5Lösung 1g

Aufgabenstellung

$1$ Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto \; e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}$. Der Graph von $f$ wird mit $G_f$ bezeichnet.

$a)$ Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von $G_f$ mit der $y$-Achse und begründen Sie, dass $G_f$ oberhalb der $x$-Achse verläuft. (2 BE)

$b)$ Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten von $G_f$ sowie das Verhalten von $f$ für $x \to -\infty$ und für $x \to \infty$. (3 BE)

$c)$ Zeigen Sie, dass für die zweite Ableitung $f''$ von $f$ die Beziehung $f''(x)=\frac{1}{4}\cdot f(x)$ für $x\in \mathbb{R}$ gilt. Weisen Sie nach, dass $G_f$ linksgekrümmt ist. (4 BE)

$\rightarrow$ Zur Kontrolle: $f'(x)=\frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}x}-e^{-\frac{1}{2}x}\right)$

$d)$ Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von $G_f$. (3 BE)

$e)$ Berechnen Sie die Steigung der Tangente $g$ an $G_f$ im Punkt $P(2|f(2))$ auf eine Dezimale genau. Zeichnen Sie den Punkt $P$ und die Gerade $g$ in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf das Folgende: $-4\leq x\leq4$, $-1 \leq y \leq 9$). (3 BE)

$f)$ Berechnen Sie $f(4)$, im Hinblick auf eine der folgenden Aufgaben auf zwei Dezimalen genau, und zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse $G_f$ im Bereich $-4 \leq x \leq 4$ in das Koordinatensystem aus Aufgabe 1e ein. (4 BE)

Lösung

Rechnung

Setze ein und vereinfache.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ll}&& \frac{1}{4}\cdot [f(x)]^2-[f'(x)]^2\\&=& \frac{1}{4}\cdot \left[e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}\right]^2-\left[\frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}x}-e^{-\frac{1}{2}x}\right)\right]^2\end{array}$

Beachte, dass du jetzt die binomischen Formeln anwenden musst!

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ll}\\&=& \frac{1}{4}\cdot \left[e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}\right]^2-\left[\frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}x}-e^{-\frac{1}{2}x}\right)\right]^2\\&=& \frac{1}{4}\cdot\left[(e^{\frac{1}{2}x})^2+2\cdot e^{\frac{1}{2}x} \cdot e^{-\frac{1}{2}x} + (e^{-\frac{1}{2}x} )^2\right]-\left[(\frac{1}{2})^2\cdot (e^{\frac{1}{2}x}-e^{-\frac{1}{2}x})^2\right]\\&=&\frac{1}{4}\cdot\left[(e^{\frac{1}{2}x})^2+2\cdot e^{\frac{1}{2}x} \cdot e^{-\frac{1}{2}x} + (e^{-\frac{1}{2}x} )^2\right]-\left[\frac{1}{4}\cdot\left((e^{\frac{1}{2}x})^2-2\cdot e^{\frac{1}{2}x} \cdot e^{-\frac{1}{2}x} + (e^{-\frac{1}{2}x} )^2\right)\right]\end{array}$

Überlege jetzt, wie sich die Exponenten zusammen addieren bzw. multiplizieren. Die Potenzgesetze helfen dir dabei.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ll}&=&\frac{1}{4}\cdot\left[(e^{\frac{1}{2}x})^2+2\cdot e^{\frac{1}{2}x} \cdot e^{-\frac{1}{2}x} + (e^{-\frac{1}{2}x} )^2\right]-\left[\frac{1}{4}\cdot \left((e^{\frac{1}{2}x})^2-2\cdot e^{\frac{1}{2}x} \cdot e^{-\frac{1}{2}x} + (e^{-\frac{1}{2}x} )^2\right)\right]\\&=& \frac{1}{4}\cdot\left[e^{x}+2\cdot e^{0} + e^{-x} \right]-\left[\frac{1}{4}\cdot \left(e^{x}-2\cdot e^{0} + e^{-x} \right)\right]\end{array}$

Spätestens jetzt kannst du die $\frac{1}{4}$ aus der zweiten Klammer herausziehen und ganz ausklammern.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ll}&=& \frac{1}{4}\cdot\left[e^{x}+2\cdot e^{0} + e^{-x} -\left(e^{x}-2\cdot e^{0} + e^{-x} \right)\right]\\&=& \frac{1}{4}\cdot\left[e^{x}+2\cdot e^{0} + e^{-x} -e^{x}+2\cdot e^{0} - e^{-x} \right]\end{array}$

Spätestens jetzt kannst du wiederum die $e^0$ durch $1$ ersetzen. Vereinfache außerdem so weit wie möglich.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ll}&=& \frac{1}{4}\cdot\left[e^{x}+2\cdot 1 + e^{-x} -e^{x}+2\cdot 1 - e^{-x} \right]\\&=& \frac{1}{4}\cdot\left[2+2\right]\\&=& \frac{1}{4}\cdot 4\\&=& 1\end{array}$

Geschafft! :) Damit ist die Gleichung gezeigt.