}\right)$
Dann dividiert man die zweite Zeile durch 2 und die dritte durch 4.
$\def\arraystretch{1.25} \xrightarrow{\mathrm{II:2,\;III:4}}\left(\begin{array}{cc|c}1&-3&4\\1&\frac12&\frac12\\1&\frac54&\frac94\end{array}\right)$
Man subtrahiert nun die erste von der zweiten Zeile und von der dritten.
$\def\arraystretch{1.25} \xrightarrow{\mathrm{II-I,\;III-I}}\left(\begin{array}{cc|c}1&-3&4\\0&\frac72&-\frac72\\0&\frac{17}4&-\frac74\end{array}\right)$
Dividiere anschließen die zweite Zeile durch $\frac72$ und die dritte durch $\frac{17}4$ .
$\def\arraystretch{1.25} \xrightarrow{\mathrm{II:\frac72,\;III:\frac{17}4}}\left(\begin{array}{cc|c}1&-3&4\\0&1&-1\\0&1&-\frac7{17}\end{array}\right)$
Nun subtrahiert man von der dritten Zeile die zweite.
$\def\arraystretch{1.25} \xrightarrow{\mathrm{III-II}}\left(\begin{array}{cc|c}1&-3&4\\0&1&-1\\0&0&\frac{10}{17}\end{array}\right)$
"Übersetzt" man diese Matrix zurück in das Gleichungssystem bekommt man:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcrcc}\;x&-&3y&=&4\\0&+&y&=&-1\\0&+&0&=&\frac{10}{17}\end{array}$
Die letzte Zeile ist eine falsche Aussage. Also hat das Gleichungssystem keine Lösung.
Nach dem Kriterium zur Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen folgt ebenfalls, dass das Gleichungssystem keine Lösung hat, denn:
$\def\arraystretch{1.25} rg\begin{pmatrix}1&-3\\0&1\\0&0\end{pmatrix}=2<3=rg\left(\begin{array}{cc|c}1&-3&4\\0&1&-1\\0&0&\frac{10}{17}\end{array}\right)$
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$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcrcr}x&-&2y&=&3\\-2x&+&4y&=&-6\\\;-x&+&2y&=&-3\end{array}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcrcr}\;\;\;\;x&-&2y&=&3\\-2x&+&4y&=&-6\\\;-x&+&2y&=&-3\end{array}$
Man bildet zuerst die erweiterte Koeffizientenmatrix.
$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{rr|r}1&-2&3\\-2&4&-6\\-1&2&-3\end{array}\right)$
Dann dividiert man die zweite Zeile durch -2 und die dritte durch -1.
$\def\arraystretch{1.25} \xrightarrow{\mathrm{II:(-2),\;III:(-1)}}\left(\begin{array}{rr|r}1&-2&3\\1&-2&3\\1&-2&3\end{array}\right)$
Nun subtrahiert man die erste von der zweiten Zeile und von der dritten.
$\def\arraystretch{1.25} \xrightarrow{\mathrm{II-I,\;III-I}}\left(\begin{array}{rr|r}1&-2&3\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right)$
"Übersetzt" man diese Matrix zurück in das Gleichungssystem bekommt man:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcrcc}\;x&-&2y&=&3\\0&+&0&=&0\\0&+&0&=&0\end{array}$
Die letzten beiden Zeilen sind wahre Aussagen. Sie tragen nicht zur Lösung bei. Die Lösung steht in der ersten Zeile. Alle Zahlenpaare, welche die erste Zeile erfüllen sind Lösung des Gleichungssystems. Es sind also unendlich viele.
$L=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|x-2y=3\}$
Nach dem Kriterium zur Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen folgt ebenfalls, dass das Gleichungssystem nicht eindeutig lösbar ist, denn:
$\def\arraystretch{1.25} rg\left(\begin{array}{rr|r}1&-2&3\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right)=1<3$
Dennoch kann man eine Lösungsmenge angeben:
$L=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|x-2y=3\}$
Bemerkung: Die (unendlich vielen) Lösungen befinden sich auf einer Geraden mit der Gleichung $x-2y=3\Leftrightarrow y=\frac12x-\frac32$ .
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$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcrcrcr}6x&-&y&+&2z&=&1\\5x&-&3y&+&3z&=&4\\3x&-&2y&+&z&=&14\end{array}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcrcrcr}6x&-&y&+&2z&=&1\\5x&-&3y&+&3z&=&4\\3x&-&2y&+&z&=&14\end{array}$

Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.

