Aufgaben

Vereinfache und berechne:

%%7 \sqrt{9} + 5 \sqrt{3^2+ 4^2} + 5 \sqrt{3} -3\sqrt{3}%%

Anwendung der Wurzelgesetze

Hier findest du die Erklärung zum Thema Wurzelgesetze

%%7 \sqrt{9} + 5 \sqrt{3^2+ 4^2} + 5 \sqrt{3} -3\sqrt{3}%%

Ziehe die Wurzel %%\sqrt{9}%% und berechne.

%%=7 \cdot 3 + 5 \sqrt{3^2+ 4^2} + 5 \sqrt{3} -3\sqrt{3}%%

%%=21 + 5 \sqrt{3^2+ 4^2} + 5 \sqrt{3} -3\sqrt{3}%%

Berechne die Quadratzahlen und fasse zusammen.

%%=21 + 5 \sqrt{9+ 16} + 5 \sqrt{3} -3\sqrt{3}%%

%%=21 + 5 \sqrt{25} + 5 \sqrt{3} -3\sqrt{3}%%

Ziehe die Wurzel aus %%\sqrt{25}%% und berechne.

%%=21 + 5 \cdot 5 + 5 \sqrt{3} -3\sqrt{3}%%

%%=21 + 25 + 5 \sqrt{3} -3\sqrt{3}%%

%%=46 + 5 \sqrt{3} -3\sqrt{3}%%

Fasse die Wurzeln mithilfe des Wurzelgesetzes der Subtraktion zusammen.

%%=46 + (5-3) \sqrt{3}%%

%%=46 + 2 \sqrt{3}%%

Die Lösung ist %%\;46+2\sqrt{3}%%

Vereinfache falls möglich:

$$6 \sqrt{4} \;-2\sqrt{4}$$

Subtraktion von Wurzeln

%%6 \sqrt{4} \;-2\sqrt{4}=%%

Benutze das Wurzelgesetz zum Subtrahieren von Wurzeln und vereinfache.

%%=(6-2) \sqrt{4}\\ =4 \sqrt{4}=4 \cdot 2 = 8%%

Alternative Lösung

Du kannst die Lösung auch ohne die Wurzelgesetze berechnen:

%%6 \sqrt{4} \;-2\sqrt{4}=%%

Berechne die Wurzel.

%%6 \cdot 2 \;-2\cdot 2=%%

Berechne.

%%12-4=8%%

$$3\sqrt{4}+3\sqrt{3}$$

Addition von Wurzeln

%%3\sqrt{4}+3\sqrt{3}\;%%

Hier kannst du nicht das Wurzelgesetz zur Addition von Wurzeln anwenden, da die Radikanden nicht gleich sind. Also kannst du die Wurzeln nicht zusammenfassen.

Du könntest %%3%% ausklammern: %%3\cdot(\sqrt{4}+\sqrt{3})\;%%

Das ist jedoch nicht immer hilfreich.

Vereinfache jeweils so weit wie möglich.

%%\sqrt3\cdot\left(\frac16\sqrt{12}-3\sqrt{\frac1{27}}\right)%%

%%\sqrt3\cdot\left(\frac16\sqrt{12}-3\sqrt{\frac1{27}}\right)%%

%%\frac16%% und %%3%% in Wurzel ziehen

%%=\sqrt3\cdot\left(\sqrt{\frac1{36}\cdot12}-\sqrt{9\cdot\frac1{27}}\right)%%

In den Wurzeln multiplizieren.

%%=\sqrt3\cdot\left(\sqrt{\frac13}-\sqrt{\frac13}\right)%%

In der Klammer subtrahieren

%%=\sqrt3\cdot0%%

%%=0%%

%%\left(2\sqrt{108}-7\sqrt{54}\right):\sqrt{27}%%

%%\left(2\sqrt{108}-7\sqrt{54}\right):\sqrt{27}%%

Division in Bruchschreibweise umwandeln.

%%=\frac{2\sqrt{108}-7\sqrt{54}}{\sqrt{27}}%%

Brüche einzeln schreiben.

%%=\frac{2\sqrt{108}}{\sqrt{27}}-\frac{7\sqrt{54}}{\sqrt{27}}%%

Den 1. Bruch teilweise radizieren.

%%=\frac{4\sqrt{27}}{\sqrt{27}}-\frac{7\cdot\sqrt2\cdot\sqrt{27}}{\sqrt{27}}%%

%%=4-7\sqrt2%%

%%\left(2\sqrt7-3\right)\left(1-\sqrt{28}\right)%%

%%\left(2\sqrt7-3\right)\left(1-\sqrt{28}\right)%%

Ziehe die %%2%% unter die Wurzel. Es gilt: %%2\sqrt7=\sqrt{4\cdot7}%%.

%%=\left(\sqrt{28}-3\right)\left(1-\sqrt{28}\right)%%

%%=\sqrt{28}-28-3+3\sqrt{28}%%

Vereinfachen.

%%=\sqrt{28}-31+3\sqrt{28}%%

%%=4\sqrt{28}-31%%

%%3\sqrt{63}+6\sqrt{72}-4\sqrt{28}-17\sqrt8%%

%%3\sqrt{63}+6\sqrt{72}-4\sqrt{28}-17\sqrt8%%

Die Werte unter der Wurzel faktorisieren .

%%=3\sqrt{7\cdot9}+6\sqrt{8\cdot9}-4\sqrt{7\cdot4}-17\sqrt8%%

%%=3\cdot3\sqrt7+6\cdot3\sqrt8-4\cdot2\sqrt7-17\sqrt8%%

%%=9\sqrt7+18\sqrt8-8\sqrt7-17\sqrt8%%

Zusammenfassen.

%%=\sqrt7+\sqrt8%%

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