Aufgaben
Die Masse des herumliegenden Beton-Steins beträgt nach Schätzung des Maurers 10 kg, nach Schätzung des Architekten 16 kg.
Ergänze die Sätze:
Die Schätzung des Maurers liegt …% unter der Schätzung des Architekten.
Die Schätzung des Architekten war …% größer als die des Maurers.

Du siehst in einem Geschäft folgende Preistafel:

 

Preistafel zur Prozentrechnung

 

Was meinst du dazu?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung



Gegeben: 100=100%100\,€=100\% 
Gesucht: Wert von 2525% Rabatt=WW
Dreisatz anwenden.
100=100%100\,€=100\% 
x=25%x=25\% 
W=(10025%):100%W=\left(100\,€\cdot25\%\right):100\% 
=25=25\,€
Die Lösung von 100100\,€ subtrahieren.
10025=75100\,€-25\,€=75\,€
Antwort: Die Werbetafel beinhaltet eine falsche Aussage, da der reduzierte Preis 75 € betragen müsste, wenn der Preis um 25% gesenkt wird.
Wahrscheinlicher Fehler: Der Schreiber hat anscheinend die 25% Preisnachlass auf die 80 € bezogen, da 25% von 80 € 20 € sind. Die Summe von 20 € und 80 € ergibt 100 €.
Das ist aber bei dieser Aufgabenstellung der falsche Ansatz!

Fabian wiegt 60 kg. Nachdem er eine Woche lang einen Magen-Darm-Virus hatte, wiegt er nur noch 58,8 kg. Wie viel Prozent seines ursprünglichen Körpergewichts hat er verloren?

Ordne die gegebenen Größen den passenden Fachbegrffen zu. Das ursprüngliche Gewicht entspricht dem Grundwert. In der Aufgabe handelt es sich um eine Gewichtreduzierung, also um einen verminderten Grundwert.

Gegeben: %%G = 60\; \text{kg}\; ; \;G^- = 58,8\; \text{kg}%%

Es íst nach der prozentualen Abnahme des Gewichts gefragt, also dem Prozentsatz.

Gesucht: %%p%%

%%p = \frac W G%%

Berechne hierzu zuerst W mit der Differenz von Grundwert und vermindertem Grundwert.

%%W = G - G^-%%

Setze die gegebenen Größen ein und berechne.

%%W = 60 \; \text{kg} - 58,8 \; \text{kg} = 1,2 \; \text{kg}%%

Berechne jetzt den Prozentsatz.

%%p = \frac{1,2\;\text{kg}}{60\;\text{kg}} = 0,02 = 2\text{%}%%

Antwort: Fabian hat 2% seines Körpergewichts verloren.

Berechnung mit der Formel für den verminderten Grundwert

%%G^- = G \cdot (1 - p)%%

Setze die gegeben Größen ein.

%%58,8 \; \text{kg} = 60\; \text{kg} \cdot (1 - p)%%

Dividiere durch %%60\;\text{kg}%%.

%%58,8 \; \text{kg} : 60\;\text{kg} = 1 - p%%

Führe die Division durch.

%%0,98 = 1 - p%%

Addiere %%p%%.

%%0,98 + p = 1%%

Subtrahiere %%0,98%% und vereinfache.

%%p = 1 - 0,98 = 0,02 = 2\text{%}%%

Antwort: Fabian hat 2% seines Körpergewichts verloren.

Eine Baugrube mit einem festen Bodenvolumen von 400 m³ soll ausgehoben werden.       Wie viele LKWs mit 12 m³ Ladevolumen sind bei einer Auflockerung des Bodens von 14% zum Abtransport erforderlich?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung

Grundwert G=400m³G = 400\, m³

Prozentsatz p=14%p = 14\% 
Gesucht wird der Prozentwert W=G100%pW=\frac G{100\%}\cdot p
= Volumenvergrößerung durch Auflockerung
W=400m3100%14%=56m3W=\frac{400\, m^3}{100\%}\cdot14\%=56\, m^3

Abzutransportieren sind:
400m3+56m3=456m3400\, m^3+56\, m^3=456\, m^3

Ein LKW fasst 12m³12\, m³ Erde.