$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{crc|c}6&-1&2&1\\5&-3&3&4\\3&-2&1&14\end{array}\right)\overset{\mathrm{5 \cdot I - 6 \cdot II}}{\underset{\mathrm{1 \cdot I - 2 \cdot III}} \longrightarrow}\left(\begin{array}{crc|c}6&-1&2&1\\0&13&-8&-19\\0&3&0&-27\end{array}\right)$

$\def\arraystretch{1.25} \overset{\mathrm{II} \leftrightarrow \mathrm{III}}{\underset{\mathrm{II}: 3}\longrightarrow} \left(\begin{array}{crc|c}6&-1&2&1\\0&1&0&-9\\0&13&-8&-19\end{array}\right) \overset{\mathrm{ III - 13 \cdot II}}\longrightarrow\left(\begin{array}{crc|c}6&-1&2&1\\0&1&0&-9\\0&0&-8&98\end{array}\right)$

Aus der dritten Zeile folgt:

$\displaystyle -8z$	$=$	$\displaystyle 98$	$\displaystyle :(-8)$
$\displaystyle z$	$=$	$\displaystyle -12{,}25$

Die zweite Zeile enthält schon den Wert von $y$ :

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -9$
	↓	Setze den gefundenen y- und z-Wert in die erste Zeile ein.
$\displaystyle 6x-\left(-9\right)+2\cdot\left(-12{,}25\right)$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Multipliziere aus.
$\displaystyle 6x+9-24{,}5$	$=$	$\displaystyle 1$
$\displaystyle 6x-15{,}5$	$=$	$\displaystyle 1$
$\displaystyle 6x$	$=$	$\displaystyle 16{,}5$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2{,}75$

$\Rightarrow\;x=2{,}75;\;y=-9;\;z=-12{,}25$

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$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccc}\frac34x&-&\frac76y&=&\frac18\\-9x&+&14y&=&-\frac32\\\frac13x&+&\frac19y&=&0\end{array}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccc}\frac34x&-&\frac76y&=&\frac18\\-9x&+&14y&=&-\frac32\\\frac13x&+&\frac19y&=&0\end{array}$
Man bildet zuerst die erweiterte Koeffizientenmatrix.
$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{cc|c}\frac34&-\frac76&\frac18\\-9&14&-\frac32\\\frac13&\frac19&0\end{array}\right)$
Dann dividiert man die erste Zeile durch $\frac34$ , die zweite durch $-9$ und die dritte durch $\frac13$ .
$\def\arraystretch{1.25} \underset{\mathrm{III}:\frac13}{\xrightarrow{\mathrm{I:\frac34,\;II:(-9)}}}\left(\begin{array}{cc|c}1&-\frac{14}{9}&\frac16\\1&-\frac{14}9&\frac16\\1&\frac13&0\end{array}\right)$
Nun subtrahiert man von der zweiten und dritten Zeile die erste.
$\def\arraystretch{1.25} \underset{\mathrm{III-I}}{\xrightarrow{\mathrm{II-I}}}\left(\begin{array}{cc|c}1&-\frac{14}{9}&\frac16\\0&0&0\\0&\frac{17}9&-\frac16\end{array}\right)$
Die zweite Zeile ist eine wahre Aussage und trägt nicht zur Lösung bei.
Aus der letzten Zeile $\frac {17}{9}y=-\frac16$ bekommt man für y einen Wert: $y=-\frac3{34}$ .
Nun setzt man diesen Wert in die erste Zeile ein: $x-\frac{14}{9} (-\frac3{34})=\frac16$ und formt nach $x$ um. Man bekommt für x einen Wert: $x=\frac 1{34}$ , also $\displaystyle L=\left\{\left(\frac{1}{34};-\frac{3}{34}\right)\right\}$ .
Ermittlung der Lösung mit dem Gauß-Jordan-Verfahren:
Starte noch einmal mit der letzten Matrix:
Man dividiert nun die dritte Zeile durch $\frac{17}9$ .
$\def\arraystretch{1.25} \xrightarrow{\mathrm{III:\frac{17}9}}\left(\begin{array}{cc|c}1&-\frac{14}{9}&\frac16\\0&0&0\\0&1&-\frac3{34}\end{array}\right)$
Anschließend subtrahiert man von der ersten das $-\frac{14}9$ -fache der dritten Zeile.
$\def\arraystretch{1.25} \xrightarrow{\mathrm{I-(-\frac{14}9)\cdot III}}\left(\begin{array}{cc|c}1&0&\frac{1}{34}\\0&0&0\\0&1&-\frac3{34}\end{array}\right)$
Nun kann man die Lösung in der rechten Spalte ablesen:
$\displaystyle L=\left\{\left(\frac1{34};-\frac3{34}\right)\right\}$
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$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcrcrcr}6x &- & z &+ &2y &=&48\\5y &- &3x &+ &3z &=&49\\3z &- &2x &+ & y &=&24\end{array}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcrcrcr}6x &- & z &+ &2y &=&48\\5y &- &3x &+ &3z &=&49\\3z &- &2x &+ & y &=&24\end{array}$

