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Kurs

Analysis - Prüfungsteil B Aufgabengruppe 1

1 Lösung 1c

Aufgabenstellung

11 Gegeben ist die in R\mathbb{R} definierte Funktion f:x  e12x+e12xf: x \mapsto \; e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}. Der Graph von ff wird mit GfG_f bezeichnet.

 

a)a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von GfG_f mit der yy-Achse und begründen Sie, dass GfG_f oberhalb der xx-Achse verläuft. (2 BE) b)b) Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten von GfG_f sowie das Verhalten von ff für xx \to -\infty und für xx \to \infty. (3 BE)

c)c) Zeigen Sie, dass für die zweite Ableitung ff'' von ff die Beziehung f(x)=14f(x)f''(x)=\frac{1}{4}\cdot f(x) für xRx\in \mathbb{R} gilt. Weisen Sie nach, dass GfG_f linksgekrümmt ist. (4 BE)

\rightarrow Zur Kontrolle: f(x)=12(e12xe12x)f'(x)=\frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}x}-e^{-\frac{1}{2}x}\right)

Lösung

Zweite Ableitung von ff

Um die zweite Ableitung zu bestimmen, benötigst du zunächst die erste Ableitung. Beachte dazu die Ableitungsregeln.

f(x)=e12x12+e12x(12)f'(x)=e^{\frac{1}{2}x}\cdot \frac {1}{2} + e^{-\frac{1}{2}x}\cdot (-\frac {1}{2})

Fasse so weit wie möglich zusammen.

f(x)=12e12x12e12xf'(x)=\frac {1}{2} \cdot e^{\frac{1}{2}x} -\frac {1}{2}\cdot e^{-\frac{1}{2}x}

Kannst du noch etwas ausklammern?

f(x)=12(e12xe12x)f'(x)=\frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}x}-e^{-\frac{1}{2}x}\right)

Damit bist du beim Kontrollergebnis.

Leite die Ableitung noch einmal ab. Beachte wieder die Ableitungsregeln.

f(x)=12(e12x12e12x(12))f''(x)=\frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}x}\cdot\frac{1}{2} -e^{-\frac{1}{2}x}\cdot (-\frac{1}{2})\right)

Kannst du noch etwas ausklammern? Achte auf die Vorzeichen.

f(x)=1212(e12x+e12x)f''(x)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}\right)

f(x)=14(e12x+e12x)f''(x)=\frac{1}{4}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}\right)

In der Klammer steht die Funktionsgleichung von f(x)f(x). Daraus folgt:

f(x)=14f(x)f''(x)=\frac{1}{4}\cdot f(x)

Linkskrümmung nachweisen

Damit eine Linkskrümmung vorliegt, muss die zweite Ableitung immer positiv sein.

f(x)=14f(x)f''(x)=\frac{1}{4}\cdot f(x)

Du hast schon gezeigt, dass die Funktion f(x)f(x) immer oberhalb der xx-Achse verläuft, also gilt immer:

f(x)>0f(x)>0

Daraus folgt:

f(x)=14f(x)>0f''(x)=\frac{1}{4}\cdot f(x)>0

Und damit gilt dann auch:

\Rightarrow ff ist linksgekrümmt

2 Lösung 1d

Aufgabenstellung

11 Gegeben ist die in R\mathbb{R} definierte Funktion f:x  e12x+e12xf: x \mapsto \; e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}. Der Graph von ff wird mit GfG_f bezeichnet.

 

a)a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von GfG_f mit der yy-Achse und begründen Sie, dass GfG_f oberhalb der xx-Achse verläuft. (2 BE)

 

b)b) Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten von GfG_f sowie das Verhalten von ff für xx \to -\infty und für xx \to \infty. (3 BE)

 

c)c) Zeigen Sie, dass für die zweite Ableitung ff'' von ff die Beziehung f(x)=14f(x)f''(x)=\frac{1}{4}\cdot f(x) für xRx\in \mathbb{R} gilt. Weisen Sie nach, dass GfG_f linksgekrümmt ist. (4 BE)

 

\rightarrow Zur Kontrolle: f(x)=12(e12xe12x)f'(x)=\frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}x}-e^{-\frac{1}{2}x}\right)

d)d) Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von GfG_f. (3 BE)

Lösung

Lage des Extrempunkts

Du kannst dir jetzt schon überlegen, dass es nur einen einzigen Extrempunkt geben kann, weil der ganze Graph linksgekrümmt ist.

 

Suche den Extrempunkt, indem du die Nullstelle der ersten Ableitung suchst:

Setze f(x)=0f'(x)=0:

 

12(e12xe12x)=02e12xe12x=0+e12xe12x=e12x\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcrl}\frac{1}{2}\cdot&\left(e^{\frac{1}{2}x}-e^{-\frac{1}{2}x}\right)&=& 0 \quad &|\cdot 2\\&e^{\frac{1}{2}x}-e^{-\frac{1}{2}x}&=&0 &|+e^{-\frac{1}{2}x}\\&e^{\frac{1}{2}x}&=&e^{-\frac{1}{2}x}\end{array}

Das Ergebnis ist auf beiden Seiten gleich, wenn die Exponenten gleich sind. Dies kannst du dir entweder aus den Potenzgesetzen herleiten oder du wendest den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten der Gleichung an:

e12x=e12x  ln()12x=12x2x=x\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcrl}&e^{\frac{1}{2}x}&=&e^{-\frac{1}{2}x} \quad &|\;\ln()\\&\frac{1}{2}x &=& -\frac{1}{2}x &|\cdot 2 \\& x & = & -x\end{array}

 

Diese Gleichung ist nur für x=0x=0 erfüllt.

 

Da in a)a) schon der yy-Achsenabschnitt (f(0)=2f(0)=2) berechnet wurde ergibt sich der Extrempunkt EP(02)EP(0|2).

Art des Extrempunkts

In c)c) wurde bereits gezeigt, dass f(x)>0f''(x)>0 ist (dies gilt also insbesondere auch für f(0)f''(0)), also handelt es sich um einen Tiefpunkt.

3 Lösung 1e

Aufgabenstellung

11 Gegeben ist die in R\mathbb{R} definierte Funktion f:x  e12x+e12xf: x \mapsto \; e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}. Der Graph von ff wird mit GfG_f bezeichnet.

 

a)a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von GfG_f mit der yy-Achse und begründen Sie, dass GfG_f oberhalb der xx-Achse verläuft. (2 BE)

 

b)b) Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten von GfG_f sowie das Verhalten von ff für xx \to -\infty und für xx \to \infty. (3 BE)

 

c)c) Zeigen Sie, dass für die zweite Ableitung ff'' von ff die Beziehung f(x)=14f(x)f''(x)=\frac{1}{4}\cdot f(x) für xRx\in \mathbb{R} gilt. Weisen Sie nach, dass GfG_f linksgekrümmt ist. (4 BE)

 

\rightarrow Zur Kontrolle: f(x)=12(e12xe12x)f'(x)=\frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}x}-e^{-\frac{1}{2}x}\right)

 

d)d) Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von GfG_f. (3 BE)

e) Berechnen Sie die Steigung der Tangente gg an GfG_f im Punkt P(2f(2))P(2|f(2)) auf eine Dezimale genau. Zeichnen Sie den Punkt PP und die Gerade gg in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf das Folgende: 4x4-4\leq x\leq4, 1y9-1 \leq y \leq 9). (3 BE)

Lösung

Berechnen der Tangentensteigung

Die Steigung der Tangente ist per Definition gleich zur Ableitung in einem Punkt. Setze also x=2x=2 in die erste Ableitung ein.

f(2)=12(e122e122)=12(e1e1)1,2\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}&f'(2)&=&\frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}\cdot2}-e^{-\frac{1}{2}\cdot 2}\right)\\&&=& \frac{1}{2}\cdot\left(e^1-e^{-1}\right)\\&&\approx& 1{,}2\end{array}

 

Die Steigung ist also 1,21{,}2.

Zeichnen des Punktes und der Tangente

Bestimme zunächst die yy-Koordinate von PP.

f(2)=e122+e122=e1+e13,1\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} f(2)&=& e^{\frac{1}{2}\cdot 2}+e^{-\frac{1}{2}\cdot 2}\\&=& e^1 + e^{-1}\\&\approx & 3{,}1\end{array}

 

Die Koordinaten des Punktes sind also P(23,1)P(2|3{,}1).

Du zeichnest den Punkt Punkt PP in ein Koordinatensystem und bestimmst mit Hilfe eines Steigungsdreiecks einen weiteren Punkt QQ. Diese beiden Punkte verbindest du zu der Geraden gg.

Bild

4 Lösung 1f

Aufgabenstellung

11 Gegeben ist die in R\mathbb{R} definierte Funktion f:x  e12x+e12xf: x \mapsto \; e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}. Der Graph von ff wird mit GfG_f bezeichnet.

 

a)a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von GfG_f mit der yy-Achse und begründen Sie, dass GfG_f oberhalb der xx-Achse verläuft. (2 BE)

 

b)b) Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten von GfG_f sowie das Verhalten von ff für xx \to -\infty und für xx \to \infty. (3 BE)

 

c)c) Zeigen Sie, dass für die zweite Ableitung ff'' von ff die Beziehung f(x)=14f(x)f''(x)=\frac{1}{4}\cdot f(x) für xRx\in \mathbb{R} gilt. Weisen Sie nach, dass GfG_f linksgekrümmt ist. (4 BE)

 

\rightarrow Zur Kontrolle: f(x)=12(e12xe12x)f'(x)=\frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}x}-e^{-\frac{1}{2}x}\right)

