Aufgaben
Pullover
Auf dem Preisschild eines Pullovers liest du einen Betrag von 40 €. Auf das komplette Regal gibt es 50% Rabatt. Im Schaufenster steht ein Schild mit der Aufschrift "Auf alle reduzierten Artikel noch einmal 50% Rabatt!" Ist der Pullover jetzt kostenlos?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grundwert

Ordne die gegebenen Größen den passenden Fachbegriffen Grundwert und Prozentsatz zu.
Gegeben: G = 40 € ; p1\text{p}_1 = 50% ; p2\text{p}_2 = 50%
Gesucht: G^-
Es handelt sich um einen Rabatt, also bei der gesuchten Größe um einen verminderten Grundwert.
Verwende die Formel für den verminderten Grundwert.
G^- = G \cdot (1 - p)
Setze die gegebenen Größen ein.
G^- = 40 € \cdot (1 - 50%)
= 40 € \cdot (1 - 0,5) = 40 € \cdot0,5 = 20 €
Vereinfache.
\rightarrow G^- ist der neue Grundwert
Rechne nun den Preis nach der zweiten Reduzierung aus. Verwende dabei den neuen Grundwert.
G^- = G \cdot (1 - p)
Setze die gegebenen Größen ein und vereinfache.
G^- = 20 € \cdot (1 - 50%) = 20 € \cdot 0,5 = 10 €
Antwort: Nein, der Pullover ist nicht kostenlos. Er kostet jetzt 10 €.

Herr G. Wicht ist 120 kg schwer. Er beginnt am 1. Oktober eine radikale Abmagerungskur.

  1. Am 1. November hat er 15% seines Körpergewichts verloren. Wie schwer ist er jetzt?

  2. Bis zum 1. Dezember verliert er erneut 15% an Gewicht. Wie schwer ist er zu diesem Zeitpunkt?

  3. Im Januar jedoch - nach den vielen Feiertagen - zeigt die Waage wieder 120 kg an! Um wie viel Prozent hat er in den beiden vergangenen Monaten wieder zugenommen? Runde auf eine Kommastelle.

Teilaufgabe a)

Gegeben: altes Gewicht:120 kg,

Info: Er wiegt nun 15% weniger.

Gesucht: neues Gewicht

Dreisatz anwenden.

Sei %%x%% der Gewichtsverlust.

%%x=15\% %%

%%120\, \mathrm{kg}=100\% %%

%%x=\left(120\, \mathrm{kg}\cdot15\%\right):100\%=18\, \mathrm{kg}%%

Nun subtrahiere den Gewichtsverlust %%x%% von dem ursprünglichen Gewicht.

%%120\, \mathrm{kg}-18\, \mathrm{kg}=102\, \mathrm{kg}%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Am 1. November wiegt er noch 102 kg.

Teilaufgabe b)

Gegeben: altes Gewicht:102 kg,

Info: Er wiegt bis zum 1. Dezember 15% weniger.

Gesucht: neues Gewicht

Dreisatz anwenden.

Sei %%x%% der Gewichtsverlust.

%%x=15\% %%

%%102\, \mathrm{kg}=100\% %%

%%x=\left(102\, \mathrm{kg}\cdot15\%\right):100\%=15,3\, \mathrm{kg}%%

Nun subtrahiere den Gewichtsverlust %%x%% vom vorherigen Gewicht.

%%102\, \mathrm{kg}-15,3\, \mathrm{kg}=86,7\, \mathrm{kg}%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Am 1.Dezember wiegt er noch 86,7 kg.

 

Teilaufgabe c)

Gegeben: altes Gewicht:86,7 kg, neues Gewicht:120 kg

Gesucht: prozentuale Gewichtssteigerung %%g%%

Dreisatz anwenden.

%%100\%=86,7\, \mathrm{kg}%%

%%x=120\, \mathrm{kg}%%

%%x%% Steigerungsfaktor.

Bestimme die absolute Gewichtssteigerung, indem du die Differenz von 120 und 86,7 bildest.

