6Lösung 1h

Aufgabenstellung

$1$ Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto \; e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}$. Der Graph von $f$ wird mit $G_f$ bezeichnet.

$a)$ Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von $G_f$ mit der $y$-Achse und begründen Sie, dass $G_f$ oberhalb der $x$-Achse verläuft. (2 BE)

$b)$ Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten von $G_f$ sowie das Verhalten von $f$ für $x \to -\infty$ und für $x \to \infty$. (3 BE)

$c)$ Zeigen Sie, dass für die zweite Ableitung $f''$ von $f$ die Beziehung $f''(x)=\frac{1}{4}\cdot f(x)$ für $x\in \mathbb{R}$ gilt. Weisen Sie nach, dass $G_f$ linksgekrümmt ist. (4 BE)

$\rightarrow$ Zur Kontrolle: $f'(x)=\frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}x}-e^{-\frac{1}{2}x}\right)$

$d)$ Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von $G_f$. (3 BE)

$e)$ Berechnen Sie die Steigung der Tangente $g$ an $G_f$ im Punkt $P(2|f(2))$ auf eine Dezimale genau. Zeichnen Sie den Punkt $P$ und die Gerade $g$ in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf das Folgende: $-4\leq x\leq4$, $-1 \leq y \leq 9$). (3 BE)

$f)$ Berechnen Sie $f(4)$, im Hinblick auf eine der folgenden Aufgaben auf zwei Dezimalen genau, und zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse $G_f$ im Bereich $-4 \leq x \leq 4$ in das Koordinatensystem aus Aufgabe 1e ein. (4 BE)

$g)$ Zeigen Sie durch Rechnung, dass für $x \in \mathbb{R}$ die Beziehung $\quad\frac{1}{4}\cdot [f(x)]^2-[f'(x)]^2=1$ gilt. (3 BE)

Lösung

Klingt wahnsinnig kompliziert, oder? Ist es aber wirklich nicht. Lass dich einfach nicht von so vielen Infos verwirren, sondern lies die Aufgabenstellung noch ein paar Mal in Ruhe durch und finde heraus, welche Informationen du wirklich benötigst. Du siehst ein Integral, dass du mit Hilfe der Beziehung aus Aufgabe $1g$ lösen sollst. Sieh dir dazu an, was im Integral steht: $\sqrt{1+[f'(x)]^2}$. Wenn du genauer hin schaust, siehst du vielleicht, dass du die Beziehung aus $1g$ so umformen kannst, dass du den Term unter der Wurzel bekommst. Fange damit an.

Umformung der Beziehung aus $1g$

$\begin {array}{rrllll}\frac{1}{4}\cdot [f(x)]^2&-&[f'(x)]^2&=&1\quad &|+[f'(x)]^2\\\frac{1}{4}\cdot [f(x)]^2&&&=&1+[f'(x)]^2\end{array}$

Jetzt kannst du anstatt der rechten Seite, die unter der Wurzel im Integral steht, auch die linke Seite benutzen, da diese äquivalent sind.

Bestimmung des Integrals

Erinnere dich, auf was du bei der Berechnung eines Integrals alles achten musst. In dem Text über der Aufgabenstellung steht $L_{a;b}=\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\text{d}x$. In der Aufgabenstellung heißt es aber, du sollst $L_{0;b}$ ausrechnen. Die Grenzen des Integrals sind also nicht die gleichen.

$L_{a;b}=\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\text{d}x$

$L_{0;b}=\int_0^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\text{d}x$

Verändere jetzt die Wurzel mit der Beziehung aus $1g$ die du gerade ausgerechnet hast.

$L_{0;b}=\int_0^b\sqrt{\frac{1}{4}\cdot[f(x)]^2}\text{d}x$

Schau genau hin! Die Wurzel und das Quadrat kürzen sich und $\frac{1}{4}$ kannst du ebenfalls aus der Wurzel ziehen.

$L_{0;b}=\int_0^b{\frac{1}{2}\cdot[f(x)]}\text{d}x$

Setze ein.

$L_{0;b}=\int_0^b{\frac{1}{2}\cdot (e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}})\text{d}x$

Das $\frac{1}{2}$ kannst du als Vorfaktor aus dem Integral heraus ziehen.

$L_{0;b}=\frac{1}{2}\cdot\int_0^b{ (e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}})\text{d}x$

Berechne das Integral. Erinnere dich, wie du die Exponentialfunktion aufleitest und wie du beim Integrieren "nachdifferenzierst".

$L_{0;b}=\frac{1}{2}\cdot \left[{( 2\cdot e^{\frac{1}{2}x}-2\cdot e^{-\frac{1}{2}x}}) \right]_0^b$

$L_{0;b}=\frac{1}{2}\cdot \left[{ (2\cdot e^{\frac{1}{2}\cdot b}-2\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot b}})-(2\cdot e^{\frac{1}{2}\cdot 0}-2\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot 0})\right]$

Beachte: $e^0=1$

$L_{0;b}=\frac{1}{2}\cdot \left[{ 2\cdot e^{\frac{1}{2}\cdot b}-2\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot b}}\right]$

$L_{0;b}=\frac{1}{2}\cdot \left[{ 2\cdot (e^{\frac{1}{2}\cdot b}-e^{-\frac{1}{2}\cdot b})}\right]$

$L_{0;b}=\frac{1}{2}\cdot { 2\cdot (e^{\frac{1}{2}\cdot b}-e^{-\frac{1}{2}\cdot b})}$

$L_{0;b}= e^{\frac{1}{2}\cdot b}-e^{-\frac{1}{2}\cdot b}$

Und schon bist du beim richtigen Ergebnis. Super gemacht! :)