 

d)d) Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von GfG_f. (3 BE)

 

e)e) Berechnen Sie die Steigung der Tangente gg an GfG_f im Punkt P(2f(2))P(2|f(2)) auf eine Dezimale genau. Zeichnen Sie den Punkt PP und die Gerade gg in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf das Folgende: 4x4-4\leq x\leq4, 1y9-1 \leq y \leq 9). (3 BE)

f)f) Berechnen Sie f(4)f(4), im Hinblick auf eine der folgenden Aufgaben auf zwei Dezimalen genau, und zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse GfG_f im Bereich 4x4-4 \leq x \leq 4 in das Koordinatensystem aus Aufgabe 1e ein. (4 BE)

Lösung

Berechnung von f(4)f(4)

f(4)=e124+e124f(4)=e^{\frac{1}{2}\cdot 4}+e^{-\frac{1}{2}\cdot 4}

f(4)=e2+e2f(4)=e^{2}+e^{-2}

f(4)7,52f(4)\approx 7{,}52

Graph von GfG_f

Zeichne nun den Graphen, du kennst schon:

  • den Extrempunkt EP(02)EP(0|2)

  • den Punkt P(23,1)P(2|3{,}1)

  • den Punkt (47,52)(4|7{,}52)

  • das Verhalten im Unendlichen

  • die Symmetrie zur y-Achse

Insgesamt ergibt sich folgender Graph:

Bild

5 Lösung 1g

Aufgabenstellung

11 Gegeben ist die in R\mathbb{R} definierte Funktion f:x  e12x+e12xf: x \mapsto \; e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}. Der Graph von ff wird mit GfG_f bezeichnet.

 

a)a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von GfG_f mit der yy-Achse und begründen Sie, dass GfG_f oberhalb der xx-Achse verläuft. (2 BE)

 

b)b) Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten von GfG_f sowie das Verhalten von ff für xx \to -\infty und für xx \to \infty. (3 BE)

 

c)c) Zeigen Sie, dass für die zweite Ableitung ff'' von ff die Beziehung f(x)=14f(x)f''(x)=\frac{1}{4}\cdot f(x) für xRx\in \mathbb{R} gilt. Weisen Sie nach, dass GfG_f linksgekrümmt ist. (4 BE)

 

\rightarrow Zur Kontrolle: f(x)=12(e12xe12x)f'(x)=\frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}x}-e^{-\frac{1}{2}x}\right)

 

d)d) Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von GfG_f. (3 BE)

 

e)e) Berechnen Sie die Steigung der Tangente gg an GfG_f im Punkt P(2f(2))P(2|f(2)) auf eine Dezimale genau. Zeichnen Sie den Punkt PP und die Gerade gg in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf das Folgende: 4x4-4\leq x\leq4, 1y9-1 \leq y \leq 9). (3 BE)

 

f)f) Berechnen Sie f(4)f(4), im Hinblick auf eine der folgenden Aufgaben auf zwei Dezimalen genau, und zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse GfG_f im Bereich 4x4-4 \leq x \leq 4 in das Koordinatensystem aus Aufgabe 1e ein. (4 BE)

g)g) Zeigen Sie durch Rechnung, dass für xRx \in \mathbb{R} die Beziehung 14[f(x)]2[f(x)]2=1\quad\frac{1}{4}\cdot [f(x)]^2-[f'(x)]^2=1 gilt. (3 BE)

Lösung

Rechnung

Setze ein und vereinfache.

14[f(x)]2[f(x)]2=14[e12x+e12x]2[12(e12xe12x)]2\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ll}&& \frac{1}{4}\cdot [f(x)]^2-[f'(x)]^2\\&=& \frac{1}{4}\cdot \left[e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}\right]^2-\left[\frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}x}-e^{-\frac{1}{2}x}\right)\right]^2\end{array}

Beachte, dass du jetzt die binomischen Formeln anwenden musst!

=14[e12x+e12x]2[12(e12xe12x)]2=14[(e12x)2+2e12xe12x+(e12x)2][(12)2(e12xe12x)2]=14[(e12x)2+2e12xe12x+(e12x)2][14((e12x)22e12xe12x+(e12x)2)]\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ll}\\&=& \frac{1}{4}\cdot \left[e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}\right]^2-\left[\frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}x}-e^{-\frac{1}{2}x}\right)\right]^2\\&=& \frac{1}{4}\cdot\left[(e^{\frac{1}{2}x})^2+2\cdot e^{\frac{1}{2}x} \cdot e^{-\frac{1}{2}x} + (e^{-\frac{1}{2}x} )^2\right]-\left[(\frac{1}{2})^2\cdot (e^{\frac{1}{2}x}-e^{-\frac{1}{2}x})^2\right]\\&=&\frac{1}{4}\cdot\left[(e^{\frac{1}{2}x})^2+2\cdot e^{\frac{1}{2}x} \cdot e^{-\frac{1}{2}x} + (e^{-\frac{1}{2}x} )^2\right]-\left[\frac{1}{4}\cdot\left((e^{\frac{1}{2}x})^2-2\cdot e^{\frac{1}{2}x} \cdot e^{-\frac{1}{2}x} + (e^{-\frac{1}{2}x} )^2\right)\right]\end{array}

Überlege jetzt, wie sich die Exponenten zusammen addieren bzw. multiplizieren. Die Potenzgesetze helfen dir dabei.