 

%%120\, \text{kg}-86,7\, \text{kg}=33,3\, \text{kg}%%

Bestimme die prozentuale Gewichtssteigerung als Anteil der absoluten Gewichtssteigerung am Gesamtgewicht von %%86,7\, \text{kg}%%.

%%g=\frac{33,3\, \text{kg}}{86,7\, \text{kg}}=\frac{111}{289}\approx38,41\% %%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% In den vergangenen beiden Monaten hat er wieder um 38,41% zugenommen.

Der Grundpreis eines Wagens beträgt 27500 €. Die Sonderausstattung erhöht den Preis um 1000 €. Wegen Barzahlung erhält der Käufer 12% Rabatt.      
Wie viel Prozent vom Grundpreis sind tatsächlich gezahlt worden?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung

Prozentrechnen mit vermehrten und verminderten Grundwerten

Überlege dir zunächst wie viel Geld der Käufer tatsächlich bezahlen musste.
Preis nach der Preiserhöhung:
27500+1000=2850027500\,\text{€} + 1000\,\text{€} = 28500\,\text{€}

Preis nach der Rabattaktion:
Berechne den Prozentwert, der angibt wie viel Geld gespart wird.
Gegeben: Grundwert G=28500G=28500\text{€}, Prozentsatz p=12%p=12\% 
Gesucht: Prozentwert WW
Verwende die Prozentformel.
W=pG=28500  12%=28500  0,12=3420  W=p \cdot G\\ =28500\;€ \cdot 12\%\\ =28500\;€ \cdot 0,12\\ =3420\;€
Dieser Betrag wird von dem zuzahlenden Betrag abgezogen.
28500  3420  =25080  28500\; € - 3420\; € = 25080\;€

Anteil des gezahlten Betrags vom ursprünglichen Grundpreis:

Gegeben: Grundwert G=27500G=27500\,\text{€}, Prozentwert W=25080W=25080\,\text{€}
Gesucht: Prozentsatz pp
Berechne den prozentuellen Anteil mit Hilfe der Prozentformel.
p=WG=2508027500=0,912=91,2%p= \frac{W}{G} \\= \frac{25080\,\text{€}}{27500\,\text{€}} \\= 0,912 = 91,2\% 

Antwort: Tatsächlich wurden 91,2% vom Grundpreis gezahlt.
Ticket
Da die Besucherzahl in einem Freibad zurückgegangen war, wurde der Eintrittspreis um 15% gesenkt. Im nächsten Jahr liest du in der Zeitung, dass der Preis wieder um 15% gestiegen ist. Thomas sagt: "Jetzt kostet der Eintritt wieder so viel wie früher!"
Was meinst du dazu?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grundwert