Anzahl der LKWs:
456m312m3LKW=38LKWs\frac{456\, m^3}{12\, \frac{m^3}{\mathrm{LKW}}}=38\, \mathrm{LKWs}

\Rightarrow Zum Abtransport der Erde sind 38 LKWs erforderlich.
Um ein Zimmer mit Holz zu verkleiden, sind 50 m250\ \mathrm{m}^2 Holzpaneele vorhanden. Die Fläche, die verkleidet werden soll, ist 46,8 m246,8\ \mathrm{m}^2 groß.
Wie viele m2\mathrm{m}^2 Paneele müssen noch nachgeliefert werden, wenn mit 18%18\% Verschnitt zu rechnen ist?
(Runde auf zwei Nachkommastellen.)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung

Sei nn die nachzuliefernde Menge.
Grundwert: GG = (50+n)  m2(50+n)\;m^2
Prozentsatz: pp = 1818% 
Verschnitt: W=Gp100%=(50+n)  m218%100%=(9+0,18n)m2W=\frac{G\cdot p}{100\%}=\frac{(50+n)\;m^2\cdot18\%}{100\%}=(9+0,18n)m^2
Wähle nn so, dass GW=(41+0,82n)  m2G-W=(41+0,82n)\; m^2 der zu verkleidenden Fläche von 46,8  m246,8\;m^2 entspricht.
41+0,82n=46,8  0,82n=5,8    n=58082=290417,0741+0,82n=46,8\;\Rightarrow0,82n=5,8\;\Rightarrow\;n=\frac{580}{82}=\frac{290}{41}\approx7,07
Es müssen ca. 7,07  m27,07\; m^2 Paneele nachgeliefert werden.

Eine Sonnenblume ist %%75 cm%% groß. Bis sie ausgewachsen ist, wächst sie noch um %%55\%%%.

Um wie viel Zentimeter wächst sie noch?

Wie groß ist sie, wenn sie ausgewachsen ist?

Sonnenblume

Ordne die gegebenen Größen den passenden Fachbegriffen Grundwert, Prozentsatz zu.

Gegeben: G = 75 cm ; p = 55%

Gesucht: W, G%%^+%%

Wende die Prozentformel an.

1. Teilaufgabe

W = p %%\cdot%% G

W = 55% %%\cdot%% 75 cm = 0,55 %%\cdot%% 75 cm = 41,25 cm

Setze die Zahlen ein.

Erste Antwort: Sie wächst 41,25 cm.

2. Teilaufgabe

Addiere Grundwert und Prozentwert um den vermehrten Grundwert zu berechnen.

G%%^+%% = 75 cm + 41,25 cm = 116,25 cm

Der vermehrte Grundwert entspricht der jetzigen Größe der Sonnenblume.

Zweite Antwort: Die Sonnenblume ist jetzt 116,25 cm groß.

Im Tank eines Autos befinden sich 30 Liter Benzin. Auf einem Ausflug an den See werden 6% des Benzins verbraucht.

Wie viel Liter Benzin wurden verbraucht?

Wie viel Liter Benzin sind jetzt noch im Tank?

Zapfsäule

Ordne den gegebenen Größen die passenden Fachbegriffe Grundwert und Prozentsatz zu.

Gegeben: G = 30 Liter ; p = 6%

Gesucht: W, G%%^-%%

Wende die Prozentformel an.

1. Teilaufgabe

W = p %%\cdot%% G

= 6% %%\cdot%% 30 Liter = 0,06 %%\cdot%% 30 Liter = 1,8 Liter

Setze die Zahlen ein.

Erste Antwort: Das Auto verbraucht 1,8 Liter.

2.Teilaufgabe

Subtrahiere den Prozentwert vom Grundwert, um den verminderten Grundwert zu berechnen.

G%%^-%% = 30 Liter - 1,8 Liter = 28,2 Liter

Der verminderte Grundwert entspricht der jetztigen Tankfüllung.

Zweite Antwort: Im Tank des Autos sind jetzt noch 28,2 Liter.

500 g Erdbeeren werden auf dem Wochenmarkt für 1,75 € angeboten. Beim Kauf von 1,5 kg zahlt der Kunde nur 4,50 €.
Wie viel Prozent beträgt die Ersparnis?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Verminderter und vermehrter Grundwert

Bestimme den Grundwert GG als Preis von 3 Schalen Erdbeeren a 500g\, g.
3500g3\cdot500\, g Erdbeeren kosten: 31,75=5,253\cdot1,75\, €=5,25\, €
Ein Direktkauf von 1,5 kg Erdbeeren kostet 4,50 €.
Ersparnis = 5,254,50=0,755,25\, €-4,50\, €=0,75\, € (Prozentwert WW)
prozentuale Ersparnis p=WG100%=0,755,25100%=17100%14,3%p=\frac WG\cdot100\%=\frac{0,75\, €}{5,25\, €}\cdot100\%=\frac{1}7\cdot100\%\approx14,3\% 
\Rightarrow Die Ersparnis beim Kauf von 1,5 kg Erdbeeren beträgt etwa 14,3%.
  1. Zu einem Fest kommen 24% mehr Personen als die Veranstalter erwartet haben. Was weiß man dann über das Verhältnis der tatsächlichen Anzahl %%n_2%% zur geschätzten Anzahl %%n_1%%?

  2. Die Körpergröße eines Kindes hat im Laufe eines Jahres von %%x_{alt}%%   auf %%x_{neu}%% zugenommen. Wobei %%\frac{x_{neu}}{x_{alt}}=1,084%%. Um wieviel Prozent ist es gewachsen?