Ordne nach den Variablen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcrcrcr} 6x &+& 2y &-& z &=& 48\\-3x &+& 5y &+& 3z &=& 49\\-2x &+& y &+& 3z &=& 24\end{array}$

Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.

$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{crc|c}6&2&-1&48\\-3&5&3&49\\-2&1&3&24\end{array}\right)\overset{\mathrm{1 \cdot I +2 \cdot II}}{\underset{\mathrm{1 \cdot I + 3 \cdot III}} \longrightarrow}\left(\begin{array}{crc|c}6&2&-1&48\\0&12&5&146\\0&5&8&120\end{array}\right)\underset{\mathrm{5 \cdot II - 12 \cdot III}}\longrightarrow\left(\begin{array}{crc|c}6&2&-1&48\\0&12&5&146\\0&0&-71&-710\end{array}\right)$

Aus der dritten Zeile folgt:

$\displaystyle -71z$	$=$	$\displaystyle -710$
$\displaystyle z$	$=$	$\displaystyle 10$

Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.

$\displaystyle 12y+5\cdot10$	$=$	$\displaystyle 146$
$\displaystyle 12y+50$	$=$	$\displaystyle 146$
$\displaystyle 12y$	$=$	$\displaystyle 96$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 8$

Setze den gefundenen y- und den gefundenen z-Wert in die erste Zeile ein.

$\displaystyle 6x+2\cdot8-10$	$=$	$\displaystyle 48$
$\displaystyle 6x\cdot16-10$	$=$	$\displaystyle 48$
$\displaystyle 6x+6$	$=$	$\displaystyle 48$
$\displaystyle 6x$	$=$	$\displaystyle 42$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 7$

$\Rightarrow\;x=7;\;y=8;\;z=10$

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$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcrcrcr}\;\;x&-&2y&\;&\;&=&4\\\;&-&y&-&z&=&-1\\-x&+&y&+&3z&=&-1\end{array}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcrcrcr}2x&+&3y&-&z&=&3\\x&\;&\;&+&2z&=&9\\x&-&y&\;&\;&=&2\end{array}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcrcrcr}2x&+&3y&-&z&=&3\\x&\;&\;&+&2z&=&9\\x&-&y&\;&\;&=&2\end{array}$

Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.

$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{ccr}2&3&-1\\1&0&2\\1&-1&0\end{array}\left|\begin{array}{c}3\\9\\2\end{array}\right.\right)\overset{\mathrm{1 \cdot I - 2 \cdot II}}{\underset{\mathrm{1 \cdot I -2 \cdot III}}\longrightarrow}\left(\begin{array}{crr}2&3&-1\\0&3&-5\\0&5&-1\end{array}\left|\begin{array}{r}3\\-15\\-1\end{array}\right.\right)\overset{\mathrm{5 \cdot II - 3 \cdot III}}\longrightarrow\left(\begin{array}{crr}2&3&-1\\0&3&-5\\0&0&-22\end{array}\left|\begin{array}{r}3\\-15\\-72\end{array}\right.\right)$

Aus der letzten Zeile folgt:

$\displaystyle -22z$	$=$	$\displaystyle -72$	$\displaystyle :\left(-22\right)$
$\displaystyle z$	$=$	$\displaystyle \frac{36}{11}$
	↓	Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.
$\displaystyle 3\cdot y-5\cdot\frac{36}{11}$	$=$	$\displaystyle -15$
	↓	Multipliziere aus.
$\displaystyle 3\cdot y-\frac{180}{11}$	$=$	$\displaystyle -15$	$\displaystyle +\frac{180}{11}$
$\displaystyle 3\cdot y$	$=$	$\displaystyle \frac{15}{11}$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle \frac{5}{11}$
	↓	Setze den gefundenen y- und z-Wert in die erste Zeile ein.
$\displaystyle 2\cdot x+3\cdot\frac{5}{11}-\frac{36}{11}$	$=$	$\displaystyle 3$
	↓	Multipliziere.
$\displaystyle 2\cdot x+\frac{15}{11}-\frac{36}{11}$	$=$	$\displaystyle 3$
	↓	Subtrahiere.
$\displaystyle 2\cdot x+\left(-\frac{21}{11}\right)$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle +\frac{21}{11}$
$\displaystyle 2\cdot x$	$=$	$\displaystyle \frac{54}{11}$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{27}{11}$

\displaystyle \Rightarrow\;x=2;\;y=1;\;z=-1

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$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcrcrcr}5x&+&2y&-&2z&=&-1\\3x&+&y&-&3z&=&-4\\2x&\;&\;&+&z&=&4\end{array}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccrcrcr}4x&+&3y&+&z&=&13\\2x&-&5y&+&3z&=&1\\7x&-&y&-&2z&=&-1\end{array}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcrcrcr}2x&+&9y&-&14z&=&39\\3x&+&6y&+&2z&=&36\\\frac x2&+&\frac y3&+&7z&=&2\end{array}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcrcrcr}2x&+&9y&-&14z&=&39\\3x&+&6y&+&2z&=&36\\\frac x2&+&\frac y3&+&7z&=&2\end{array}$

Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.

$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{ccr|c}2&9&-14&39\\3&6&2&36\\ \frac12&\frac13& 7&2\end{array}\right)\overset{\mathrm{3 \cdot I - 2 \cdot II}}{\underset{\mathrm{1 \cdot I - 4 \cdot III}}\longrightarrow} \left(\begin{array}{ccr|c}2&9&-14&39\\0&15&-46&45\\ 0&\frac{23}{3}& -42&31\end{array}\right)\overset{\mathrm{\frac{23}{3} \cdot II - 15 \cdot III}}\longrightarrow \left(\begin{array}{ccr|c}2&9&-14&39\\0&15&-46&45\\ 0&0& \frac{832}{3}&-120\end{array}\right)$

Aus der dritten Zeile folgt:

$\displaystyle \frac{832}{3}z$	$=$	$\displaystyle -120$	$\displaystyle :\frac{832}{3}$
$\displaystyle z$	$=$	$\displaystyle -\frac{45}{104}$
	↓	Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.
$\displaystyle 15\cdot y-46\cdot\left(-\frac{45}{104}\right)$	$=$	$\displaystyle 45$
	↓	Multipliziere aus.
$\displaystyle 15\cdot y+\frac{1035}{52}$	$=$	$\displaystyle 45$	$\displaystyle -\frac{1035}{52}$
$\displaystyle 15\cdot y$	$=$	$\displaystyle \frac{1025}{52}$	$\displaystyle :15$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle \frac{87}{52}$
	↓	Setze den gefundenen y- und z-Wert in die erste Zeile ein.
$\displaystyle 2\cdot x+9\cdot\frac{87}{52}-14\cdot\left(-\frac{45}{104}\right)$	$=$	$\displaystyle 39$
	↓	Multipliziere aus.
$\displaystyle 2\cdot x+\frac{783}{52}+\frac{315}{52}$	$=$	$\displaystyle 39$
$\displaystyle 2\cdot x+\frac{1098}{52}$	$=$	$\displaystyle 39$	$\displaystyle -\frac{1098}{52}$
$\displaystyle 2\cdot x$	$=$	$\displaystyle \frac{465}{26}$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{465}{52}$