=14[(e12x)2+2e12xe12x+(e12x)2][14((e12x)22e12xe12x+(e12x)2)]=14[ex+2e0+ex][14(ex2e0+ex)]\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ll}&=&\frac{1}{4}\cdot\left[(e^{\frac{1}{2}x})^2+2\cdot e^{\frac{1}{2}x} \cdot e^{-\frac{1}{2}x} + (e^{-\frac{1}{2}x} )^2\right]-\left[\frac{1}{4}\cdot \left((e^{\frac{1}{2}x})^2-2\cdot e^{\frac{1}{2}x} \cdot e^{-\frac{1}{2}x} + (e^{-\frac{1}{2}x} )^2\right)\right]\\&=& \frac{1}{4}\cdot\left[e^{x}+2\cdot e^{0} + e^{-x} \right]-\left[\frac{1}{4}\cdot \left(e^{x}-2\cdot e^{0} + e^{-x} \right)\right]\end{array}

Spätestens jetzt kannst du die 14\frac{1}{4} aus der zweiten Klammer herausziehen und ganz ausklammern.

=14[ex+2e0+ex(ex2e0+ex)]=14[ex+2e0+exex+2e0ex]\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ll}&=& \frac{1}{4}\cdot\left[e^{x}+2\cdot e^{0} + e^{-x} -\left(e^{x}-2\cdot e^{0} + e^{-x} \right)\right]\\&=& \frac{1}{4}\cdot\left[e^{x}+2\cdot e^{0} + e^{-x} -e^{x}+2\cdot e^{0} - e^{-x} \right]\end{array}

Spätestens jetzt kannst du wiederum die e0e^0 durch 11 ersetzen. Vereinfache außerdem so weit wie möglich.

=14[ex+21+exex+21ex]=14[2+2]=144=1\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ll}&=& \frac{1}{4}\cdot\left[e^{x}+2\cdot 1 + e^{-x} -e^{x}+2\cdot 1 - e^{-x} \right]\\&=& \frac{1}{4}\cdot\left[2+2\right]\\&=& \frac{1}{4}\cdot 4\\&=& 1\end{array}

Geschafft! :) Damit ist die Gleichung gezeigt.

6 Lösung 1h

Aufgabenstellung

11 Gegeben ist die in R\mathbb{R} definierte Funktion f:x  e12x+e12xf: x \mapsto \; e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}. Der Graph von ff wird mit GfG_f bezeichnet.

 

a)a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von GfG_f mit der yy-Achse und begründen Sie, dass GfG_f oberhalb der xx-Achse verläuft. (2 BE)

 

b)b) Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten von GfG_f sowie das Verhalten von ff für xx \to -\infty und für xx \to \infty. (3 BE)

 

c)c) Zeigen Sie, dass für die zweite Ableitung ff'' von ff die Beziehung f(x)=14f(x)f''(x)=\frac{1}{4}\cdot f(x) für xRx\in \mathbb{R} gilt. Weisen Sie nach, dass GfG_f linksgekrümmt ist. (4 BE)

 

\rightarrow Zur Kontrolle: f(x)=12(e12xe12x)f'(x)=\frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}x}-e^{-\frac{1}{2}x}\right)

 

d)d) Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von GfG_f. (3 BE)

 

e)e) Berechnen Sie die Steigung der Tangente gg an GfG_f im Punkt P(2f(2))P(2|f(2)) auf eine Dezimale genau. Zeichnen Sie den Punkt PP und die Gerade gg in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf das Folgende: 4x4-4\leq x\leq4, 1y9-1 \leq y \leq 9). (3 BE)

 

f)f) Berechnen Sie f(4)f(4), im Hinblick auf eine der folgenden Aufgaben auf zwei Dezimalen genau, und zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse GfG_f im Bereich 4x4-4 \leq x \leq 4 in das Koordinatensystem aus Aufgabe 1e ein. (4 BE)

 

g)g) Zeigen Sie durch Rechnung, dass für xRx \in \mathbb{R} die Beziehung 14[f(x)]2[f(x)]2=1\quad\frac{1}{4}\cdot [f(x)]^2-[f'(x)]^2=1 gilt. (3 BE)

Die als Kurvenlänge La;bL_{a;b} bezeichnete Länge des Funktionsgraphen von ff zwischen den Punkten (af(a))(a|f(a)) und (bf(b))(b|f(b)) mit a<ba<b lässt sich mithilfe der Formel La;b=ab1+[f(x)]2dxL_{a;b}=\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\text{d}x berechnen.