Thomas hat nicht Recht. Die beiden Prozentsätze von jeweils 15% beziehen sich auf unterschiedliche Grundwerte. Die Reduzierung um 15% bezieht sich auf den ursprünglichen Preis und die Preiserhöhung um 15% bezieht sich auf den dann reduzierten Eintrittspreis.
15% des reduzierten Eintrittspreises bilden einen kleineren Prozentwert als die 15% des ursprünglichen Preises. Dadurch ist der aktuelle Preis immer noch niedriger als der Anfangspreis.
Du kannst dir das auch anhand eines selbstgewählten Beispiels überlegen:
Angenommen der Eintrittspreis kostet 5 €.
Ordne die gegebenen Größen den passenden Fachbegriffen Grundwert und Prozentsatz zu.
Gegeben: G = 5 € ; p1_1 = 15% ; p2_2 = 15%
Im ersten Schritt handelt es sich um eine Reduzierung also bei der gesuchten Größe um einen verminderten Grundwert.
Gesucht: G^-
Berechne mit der Fomel für G^-.
G^- = G - W
Berechne zuerst W mit der Prozentformel für den Prozentwert.
W = p1_1\cdot G
Setze die gegebenen Größen ein und vereinfache.
= 15% \cdot 5 € = 0,15 \cdot 5 € = 0,75 €
Jetzt kannst du den verminderten Grundwert berechnen.
G^- = 5 € - 0,75 € = 4,25 €
\Rightarrow Nach der Preisreduzierung von 15% kostet der Eintritt 4,25 €. Das ist nun der neue Grundwert mit dem du weiterrechnest.
Gegeben: G = 4,25 €
Im zweiten Schritt handelt es sich um eine Preiserhöhung also bei der gesuchten Größe um einen vermehrten Grundwert.
Gesucht: G+^+
Berechne mit der Formel für G+^+
G+^+ = G + W
Berechne zuerst W mit der Prozentformel für den Prozentwert.
W = p2_2\cdot G
Setze die gegebenen Größen ein und vereinfache.
= 15% \cdot 4,25 € = 0,15 \cdot 4,25 € = 0.6375 €
Jetzt kannst du den vermehrten Grundwert berechnen.
G+^+ = 4,25 € + 0.6375 € = 4,8875 € \approx 4,89 €
\Rightarrow Nach der Preiserhöhung kostet der Eintritt ungefähr 4,89 €.
Antwort: Nach der Reduzierung und der Erhöhung ist der Preis immer noch niedriger als der ursprüngliche Preis.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grundwert und Prozentsatz

Ordne die gegebenen Größen den passenden Fachbegriffen Grundwert und Prozentsatz zu.
Gegeben: G = 400 € ; p1_1 = 20% ; p2_2 = 10% ; p3_3 = 30%
Gesucht: G^-
Der Preis wird reduziert, also ist ein verminderter Grundwert gesucht.

Zweimalige Preissenkung

Berechne den verminderten Grundwert nach dem ersten Rabatt von 20%. Verwende die Formel für den verminderten Grundwert.
G^- = G \cdot (1 - p1_1)
Setze die gegebenen Größen ein.
G^- = 400 € \cdot (1 - 20%)
Vereinfache.
= 400 € \cdot (1 - 0,2) = 400 € \cdot 0,8 = 320 €
\rightarrow G^- ist der neue Grundwert G2_2
Berechne den verminderten Grundwert nach dem zweiten Rabatt von 10%. Verwende die Formel für den verminderten Grundwert.
G2_2^- = G2_2\cdot (1 - p2_2)
Setze die gegebenen Größen ein und vereinfache.
= 320 € \cdot (1 - 10%) = 320 € \cdot 0,9 = 288 €
Antwort: Das Fahrrad kostet nach einer Reduzierung von 20% und 10% noch 288 €.

Einmalige Preissenkung

Berechne den verminderten Grundwert nach dem Rabatt von 30%.
G^- = G \cdot (1 - p3_3)
Setze die gegebenen Größen ein und vereinfache.
G^- = 400 € \cdot (1 - 30%) = 400 € \cdot 0,7 = 280 €
Antwort: Das Fahrrad kostet nach einer Reduzierung von 30% noch 280 €.
\Rightarrow Antwort insgesamt: Nach der einmaligen Presireduzierung von 30% ist das Fahrrad billiger als nach der zweimaligen Reduzierung von 20% und 10%.
Rechne mit der Formel G^- = G - W. Bestimme dazu zuerst W mit Hilfe der Prozentformel.

Zweimalige Preissenkung

W = p1_1\cdot G
Setze die gegebenen Größen ein und vereinfache.
= 20% \cdot 400 € = 0,2 \cdot 400 € = 80 €
Berechne den verminderten Grundwert.
G^- = G - W = 400 € - 80 € = 320 €
\rightarrow G^- ist der neue Grundwert G2_2
Berechne den verminderten Grundwert nach dem Rabatt von 10% aus. Berechne hierzu den Prozentwert W2_2.
W2_2 = p2_2 \cdot G2_2
Setze die gegebenen Größen ein und vereinfache.
W2_2 = 10% \cdot 320 € = 32 €
Berechne den verminderten Grundwert G2^-_2.
G2_2^- = G2_2 - W2_2 = 320 € - 32 € = 288 €
Antwort: Das Fahrrad kostet nach einer Reduzierung von 20% und 10% noch 288 €.

