Löse die quadratische Gleichung  %%(a+1)x^2+ax+a=0%%  in Abhängigkeit vom Parameter %%a%%

Mitternachtsformel mit Parametern

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%%(a+1)x^2+ax+a=0%%

Erkenne, dass auf einer Seite die Null steht und du nichts mehr ausklammern kannst.

Lies %%a%%, %%b%% und %%c%% ab. Beachte, dass %%a%% auch als Parameter in der allgemeinen Form der quadratischen Gleichungen vorkommt.

%%a=a+1,\;b=a,\;c=a%%

Im Sonderfall %%a=-1%% fällt der Term mit %%x^2%% weg und es ergibt sich eine lineare Gleichung. Diesen Fall betrachtest du unten gesondert.

Sei nun %%\boldsymbol a\boldsymbol\neq\boldsymbol-\mathbf1%%:

Berechne die Diskriminante %%D=b^2-4ac%% der Gleichung.

%%\begin{array}{ccc}D&=&a^2-4\cdot(a+1)\cdot a\\&=&a^2-4a^2-4a\\&=&a\cdot(-3a-4)\end{array}%%

Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von %%a%% auf ihr Vorzeichen, indem du sie gleich Null setzt.

%%\begin{array}{l}D=a\cdot(-3a-4)=0\\\Leftrightarrow a=0\;\vee a=-\frac43\end{array}%%

Da %%-3a-4%% eine Gerade mit negativer Steigung in %%a%% ist, kannst du das Vorzeichenverhalten der Diskriminante bestimmen und erhältst somit eine Aussage über die Anzahl der Lösungen.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/9369_6N52Op5BNQ.xml

%%a<-\frac43\;\Rightarrow\;D>0\;\;\Rightarrow%% zwei Lösungen

%%a=-\frac43\vee a=0\;\Rightarrow\;D=0\;\Rightarrow%% eine Lösung

%%a>-\frac43\;\Rightarrow\;D<0\;\Rightarrow%% keine Lösung

Wende nun die Mitternachtsformel an.

%%a<-\frac43:%%

%%\Rightarrow\;x_{1,2}=\frac{-a\pm\sqrt{a\cdot(-3a-4)}}{2(a+1)}%%

%%\begin{array}{l}a=-\frac43\vee a=0:\\\end{array}%%

%%\begin{array}{l}\\\Rightarrow\;x=\frac{-a\pm0}{2(a+1)}=\frac{-a}{2(a+1)}\end{array}%%

%%\begin{array}{l}a>-\frac43:\;\\\end{array}%%

%%\begin{array}{l}\\\Rightarrow\;keine\;Lösung\end{array}%%

Sei nun %%\boldsymbol a\boldsymbol=\boldsymbol-\mathbf1%% .

In diesem Fall erhältst du eine lineare Gleichung. Setze dazu %%a=-1%% in die Gleichung ein und löse sie auf.

%%\begin{array}{ccc}(-1+1)x^2+(-1)x+(-1)&=&0\\-x-1&=&0\\x&=&-1\end{array}%%

Ergebnis:

%%a<-\frac43:%%

%%\Rightarrow\;x_{1,2}=\frac{-a\pm\sqrt{a\cdot(-3a-4)}}{2(a+1)}%%

%%\begin{array}{l}a=-\frac43\vee a=0:\\\end{array}%%

%%\begin{array}{l}\\\Rightarrow\;x=\frac{-a\pm0}{2(a+1)}=\frac{-a}{2(a+1)}\end{array}%%

%%\begin{array}{l}a>-\frac43:\;\\\end{array}%%

%%\begin{array}{l}\\\Rightarrow\;keine\;Lösung\end{array}%%

%%a=-1:%%

%%\Rightarrow x=-1%%