 

h)h) Bestimmen Sie mithilfe der Beziehung aus Aufgabe 1g1g die Kurvenlänge L0;bL_{0;b} des Graphen von ff zwischen den Punkten (0f(0))(0|f(0)) und (bf(b))(b|f(b)) mit b>0.

(Ergebnis: L0;b=e12be12b)\displaystyle \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad(\text{Ergebnis: } L_{0;b}=e^{\frac{1}{2}b}-e^{-\frac{1}{2}b}\text{)}

Lösung

Klingt wahnsinnig kompliziert, oder? Ist es aber wirklich nicht. Lass dich einfach nicht von so vielen Infos verwirren, sondern lies die Aufgabenstellung noch ein paar Mal in Ruhe durch und finde heraus, welche Informationen du wirklich benötigst. Du siehst ein Integral, dass du mit Hilfe der Beziehung aus Aufgabe 1g1g lösen sollst. Sieh dir dazu an, was im Integral steht: 1+[f(x)]2\sqrt{1+[f'(x)]^2}. Wenn du genauer hin schaust, siehst du vielleicht, dass du die Beziehung aus 1g1g so umformen kannst, dass du den Term unter der Wurzel bekommst. Fange damit an.

Umformung der Beziehung aus 1g1g

14[f(x)]2[f(x)]2=1+[f(x)]214[f(x)]2=1+[f(x)]2\begin {array}{rrllll}\frac{1}{4}\cdot [f(x)]^2&-&[f'(x)]^2&=&1\quad &|+[f'(x)]^2\\\frac{1}{4}\cdot [f(x)]^2&&&=&1+[f'(x)]^2\end{array}

Jetzt kannst du anstatt der rechten Seite, die unter der Wurzel im Integral steht, auch die linke Seite benutzen, da diese äquivalent sind.

Bestimmung des Integrals

Erinnere dich, auf was du bei der Berechnung eines Integrals alles achten musst. In dem Text über der Aufgabenstellung steht La;b=ab1+[f(x)]2dxL_{a;b}=\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\text{d}x. In der Aufgabenstellung heißt es aber, du sollst L0;bL_{0;b} ausrechnen. Die Grenzen des Integrals sind also nicht die gleichen.

La;b=ab1+[f(x)]2dxL_{a;b}=\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\text{d}x

L0;b=0b1+[f(x)]2dxL_{0;b}=\int_0^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\text{d}x

Verändere jetzt die Wurzel mit der Beziehung aus 1g1g die du gerade ausgerechnet hast.

L0;b=0b14[f(x)]2dxL_{0;b}=\int_0^b\sqrt{\frac{1}{4}\cdot[f(x)]^2}\text{d}x

Schau genau hin! Die Wurzel und das Quadrat kürzen sich und 14\frac{1}{4} kannst du ebenfalls aus der Wurzel ziehen.

L0;b=0b12[f(x)]dxL_{0;b}=\int_0^b{\frac{1}{2}\cdot[f(x)]}\text{d}x

Setze ein.

L0;b=0b12(e12x+e12x)dxL_{0;b}=\int_0^b{\frac{1}{2}\cdot (e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}})\text{d}x

Das 12\frac{1}{2} kannst du als Vorfaktor aus dem Integral heraus ziehen.

L0;b=120b(e12x+e12x)dxL_{0;b}=\frac{1}{2}\cdot\int_0^b{ (e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}})\text{d}x

Berechne das Integral. Erinnere dich, wie du die Exponentialfunktion aufleitest und wie du beim Integrieren "nachdifferenzierst".

L0;b=12[(2e12x2e12x)]0bL_{0;b}=\frac{1}{2}\cdot \left[{( 2\cdot e^{\frac{1}{2}x}-2\cdot e^{-\frac{1}{2}x}}) \right]_0^b

L0;b=12[(2e12b2e12b)(2e1202e120)]L_{0;b}=\frac{1}{2}\cdot \left[{ (2\cdot e^{\frac{1}{2}\cdot b}-2\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot b}})-(2\cdot e^{\frac{1}{2}\cdot 0}-2\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot 0})\right]

Beachte: e0=1e^0=1

L0;b=12[2e12b2e12b]L_{0;b}=\frac{1}{2}\cdot \left[{ 2\cdot e^{\frac{1}{2}\cdot b}-2\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot b}}\right]

L0;b=12[2(e12be12b)]L_{0;b}=\frac{1}{2}\cdot \left[{ 2\cdot (e^{\frac{1}{2}\cdot b}-e^{-\frac{1}{2}\cdot b})}\right]

L0;b=122(e12be12b)L_{0;b}=\frac{1}{2}\cdot { 2\cdot (e^{\frac{1}{2}\cdot b}-e^{-\frac{1}{2}\cdot b})}