Einmalige Preissenkung

W = p3_3 \cdot G
Setze die gegebenen Größen ein und vereinfache.
= 30% \cdot 400 € = 0,3 \cdot 400 € = 120 €
Berechne den verminderten Grundwert.
G2_2^- = G - W = 400 € - 120 €
Antwort: Das Fahrrad kostet nach einer Reduzierung von 30% noch 280 €.
\Rightarrow Antwort insgesamt: Nach der einmaligen Presireduzierung von 30% ist das Fahrrad billiger als nach der zweimaligen Reduzierung von 20% und 10%.

Der Preis von Äpfeln wird um 20% des bisherigen Preises gesenkt. Da die Äpfel zu dem reduzierten Preis reißenden Absatz finden, beschließt der Händler, diese Äpfel wieder zu dem höheren alten Preis zu verkaufen. Um wie viel Prozent werden dadurch die Äpfel aus Sicht des Konsumenten teurer?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung

Grundwert: 11
Prozentsatz: 100%20%=80%100\%-20\%=80\% 
Prozentwert: 0,80,8

Bestimme nun den Prozentsatz, um vom Prozentwert 0,8 wieder auf den Grundwert von 1 zu kommen.
80%x=100%80\%\cdot x=100\% 
Teile durch 0,8
x=1,25x=1,25
\Rightarrow Aus Konsumentensicht werden die Äpfel so um 25%25\% teurer.


Im Sportgeschäft Schlauberger werden wegen eines Jubiläumsverkaufs alle Artikel um 20 % reduziert angeboten. Rudi kauft ein Rennrad, das jetzt nur 460,- € kostet, und freut sich über das „gesparte“ Geld. Er weiß nicht, dass Herr Schlauberger den Preis für das Fahrrad in der Woche vor dem Jubiläumsverkauf um 15 % erhöht hatte. Wie viel kostete das Rad ursprünglich? Wie viel Prozent beträgt der Preisnachlass also in Wirklichkeit?

Gegeben: %%460€=80\% %%

Gesucht: ursprünglicher Preis %%P%%, also Preis nach der Steigerung des Preises um 15%.

Dreisatz anwenden.

%%x=100\% %%

%%460€=80\% %%

 

%%P=\left(100\%\cdot460€\right):80\% %%

 

%%=575€%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Der Preis nach der 15%-Steigung des Preises betrug 575€.

Gegeben: %%575€=115\% %%

 

Da der Preis um %%15\% %% erhöht wurde entsprichen die %%575€%% gleich %%115\% %% . Nun muss der Wert von einem Prozent ausgrechnet werden.

%%\frac{575€}{115\%}=\frac{5€}{1\%}=500€%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Der ursprüngliche Preis betrug 500€.

Nun rechne die eigentliche Preissenkung aus.

%%100\%\widehat=500€%%

%%1\%\widehat=5€%%

Die %%460€%% durch die %%5€%% teilen, um den prozentualen Wert der %%460€%% von den %%500€%% auszurechnen.

%%\frac{460€}{5€}=92%%

 

%%92\%\widehat=460€%%

Die Preissenkung in Prozent ausrechnen.

%%100\%-92\%=8\% %%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Die Preissenkung beträgt eigentlich %%8\% %%. Der Preis wurde so real von 500€ auf 460€ gesenkt.

