Die Potenzgesetze zeigen, wie sich Potenzen verhalten, wenn man sie multipliziert, dividiert oder mehrfach potenziert.

 

Die Potenzgesetze

Beispiel

Allgemeine Form

Bezeichnung


%%\;\;2^3\cdot 2^2=2^{3+2}%%

%%= (2\cdot 2\cdot 2)\cdot (2\cdot 2)\\ = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2 \\ = 2^5 = 2^{3+2}%%

%%\;\;a^x\cdot a^y=a^{x+y}%%

Multiplikation bei gleicher Basis %%a%%

%%\,\,\frac{2^3}{2^2}=2^{3-2}%%

%%=\frac{2\cdot2\cdot2\;}{2\cdot2}\\ = 2^1 = 2^{3-2}%%

%%\,\,\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}%%

Division bei gleicher Basis %%a%%

%%\;\;2^3\cdot 3^3=\left(2\cdot 3\right)^3%%

%%= ( 2\cdot 2\cdot 2 ) \cdot ( 3\cdot 3\cdot 3 )\\ = (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 3)\\ = (2 \cdot 3)^3%%

%%\;\;a^x\cdot b^x=\left(a\cdot b\right)^x%%

Multiplikation bei gleichem Exponenten %%x%%

%%\frac{2^3}{3^3}=\left(\frac 2 3\right)^3%%

%%= \frac{2\cdot 2\cdot 2}{3\cdot 3\cdot 3}\\ = \frac 2 3 \cdot \frac 2 3 \cdot \frac 2 3\\ = \left(\frac 2 3\right)^3%%

%%\frac{a^x}{b^x}=\left(\frac ab\right)^x%%

Division bei gleichem Exponenten %%x%%

%%\;\;\left(2^3\right)^2=2^{3\cdot 2}%%

%%= ( 2 \cdot 2 \cdot 2 )^2 \\ = ( 2 \cdot 2 \cdot 2 ) \cdot ( 2 \cdot 2 \cdot 2 )\\ = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \\ = 2^6 = 2^{3\cdot 2}%%

%%\;\;\left(a^x\right)^y=a^{x\cdot y}%%

Mehrfache Potenzen

Häufige Spezialfälle

Beispiel

Allgemeine Form

Bezeichnung


%%\left(-2\right)^6=2^6%%

%%=(-2)^2\cdot(-2)^2\cdot(-2)^2\\ =2^2\cdot2^2\cdot2^2\\ = 2^6 %%

%%\left(-2\right)^5=-(2^5)%%

%%=(-2)^2\cdot(-2)^2\cdot(-2)\\ =2^2\cdot2^2\cdot(-2)\\ = -(2^5) %%

%%\left(-a\right)^x=a^x%% falls %%x%% gerade
%%\left(-a\right)^x=-(a^x)%% falls %%x%% ungerade
Negative Basis

%%2^0=1%%

%%2^2 = 2 \cdot 2 = 2 \cdot 2 \cdot 1 \\ 2^1= 2 = 2 \cdot 1 \\ 2^0= 1%%

%%a^0=1%%

Null im Exponenten bei beliebiger Basis %%a \neq 0%%

%%2^{-3}=\frac{1}{2^3}%%

$$1=2^0=2^{3+(-3)}\\=2^3\cdot 2^{-3}\\$$ damit dies 1 ist, muss $$2^{-3}=\frac1{2^3}$$ gelten, denn $$2^3\cdot\frac1{2^3}=\frac{2^3}{2^3}=1$$

%%a^{-x}=\frac1{a^x}%%

Negative Exponenten

%%2^\frac 1 3 =\sqrt[3]2%%

$$2=2^1=2^{\frac13 \cdot 3}\\=\left(2^{\frac13}\right)^3\\$$ damit dies 2 ist, muss $$2^{\frac13}=\sqrt[3]2$$ gelten, denn $$\left(\sqrt[3]2\right)^3=2$$

%%a^\frac1n=\sqrt[n]a%%

Einheitsbrüche im Exponenten

%%2^\frac 23=\sqrt[3]{2^2}%%

%%=2^{2 \cdot \frac13} = \left(2^2\right)^{\frac13}\\ =\sqrt[3]{2^2}%%

%%a^\frac mn=\sqrt[n]{a^m}%%

Allgemeine Brüche im Exponenten
Beispielaufgaben
  • Fasse so weit wie möglich zusammen.
  • Fasse soweit wie möglich zusammen.
  • Vereinfache die folgenden Terme.
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Zu article Potenzgesetze:
Bernhard-Strauss 2017-12-13 07:30:30
Die Erklärung warum 2^0 =1 sein soll finde ich etwas unpassend. Ich würde mich als Schüler fragen, warum die Erklärung eine 1 dranzuhängen ausreichen soll, hinsichtlich Beweisführung würde das die SchülerIn auch nicht weiterbringen.

Besser fände ich, dass man mit den Potenzgesetzen rangeht und sagt dass
2^3=8 das teilen wir jetzt durch 2=2^1
übrig bleibt 2^2 (siehe Potenzgesetz) das teilen wir wieder durch 2
übrig bleibt 2^1 das teilen wir wieder durch 2
und was dann übrig bleibt ist nach den Gesetzen 2^0 und rein rechnerisch wird deutlich dass dies 1 sein muss.
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Zu article Potenzgesetze:
Bernhard-Strauss 2017-12-13 07:27:39
Pädagoisch super wäre, wenn unten noch ein Hinweis aufgeführt würde: "Vorsicht, bei Addition oder Subtraktion funktionieren die Gesetze nicht" und dann 1,2 Beispiele...

Extraklasse wäre eine Gleichung mit verschiedenen Exponenten, wo man zwar keine Potenzgesetze anwenden, dafür aber ausklammern und dadurch kürzen kann!!! Kommt gerade im Abschluss der Realschule (bzgl Logarithmus) und auch im Gymnasium hin und wieder vor und bereitet Kopfzerbrechen! :-)
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Zu article Potenzgesetze: Potenzgesetze und Folgerungen
Renate 2015-03-03 00:44:32
Vielleicht sollte man die ersten fünf hier aufgeführten Gesetze etwas von den anderen Regeln abgesetzt aufführen.
Denn sie sind die eigentlichen Potenzgesetze, die anderen sind letztlich Folgerungen oder Definitionen, deren Sinnhaftigkeit sich aus den Potenzgesetzen ergibt.

Bereits ein erläuternder und zugleich trennender Satz (so in der Art: "Wichtig sind außerdem die folgenden Regeln / Definitonen / Folgerungen " o. ä. ) würde diejenigen Gesetze, die schon Schüler lernen oder anwenden, die z. B. noch keine gebrochenen Exponenten o.ä. kennen, optisch etwas abheben - und vielleicht auch zu einer "Atempause" für den Leser in der langen Liste führen.

Was meint ihr?
Severin_Tengler 2015-03-03 09:31:09
Danke für den Hinweis. Wir haben ihn schon umgesetzt.
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