L0;b=e12be12bL_{0;b}= e^{\frac{1}{2}\cdot b}-e^{-\frac{1}{2}\cdot b}

Und schon bist du beim richtigen Ergebnis. Super gemacht! :)

7 Aufgabe 2 - Aufgabenstellung

Die Enden eines Seils werden an zwei vertikalen Masten, die 8,0m8{,}0m voneinander entfernt sind, in gleicher Höhe über dem Erdboden befestigt. Der Graph GfG_f aus Aufgabe 1 beschreibt im Bereich 4x4-4\leq x\leq4 modellhaft den Verlauf des Seils, wobei die Fußpunkte F1F_1 und F2F_2 der Masten durch die Punkte (40)(-4|0) bzw. (40)(4|0) dagestellt werden (vgl. Abbildung). Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

 

a)a) Der Höhenunterschied zwischen den Aufhängepunkten und dem tiefsten Punkt des Seils wird als Durchhang bezeichnet. Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells den Durchhang des Seils auf Zentimeter genau. (2 BE)

 

b)b) Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells die Größe des Winkels, den das Seil mit Mast 2 im Aufhängepunkt einschließt, sowie mithilfe der Kurvenlänge aus Aufgabe 1h die Länge des zwischen den Masten hängenden Seils auf Zentimeter genau. (5 BE)

 

Der Graph von ff soll durch eine Parabel näherungsweise dargestellt werden.Dazu wird die in R\mathbb{R} definierte quadratische Funktion qq betrachtet, derenGraph den Scheitelpunkt (02)(0|2) hat und durch den Punkt (4f(4))(4|f(4)) verläuft.

 

c)c) Ermitteln Sie den Term q(x)q(x) der Funktion qq, ohne dabei zu runden. (4 BE)

 

d)d) Für jedes x]0;4[x\in ]0;4[ wird der Abstand der vertikal übereinander liegenden Punkte (xq(x))(x|q(x)) und (xf(x))(x|f(x)) der Graphen von qq bzw ff betrachtet, wobei in diesem Bereich q(x)>f(x)q(x) > f(x) gilt. Der größte dieser Abstände ist ein Maß dafür, wie gut die Parabel den Graphen GfG_f im Bereich 0<x<40<x<4 annähert. Beschreiben Sie die wesentlichen Schritte, mithilfe derer man diesen größten Abstand rechnerisch bestimmen kann. (3 BE)

8 Lösung 2a

Die Enden eines Seils werden an zwei vertikalen Masten, die 8,0m8{,}0m voneinander entfernt sind, in gleicher Höhe über dem Erdboden befestigt. Der Graph GfG_f aus Aufgabe 1 beschreibt im Bereich 4x4-4\leq x\leq4 modellhaft den Verlauf des Seils, wobei die Fußpunkte F1F_1 und F2F_2 der Masten durch die Punkte (40)(-4|0) bzw. (40)(4|0) dagestellt werden (vgl. Abbildung). Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Bild

a)a) Der Höhenunterschied zwischen den Aufhängepunkten und dem tiefsten Punkt des Seils wird als Durchhang bezeichnet. Berechenen Sie auf der Grundlage des Modells den Durchhang des Seils auf Zentimeter genau. (2 BE)

Lösung

Berechnung des Durchhangs

In der Abbildung kann man erkennen, dass der tiefste Punkt des Seils bei x=0x=0 liegt. Du musst also die Differenz f(4)f(0)f(4) - f(0) berechnen. Aus Aufgabe 1 weißt du bereits:

  • f(4)7,52f(4)\approx7{,}52

  • f(0)=2f(0)=2

Beachte hierbei, dass du auf zwei Dezimalen runden musst, wenn du eine Länge in Meter auf Zentimeter genau angeben sollst.

Länge des Durchhangs:

 

Ld=f(4)f(0)7,5225,52\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl}L_d&=&f(4)-f(0)\\&\approx&7{,}52-2\\&\approx&5{,}52\end{array}

 

Die Länge des Durchhangs beträgt also 5m5m und 52cm52cm.

9 Lösung 2b

Die Enden eines Seils werden an zwei vertikalen Masten, die 8,0m8{,}0m voneinander entfernt sind, in gleicher Höhe über dem Erdboden befestigt. Der Graph GfG_f aus Aufgabe 1 beschreibt im Bereich 4x4-4\leq x\leq4 modellhaft den Verlauf des Seils, wobei die Fußpunkte F1F_1 und F2F_2 der Masten durch die Punkte (40)(-4|0) bzw. (40)(4|0) dagestellt werden (vgl. Abbildung). Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Bild

a)a) Der Höhenunterschied zwischen den Aufhängepunkten und dem tiefsten Punkt des Seils wird als Durchhang bezeichnet. Berechenen Sie auf der Grundlage des Modells den Durchhang des Seils auf Zentimeter genau. (2 BE)

b)b) Berechen Sie auf der Grundlage des Modells die Größe des Winkels, den das Seil mit Mast 2 im Aufhängepunkt einschließt, sowie mithilfe der Kurvenlänge aus Aufgabe 1h die Länge des zwischen den Masten hängenden Seils auf Zentimeter genau. (5 BE)