\displaystyle \Rightarrow\;x=2;\;y=1;\;z=-1

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$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcrcrcr}x&+&y&-&z&=&4\\4x&-&2y&-&2z&=&3\\-5x&+&4y&+&2z&=&0\end{array}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcrcrcr}x&+&y&-&z&=&4\\4x&-&2y&-&2z&=&3\\-5x&+&4y&+&2z&=&0\end{array}$
Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.
$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{rrr|c}1&1&-1&4\\4&-2&-2&3\\-5&4&2&0\end{array}\right)\overset{\mathrm{4 \cdot I - 1 \cdot II}}{\underset{\mathrm{5 \cdot I + 1 \cdot III}}\longrightarrow}\left(\begin{array}{rrr|c}1&1&-1&4\\0&6&-2&13\\0&9&-3&20\end{array}\right)\overset{\mathrm{3 \cdot II - 2 \cdot III}}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{rrr|c}1&1&-1&4\\0&6&-2&13\\0&0&0&-1\end{array}\right)$
Aus unterer Zeile folgt:
$0\cdot z=-1$
$\Rightarrow\;\;$ Dies ist nicht lösbar!
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$\displaystyle 20\cdot0{,}2+10b$	$=$	$\displaystyle 16$
$\displaystyle 4+10b$	$=$	$\displaystyle 16$	$\displaystyle -4$
$\displaystyle 10b$	$=$	$\displaystyle 12$	$\displaystyle :10$
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle 1{,}2$

$\displaystyle -12-12+2c$	$=$	$\displaystyle 24$	$\displaystyle +24$
$\displaystyle 2c$	$=$	$\displaystyle 48$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle c$	$=$	$\displaystyle 24$

$\displaystyle -5\cdot0{,}2+5\cdot1{,}2+3c$	$=$	$\displaystyle -10$
$\displaystyle 5+3c$	$=$	$\displaystyle -10$	$\displaystyle -5$
$\displaystyle 3c$	$=$	$\displaystyle -15$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle c$	$=$	$\displaystyle -5$

$\displaystyle y-r$	$=$	$\displaystyle 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \$	$\displaystyle +r$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle r$

$\displaystyle x+2r$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -2r$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -2r$

$\displaystyle x-2r+3s$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +2r-3s$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2r-3s$

$\displaystyle -2y-r$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle +r$
$\displaystyle -2y$	$=$	$\displaystyle -1+r$	$\displaystyle :\left(-2\right)$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle \frac{1-r}{2}$

$\displaystyle x-3\cdot\frac{1-r}{2}+r$	$=$	$\displaystyle 4$
	↓	Multipliziere die 3 in den Bruch.
$\displaystyle x-\frac{3-3r}{2}+r$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle +\frac{3-3r}{2}-r$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 4+\frac{3-3r}{2}-r$
	↓	Bilde den Hauptnenner (hier 2) und erweitere alle Elemente auf diesen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{8}{2}+\frac{3-3r}{2}-\frac{2r}{2}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{-5r+11}{2}$

$\displaystyle -4z$	$=$	$\displaystyle -4$	$\displaystyle :\left(-4\right)$
$\displaystyle z$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.
$\displaystyle -y-1$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle +1$
$\displaystyle -y$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle :\left(-1\right)$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Setze den gefundenen y-Wert in die erste Zeile ein.
$\displaystyle x-2\cdot0$	$=$	$\displaystyle 4$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 4$

$\displaystyle 45z$	$=$	$\displaystyle 90$	$\displaystyle :45$
$\displaystyle z$	$=$	$\displaystyle 2$
	↓	Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.
$\displaystyle y+9\cdot2$	$=$	$\displaystyle 17$
	↓	Multipliziere aus.
$\displaystyle y+18$	$=$	$\displaystyle 17$	$\displaystyle -18$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -1$
	↓	Setze den gefundenen y- und z-Wert in die erste Zeile ein.
$\displaystyle 5x+2\cdot\left(-1\right)-2\cdot2$	$=$	$\displaystyle -1$
	↓	Multipliziere aus.
$\displaystyle 5x-2-4$	$=$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle 5x-6$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle +6$
$\displaystyle 5x$	$=$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle :5$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1$

$\displaystyle -320z$	$=$	$\displaystyle -960$	$\displaystyle :\left(-320\right)$
$\displaystyle z$	$=$	$\displaystyle 3$
	↓	Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.
$\displaystyle 13y-5\cdot3$	$=$	$\displaystyle 11$
$\displaystyle 13y-15$	$=$	$\displaystyle 11$	$\displaystyle +15$
$\displaystyle 13y$	$=$	$\displaystyle 26$	$\displaystyle :13$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 2$
	↓	Setze den gefundenen y- und z-Wert in die erste Gleichung ein.
$\displaystyle 4x+3\cdot2+3$	$=$	$\displaystyle 13$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 4x+9$	$=$	$\displaystyle 13$	$\displaystyle -9$
$\displaystyle 4x$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1$