Aufgaben

Berechne jeweils:

%%5^3%%

Umgang mit Potenzen

Klicke die richtige Lösung an!

Achtung: ein Potenzterm ist nie negativ. Einen negativen Exponenten wandelt man in einen positiven um, indem man den Kehrbruch der Basis bildet!

Prima! Du kennst die Bedeutung negativer Exponenten.

Was stimmt?

Achtung: ein Potenzterm ist nie negativ. Einen negativen Exponenten wandelt man in einen positiven um, indem man den Kehrbruch der Basis bildet!

Beachte das Minuszeichen im Exponenten.

Einen negativen Exponenten wandelt man in einen positiven um, indem man den Kehrbruch der Basis bildet!

Richtig!

Ist das Ergebnis positiv oder negativ? Begründe deine Antwort.
(18)37217(100)18(3)5\left(-18\right)^{37}\cdot2^{17}\cdot\left(-100\right)^{18}\cdot\left(-3\right)^5

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Multiplikation

Wir bestimmen das Vorzeichen jedes einzelnen Faktors. Potenzen von positiven Zahlen sind immer positiv (+). Für negative Zahlen sind ungerade Potenzen negativ (-) und gerade Potenzen positiv (+):
(18)37217+(100)18+(3)5=+\displaystyle \underbrace{(-18)^{37}}_{\boxed-}\cdot\underbrace{2^{17}}_{\boxed+}\cdot\underbrace{(-100)^{18}}_{\boxed+}\cdot\underbrace{(-3)^{5}}_{\boxed-}={\boxed+}
Das Ergebnis ist also positiv.

Berechne den Wert folgender Terme.

%%\left(\dfrac{1}{2}\right)^4%%

Ermittle, ob der Betrag des Terms größer oder kleiner als 1 ist.

(21,5)(2)\displaystyle \left(2-1,5\right)^{\left(-2\right)}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit ganzzahligen Exponenten

Berechne zunächst den Wert der Basis: 21,5 = 0,52-1,5\ =\ 0,5
und überlege, wie sich der Wert der Basis bei negativen Exponenten und wie bei positiven Exponenten auf das Ergebnis auswirkt.
Wandle zunächst den negativen Exponenten in einen positiven Exponenten, indem Du den Kehrwert der Basis bildest:
0,52=10,520,5^{-2}=\frac{1}{0,5^2}
Schreibe den Nenner (0,5) als Bruch und berechnen den Wert des Nenners
=1(12)2=114=4=\frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4
Der Betrag des Terms ist also größer als 1. Das gilt immer, wenn die Basis zwischen 0 und 1 ist und der Exponent ganzzahlig und negativ ist.
Der Betrag der Basis ist 0,5 und damit zwischen 0 und 1. Ist der Exponent positiv, dann ist der Betrag des Terms auch zwischen 0 und 1. Ist der der Exponent negativ, dann ist der Betrag des Terms größer als 1.
Ermittle den Betrag des folgenden Terms. Ist der Betrag des Terms größer oder kleiner als 1?
(32)3\left(\frac{3}{2}\right)^{-3}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit ganzzahligen Exponenten

Wandle den negativen Exponenten in einen positiven, indem du den Kehrwert der Basis bildest.
(32)3=(132)3\left(\frac{3}{2}\right)^{-3}=\left(\frac{1}{\frac{3}{2}}\right)^3
Überlege nun, wie der Wert der neuen Basis
(132)=23\left(\frac{1}{\frac{3}{2}}\right)=\frac{2}{3}^{ }
mit dem Betrag des Terms zusammenhängt.
(32)3=(132)3=(23)3=232323=827<1\left(\frac{3}{2}\right)^{-3}=\left(\frac{1}{\frac{3}{2}}\right)^3=\left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}=\frac{8}{27}<1
Der Betrag der neuen Basis 23\frac{2}{3} ist kleiner als 1. Wird eine Basis deren Betrag kleiner als 1 ist mit einem ganzzahligen positiven Exponenten potenziert, so ist der Betrag des Gesamt-Terms auch kleiner als 1.
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