Lösung

Berechnung des Winkels

Um den Winkel zwischen dem Seil und dem Mast 2 auszurechnen, benötigst du zunächst die Tangente im Aufhängepunkt F2F_2. Daraufhin kannst du im Steigungsdreieck mithilfe von Sinus und Kosinus den Winkel berechnen (siehe Abbildung). Da wir nur das Steigungsdreieck betrachten genügt es hierbei die Steigung der Tangente (also den Wert der Ableitung in dem Aufhängepunkt) zu bestimmen. Die Ableitungsfunktion hast du bereits in Aufgabe 1c bestimmt:

 

f(x)=12(e12xe12x)f'(x)=\frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}x}-e^{-\frac{1}{2}x}\right)

Bild

Bestimmung der Tangentensteigung im Aufhängepunkt:

 

f(4)=12(e124e124)3,63\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl}f'(4)&=&\frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2} \cdot 4}-e^{-\frac{1}{2}\cdot 4}\right)\\&\approx& 3{,}63 \end{array}

Bild

Du siehst nun in der Abbildung, dass du mit dem Steigungsdreieck ein rechtwinkliges Dreieck hast. Von diesem kennst du bereits zwei Seiten, die Gegenkathete und die Ankathete des gesuchten Winkels. Mithilfe der Formel tan(α)=GegenkatheteAnkathetetan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{Ankathete} kannst du zunächst den Tangens der Winkels und dann über die Umekehrfunktion des Tangens den gesuchten Winkel berechnen.

 

Die Umkehrfunktion des Tangens kannst du bei deinem Taschenrechner mit der Taste tan1tan^{-1} aufrufen.

 

Achte hierbei auch darauf, dass dein Taschenrechner auf Gradmaß und nicht auf Bogenmaß eingestellt ist!

 

Im Folgenden werden wir den gesuchten Winkel mit α\alpha bezeichnen.

Berechnung des Tangens:

 

tan(α)=13,630,28\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl} tan(\alpha)&=&\frac{1}{3{,}63}\\&\approx& 0{,}28\end{array}

 

Berechnung des Winkels mithilfe der Umkehrfunktion des Tangens:

 

α=tan1(0,28)16°\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl} \alpha&=&\tan^{-1}(0{,}28)\\&\approx& 16°\end{array}

 

Das Seil schließt mit dem Mast im Aufhängepunkt 2 einen Winkel von ca. 16°16° ein.

Berechnung der Seillänge

Aus Aufgabe 1h hast du bereits die Formel L0;b=e12be12bL_{0;b}=e^{\frac{1}{2}b}-e^{-\frac{1}{2}b}. Außerdem siehst du, dass der Graph achsensymmetrisch zur yy-Achse ist. Also kannst du statt der Länge zwischen den beiden Masten auch die einem Masten und dem Tiefpunkt berechnen und diese dann verdoppeln:

L4;4=2L0;4\displaystyle L_{-4;4}=2\cdot L_{0;4}

 

Beachte, dass du wieder auf zwei Nachkommastellen runden musst.

Länge des Seils in Meter:

 

L4;4=2L0;4=2(e124e124)14,51\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl}L_{-4;4}&=&2\cdot L_{0;4}\\&=& 2 \cdot \left(e^{\frac{1}{2}\cdot 4}-e^{-\frac{1}{2}\cdot 4}\right)\\&\approx& 14{,}51\end{array}

 

Die Länge des Seils zwischen den beiden Masten beträgt 1414 Meter und 5151 Zentimeter.

10 Lösung 2c

Die Enden eines Seils werden an zwei vertikalen Masten, die 8,0m8{,}0m voneinander entfernt sind, in gleicher Höhe über dem Erdboden befestigt. Der Graph GfG_f aus Aufgabe 1 beschreibt im Bereich 4x4-4\leq x\leq4 modellhaft den Verlauf des Seils, wobei die Fußpunkte F1F_1 und F2F_2 der Masten durch die Punkte (40)(-4|0) bzw. (40)(4|0) dagestellt werden (vgl. Abbildung). Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

 

a)a) Der Höhenunterschied zwischen den Aufhängepunkten und dem tiefsten Punkt des Seils wird als Durchhang bezeichnet. Berechenen Sie auf der Grundlage des Modells den Durchhang des Seils auf Zentimeter genau. (2 BE)

 

b)b) Berechen Sie auf der Grundlage des Modells die Größe des Winkels, den das Seil mit Mast 2 im Aufhängepunkt einschließt, sowie mithilfe der Kurvenlänge aus Aufgabe 1h die Länge des zwischen den Masten hängenden Seils auf Zentimeter genau. (5 BE)

Der Graph von ff soll durch eine Parabel näherungsweise dargestellt werden.

