4Lösung 1f

Aufgabenstellung

$11$ Gegeben ist die in $\mathbb{R}\backslash mathbb\{R\}$ definierte Funktion $f:x\mapsto e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}f:\; x\; \backslash mapsto\; \backslash ;\; e^\{\backslash frac\{1\}\{2\}x\}+e^\{-\backslash frac\{1\}\{2\}x\}$. Der Graph von $ff$ wird mit $G_{f}G\_f$ bezeichnet.

$a)a)$ Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von $G_{f}G\_f$ mit der $yy$-Achse und begründen Sie, dass $G_{f}G\_f$ oberhalb der $xx$-Achse verläuft. (2 BE)

$b)b)$ Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten von $G_{f}G\_f$ sowie das Verhalten von $ff$ für $x\to -\mathrm{\infty }x\; \backslash to\; -\backslash infty$ und für $x\to \mathrm{\infty }x\; \backslash to\; \backslash infty$. (3 BE)

$c)c)$ Zeigen Sie, dass für die zweite Ableitung $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}f\text{'}\text{'}$ von $ff$ die Beziehung $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{4}\cdot f(x)f\text{'}\text{'}(x)=\backslash frac\{1\}\{4\}\backslash cdot\; f(x)$ für $x\in \mathbb{R}x\backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$ gilt. Weisen Sie nach, dass $G_{f}G\_f$ linksgekrümmt ist. (4 BE)

$\to \backslash rightarrow$ Zur Kontrolle: $f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{2}\cdot (e^{\frac{1}{2}x}-e^{-\frac{1}{2}x})f\text{'}(x)=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash cdot\backslash left(e^\{\backslash frac\{1\}\{2\}x\}-e^\{-\backslash frac\{1\}\{2\}x\}\backslash right)$

$d)d)$ Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von $G_{f}G\_f$. (3 BE)

$e)e)$ Berechnen Sie die Steigung der Tangente $gg$ an $G_{f}G\_f$ im Punkt $P(2\mathrm{\mid }f(2))P(2|f(2))$ auf eine Dezimale genau. Zeichnen Sie den Punkt $PP$ und die Gerade $gg$ in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf das Folgende: $-4\le x\le 4-4\backslash leq\; x\backslash leq4$, $-1\le y\le 9-1\; \backslash leq\; y\; \backslash leq\; 9$). (3 BE)

Lösung

Berechnung von $f(4)f(4)$

$f(4)=e^{\frac{1}{2}\cdot 4}+e^{-\frac{1}{2}\cdot 4}f(4)=e^\{\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; 4\}+e^\{-\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; 4\}$

$f(4)=e^2+e^{-2}f(4)=e^\{2\}+e^\{-2\}$

$f(4)\approx \mathrm{7,52}f(4)\backslash approx\; 7\{,\}52$

Graph von $G_{f}G\_f$

Zeichne nun den Graphen, du kennst schon:

• den Extrempunkt $EP(0\mathrm{\mid }2)EP(0|2)$

• den Punkt $P(2\mathrm{\mid }\mathrm{3,1})P(2|3\{,\}1)$

• den Punkt $(4\mathrm{\mid }\mathrm{7,52})(4|7\{,\}52)$

• das Verhalten im Unendlichen

• die Symmetrie zur y-Achse

Insgesamt ergibt sich folgender Graph: