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Analysis - Prüfungsteil B Aufgabengruppe 1

6Lösung 1h

Aufgabenstellung

11 Gegeben ist die in R\mathbb{R} definierte Funktion f:x  e12x+e12xf: x \mapsto \; e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}. Der Graph von ff wird mit GfG_f bezeichnet.

 

a)a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von GfG_f mit der yy-Achse und begründen Sie, dass GfG_f oberhalb der xx-Achse verläuft. (2 BE)

 

b)b) Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten von GfG_f sowie das Verhalten von ff für xx \to -\infty und für xx \to \infty. (3 BE)

 

c)c) Zeigen Sie, dass für die zweite Ableitung ff'' von ff die Beziehung f(x)=14f(x)f''(x)=\frac{1}{4}\cdot f(x) für xRx\in \mathbb{R} gilt. Weisen Sie nach, dass GfG_f linksgekrümmt ist. (4 BE)

 

\rightarrow Zur Kontrolle: f(x)=12(e12xe12x)f'(x)=\frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}x}-e^{-\frac{1}{2}x}\right)

 

d)d) Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von GfG_f. (3 BE)

 

e)e) Berechnen Sie die Steigung der Tangente gg an GfG_f im Punkt P(2f(2))P(2|f(2)) auf eine Dezimale genau. Zeichnen Sie den Punkt PP und die Gerade gg in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf das Folgende: 4x4-4\leq x\leq4, 1y9-1 \leq y \leq 9). (3 BE)

 

f)f) Berechnen Sie f(4)f(4), im Hinblick auf eine der folgenden Aufgaben auf zwei Dezimalen genau, und zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse GfG_f im Bereich 4x4-4 \leq x \leq 4 in das Koordinatensystem aus Aufgabe 1e ein. (4 BE)

 

g)g) Zeigen Sie durch Rechnung, dass für xRx \in \mathbb{R} die Beziehung 14[f(x)]2[f(x)]2=1\quad\frac{1}{4}\cdot [f(x)]^2-[f'(x)]^2=1 gilt. (3 BE)

Die als Kurvenlänge La;bL_{a;b} bezeichnete Länge des Funktionsgraphen von ff zwischen den Punkten (af(a))(a|f(a)) und (bf(b))(b|f(b)) mit a<ba<b lässt sich mithilfe der Formel La;b=ab1+[f(x)]2dxL_{a;b}=\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\text{d}x berechnen.

 

h)h) Bestimmen Sie mithilfe der Beziehung aus Aufgabe 1g1g die Kurvenlänge L0;bL_{0;b} des Graphen von ff zwischen den Punkten (0f(0))(0|f(0)) und (bf(b))(b|f(b)) mit b>0.

Lösung

Klingt wahnsinnig kompliziert, oder? Ist es aber wirklich nicht. Lass dich einfach nicht von so vielen Infos verwirren, sondern lies die Aufgabenstellung noch ein paar Mal in Ruhe durch und finde heraus, welche Informationen du wirklich benötigst. Du siehst ein Integral, dass du mit Hilfe der Beziehung aus Aufgabe 1g1g lösen sollst. Sieh dir dazu an, was im Integral steht: 1+[f(x)]2\sqrt{1+[f'(x)]^2}. Wenn du genauer hin schaust, siehst du vielleicht, dass du die Beziehung aus 1g1g so umformen kannst, dass du den Term unter der Wurzel bekommst. Fange damit an.

Umformung der Beziehung aus 1g1g

14[f(x)]2[f(x)]2=1+[f(x)]214[f(x)]2=1+[f(x)]2\begin {array}{rrllll}\frac{1}{4}\cdot [f(x)]^2&-&[f'(x)]^2&=&1\quad &|+[f'(x)]^2\\\frac{1}{4}\cdot [f(x)]^2&&&=&1+[f'(x)]^2\end{array}

Jetzt kannst du anstatt der rechten Seite, die unter der Wurzel im Integral steht, auch die linke Seite benutzen, da diese äquivalent sind.

Bestimmung des Integrals

Erinnere dich, auf was du bei der Berechnung eines Integrals alles achten musst. In dem Text über der Aufgabenstellung steht La;b=ab1+[f(x)]2dxL_{a;b}=\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\text{d}x. In der Aufgabenstellung heißt es aber, du sollst L0;bL_{0;b} ausrechnen. Die Grenzen des Integrals sind also nicht die gleichen.

La;b=ab1+[f(x)]2dxL_{a;b}=\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\text{d}x

L0;b=0b1+[f(x)]2dxL_{0;b}=\int_0^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\text{d}x

Verändere jetzt die Wurzel mit der Beziehung aus 1g1g die du gerade ausgerechnet hast.

L0;b=0b14[f(x)]2dxL_{0;b}=\int_0^b\sqrt{\frac{1}{4}\cdot[f(x)]^2}\text{d}x

Schau genau hin! Die Wurzel und das Quadrat kürzen sich und 14\frac{1}{4} kannst du ebenfalls aus der Wurzel ziehen.

L0;b=0b12[f(x)]dxL_{0;b}=\int_0^b{\frac{1}{2}\cdot[f(x)]}\text{d}x

Setze ein.

L0;b=0b12(e12x+e12x)dxL_{0;b}=\int_0^b{\frac{1}{2}\cdot (e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}})\text{d}x

Das 12\frac{1}{2} kannst du als Vorfaktor aus dem Integral heraus ziehen.

L0;b=120b(e12x+e12x)dxL_{0;b}=\frac{1}{2}\cdot\int_0^b{ (e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}})\text{d}x

Berechne das Integral. Erinnere dich, wie du die Exponentialfunktion aufleitest und wie du beim Integrieren "nachdifferenzierst".

L0;b=12[(2e12x2e12x)]0bL_{0;b}=\frac{1}{2}\cdot \left[{( 2\cdot e^{\frac{1}{2}x}-2\cdot e^{-\frac{1}{2}x}}) \right]_0^b

L0;b=12[(2e12b2e12b)(2e1202e120)]L_{0;b}=\frac{1}{2}\cdot \left[{ (2\cdot e^{\frac{1}{2}\cdot b}-2\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot b}})-(2\cdot e^{\frac{1}{2}\cdot 0}-2\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot 0})\right]

Beachte: e0=1e^0=1

L0;b=12[2e12b2e12b]L_{0;b}=\frac{1}{2}\cdot \left[{ 2\cdot e^{\frac{1}{2}\cdot b}-2\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot b}}\right]

L0;b=12[2(e12be12b)]L_{0;b}=\frac{1}{2}\cdot \left[{ 2\cdot (e^{\frac{1}{2}\cdot b}-e^{-\frac{1}{2}\cdot b})}\right]

L0;b=122(e12be12b)L_{0;b}=\frac{1}{2}\cdot { 2\cdot (e^{\frac{1}{2}\cdot b}-e^{-\frac{1}{2}\cdot b})}

L0;b=e12be12bL_{0;b}= e^{\frac{1}{2}\cdot b}-e^{-\frac{1}{2}\cdot b}

Und schon bist du beim richtigen Ergebnis. Super gemacht! :)


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