Teilaufgabe a)

%%n_1=100\% %%

%%n_2=n_1+24\%=124\% %%

Zu der Prozentzahl 124% gehört der Faktor 1,24.

Das heißt, wenn sich der Anfangswert (100%) um 24% vergrößern soll, muss man mit 1,24 multiplizieren. Dann hat man den Wert, der 124% des Anfangswertes entspricht.

%%n_2=n_1\cdot1,24%%

%%\left|:\;n_1\right.%%

%%\frac{n_2}{n_1}=1,24%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Man weiß also, dass das Verhältnis %%\frac{n_2}{n_1}=1,24%% gilt.

Teilaufgabe b)

%%x_{alt}=100\% %%

%%\frac{x_{neu}}{x_{alt}}=1,084%%

%%\left|\cdot x_{alt}\right.%%

%%x_{neu}=1,084\cdot x_{alt}%%

Der Faktor 1,084 gehört zur Prozentzahl 108,4%. Das heißt der Wert %%x_{neu}%% entspricht 108,4% von dem Wert %%x_{alt}%% (100%). Jetzt kannst du das Wachstum berechnen.

Wachstum: %%x_{neu}-x_{alt}=108,4\%-100\%=8,4\% %%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Das Kind ist um %%8,4\% %% gewachsen.

Herr Boller plant in seinem Garten einen Teich anzulegen. Das Volumen des Teiches soll 15,6 m3m^3 betragen.
Welche Erdmenge muss Herr Boller per Container abfahren lassen, wenn mit einer Auflockerung von 15% zu rechnen ist, also den Arbeiten sogar noch 15% mehr Erde ausgehoben werden müssen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung

Vermehrten Grundwert berechnen

Ordne die gegebenen Werte den Fachbegriffen zu.
Gegeben:
Grundwert G=15,6m3G=15,6\,\text{m}^3
Prozentsatz p=15%p = 15\% 
Es muss mehr Erde ausgehoben werden als der Grundwert angibt. Bei der gesuchten Größe handelt es sich also um einen vermehrten Grundwert.
Gesucht: vermehrter Grundwert G+G_+
Berechne zuerst wie viel Erde zusätzlich ausgehoben wird. Berechne dazu den Prozentwert WW zu den gegebenen Werten pp und GG mit Hilfe der Formel.
Lösung:
W=Gp=15,6m315%=15,6m30,15=2,34m3W=G\cdot p\\=15,6\,\text{m}^3\cdot15\%\\=15,6\,\text{m}^3\cdot0,15\\= 2,34\,\text{m}^3
Dieses Volumen an Erde, wird zusätzlich ausgehoben, wird also zu dem Grundwert addiert.
G+=G+W=15,6m3+2,34m3=17,94m3G_+=G + W \\= 15,6\,\text{m}^3+2,34\,\text{m}^3=17,94\,\text{m}^3

Antwort: Insgesamt müssen 17,94  m317,94\; m^3 Erdreich ausgehoben werden.

Herr X. spendet 8% seines Lottogewinns, nämlich 6464€, für den Bau eines Spielplatzes. Wie viel von dem Lottogewinn ist danach vom Gewinn noch übrig?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung



8%=^64648\%\widehat=6464€
:8\left|:8\right.
1%=^8081\%\widehat=808€
Subtrahiere den Anteil von 8% vom gesamten prozentualen Gewinn (100%). Ermittle somit den Prozentwert.
100%8%=92%100\%-8\%=92\% 
Multipliziere den errechneten Prozentwert mit dem Wert eines Prozents, um den verbleibenden Gewinn zu bestimmen.
92808=7433692\cdot808€=74336€
        \;\;\Rightarrow\;\; Es bleiben noch 74336€ des Lottogewinns übrig.

Beim Braten von Fleisch gehen ca. 25% des Gewichtes beim Erhitzen verloren. Wie viel Fleisch muss eingekauft werden, wenn nach dem Braten 180 g vorliegen soll?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung

180g=^100%25%180\,g\widehat=100\%-25\% 
180g=^75%180\,g\widehat=75\% 
Lösungsmöglichkeit 1:
Gleichung mit xx (Gesamtmenge Fleisch) aufstellen.
Dabei muss xx mit dem Prozentsatz (75%=0,75)\left(75\%=0,75\right) multipliziert die 180 g ergeben.
x0,75=180g:0,75x\cdot0,75=180\,g \qquad \left|:0,75\right.
x=240gx=240\,g
Lösungsmöglichkeit 2:
75%=^180g:7575\%\widehat=180\,g \qquad \left|:75\right.
1%=^2,4g1001\%\widehat=2,4\,g \qquad \left|\cdot100\right.
100%=^240g100\%\widehat=240\,g
        \;\;\Rightarrow\;\; Man muss 240g240\,g Fleisch einkaufen.
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