Der Preis für ein Mofa stieg zuerst um 15%, sank dann wieder um 10% und beträgt nun 1449 Euro. Um wie viel Prozent hat sich der Preis insgesamt verändert?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung

Sei xx der Anfangspreis.
Zunächst steigt der Preis um 15%:
x115%=x1,15x\cdot115\%=x\cdot1,15
Dann sinkt er jedoch wieder um 10%:
x115%90%  =  x1,150,9=x0x\cdot115\%\cdot90\%\;=\;x\cdot1,15\cdot0,9=x_0
x0x_0 ist der Endpreis. Es gilt: x0=1,150,9x=1,035xx_0=1,15\cdot0,9\cdot x=1,035\cdot x.
\Rightarrow Insgesamt wurde der Anfangspreis also um 3,5%3,5\% erhöht.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vermehrten Grundwert berechnen

Ordne die gegebenen Größen den passenden Fachbegriffen Grundwert und Prozentsatz zu.
Gegeben: G = 30 cm ; p1\text{p}_1 = 100% ; p2\text{p}_2 = 100%
Gesucht: G+^+
Der Bambus wächst, also handelt es sich um einen vermehrten Grundwert.
Verwende die Formel für den vermehrten Grundwert.
G+^+ = G \cdot (1 + p)
Setze die gegebenen Größen ein.
G+^+ = 30 cm \cdot (1 + 100%)
= 30 cm \cdot (1 + 1) = 30 cm \cdot 2 = 60 cm
Vereinfache.
\rightarrow G+^+ ist der neue Grundwert
Rechne nun die Größe des Bambus nach der zweiten Woche aus. Verwende dabei den neuen Grundwert.
G+^+ = G \cdot (1 + p)
Setze die gegebenen Größen ein und vereinfache.
G+^+ = 60 cm \cdot (1 + 100%) = 60 cm \cdot 2 = 120 cm

Nein, der Bambus ist nicht dreimal so größ. Er hat jetzt eine Größe von 120 cm, also ist er viermal so groß wie am Anfang.

Ein digitales Mikroskop hat einen Knopf: "Vergrößerung um 100% erhöhen".

  1. Das Mikroskop zeigt gerade Gegenstände in ihrer Originalgröße an und du drückst den oben beschrieben Knopf drei Mal. Welche Vergrößerung ist eingestellt?

  2. Du bist bereits auf 300% Vergrößerung und drückst erneut auf den Knopf. Welche Vergrößerung ist es diesmal?

  3. Wie kann man die Beschriftung des Knopfes verstehen? Gib zwei Möglichkeiten an!

1. Teilaufgabe

Grundwert %%G = 100\% %%

Originalgröße bedeutet keine Vergrößerung, sodass der ganze (100%) Gegenstand abgebildet wird.

Prozentsatz p = 100%

Zunächst gesucht: vermehrter Grundwert nach einem Knopfdruck %%G_1^+%%

Nach dem ersten Knopfdruck sind die 100% "um 100% erhöht".

%%G_1^+ = G \cdot(1+p) = 100\% \cdot (1+1) = 200\%%%

Als Zahl ist %%100\%=1%%.

%%G_2^+ = G_1^+ \cdot(1+p) = 200\% \cdot (1+1) = 400\%%%

Die aktuelle Vergrößerung wird als neuer Grundwert verwendet.

%%G_3^+ = G_2^+ \cdot(1+p) = 400\% \cdot (1+1) = 800\%%%

Ergebnis nach drei Mal Drücken.

2. Teilaufgabe

%%G^+ = 300\% \cdot(1+p) = 600\%%%

Gehe nach demselben Prinzip vor wie bei Teilaufgabe 1.

3. Teilaufgabe

"Wieder und wieder um 100% erhöhen" kann missverständlich formuliert sein, weil es zwei Möglichkeiten zulässt:

  1. Es handelt sich immer um eine Erhöhung um 100% des Grundwertes.

  2. Es handelt sich jedes Mal um eine Erhöhung um 100% des aktuellen Wertes.

Bei der Erstellung der Lösung ist die 2. Möglichkeit angenommen worden.

Erste Möglichkeit

Für die 1. Teilaufgabe würde die 1. Möglichkeit bedeuten, dass bei jedem Schritt 100% addiert werden, die Vergrößerung also nur 400% beträgt.

Für die 2. Teilaufgabe gilt dasselbe und man erhielte ebenfalls 400%.

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