Dazu wird die in R\mathbb{R} definierte quadratische Funktion qq betrachtet, derenGraph den Scheitelpunkt (02)(0|2) hat und durch den Punkt (4f(4))(4|f(4)) verläuft.

c)c) Ermitteln Sie den Term q(x)q(x) der Funktion qq, ohne dabei zu runden. (4 BE)

Lösung

Quadratische Funktion erstellen

Aus der Angabe kannst du den Scheitelpunkt übernehmen. Trage diesen in die Scheitelform ein. Diese lautet f(x)=a(xd)2+ef(x)=a(x-d)^2+e mit dem Scheitelpunkt S(de)S(d|e).

q(x)=a(xd)2+eq(x)=a(x-d)^2+e

Setze ein.

q(x)=a(x0)2+2q(x)=a(x-0)^2+2

q(x)=ax2+2q(x)=ax^2+2

Du findest aa heraus, indem du den gegebenen Punkt einsetzt und nach aa auflöst.

q(4)=a42+2q(4)=a\cdot 4^2+2

7,52=a16+225,52=a16:160,345=a\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrl}7{,}52&=&a\cdot 16+2\quad&|-2\\5{,}52&=&a\cdot 16\quad&|:16\\0{,}345&=&a\end{array}

Setze alle Werte ein, damit du eine vollständige quadratische Funktion erhältst.

q(x)=0,345x2+2q(x)=0{,}345\cdot x^2 + 2

11 Lösung 2d

Die Enden eines Seils werden an zwei vertikalen Masten, die 8,0m8{,}0m voneinander entfernt sind, in gleicher Höhe über dem Erdboden befestigt. Der Graph GfG_f aus Aufgabe 1 beschreibt im Bereich 4x4-4\leq x\leq4 modellhaft den Verlauf des Seils, wobei die Fußpunkte F1F_1 und F2F_2 der Masten durch die Punkte (40)(-4|0) bzw. (40)(4|0) dagestellt werden (vgl. Abbildung). Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

 

a)a) Der Höhenunterschied zwischen den Aufhängepunkten und dem tiefsten Punkt des Seils wird als Durchhang bezeichnet. Berechenen Sie auf der Grundlage des Modells den Durchhang des Seils auf Zentimeter genau. (2 BE)

 

b)b) Berechen Sie auf der Grundlage des Modells die Größe des Winkels, den das Seil mit Mast 2 im Aufhängepunkt einschließt, sowie mithilfe der Kurvenlänge aus Aufgabe 1h die Länge des zwischen den Masten hängenden Seils auf Zentimeter genau. (5 BE)

 

Der Graph von ff soll durch eine Parabel näherungsweise dargestellt werden.Dazu wird die in R\mathbb{R} definierte quadratische Funktion qq betrachtet, derenGraph den Scheitelpunkt (02)(0|2) hat und durch den Punkt (4f(4))(4|f(4)) verläuft.

 

c)c) Ermitteln Sie den Term q(x)q(x) der Funktion qq, ohne dabei zu runden. (4 BE)

d)d) Für jedes x]0;4[x\in ]0;4[ wird der Abstand der vertikal übereinander liegenden Punkte (xq(x))(x|q(x)) und (xf(x))(x|f(x)) der Graphen von qq bzw ff betrachtet, wobei in diesem Bereich q(x)>f(x)q(x) > f(x) gilt. Der größte dieser Abstände ist ein Maß dafür, wie gut die Parabel den Graphen GfG_f im Bereich 0<x<40<x<4 annähert. Beschreiben Sie die wesentlichen Schritte, mithilfe derer man diesen größten Abstand rechnerisch bestimmen kann. (3 BE)

Lösung

Den Abstand zwischen zwei Funktionen bestimmst du, indem du die beiden Funktionen ganz einfach voneinander abziehst. Anschließend bekommst du daraus eine neue Funktion. Diese Funktion kannst du ableiten und das Maximum berechnen, indem du die Ableitung Null setzt. (Hierbei musst du darauf achten, dass sich das Maximum in dem angegebenen Intervall x]0;4[x\in ]0;4[ liegt.) Wenn du dann noch die zweite Ableitung ausrechnest, hast du bewiesen, dass es sich bei dem Extrempunkt aus der ersten Ableitung auf jeden Fall um ein Maximum und nicht um ein Terrassenpunkt handelt.

Schritte:

  • Funktionen voneinander abziehen. Betrag nehmen, dann ist die Reihenfolge egal (q(x)f(x)=0|q(x)-f(x)|=0)

  • Ableitung der neuen Funktion bilden und Null setzen

  • Extrempunkt herausfinden (sollte im Intervall ]0;4[]0;4[ liegen)

  • Zweite Ableitung bilden und Extrempunkt (Maximum) bestätigen


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